Exerc Interessante Limites 1

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Dois exerc´ıcios interessantes sobre Limite
Exerc´ıcio 1 Calcule lim
x→1
3
√
x− 1√
x− 1
Soluc¸a˜o:
Considerac¸o˜es preliminares
O Primeiro passo e´ verificar se pode-se utilizar que ‘Limite do quociente = Quociente dos Limites’.
Para tanto deve-se verificar o que ocorre com os limites lim
x→1
3
√
x− 1 e lim
x→1
3
√
x− 1.
Temos que,
• lim
x→1
3
√
x− 1 = 3
√
lim
x→1
x− 1 = 3
√
1− 1 = 1− 1 = 0
• lim
x→1
√
x− 1 =
√
lim
x→1
x− 1 =
√
1− 1 = 1− 1 = 0
Enta˜o, a ideia de aplicar ‘Limite do quociente = Quociente dos Limites’ na˜o e´ boa.
Como o limite envolve raiz quadrada e raiz cu´bica, na˜o parece ser bom ‘desenvolver uma fo´rmula
para eleva ao quadrado e eleva ao cubo’.
O que fazer enta˜o?
Fac¸amos uma substituic¸a˜o, ou seja, fac¸amos x = x(u) = u6, ou equivalentemente, u = u(x) = 6
√
x.
A palavra substituic¸a˜o faz menc¸a˜o a` trocar (substituir) a varia´vel x pela varia´vel u, por assim dizer.
Pq u elevado a` sexta? Pq 6? Pq 3
√
x
x=u6
===
3
√
u6 = u6/3 = u2 e√
x
x=u6
===
√
u6 = u6/2 = u3. Ou seja, temos que elevar u a` um nu´mero que seja divis´ıvel por 2 e por 3.
Aplicando a substituic¸a˜o , obtemos
lim
x→1
3
√
x− 1√
x− 1
x=u6
=== lim
x→1
u2 − 1
u3 − 1?????!!! ALGO NA˜O ESTA´ BOM AQUI
Com a substituic¸a˜o de x para u, a func¸a˜o f(x) =
3
√
x− 1√
x− 1 que e´ func¸a˜o da varia´vel x,
passou a ser g(u) =
u2 − 1
u3 − 1, func¸a˜o da varia´vel u. Enta˜o na˜o podemos mais aplicar o Limite quando
x tende a` 1, temos que aplicar Limite quando u tende a` alguma coisa.
Quem e´ esta alguma coisa para o qual o u tende?
Para determinar para onde u tende, basta lembrar que u = u(x) = 6
√
x, ou seja,
u e´ func¸a˜o da varia´vel x.
Logo, lim
x→1
u(x) = lim
x→1
6
√
x = 6
√
lim
x→1
x =
6
√
1 = 1⇒ u→ 1, quando x→ 1
Enta˜o, a menira correta de reescrever o limite e´: lim
x→1
3
√
x− 1√
x− 1
x=u6
=== lim
u→1
u2 − 1
u3 − 1
1
Temos que,
lim
x→1
3
√
x− 1√
x− 1
x=u6
=== lim
u→1
u2 − 1
u3 − 1
u3−1=(u−1)(u2+u+1) e u2−1=(u−1)(u+1)
=================== lim
u→1
(u− 1)(u + 1)
(u− 1)(u2 + u + 1)
cancelar u−1
======
lim
u→1
u + 1
u2 + u + 1
fazer u=1 e finalizar as contas
=============
1 + 1
1 + 1 + 1
=
2
3
Portanto, lim
x→1
3
√
x− 1√
x− 1 =
2
3
Exerc´ıcio 2 Calcule lim
x→1
3
√
x2 − 2 3√x + 1
(x− 1)2
Soluc¸a˜o:
Considerac¸o˜es preliminares
Como no exerc´ıcio anterior, na˜o vai dar certo usar que ‘Limite do quociente = Quociente dos Limites’.
Enta˜o precisamos de uma outra estrate´gia. Vamos reler a expressa˜o
3
√
x2 − 2 3√x + 1 em outro formato.
Temos que,
3
√
x2 − 2 3√x + 1 = ( 3√x)2 − 2( 3√x) + 1 fazer u= 3
√
x
===== u2 − 2u + 1 = (u− 1)2
Fazer u = 3
√
x, parece ser o melhor caminho. Mas e´ a expressa˜o (x− 1)2 ?!
Fazendo u = 3
√
x⇒ x = u3 ⇒ (x− 1)2 = (u3 − 1)2. UHHHUUUU!!!
Neste caso temos que pensar para onde o u tende, quando x tende a` 1.
Temos que,
lim
x→1
u(x) = lim
x→1
3
√
x = 3
√
lim
x→1
x =
3
√
1 = 1.
Portanto, u→ 1, quando x→ 1.
Temos que,
lim
x→1
3
√
x2 − 2 3√x + 1
(x− 1)2
fazer releitura
======= lim
x→1
( 3
√
x)2 − 2( 3√x) + 1
(x− 1)2
fazer u= 3
√
x
===== lim
u→1
u2 − 2u + 1
(u3 − 1)2
u2−2u+1=(u−1)2
=========
2
= lim
u→1
(u− 1)2
(u3 − 1)2 = limu→1
[
(u− 1)
(u3 − 1)
]2
jogar limite p/ dentro
==========
[
lim
u→1
u− 1
u3 − 1
]2
u3−1=(u−1)(u2+u+1)
==========
=
[
lim
u→1
u− 1
(u− 1)(u2 + u + 1)
]2
cancelar u−1
======
[
lim
u→1
1
u2 + u + 1
]2
fazer u=1 e finalizar as contas
=============
[
1
3
]2
=
1
9
Portanto, lim
x→1
3
√
x2 − 2 3√x + 1
(x− 1)2 =
1
9
Bons Estudos!
3