Propriedades Limite

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Propriedades Operato´rias do Limite e Exerc´ıcios
Pq Propriedades OPERATO´RIAS? Esta sessa˜o trata sobre o comportamento do Limite em relac¸a˜o
a` soma, multiplicac¸a˜o e divisa˜o de func¸o˜es, ou seja, relac¸a˜o entre Limite e as operac¸o˜es entre func¸o˜es.
Teorema:
Sejam f e g func¸o˜es tais que lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M .
As afirmac¸o˜es lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M equivalem a dizer que ∃ lim
x→a
f(x) e ∃ lim
x→a
g(x)
Enta˜o:
(a) lim
x→a
(f + g)(x) = lim
x→a
f(x) + g(x) = L+M (Leitura: limite da soma = soma dos limites);
(b) lim
x→a
(fg)(x) = lim
x→a
f(x)g(x) = LM (Leitura: limite do produto = produto dos limites);
(c) lim
x→a
(
f
g
)
(x) = lim
x→a
f(x)
g(x)
=
L
M
, desde que M 6= 0 (Leitura: limite do quociente = quociente dos limi-
tes).
Encontra-se a demonstrac¸a˜o destes resultados em diversos textos de boa qualidade. Procure um bom
material dida´tico e analise as respectivas demonstrac¸o˜es.
Exerc´ıcios aplicando as propriedades anteriores
Exerc´ıcio 1 Seja k uma constante real. Mostre que lim
x→a
k = k, para todo a ∈ R.
(Leitura: Limite de constante = pro´pria constante)
Soluc¸a˜o:
Este exerc´ıcio sera´ abordado de duas formas, uma seguindo a definic¸a˜o formal de limite, e outra utilizando
uma visa˜o mais gra´fica, explorando as propriedades geome´tricas do gra´fico de uma func¸a˜o tipicamente
constante.
Forma 1: Utilizando a definic¸a˜o formal de limite.
De acordo com a definic¸a˜o matema´tica de limite, dado qualquer ε > 0, deve-se exibir δ > 0, tal que se
x ∈ Dom(f) satisfaz 0 < |x− a| < δ =⇒ |f(x)− L| < ε.
Nesta caso, considere a func¸a˜o f : R −→ R, dada por f(x) = k, ou seja, f(x) = k, para qualquer x ∈ R.
Assim, devemos ‘trocar’ f(x) por k na definic¸a˜o, e tambe´m, trocar L por k na definic¸a˜o. Desta forma,
|f(x)− L| = |k − k| = 0 < ε, para todo ε > 0.
Logo, dado ε > 0, basta escolher qualquer nu´mero real maior que zero e denominar por δ, ou seja, δ e´
qualquer nu´mero real maior que zero.
1
Portanto, dado qualquer ε > 0, basta tomar (A palavra tomar aqui tem o significado de escolher. E´
isso mesmo. Cada um pode escolher um nu´mero real maior que zero como sendo o δ. Por exemplo, uma
pessoa pode escolher δ = 1/2, outra pode tomar δ = 0, 1, e assim por diante) δ nu´mero real maior que zero
(de acordo com a sua escolha). Logo, se x ∈ R e´ tal que, 0 < |x− a| < δ =⇒ |f(x)−L| = |k− k| = 0 < ε.
Forma 2: Por meio de argumentos gra´ficos.
O gra´fico de uma func¸a˜o f : R −→ R, tal que f(x) = k e´ uma reta paralela ao eixo x passando pelo
ponto L = (0, k), como ilustra a figura a seguir
VER LIMITE-FC¸-CONSTANTE NO GEOGEBRA
Exerc´ıcio 2 Seja k uma constante real e f uma func¸a˜o tal que lim
x→a
f(x) = L. Mostre que lim
x→a
kf(x) = kL.
(Leitura: Constante k vai para fora do limite, ou seja, lim
x→a
kf(x) = k lim
x→a
f(x) )
Soluc¸a˜o:
Considere a func¸a˜o g, tal que Dom(g) = Dom(f), com g(x) = k, para todo x ∈ Dom(g). Neste caso,
podemos fazer uma releitura de kf(x), ou seja, kf(x) = g(x)f(x).
Note, tambe´m, que lim
x→a
g(x)
g(x)=k
=== lim
x→a
k
ver exerc. anterior
======== k.
Portanto, lim
x→a
g(x) = k. (Isso significa que ∃ lim
x→a
g(x), e, enta˜o podemos aplicar as propriedades ope-
rato´rias do limite).
Temos que,
lim
x→a
k f(x)
g(x)=k
=== lim
x→a
g(x) f(x)
item (b) do teorema anterior
============ lim
x→a
g(x) lim
x→a
f(x) = kL.
2
Exerc´ıcio 3 Seja n um nu´mero natural na˜o nulo e f uma func¸a˜o tal que lim
x→a
f(x) = L. Mostre que
lim
x→a
[f(x)]n = Ln.
(Leitura: lim
x→a
[f(x)]n =
[
lim
x→a
f(x)
]n
= Ln)
Soluc¸a˜o:
Temos que [f(x)]n = f(x) f(x) . . . f(x)︸ ︷︷ ︸
f(x) vezes f(x), n vezes
.
Assim,
lim
x→a
[f(x)]n = lim
x→a
[f(x) f(x) . . . f(x)︸ ︷︷ ︸
f(x) vezes f(x), n vezes
]
item (b) do teorema anterior
============
[
lim
x→a
f(x)
] [
lim
x→a
f(x)
]
. . .
[
lim
x→a
f(x)
]
︸ ︷︷ ︸
lim f(x) vezes lim f(x), n vezes
=
= LL . . . L︸ ︷︷ ︸
L vezes L, n vezes
= Ln.
Exerc´ıcio 4 Seja p(x) um polinoˆmio de grau n. Mostre que lim
x→x0
p(x) = p(x0).
(Leitura: Para calcular lim
x→x0
p(x) basta substituir x por x0 no polinoˆmio e finalizar a conta)
Soluc¸a˜o:
Sendo p(x) um pilonoˆmio de grau n, enta˜o p(x) e´ da forma p(x) = a0 + a1 x + a2 x
2 + . . . + an x
n, em
que a0, a1, a2, . . . , an sa˜o constantes, que neste caso, recebem o nome de coeficientes do polinoˆmio p(x).
E mais, para que o grau do polinoˆmio seja n, o termo dominante, an, tem que ser na˜o nulo, isto e´, an 6= 0.
Neste caso an recebe o nome de termo dominante, pois e´ o coeficiente que acompanha o x elevado ao maior
expoente. Por exemplo, no caso do polinoˆmio p(x) = 2x7− 3x5 + x− 1 o termo dominante e´ o coeficiente
que acompanha x7, ou seja, o termo dominante e´ o nu´mero 2.
Enta˜o,
lim
x→x0
p(x) = lim
x→x0
[a0 + a1 x+ a2 x
2 + . . . + an x
n] = lim
x→x0
[a0.1 + a1 x+ a2 x
2 + . . . + an x
n]
item (a) do teorema
=========
=
[
lim
x→x0
a0.1
]
+
[
lim
x→x0
a1 x
]
+
[
lim
x→x0
a2 x
2
]
+ . . . +
[
lim
x→x0
an x
n
]
exerc. 2: constante vai para fora do limite
==================
= a0
[
lim
x→x0
1
]
+ a1
[
lim
x→x0
x
]
+ a2
[
lim
x→x0
x2
]
+ . . . + an
[
lim
x→x0
xn
]
exerc. anterior
=======
= a0
[
lim
x→x0
1
]
+ a1
[
lim
x→x0
x
]
+ a2
[
lim
x→x0
x
]2
+ . . . + an
[
lim
x→x0
x
]n
ver janela de explicac¸o˜es
===========
= a0 [1] + a1 [x0] + a2 [x0]
2 + . . . + an [x0]
n = a0 + a1 x0 + a2 (x0)
2 + . . . + an (x0)
n = p(x0)
3
JANELA DE EXPLICAC¸O˜ES
No caso de lim
x→x0
1, temos que lim
x→x0
1
exerc. 1: limite de const. = pro´pria const.
================== 1.
Logo, lim
x→x0
1 = 1.
Com relac¸a˜o ao limite lim
x→x0
x, basta utilizar um exerc´ıcio discutido anteriormente,
no qual fica determinado que lim
x→x0
a x+ b = a x0 + b. Tomando a = 1 e b = 0, teremos
lim
x→x0
1x+ 0 = 1x0 + 0, ou seja, lim
x→x0
x = x0.
Portanto, lim
x→x0
x = x0.
Pergunta interessante: De acordo com a definic¸a˜o de limite, temos que, lim
x→a
f(x) = L, se dado qualquer
ε > 0, existe δ > 0, tal que, 0 < |x− a| < δ =⇒ |f(x)− L| < ε. Desta forma, pode-se ter a impressa˜o que
o valor do limite L podera´ depender dos valores tomados para ε (e do correspondente valor de δ), ou seja,
se uma pessoa escolhe um valor ε0, ira´ encontrar um correspondente δ0, que conduzira´ a` conclusa˜o de que
lim
x→a
f(x) = L0. Se uma outra pessoa escolhe um um valor ε1, ira´ encontrar um correspondente δ1, que
conduzira´ a` conclusa˜o de que lim
x→a
f(x) = L1. Enta˜o, cada um encontrara´ um valor do Limite?! Ou seja, o
Limite na˜o e´ u´nico?!
Resposta: O Limite e´ U´NICO sim. O que garante isso e´ o teorema a seguir, que fala exatamente sobre
a unicidade do limite.
Teorema: (Unicidade do Limite)
Seja f uma func¸a˜o bem definida em qualquer intervalo aberto I, contendo o ponto a, exceto, possivelmente,
no ponto a. Se lim
x→a
f(x) = L0 e lim
x→a
f(x) = L1. Enta˜o, L0 = L1.
Em poucas palavras: Qualquer um que calcular o Limite da forma correta encontrara´ um u´nico valor para
o Limite, isto e´, na˜o existem dois, ou mais, valores distintos para o Limite.
Em textos dida´tidos de boa qualidade encontra-se a demonstrac¸a˜o deste resultado. Procure um texto
de boa qualidade e deˆ uma olhada na demonstrac¸a˜o. Caso voceˆ tenha algum tipo de du´vida ou dificuldade,
procure o professor para sanar sua du´vida. Ok?
Bons Estudos!
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