Apostila de MecFlu - Marcelo Neves

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Mecânica dos Fluidos
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
Marcelo de Almeida Santos Neves 
 
 
Comentários introdutórios 
 
A mecânica dos fluidos é um dos ramos mais antigos da física, e sua importância 
fundamental é destacável em áreas de ciências aplicadas (astrofísica, biologia, biomedicina, 
meteorologia, etc.) assim como em praticamente todas as áreas da engenharia. Trata, em 
linhas gerais, do estudo do equilíbrio e movimento de fluidos. A partir do século passado, 
com os grandes desenvolvimentos científicos então atingidos, desenvolveu-se 
enormemente, alavancando-se tanto em resultados teóricos como experimentais. Contribuiu 
como conhecimento central para o avanço da hidráulica na engenharia civil, bem como para 
a engenharia naval, onde os trabalhos de William Froude a partir de 1852 são notáveis. 
 
Se hoje a mecânica dos fluidos moderna avança para ultrapassar fronteiras inimagináveis há 
tempos atrás, suas aplicações práticas continuam permeando um sem número de situações 
cotidianas de nossas vidas e de nosso mundo. De fato, aí pode-se mencionar o vôo dos 
pássaros no ar e o movimento dos peixes na água como exemplos de fenômenos 
governados pela dinâmica dos fluidos. Ou ainda, nos esportes, no aprimoramento da 
natação esportiva, ou no futebol, por exemplo, na introdução de uma circulação do 
escoamento na bola de forma a chutar em curva. O vôo dos aviões e o comportamento de 
navios e sistemas flutuantes são outros exemplos, os dois últimos de interesse direto na 
engenharia naval. 
 
Os fluidos e o contínuo 
 
Para iniciar de forma lógica a discussão sobre as propriedades dos fluidos, deve-se 
diferenciar um sólido de um fluido. A matéria existe em três estados, sólido, líquido e 
gases. As duas últimas características definem o estado fluido. Sabe-se da Resistência dos 
Materiais que quando uma força é aplicada a um sólido, o corpo deforma-se, e que se a 
força por unidade de área (tensão) é pequena (dentro do limite de proporcionalidade), a 
deformação desaparece depois que a força deixa de atuar. Se a força for grande, o sólido 
pode adquirir uma deformação permanente ou quebrar. No entanto, se uma tensão de 
cisalhamento (componente tangencial à superfície) é aplicada a um fluido, este se 
deformará continuamente, independente da intensidade da força aplicada. Em outras 
palavras, o fluido tem a tendência a fluir, ao invés de manter-se como um bloco rígido. Essa 
tendência pode ser explicada pelas propriedades moleculares de sólidos e fluidos. Nos 
sólidos, grandes forças de atração intermolecular caracterizam a propriedade da rigidez. 
Essas forças são fracas nos líquidos e extremamente pequenas nos gases. Essas 
características fazem com que moléculas nos líquidos movam-se livremente no interior da 
massa líquida, mantendo proximidade entre sí; nos gases essas moléculas têm tanta 
liberdade que ocupam o espaço a eles definido. A Fig. 1 ilustra essas diferentes ações de 
tensões cisalhantes em sólidos e líquidos. 
 
 
Fig. 1 Efeitos de tensões cisalhantes em sólidos e fluidos. 
 
O estudo do comportamento de fluidos pode ser dividido em três categorias: estática, 
cinemática e dinâmica. No primeiro caso, todos os elementos do fluido estão em repouso, e 
portanto não estão atuados por tensão cisalhante. As distribuições de pressão estática no 
fluido (e sobre corpos imersos no fluido) podem ser determinados com base em uma análise 
estática. A cinemática dos fluidos trata da descrição da translação, rotação e deformação de 
uma partícula fluida. A análise dinâmica envolve o conhecimento das forças agindo nas 
partículas em movimento, umas em relação às outras. Como existe esse movimento relativo 
de uma partícula em relação à outra, esforços cisalhantes são importantes nessa análise. 
 
Fundamentalmente, a descrição do movimento de um fluido envolve o estudo do 
desempenho de todas as moléculas discretas que compõem o fluido. Felizmente, em 
líquidos a análise do movimento não requer a introdução de teoria molecular, uma vez que 
as forças coesivas intramoleculares compelem o fluido a comportar-se como massa 
contínua. Em gases, no entanto, os movimentos moleculares são amplos. Para evitar-se a 
difícil e complicada consideração da análise molecular, sempre que a quantidade de 
moléculas é grande no gás, efeitos médios (por exemplo, densidade, pressão, temperatura) 
são assumidos como representativos do conjunto das moléculas. Tal modelo simplificador é 
chamado contínuo. 
 
Dois fatores são importantes na determinação da validade do modelo do contínuo: a 
distância entre moléculas, e o intervalo de tempo entre colisões das moléculas livres para 
mover-se. Não sendo o interesse neste curso a análise de gases rarefeitos, estaremos sempre 
considerando que a aplicação do modelo do contínuo estará sempre representando uma 
aproximação aceitável para a análise do movimento de fluidos. 
 
Ao se considerar vários tipos de fluidos sob condições estáticas, vê-se que alguns deles 
sofrem pequena variação de densidade, apesar da existência de altas pressões. Estes fluidos 
estão invariavelmente no estado líquido. Em tais circunstâncias, o fluido é chamado de 
incompressível e nas análises considera-se sua densidade constante. O estudo dos fluidos 
incompressíveis sob condições estáticas é chamado de hidrostática. Quando não se pode 
considerar a densidade constante nas condições de estática, como em um gás, o fluido é 
chamado de compressível. Algumas vezes usa-se a denominação aerostática para identificar 
tal classe de problemas. Essa classificação de compressibilidade é restrita à estática. Na 
realidade, na dinâmica dos fluidos a compressibilidade ou não de um fluido envolve 
maiores considerações do que apenas a natureza do fluido. Ela depende principalmente de 
determinado parâmetro do escoamento (o número de Mach). 
 
Propriedades fluidas 
 
Algumas características de um fluido ocupando o contínuo são independentes do 
movimento do fluido. Essas propriedades do fluido são conceituadas a partir da definição 
de um conjunto de dimensões básicas: massa (kg) – ou força (N), comprimento (m) e tempo 
(seg). Alguns fenômenos dependerão da incorporação da temperatura como dimensão 
básica para serem estudados. Densidade, viscosidade, tensão superficial são exemplos de 
propriedades fluidas relevantes. 
 
A pressão em um ponto do fluido define-se como força por unidade de área. 
Matematicamente, pode-se escrever: 
 
A
F
p
A D
D=
®D
lim
0
 
 
onde FÄ é a força normal exercida no ponto (sobre uma área infinitesimal AÄ ) pelas 
partículas que ocupam instantaneamente a vizinhança do ponto. Sobre essa área 
infinitesimal o meio é tratado como um contínuo. A pressão tem a mesma intensidade em 
todas as direções. 
 
A massa específica representa a massa de um fluido contida em um volume unitário. A 
suposição do contínuo é válida em se tratando do comportamento de fluidos sob condições 
normais. Entretanto, ela deixa de ser válida sempre que a distância média entre as colisões 
das moléculas (aproximadamente 6103.6 -x polegadas para o ar nas condições normais de 
temperatura e pressão-CNTP) tornar-se da mesma ordem de grandeza que a menor 
dimensão relevante característica do problema. Em problemas tais como os de escoamento 
de gás rarefeito (por exemplo, como os encontrados nos vôos nas camadas superiores da 
atmosfera), a hipótese do contínuo deve ceder lugar a pontos de vista microscópico e 
estatístico. 
 
Como conseqüência da hipótese do contínuo, admite-se que cada propriedade do fluido 
apresente um valor definido em cada ponto no espaço. Assim, propriedades dos fluidos, 
como massa específica, temperatura, velocidade, e assim por diante, são consideradas como 
funções contínuas de posição e tempo. 
 
Ilustrador do conceito de contínuo é a maneira segundo a qual é determinada a massa 
específicaem um ponto. Matematicamente, a densidade em um ponto é dada como: 
 
"
=
"®" d
d
r
dd
lim
m 
 
e peso específico define-se como gñã = , onde g é a aceleração da gravidade. Para uma 
dada região do fluido, seja um ponto de coordenadas ooo zyx ,, , ressaltado na Fig. 2(a). A 
massa específica é definida como massa por unidade volume. Assim, a massa específica 
média no volume " seria dada por 
"
=
m
r . Evidentemente, isso não será, em geral, igual ao 
valor da massa específica no ponto C da Fig. 2(a). Para que a massa específica em C seja 
determinada, é preciso selecionar um pequeno volume, "d , o menor possível, ao redor do 
ponto C, e determinar o quociente da massa, md , contida no volume, em relação a esse 
volume para diferentes valores de volume. Supondo de início um volume "d relativamente 
grande (mas pequeno em relação ao volume " ), um gráfico típico do quociente "d
dm 
contra "d assemelha-se ao indicado na Fig. 2(b); chega-se a um valor assintótico ao 
reduzir-se "d a um volume contendo fluido homogêneo na vizinhança imediata do ponto 
C. Quando "d se torna tão pequeno de modo a encerrar apenas um reduzido número de 
moléculas, torna-se impossível fixar um valor definido para o quociente "d
dm ; o valor 
passa a oscilar de maneira errática à proporção que as moléculas entram e saem no volume. 
Portanto, há um valor inferior limite para "d , designado '"d na Fig. 2(b). Isso justifica a 
definição matemática dada acima para massa específica definida no limite quando "d 
tende para '"d . Generalizando para qualquer ponto do fluido, obtém-se uma expressão para 
a distribuição da massa específica, definida em coordenadas cartesianas como 
),,,( tzyxrr = , que corresponde a um campo escalar. 
 
 
Fig. 2 Massa específica para volume variável 
 
A viscosidade de um fluido é o resultado de forças intermoleculares que ocorrem quando 
camadas de fluido tendem a escorregar umas sobre as outras. Assim, os esforços cisalhantes 
ocorrendo entre camadas de um fluido sem turbulência movendo-se em movimento 
retilíneo, podem ser definidos como: 
 
y
u
ô yx ¶
¶
µ 
 
onde yxô é a tensão cisalhante na superfície concebida por comprimentos infinitesimais 
segundo as direções em x e z (com vetor normal n
r
 apontando na direção y) e onde u é a 
velocidade na direção x. Ou seja, a tensão cisalhante entre camadas fluidas é proporcional à 
mudança de velocidade por comprimento. O efeito da viscosidade no movimento fluido 
está ilustrado na Fig. 3, onde representa-se variação da velocidade no fluido para um 
escoamento próximo a uma parede sólida. Experimentos comprovam que a velocidade é 
nula no ponto de contato fluido-parede, mas aumenta consideravelmente para pontos mais 
distantes da parede. Ainda fruto de evidências experimentais, a relação entre a tensão 
cisalhante e o gradiente transversal de velocidade é dado como: 
 
y
u
ìô yx ¶
¶
= 
 
sendo que a constante de proporcionalidade entre a tensão e o gradiente de velocidade é 
denominada coeficiente de viscosidade, ou viscosidade dinâmica. A relação acima é 
referida como Lei de Newton da Viscosidade. A razão entre o coeficiente de viscosidade e 
a densidade é chamada a viscosidade cinemática. 
 
 
Fig 3. Lei de Newton da viscosidade 
 
Mais adiante será definida uma lei mais geral que a de Newton. Esta, a lei de Stokes da 
viscosidade, será vista mais adiante no contexto do estudo do estado de tensões em um 
ponto do escoamento arbitrário. 
 
Campos. Descrições Lagrangeana e Euleriana 
 
Para obter-se a descrição completa da movimentação de um fluido, deve-se determinar a 
posição (coordenadas espaciais x, y, z) de cada partícula do fluido em cada instante. A 
velocidade de uma partícula pode então ser encontrada pela variação de posição à medida 
que o tempo evolui. Se as velocidades em diferentes pontos são independentes do tempo, o 
escoamento é permanente. Escoamentos com campos de velocidade dependentes do tempo 
são denominados não-permanentes. Independentemente de o escoamento ser permanente ou 
não, pode-se representar a movimentação de partículas fluidas por dois métodos, os 
métodos de Lagrange e de Euler. No primeiro método descreve-se o movimento de cada 
partícula inequivocamente identificada das outras todas, à medida que o tempo evolui. No 
segundo, descreve-se o movimento do fluido pela descrição da cinemática em cada ponto 
do campo, à medida que o tempo evolui. Na maioria dos problemas de engenharia não há a 
necessidade de conhecer-se o desenvolvimento no tempo de cada partícula, e o método de 
Euler é usualmente empregado nas análises de escoamentos. Logo adiante será mais 
detalhada a distinção entre os métodos de Lagrange e Euler. 
 
Independentemente do método empregado para descrever a movimentação fluida, há que 
notar-se que a descrição de regimes não permanentes pode freqüentemente ser simplificada 
por meio de adequadas transformações de variáveis. Seja um torpedo movendo-se com 
velocidade 0V
v
 relativa ao sistema inercial xy em águas paradas. A velocidade do fluido no 
ponto do campo 00, yx será zero inicialmente, mas depois a velocidade irá passar por 
diversos valores, pois estará afetada pela passagem do torpedo. Mas, tomando-se uma 
referência fixa no corpo, a velocidade em 00,hx será constante. A Fig 4 abaixo ilustra a 
diferença resultante da mudança de sistema de referência. De fato, essa simplificação pode 
ser feita sempre que se tem um corpo que se move com velocidade constante através de 
fluido inicialmente não perturbado. 
 
 
 
Fig. 4 Torpedo em velocidade constante. Dois pontos de vista. 
 
Método Lagrangeano 
 
Na representação Lagrangeana, sistemas de coordenadas retangulares são normalmente 
empregados. Uma certa partícula é individualizada especificando-se para ela uma certa 
posição inicial 0r
v
 em um dado instante 0tt = . Em um tempo posterior tt = , a mesma 
partícula está na posição r
v
. Então, a posição da partícula estará completamente 
especificada se o vetor posição r
v
ou suas componentes zyx ,, forem dadas em função do 
tempo t e da posição inicial 0r
v
, isto é, vetorialmente, ),( 0 trFr
vv = , onde kzjyixr
)))v ++= e 
kzjyixr
)))v
0000 ++= , ou, de outra forma: 
 
),,,(
),,,(
),,,(
0003
0002
0001
tzyxFz
tzyxFy
tzyxFx
=
=
=
 
 
As coordenadas iniciais 0r
v
 de uma partícula são denominadas coordenadas materiais de 
uma partícula, e servem convenientemente ao propósito de identificar a partícula. A 
velocidade de uma partícula identificada por 0r
v
 é obtida, simplesmente, por meio da 
derivada do vetor posição. Para a componente em x, 
0r
dt
dx
u
v
÷
ø
ö
ç
è
æ= e o campo de velocidade 
fica dado por: 
000
,,
rrr t
z
w
t
y
v
t
x
u
vvv
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
=÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
=÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
= 
e a aceleração por 
000
2
2
2
2
2
2
,,
r
z
r
y
r
x t
z
a
t
y
a
t
x
a
vvv
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
= 
 
Nesse método (de aplicação usual na mecânica de corpos rígidos) a trajetória de cada 
partícula é conhecida. No caso de fluidos, não há facilidade para proceder-se ao 
acompanhamento de um conjunto de partículas regido por forças de atração molecular. 
Assim, na prática a aplicação desse método é difícil, e limitado a escoamentos bem simples. 
 
Método Euleriano 
 
Nesse método as partículas individuais do fluido não são identificadas. Ao invés, uma 
posição fixa no espaço é escolhida, e as velocidades das partículas nessa posição são 
traçadas. Matematicamente, a velocidade das partículas em qualquer ponto do espaço é 
dada como: 
 
),( trFV
vv = 
 
onde:kwjviuV
)))v
++= 
 
ou ainda: 
 
)t,z,y,x(fw
)t,z,y,x(fv
)t,z,y,x(fu
3
2
1
=
=
=
 
 
A determinação da aceleração não é trivial, requerendo a consideração de que se, 
localmente, avalia-se a variação da velocidade com o tempo, há ainda que levar-se em 
conta que a velocidade da partícula varia de ponto para ponto. Assim, sendo: 
 
t
V
z
V
w
y
V
v
x
V
u
t
V
dt
dz
z
V
dt
dy
y
V
dt
dx
x
V
dt
Vd
a
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
==
vvvvvvvvv
v
 
 
É usual a notação: 
 
Dt
VD
a
v
v = 
 
onde o operador: 
 
).(
t
V
Dt
D
¶
¶
+Ñ=
v
 
 
é denominado derivada substantiva (ou material). 
 
Relação entre os Métodos Lagrangeano e Euleriano 
 
As expressões para as componentes de velocidade dadas em cada um dos métodos podem 
agora ser igualadas: 
 
),,,(
),,,(
),,,(
tzyxw
dt
dz
tzyxv
dt
dy
tzyxu
dt
dx
=
=
=
 
 
Essas equações, quando integradas, serão resolvidas a menos de três constantes, as quais 
serão obtidas a partir da consideração de condições iniciais 000 ,, zyx da partícula fluida. E 
assim, as soluções dessas equações fornecerão as equações na forma Lagrangeana: 
 
),,,(
),,,(
),,,(
0003
0002
0001
tzyxFz
tzyxFy
tzyxFx
=
=
=
 
 
Na maioria dos problemas da prática a resolução desse sistema simultâneo de equações 
diferenciais pode ser muito difícil. 
 
Na descrição do escoamento, trajetórias de partículas fluidas estão diretamente associadas à 
maneira Lagrangeana de descrever o escoamento. São obtidas pela eliminação do tempo na 
especificação do vetor posição, ou seja, fazendo-se: 
 
ktzjtyitxtr
)))v )()()()( ++= 
 
Por outro lado, no método Euleriano, as trajetórias não são reconhecidas como as 
características cinemáticas adequadas. As linhas de corrente, definidas como linhas 
imaginárias formadas pelas tangentes às velocidades em cada ponto do campo retratam a 
visão Euleriana da movimentação fluida. 
 
 
Descrição do Escoamento 
 
Adotando-se o método Euleriano, seja ),,,( tzyxV
v
 o vetor velocidade da partícula fluida no 
ponto de coordenadas ),,( zyxxx
vv = definidas em um sistema retangular de referência, no 
instante t. 
 
Seja um escoamento em contato com uma superfície sólida. A interação corpo-fluido gera 
forças em cada área dA definida sobre a superfície desse corpo. No limite, para área dA tão 
pequena quanto desejado, a força por unidade de área atuando em cada ponto terá uma 
direção genérica, a qual poderá ser decomposta em três componentes, uma alinhada com o 
vetor normal ao corpo, e outras duas componentes ortogonais a essa, e ortogonais entre sí. 
A Fig. 5 ilustra essas três componentes atuando em um dado ponto da superfície do corpo. 
 
 
 
Fig. 5 Tensão normal nns e tensões cisalhantes 1sst e 2sst , as quais estão contidas em plano 
tangente ao corpo no ponto. 
 
A cinemática do escoamento é determinada pelas forças de superfície e de corpo atuando 
em cada ponto do campo. Em cada ponto, cada componente da tensão superficial deve ser 
definida não apenas pela direção em que age, mas também pela orientação da superfície 
sobre a qual está atuando. Assim como no caso de um corpo sólido, dado um ponto do 
escoamento, conhecidas as tensões em três planos ortogonais entre sí, as tensões em 
qualquer outro plano poderão ser determinadas; dessa maneira, um total de 3x3=9 
componentes da tensão devem ser definidos em cada ponto. Para estudar-se as tensões 
definidas em superfícies não alinhadas com os planos coordenados, seja a Fig. 6, onde o 
tetraedro representado é assumido como sendo suficientemente pequeno, tal que as tensões 
são tomadas como constantes sobre as superfícies. A nomenclatura empregada é tal que o 
segundo subscrito representa a direção da tensão, e o primeiro subscrito representa o plano 
normal. Por exemplo, a tensão yxt atua na direção x sobre uma superfície de y=constante. 
 
 
Fig. 6 Tetraedro indicando o conjunto de tensões atuando nas quatro faces. 
 
Adicionalmente, decorre dessa consideração que o volume será de ordem inferior que a 
superfície. As forças de corpo são proporcionais a um cubo de lado infinitesimal, e portanto 
são de ordem inferior às de superfície, e portanto as forças de superfície serão 
predominantes frente às forças de corpo (inércia e peso). Assim, no limite, as forças de 
superfície atuantes nas quatro faces do tetraedro devem cancelar-se. De acordo com a 
nomenclatura da Fig. 6, sejam, em cada uma das faces ortogonais entre si, as forças de 
interação por unidade de área:: 
 
kjiP xzxyxxx ˆˆˆ tts ++=
r
 
kjiP yzyyyxy ˆˆˆ tst ++=
r
 
kjiP zzzyzxz ˆˆˆ stt ++=
r
 
 
as quais, pelo raciocínio acima exposto, definem as ações em qualquer outra face oblíqua. 
Decorre então que para uma superfície genérica as forças superficiais, consideradas as 
respectivas áreas infinitesimais em que atuam, podem ser convenientemente expressas 
como: 
 
òò ++=
S
zyxS dSdS
dxdy
P
dS
dxdz
P
dS
dydz
PF )(
rrrr
 
 
Definindo ),,( zyx nnnn =
v
como sendo o vetor normal (unitário) à face oblíqua do tetraedro, 
cada uma de suas três componentes é igual à razão entre a área correspondente e a área da 
face oblíqua. A expressão anterior pode então ser remodelada tal que: 
 
òò ++=
S
zzyyxxS dSnPnPnPF )(
rrrr
 
 
e em seguida decomposta segundo os unitários dos eixos coordenados: 
 
òò ++++++++=
S
zzzyyzxxzzzyyyyxxyzzxyyxxxxS dSknnnjnnninnnF ˆ)(ˆ)(ˆ)( stttsttts
r
 
 
Em notação conveniente: 
 
òò ++=
S
321S dS]kˆ)n.ô(jˆ)n.ô(iˆ)n.ô[(F
rrrrrrr
 
 
Argumentos similares podem ser empregados para demonstrar que, assim como para corpos 
rígidos, o tensor de tensões para fluidos é simétrico, ou seja, yxxy tt = , zxxz tt = , 
yzzy tt = . 
 
Para permitir a introdução de notação indicial, será feita a identidade de subscritos de forma 
que empregue-se, quando conveniente, indistintamente subscritos (1,2,3) em lugar de 
(x,y,z), seja para as tensões como para a normal ou velocidades. Assim, o tensor de tensões 
será definido com suas nove componentes: 
 
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
=
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ij
stt
tst
tts
ttt
ttt
ttt
t
333231
232221
131211
 
 
e como o tensor é simétrico, jiij tt = . Note-se que, sendo o tensor simétrico, as grandezas 
desconhecidas requeridas para a caracterização do estado de tensões em dado ponto são 
efetivamente seis. 
 
Conservação da Massa e da Quantidade de Movimento 
 
As leis de conservação da física podem ser aplicadas ao movimento de um fluido desde que 
se retenha controle sobre um grupo específico de partículas, ou seja, um volume material de 
fluido seja examinado, contendo o mesmo grupo de partículas (sistema). Seja então um tal 
volume de fluido )(tÑ sujeito a essas restrições. Sendo r a densidade, a massa total de 
fluido nesse volume é expresso pela integral tripla òòò
Ñ
Ñdr e a conservação da massa 
requer que essa massa permaneça a mesma, ou seja: 
 
0=Ñòòò
Ñ
d
dt
d
r 
 
A quantidade de movimento de uma partícula fluida é representada pelo vetor V
v
r . A 
conservação da quantidade de movimento decorre da 2ª lei de Newton e requer que o 
somatório de todas as forças atuando no volume fluido seja igual à taxa de variação no 
tempo (em relação a um sistema inercial) da quantidade de movimento. Ou, com notação 
indicial simples: 
 
òòòòòòòò
ÑÑ
Ñ+=Ñ dFdSndV
dt
d
S
i
rrrr
.tr 
 
Nessa igualdade, os termos do lado direito descrevem as forças de superfície (integral de 
área) e as de corpo, que representam efeitos gravitacionaisatuando nas partículas que 
compõem o volume considerado. A superfície S define o volume considerado. É possível 
reescrever essa equação tão somente em termos de integrais de volume, fazendo-se uso do 
teorema da divergência. Para um vetor Q
v
 contínuo e diferenciável no volume: 
 
òòòòò
Ñ
ÑÑ= dQdSnQ
S
vvv .. 
 
Empregando-se essa igualdade na equação de balanço de quantidade de movimento, obtém-
se: 
 
òòòòòò
ÑÑ
Ñ+Ñ=Ñ dFdV
dt
d
i ].[
rrr
tr 
 
Aqui, as leis de conservação de massa e quantidade de movimento estão expressas em 
termos de integrais sobre um volume material arbitrário. Esse volume especificado é em sí 
uma dificuldade operacional, particularmente a obtenção de sua derivada em relação ao 
tempo, como requerido acima, o que é tratado em seguida. Nesse contexto, é importante 
estabelecer relações entre taxas de variação de grandezas definidas em sistemas e volumes 
de controle. 
 
O Teorema do Transporte 
 
Seja uma integral de volume genérica da forma: 
 
òòò
Ñ
Ñ=
)(
),()(
t
dtxftI 
 
onde f é uma função escalar arbitrária diferenciável, a ser integrada sobre um volume 
assinalado )(tÑ , que pode variar com o tempo. Da mesma forma, a superfície envolvente S 
variará com o tempo. Denote-se por nU a componente normal da velocidade dessa 
superfície. A diferença entre valores da integral I(t) em dois tempos consecutivos pode ser 
expressa como sendo dada por: 
 
òòòòòò
ÑD+Ñ
Ñ-ÑD+=-D+=D
)()(
),(),()()(
ttt
dtxfdttxftIttII 
 
Desprezando-se termos de segunda ordem em tD , pode-se assumir para o integrando uma 
expansão do tipo: 
 
t
txf
ttxfttxf
¶
¶
D+=D+
),(
),(),( 
 
Pode-se, analogamente, desenvolver o volume)(tÑ em torno de um valor definido para 
tD =0. Assim, a diferença entre os volumes )( tt D+Ñ e )(tÑ será um volume incremental 
ÑD contido entre superfícies adjacentes )( ttS D+ e S(t), e proporcional a tD . Com esses 
desenvolvimentos, tem-se: 
 
])[()( 2tOfdd
t
f
tfdd
t
f
tfI D+Ñ+Ñ
¶
¶
D=Ñ-Ñ
¶
¶
D+=D òòòòòòòòòòòò
ÑDÑÑÑD+Ñ
 
 
onde o último termo denota a grandeza de segunda ordem, proporcional a 2)( tD : 
 
])[( 2tOd
t
f
t D=Ñ
¶
¶
Dòòò
ÑD
 
 
Fig. 7 Sistema evoluindo no tempo. 
 
A Fig. 7 ilustra a evolução do volume em dois tempos consecutivos. Para avaliar-se a 
integral no volume ÑD , vale notar que esse volume fluido é uma região de espessura 
pequena definida por duas posições de S(t). O fluxo de velocidade através de cada uma das 
posições de S é: 
 
òòòò =
S
n
S
dSVdSnV v
r
. 
 
Dentro do intervalo de tempo tD , as distâncias percorridas são as translações nV
rr
. tD . 
Logo, a contribuição da integral volumétrica no volume incremental ÑD é de ordem tD , e 
deve ser considerada. Adicionalmente, sendo f diferenciável em Ñ , pode ser tomado como 
sendo constante no volume infinitesimal ÑD definido pelas translações nas direções 
normais a S. Considerando-se essas direções, pode-se efetuar a integração desse termo, 
resultando: 
 
òòòòòòò D=D=Ñ
ÑD SS
fdSnVtfdStnVfd
rrrr
.).( 
 
Substituindo-se na expressão original, dividindo-se todos os termos por tD e tomando-se o 
limite para 0®Dt , tem-se o Teorema do Transporte: 
 
òòòòò +Ѷ
¶
=
Ñ S
dSnVfd
t
f
dt
dI
).(
rr
 
 
onde a integral de superfície representa o transporte da quantidade de f para fora de Ñ em 
decorrência do movimento da fronteira S. 
 
Equação da Continuidade 
 
Aplicando-se o Teorema do Transporte ao balanço de massa e em seguida o teorema da 
divergência: 
 
òòòòòòòòòòò
ÑÑÑ
ÑÑ+
¶
¶
==+Ñ
¶
¶
=Ñ dV
t
dSnVd
t
d
dt
d
S
)].([0.
rrr
r
r
r
r
r 
 
O termo da direita representa uma integração em um volume especificado em dado instante 
de tempo, e abrange todo um volume arbitrariamente selecionado, não apenas sub-regiões 
desse volume. Logo, o integrando é nulo, ou seja: 
 
0).( =Ñ+
¶
¶
V
t
r
r
r
 
 
o que estabelece a equação da continuidade como uma equação diferencial parcial. 
 
Considerando as particularidades de um fluido incompressível de densidade constante, tem-
se a forma bastante conhecida da equação da continuidade: 
 
0=+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
z
w
y
v
x
u
 
 
ou na forma vetorial: 0. =ÑV
v
 
 
Equações do Balanço da Quantidade de Movimento 
 
Aplicando-se agora o Teorema do Transporte para o balanço de quantidade de movimento 
apresentado acima: 
 
òòòòòò
ÑÑ
Ñ+Ñ=Ñ dFdV
dt
d
i ].[
rrr
tr 
 
resulta em: 
 
=Ñ
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
òòò
Ñ
d
z
Vw
y
Vv
x
Vu
t
V
]
)()()()(
[
rrrr
rrrr
òòò
Ñ
Ñ+Ñ dFi ].[
r
t 
 
Aqui novamente vale a argumentação de que o volume a ser considerado é arbitrário; 
portanto, a equação acima é válida na forma: 
 
F
z
Vw
y
Vv
x
Vu
t
V
i
rr
rrrr
+Ñ=
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
t
rrrr
.
)()()()(
 
 
Finalmente, se as derivadas de produtos no termo à esquerda do sinal de igual são 
expandidas pela regra da cadeia: 
 
F
z
V
w
y
V
v
x
V
u
t
V
V
t
V i
rr
rrrr
rr
+Ñ=
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+Ñ+
¶
¶
trr
r
.)()].([ 
 
 e aplicando-se a equação da continuidade, obtém-se as equações de Balanço de Quantidade 
de Movimento: 
 
F
Dt
VD
VV
t
V
i
rr
r
rr
r
+Ñ==Ñ+
¶
¶
tr .]).([ 
 
ou ainda, na forma de componentes: 
 
x
zxyxxx F
zyxz
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶ tts
r )( 
y
zyyyxy F
zyxz
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶ tst
r )( 
z
zzyzxz F
zyxz
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶ stt
r )( 
 
Os lados esquerdos dessas equações podem ser interpretados como as componentes da 
aceleração de uma partícula material de fluido, tendo-se em mente que a derivada 
substantiva estabelece a regra: 
 
Ñ+
¶
¶
= .V
tDt
D v
 
 
que expressa a taxa de variação no tempo em um sistema de referência que se move com a 
partícula fluida. 
 
Cinemática da Partícula Fluida. Vorticidade. 
 
Em geral, o movimento de uma partícula fluida pode consistir de uma translação, uma 
rotação e uma taxa de deformação. A Fig. 8 ilustra, para duas dimensões, os movimentos de 
corpo rígido (sem deformação) de um elemento fluido para deslocamentos infinitesimais. A 
Fig. 9 ilustra, ainda para fluxo em duas dimensões, taxas de deformações a que fica sujeito 
o elemento fluido. 
 
 
Fig. 8 Movimentos de translação e rotação no plano 
 
 
Fig. 9 Deformações no plano 
 
V
V1
dV
dr
r+dr
P
0
P1
 
 
Fig. 10 Diagrama de velocidades para elementos fluidos 
 
Seja, na Fig. 10, uma partícula fluida em movimento com velocidade V
r
, instantaneamente 
posicionada no ponto ),,( xyxP e considere-se uma segunda partícula muito próxima, em 
),,( 1111 xyxP . Seja rd
r
a distância elementar entre os dois pontos e 1V
r
 a velocidade da 
segunda partícula. Essa velocidade pode ser expressa como: 
 
dz
x
V
dy
x
V
dx
x
V
kwjviuVdVkwjviuV
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+++=+=++=
rrr
rrr ˆˆˆˆˆˆ
1111 
kdz
z
w
dy
y
w
dx
x
w
wjdz
z
v
dy
y
v
dx
x
v
vidz
z
u
dy
y
u
dx
x
u
u ˆ][ˆ][ˆ][
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
++
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
++
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+=
 
Por conveniência rearranja-se a expressão de 1V
r
 como abaixo: 
 
idy
y
u
x
v
dz
x
w
z
u
dz
x
w
z
u
dy
y
u
x
vdx
x
u
uV ˆ]})()[(
2
1
])(
2
1
)(
2
1
[{1 ¶
¶
-
¶
¶
-
¶
¶
-
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+=
r
 
jdz
z
v
y
w
dx
y
u
x
v
dz
z
v
y
w
dx
y
u
x
v
dy
y
v
v ˆ]})()[(
2
1
])(
2
1
)(
2
1
[{
¶
¶
-
¶
¶
-
¶
¶
-
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
++ 
kdx
x
w
z
u
dy
z
v
y
w
dy
z
v
y
w
dx
x
w
z
u
dz
z
w
w ˆ]})()[(
2
1
])(
2
1
)(
2
1
[{
¶
¶
-
¶
¶
-
¶
¶
-
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
++ 
 
O vetor vorticidade V
r
 é definido como: 
 
k
y
u
x
v
j
x
w
z
u
i
z
v
y
w
VX ˆ)(ˆ)(ˆ)(
¶
¶
-
¶
¶
+
¶
¶
-
¶
¶
+
¶
¶
-
¶
¶
=Ñ=
rr
V 
 
Definindo também: 
 
idz
x
w
z
u
dy
y
u
x
v
dx
x
u
D ˆ])(
2
1
)(
2
1
[
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=
r
 
jdz
z
v
y
w
dy
y
v
dx
y
u
x
v ˆ])(
2
1
)(
2
1
[
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+ 
kdz
z
w
dy
z
v
y
w
dx
x
w
z
u ˆ])(
2
1
)(
2
1
[
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
++
¶
¶
+
¶
¶
+ 
 
resulta: 
 
DrdXVV
rrrrr
++= V
2
1
1 
 
que representa a forma mais geral de movimento de um elemento fluido. 
 
O primeiro termo representa a velocidade de translação, ou seja, movimento linear de todas 
as partes do elemento fluido sem alteração de forma. Nesse movimento todos os gradientes 
de velocidades são zero (isto é, 0... =¶¶==¶¶=¶¶=¶¶ zwzuyuxu ). 
 
O segundo termo representa uma rotação de corpo rígido do elemento fluido. A expressão 
matemática dada acima para definir o vetor vorticidade pode ser derivada a partir do 
conceito de que se busca definir para a cinemática do escoamento uma grandeza associada 
a uma velocidade média de rotação do elemento fluido. Consideradas diferentes retas 
perpendiculares entre sí que sejam definidas na partícula em dado instante, deve-se aceitar a 
hipótese de que em tempos subsequentes essas retas não mais estarão perpendiculares entre 
sí. Tal é a situação ilustrada na Fig. 9(b), onde tensões tangenciais desbalanceadas atuaram 
para deformar o elemento fluido. Diferentemente do caso ilustrado na Fig. 8(b), onde a 
perpendicularidade entre retas permanece. Mas quando se mede a média das velocidades 
angulares de retas anteriormente ortogonais, obtém-se uma grandeza que mensura a 
cinemática como se fora um corpo rígido. Para os movimentos planares definidos nas Figs. 
8(b) e 9(b) a componente vertical da velocidade angular média pode ser definida como: 
 
 )(
2
1
dt
d
dt
d
z
ba
w += 
 
onde a e b são ângulos formados por posições instantâneas das retas consideradas. Para o 
movimento no plano, são positivas as rotações contrárias ao sentido dos ponteiros dos 
relógios. Vale notar que tanto no caso da Fig. 8(b) como no da Fig. 9(b), a média das 
velocidades angulares é a mesma: 
 
 
x
v
dx
vdx
x
v
v
r
v
dt
d
¶
¶
=
-
¶
¶
+
=
D
D
=
a
 
y
u
dy
udy
y
u
u
r
u
dt
d
¶
¶
-=
+
¶
¶
+-
=
D
D
=
)(
b
 
 
Assim, 
 
)(
2
1
y
u
x
v
z ¶
¶
-
¶
¶
=w 
 
Similarmente, no caso mais geral de três dimensões: 
 
)(
2
1
z
v
y
w
x ¶
¶
-
¶
¶
=w 
)(
2
1
x
w
z
u
y ¶
¶
-
¶
¶
=w 
 
Portanto, o vetor vorticidade é definido, por conveniência, como o dobro da velocidade 
angular média do elemento fluido e é obtido pela aplicação do rotacional à velocidade: 
 
VX
rr
Ñ=V 
 
A relação vetorial entre o vetor velocidade e a vorticidade pode ser apreciada na Fig. 11, 
onde representa-se um elemento fluido dotado de uma velocidade instantânea V
r
. Por 
definição, o rotacional desse vetor é um outro vetor normal ao plano definido pelos vetores 
velocidade e normal à superfície no ponto considerado. Assim, pode-se definir 
matematicamente o vetor vorticidade da seguinte forma: 
 
òò"=Ñ= S
dSVXnVX )(
1
lim
rrrr
V 
 
tomando-se o limite para o volume tendendo a zero. Com referência à Fig. 11, observa-se 
que o vetor vorticidade é tangente à superfície elementar dS considerada no ponto, uma vez 
que o produto vetorial é um vetor normal ao plano definido por V
r
 e n
r
. Sendo a normal um 
vetor unitário, a intensidade do vetor vorticidade elementar é dSV qsen . Somando as 
contribuições em toda a superfície, dividindo pelo volume e tomando o limite para 0®" 
chega-se à vorticidade em um ponto do escoamento. 
 
 
Fig. 11 Representação da vorticidade do vetor velocidade 
 
Um tipo particular de movimento fluido será analisado aqui com o intuito de demonstrar a 
relação existente entre vorticidade e rotação de corpo rígido. Seja um pequeno cilindro 
circular de fluido rodando em torno de seu próprio eixo, como se fosse um sólido, com 
velocidade angular W
r
, que é um vetor paralelo ao eixo de rotação, conforme mostrado na 
Fig. 12. O raio do cilindro é r e l é uma dimensão linear paralela ao eixo. O vetor 
VXn
rr
em cada ponto da superfície cilíndrica é paralelo ao eixo e é dado por: 
 
rrnkrXXn z W==W
rrrrrr
).(ˆ)( w 
 
 
Fig. 12 Pequeno cilindro fluido girando como um sólido 
 
Como alrddS= tem-se que: 
 
òò ò W=W=
S
lrrlrddSVXn
p
pa
2
0
22)(
rrrr
 
 
e desse resultado segue que: 
 
W=W=
®"
rrr
22
1 2
2
0
lim lrlr ppV 
 
que demonstra que para rotação de corpo rígido a vorticidade é igual ao dobro da 
velocidade angular. 
 
Finalmente, o último termo da expressão mais geral do movimento fluido, definido como 
vetor D
r
, representa as taxas de deformação do elemento. Esses movimentos serão mais 
discutidos nas seções seguintes. 
 
Relações entre Tensões e Taxas de Deformação em Fluidos Newtonianos 
 
As equações de Balanço de Quantidade de Movimento representam o balanço, na forma de 
equações diferenciais parciais, entre forças atuantes em um ponto do escoamento, quais 
sejam, as forças inerciais, de superfície e de corpo. No intuito de relacionar essa equação da 
dinâmica dos fluidos com a movimentação do fluido, há que discutir-se os resultados sobre 
o padrão de movimentação do fluido quando atuado por tensões cisalhantes. 
 
Em elasticidade a relação entre tensão e deformação em um corpo sólido dentro do limite 
elástico é governado pela lei de Hooke. A lei de Hooke generalizada estabelece que cada 
uma das seis componentes da tensão relativos a dado ponto pode ser expressa como uma 
função linear das deformações. Na hidrodinâmica, definem-se as relações entre tensões e 
as taxas de movimentação e deformação do fluido. Quando essas relações são lineares, o 
fluido é dito ser Newtoniano. 
 
Se o fluido está em repouso, e de forma ainda mais geral, se inexistem tensões cisalhantes, 
uma pressão, relacionada às tensões normais atuará de maneira isotrópica, o que pode ser 
demonstrado sem dificuldade ao impor-se o equilíbrio (forças e momentos) em um 
tetraedro infinitesimal. Então, em geral, na ausência de tensões cisalhantes, o tensor de 
tensões reduz-se a: 
 
{ }
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
-
-
-
=
p
p
p
ij
00
00
00
t 
 
Esse resultado vale para ausência de tensões cisalhantes. Assim, escoamentos genéricos 
associados a fluidos perfeitos (sem viscosidade) incorporam tão somente movimentos de 
corpo rígido, sem deformação, e tem seu estado de tensões dado pela expressão acima. Por 
hipótese, escoamentos dessa categoria podem ter em geral o seu campo de velocidade do 
tipo soma de vetores. De acordo com as derivações das relações cinemáticas, o campo de 
velocidadesnesse caso é do tipo: rxBAV v
vvv
+= , onde A
v
 e B
v
 caracterizam translação e 
rotação no campo, e r
v
define um vetor posição. 
 
Tensões viscosas ocorrerão sempre que o campo de velocidades diferir dessa forma 
simples. Um caso muito simples foi discutido anteriormente, quando a lei de Newton da 
Viscosidade foi introduzida. Conforme visto, para escoamento laminar paralelo a Lei de 
Newton da Viscosidade estabelece uma relação linear entre tensão e taxa de variação de 
velocidade na direção normal ao fluxo: 
 
BB y
u
)(
¶
¶
= mt 
 
Uma forma geral de estabelecer relações lineares entre tensões e as taxas de variação do 
movimento para ijt simétrico é assumindo: 
 
)(
i
j
j
i
ij x
u
x
u
¶
¶
+
¶
¶
= mt para ji ¹ 
 
O coeficiente m é o coeficiente de viscosidade já definido anteriormente. Essa lei é 
denominada lei de Stokes da Viscosidade. 
 
Considerando o acréscimo devido às tensões viscosas, o tensor de tensões em sua forma 
mais geral (para fluidos incompressíveis) fica expresso como: 
 
{ }
ï
ï
ï
þ
ï
ï
ï
ý
ü
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
-
-
-
=
z
w
2
z
v
y
w
z
u
x
w
y
w
z
v
y
v
2
y
u
x
v
x
w
z
u
x
v
y
u
x
u
2
ì
p00
0p0
00p
ôij 
 
A segunda matriz é o tensor de tensões viscosas, proporcional ao coeficiente m . Os 
elementos na diagonal do tensor estão associados a elongações dos elementos fluidos, 
enquanto que os elementos fora da diagonal são devidos a deformações cisalhantes, como 
discutido anteriormente e ilustrado na Fig. 9. 
 
A grande maioria dos fluidos, inclusive ar e água, tem desempenhos muito próximos das 
relações lineares dadas acima, ou seja, são caracteristicamente, em quase todas as situações 
práticas, fluidos newtonianos. 
 
Equações de Navier-Stokes 
 
As equações de Navier-Stokes são obtidas quando as relações entre tensões e gradientes de 
velocidades dadas acima são substituídas nas equações de Balanço de Quantidade de 
Movimento. As derivadas do tensor de tensões são: 
 
)]()()2([
x
w
z
u
zx
v
y
u
yx
u
xx
p
x
ij
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
-=
¶
¶
m
t
 
)]()2()([
y
w
z
v
zy
v
yy
u
x
v
xy
p
y
ij
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
-=
¶
¶
m
t
 
)]2()()([
z
w
zz
v
y
w
yz
u
x
w
xz
p
z
ij
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
-=
¶
¶
m
t
 
 
Desenvolvendo essas derivadas e rearranjando termos, é possível explicitar termos 
envolvendo derivadas do divergente do vetor velocidade. Para fluxo incompressível esses 
termos desaparecem, uma vez que pela equação da continuidade: 
 
0
2
=
¶
¶
¶
¶
=
¶¶
¶
j
i
iij
j
x
u
xxx
u
 
 
Com esses resultados, tem-se a forma vetorial das equações de Navier-Stokes: 
 
FVp
Dt
VD
VV
t
V vv
r
vv
v
r
n
r
11
).( 2 +Ñ+Ñ-==Ñ+
¶
¶
 
 
onde n é o coeficiente de viscosidade cinemática rmn = . Esse coeficiente atua como 
coeficiente de difusão de efeitos viscosos no campo de velocidade. É de interesse observar 
os valores desse coeficiente para alguns fluidos. Para temperatura de 15 graus Celsius e 
pressão de uma atmosfera, reproduz-se abaixo a Tabela 1, vide Batchelor (1974). 
 
 
 
 
Fluidos 
segm
X
/
10
2
4n
 
Mercúrio 0.0012 
Água 0.011 
Ar 0.15 
Azeite de oliva 1.08 
Glicerina 18.5 
 
Tabela 1: Valores da viscosidade cinemática 
 
 Os valores da Tabela 1 indicam que, comparando-se fluidos através da característica 
viscosidade cinemática, o ar é bem mais viscoso que a água (13.64 vezes). Embora 
comparativamente os valores de n do ar e água não sejam grandes, é importante ter em 
mente que em regiões de escoamento desses fluidos bem próximas da parede do corpo, 
grandes esforços tangenciais associados a fortes níveis de vorticidade ocorrem devido a 
efeitos decorrentes da viscosidade. Conforme será visto em detalhes mais adiante neste 
curso, essas regiões foram denominadas por L. Prandtl de camada limite. Nelas, a 
movimentação fluida é governada pela equação de Navier-Stokes. 
 
Navier-Stokes em coordenadas cartesianas fica dada como: 
 
xFux
p
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
r
n
r
11 2 +Ñ+
¶
¶
-=
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
 
yFvy
p
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
r
n
r
11 2 +Ñ+
¶
¶
-=
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
 
zFwz
p
z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
r
n
r
11 2 +Ñ+
¶
¶
-=
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
 
 
Esse sistema de três equações diferenciais parciais, junto com a equação da continuidade e 
as condições de contorno pertinentes, governam o movimento de um fluido viscoso sujeito 
apenas às restrições de densidade constante e relações newtonianas entre tensões e 
gradientes de velocidades. Nota-se que essas condições são atendidas tanto pelo ar como 
pela água. 
 
É muito difícil na maioria dos casos encontrar soluções para essas equações. Elas formam 
um conjunto acoplado de equações diferenciais parciais não-lineares, que foram resolvidas 
analiticamente para algumas configurações geométricas bem simples, em particular aquelas 
em que os termos não-lineares de aceleração convectiva VV
vv
).( Ñ podem ser desprezados. 
 
Forças de Corpo e Gravidade 
 
Nas derivações das equações de Balanço de Quantidade de Movimento e Navier-Stokes as 
forças de corpo, aqui representando os pesos das partículas fluidas foram pouco 
comentadas. Naturalmente, a atenção esteve concentrada na representação das ações 
superficiais e inerciais. A força peso pode ser representada como - kg
)
r onde g=9,81m/s2 é 
a aceleração da gravidade, onde o vetor unitário aponta para cima. Sendo o efeito 
gravitacional a ser considerado em F
v
, esta ação pode ser convenientemente descrita como 
sendo derivada de um gradiente de uma função escalar na forma: WÑ= rF
v
, onde gz=W . 
No contexto da equação de Navier-Stokes, essa força pode ser convenientemente embutida 
no termo de pressão fazendo-se a substituição W-= pp~ . Com essa substituição a equação 
de Navier-Stokes não mais apresentará os termos de forças de corpo explicitamente. De 
fato, no que concerne à conservação da quantidade de movimento, o único efeito da força 
gravitacional é o de mudar a pressão somando um valor W . 
 
Usualmente p é referida como sendo a pressão total e p~como a pressão hidrodinâmica, e 
W é chamada a pressão hidrostática. Para fluidos em repouso as pressões total e 
hidrostática são iguais. 
 
Hidrostática 
 
Considerando-se um fluido sem movimento, as ações inerciais e viscosas estarão ausentes 
da equação de Navier-Stokes. Assim, nesse caso: 
 
 0
x
p
=
¶
¶
 0
y
p
=
¶
¶
 gñ
z
p
-=
¶
¶
 
 
As duas primeiras equações indicam que a pressão é constante em planos normais ao eixo 
z. Quando a densidade é constante, a equação da pressão pode ser integrada, resultando em 
Cgzp +-= r , onde C é a constante de integração. Nesta forma integrada, a equação da 
pressão é denominada a equação da hidrostática. Definindo-se as condições na superfície 
livre com subscrito zero, tem-se: )( 00 zzgpp -=- r que permite determinar a pressão 
hidrostática em qualquer profundidade. Denomina-se usualmente o termo 
)( 00 zzgpp -=- r , isto é,a pressão acima da atmosférica, de pressão manométrica ou 
efetiva. 
Para um corpo imerso em fluido em repouso, chamando-se a pressão e a cota vertical na 
parte superior da superfície fechada do corpo de up e uz , respectivamente, em uma área 
infinitesimal da superfície do corpo, e lp e lz as grandezas equivalentes na parte superior 
do corpo, a força infinitesimal será dada por: 
 
ZluZulB dAzzdAppdF )()( -=-= g 
 
que integrada fica dada como: 
 
ò òò ==-== VdVdAzzdFF ZluBB ggg )( 
 
onde V é o volume do corpo imerso. O princípio de Arquimedes estabelece que: “todo 
corpo imerso recebe um empuxo de baixo para cima igual ao peso do volume deslocado”. 
 
O vetor posição cr
r
do centro de carena é obtido como o resultado do momento estático: 
 
V
dVr
F
dVr
r
B
c g
gg òò ==
rr
r
 
 
que corresponde ao centróide do volume. 
 
Estabilidade estática 
 
Um corpo totalmente submerso é estável desde que o centro de carena esteja acima do 
centro de gravidade. O empuxo aplicado no centro de carena e a força peso aplicada no 
centro de gravidade mantém sua igualdade qualquer que seja a inclinação do corpo 
submerso. 
 
Para corpos flutuando na superfície livre, a inclinação produz alteração na forma do volume 
submerso. Essa alteração da forma submersa altera a posição do centro de carena, enquanto 
que o centro de gravidade não se altera. Isso está ilustrado na Fig. 13. As forças peso e 
empuxo, de mesma intensidade, deixam de atuar segundo a mesma vertical, surgindo um 
binário. 
 
 
 
Fig. 13 Momento restaurador na inclinação 
 
A mudança de forma submersa implica na configuração ilustrada na Fig. 14, onde observa-
se que uma cunha emerge, enquanto outra imerge. 
 
 
Fig. 14 Inclinação transversal de navio. 
 
O ponto M da Fig. 14 é chamado de metacentro. Deduz-se, com a devida consideração das 
cunhas definidas na Fig. 14 que para pequenas inclinações o momento restaurador é dado 
por: 
 
).(. qDD= Tr GMM 
 
onde D é o deslocamento do navio e a grandeza TGM é chamada altura metacêntrica 
transversal. Essa grandeza, indicadora da intensidade do momento restaurador em pequenas 
inclinações, é dada por: 
 
 KGKBBMGM TT -+= 
 
onde TBM , denominado raio metacêntrico transversal é definido como: 
 
V
I
BM TT = 
 
sendo TI o momento de inércia transversal da área de flutuação não inclinada (conforme a 
Fig. 14) e V o volume submerso. 
 
Da mesma maneira, pode-se definir, para uma inclinação longitudinal, uma altura 
metacêntrica longitudinal: 
 
KGKBBMGM LL -+= 
 
onde LBM , denominado raio metacêntrico longitudinal é definido como: 
 
V
I
BM LL = 
 
sendo LI o momento de inércia longitudinal da área de flutuação não inclinada. 
 
Equação vetorial da vorticidade 
 
Conforme derivado anteriormente, a equação de Navier-Stokes na forma vetorial é: 
 
FVp
Dt
VD
VV
t
V vv
r
vv
v
r
n
r
11
).( 2 +Ñ+Ñ-==Ñ+
¶
¶
 
 
Fazendo-se uso da identidade vetorial: 
 
VXVXVVV
rrrr
)()
2
1
().( 2 Ñ+Ñ=Ñ 
 
e aplicando o operador rotacional aos dois lados da equação de Navier-Stokes, nota-se de 
imediato que essa aplicação anula o termo quadrático da velocidade e os dois primeiros 
termos à direita do último sinal de igual. Esses resultados decorrem dos seguintes fatos: a) o 
rotacional do vetor gradiente é sempre zero; b) o vetor aceleração da gravidade é constante. 
Segue então que: 
 
)()( 2 VnV
V rrr
r
Ñ=Ñ+
¶
¶
VXX
t 
 
Tendo em vista que 
 
).().().().()( VVVVVXX
rrrrrrrrr
Ñ+Ñ-Ñ-Ñ=Ñ VVVVV 
 
e considerando a incompressibilidade dos vetores velocidade e vorticidade, e após algum 
remanejamento de termos chega-se à equação da vorticidade: 
 
VnV
V rrr
r
2).( Ñ+Ñ= V
Dt
D
 
 
O termo da esquerda representa a taxa total de mudança de vorticidade da partícula. O 
primeiro termo à direita é o que se denomina taxa de deformação das linhas de vórtices. O 
segundo termo à direita representa a taxa de difusão viscosa da vorticidade. Vale notar que 
para escoamentos planos ou axi-simétricos, necessariamente a taxa de deformação das 
linhas de vórtices é nula. Em tais escoamentos o vetor vorticidade é sempre perpendicular 
ao vetor velocidade, logo as linhas de vórtices são perpendiculares ao plano onde se dá o 
escoamento. 
 
Forças de pressão e gravitacionais não afetam diretamente a vorticidade. A justificativa 
física disso vem do fato de que a vorticidade é um indicador da rotação de corpo rígido da 
partícula. Forças de pressão e gravitacionais atuam sobre o centro de massa de uma 
partícula sem produzir rotação. 
 
Por outro lado, esforços cisalhantes agem tangencialmente na superfície de uma partícula, e 
se atuam desbalanceados, gerarão vorticidade. Como regra geral, a existência de 
vorticidade significa que a partícula está (ou então esteve em seus movimentos pregressos) 
sujeita a forças viscosas. Em muitas situações um fluido adquire vorticidade por ação 
viscosa e daí em diante o movimento é invíscido, sendo as forças viscosas desprezíveis. 
 
Condições de contorno 
 
A equação da continuidade (escalar) e as de Navier-Stokes (vetorial) constituem as 
equações fundamentais que governam o movimento fluido. As incógnitas },,,{ pwvu em 
pontos genéricos do domínio fluido são determinadas em cada problema hidrodinâmico se 
esse conjunto de equações diferenciais parciais, adicionado das pertinentes condições de 
contorno aplicáveis ao problema considerado, forem resolvidas, seja por procedimentos 
analíticos (alguns poucos casos) ou numéricos (empregando métodos computacionais). 
 
Condições de contorno relevantes para problemas de escoamentos externos em volta de 
corpos são, tipicamente: nas paredes do corpo, na superfície livre, no entorno do domínio 
fluido (p. ex., no fundo). 
 
a) Em paredes impermeáveis, para corpos móveis, a chamada condição cinemática 
paredeVV
rr
= representa a condição de não-escorregamento dos elementos fluidos sobre a 
superfície do corpo. 
 
b) Na superfície livre ),,(0),,,( tyxztzyxF h-== a condição cinemática pode ser 
convenientemente retratada por FV
t
F
Dt
DF
Ñ+
¶
¶
== .0
r
, do que resulta a expressão para 
a componente vertical dos elementos fluidos componentes da superfície livre: 
 
y
v
x
u
t
w
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=
hhh
 
 
Ainda na superfície livre uma condição dinâmica é requerida, qual seja, a de que em 
todos os pontos dessa superfície, atue a pressão atmosférica: 
 
),,(/ tyxzppp a h== 
 
c) Freqüentemente o entorno do domínio fluido é estacionário. Nesses casos, a condição 
cinemática é aplicável sobre ele. Por exemplo, para fundo rígido e plano, .0=w 
 
Sempre que a aproximação de escoamento invíscido for aplicável )0( =m , algumas 
simplificações são notáveis. As equações de Navier-Stokes ganham a forma conhecida na 
literatura como equação de Euler: 
 
pg
Dt
VD
Ñ-=
r
r
rr 
 
que pode ser integrada para recair em algumas das formas da chamada equação de 
Bernoulli, como será discutido adiante. As condições de contorno cinemáticas no corpo 
retratam o fato de que em escoamentos invíscidos o fluido efetivamente escorrega sobre a 
parede do corpo, ou seja, não se controla a componente tangencial da velocidade. Isso pode 
ser expresso como: 
 
nVnV parede
rrrr
.. = 
 
No caso de corpo estacionário, há simplificação adicional: 
 
0. == nVnV
rr
 
 
Função de corrente 
 
Algumas das dificuldades analíticas relativas à integração das equações fundamentais da 
mecânica dos fluidos podem ser evitadas ou atenuadas sempre que a equação da 
continuidade (reiteramos a ênfase deste texto em escoamento de fluidos incompressíveis): 
 
0=
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
z
w
y
v
x
u
 
 
puder ser reduzida a apenas doistermos. Nesses casos, artifícios matemáticos permitem que 
a equação da continuidade seja descartada, e constróem uma rota de solução eficiente, 
reduzindo o problema vetorial a outro escalar pretensamente mais simples. Ao mesmo 
tempo, os problemas assim tratados ficam dotados de interessantes interpretações 
geométricas e físicas que têm importância prática. Em especial, nos problemas de regime 
permanente, onde a linguagem gráfica das linhas de corrente têm grande significado prático 
na representação do fluxo, a definição da Função de Corrente se coloca. Escoamentos 
bidimensionais ou axi-simétricos são casos em que a equação da continuidade pode ser 
reduzida a apenas dois termos. 
 
Para encaminhar a presente discussão, seja um escoamento incompressível bidimensional 
permanente. A equação da continuidade fica limitada a: 
 
 0=
¶
¶
+
¶
¶
y
v
x
u
 
 
Essa equação é exatamente satisfeita se se define a Função de Corrente ),( yxy (de Classe 
C1) tal que: 
 
0)()( =
¶
¶
-
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
xyyx
yy
 
 
ou seja, para: 
 
x
v
y
u
¶
¶
-=
¶
¶
=
yy
; sendo: j
x
i
y
V ˆˆ
¶
¶
-
¶
¶
=
yyr
. 
 
Para o vetor velocidade assim definido, o vetor rotacional da velocidade fica sendo um 
vetor perpendicular ao plano: 
 
kk
yyxx
VX ˆˆ)]()([ 2y
yy
-Ñ=
¶
¶
-
¶
¶
-
¶
¶
-
¶
¶
=Ñ
r
 
onde: 
 
2
2
2
2
2
yx ¶
¶
+
¶
¶
=Ñ
yy
y 
 
Para regime permanente, a equação da vorticidade tem a forma: 
 
)())(.( 222 yny ÑÑ=ÑÑV
r
 
 
que eqüivale a: 
 
)()()( 2222 ynyy ÑÑ=Ñ
¶
¶
+Ñ
¶
¶
y
v
x
u 
 
ou, finalmente: 
 
)()()( 2222 yny
y
y
y
ÑÑ=Ñ
¶
¶
¶
¶
-Ñ
¶
¶
¶
¶
yxxy
 
 
Essa única equação escalar em y pode tomar então o lugar das equações da continuidade e 
Navier-Stokes. Trata-se de uma equação parcial de quarta ordem, para a qual quatro 
condições de contorno são requeridas. Por exemplo, para fluxo uniforme na direção x 
passando por corpo sólido, as quatro condições serão: 
 
No infinito: 0=
¶
¶
=
¶
¶
x
U
y
yy
 
No corpo: 0=
¶
¶
=
¶
¶
x
U
y
yy
 
 
Em geral, grandes dificuldades matemáticas impedem soluções analíticas. Soluções 
numéricas existem para diversos problemas. 
 
Uma importante aplicação ocorre para escoamento bidimensional invíscido irrotacional, 
onde, por definição, o vetor vorticidade é identicamente nulo. Nesse caso, a equação escalar 
da Função de Corrente fica sendo: 
 
0
2
2
2
2
2 =
¶
¶
+
¶
¶
=Ñ
yx
yy
y 
 
que é a chamada Equação de Laplace. Para essa equação, uma infinidade de soluções e 
técnicas analíticas estão disponíveis. 
 
Como antecipado, a Função de Corrente tem interpretações geométricas e físicas que a 
torna um recurso atraente. A interpretação geométrica está associada ao fato de que linhas 
de .const=y são linhas de corrente do escoamento. Isso pode ser mostrado considerando-
se a definição de linhas de corrente, como sendo aquelas linhas às quais o vetor velocidade 
em cada ponto lhe é tangente, conforme ilustra a Fig. 15. 
 
 
 
Fig. 15 Tangência das velocidades às linhas de corrente. 
 
Matematicamente, para um elemento infinitesimal de uma linha de corrente genérica, 
0=rdXV
rr
, logo as componentes desse vetor serão necessariamente nulos. No plano, isso 
implica em 0=- udyvdx , que é a equação cartesiana de uma linha de corrente. 
Considerando as relações entre u, v e y , a equação da linha de corrente fica expressa 
como: 
 
y
yy
ddy
x
dx
x
==
¶
¶
+
¶
¶
0 
 
Então, ao longo da linha de corrente, a Função de corrente é constante. Ou seja, tendo-se 
obtido ),( yxy para um dado problema, graficam-se as linhas de corrente. 
 
Quanto à interpretação física, vale adiantar que existe uma importante relação entre y e o 
fluxo volumétrico. Recordando que o vetor normal a uma curva no plano define-se como: 
 
j
ds
dx
i
ds
dy
n ˆˆ-=
r
 
 
o fluxo de velocidade pelo elemento infinitesimal ds fica sendo: 
 
y
yy
dds
ds
dx
xds
dy
y
dAnVdQ =
¶
¶
+
¶
¶
== )().(
rr
 
 
conforme ilustrado na Fig. 16. 
 
dQ = (V i n) dA = dY 
V = uî + vj 
^
n
 
 
Fig. 16 A função de corrente como medida de vazão 
 
Assim, a mudança de y ao longo do elemento é numericamente igual à vazão volumétrica 
através do elemento, tal que, para duas linhas de corrente adjacentes: 
 
12
2
1
2
1
2,1 ).( yyy -=== ò òddAnVQ
rr
 
 
Escoamentos não viscosos irrotacionais 
 
Como visto, desconsiderando-se a viscosidade, Navier-Stokes reduz-se à equação de Euler: 
 
pg
Dt
VD
Ñ-=
r
r
rr 
 
Adicionalmente, as equações ficam bem mais simples sempre que a movimentação fluida 
pode ser considerada como sendo apenas de translação, sem rotação das partículas em torno 
de seu próprio eixo. Notar que as acelerações contém contribuições não-lineares no termo 
denominado convectivo. Sempre que se puder fazer a consideração de que em todo o 
domínio fluido a vorticidade seja nula, certas não-linearidades das acelerações estarão 
ausentes, reduzindo então, sobremaneira, as dificuldades associadas com a solução do 
problema hidrodinâmico dado. Para clarificar esse argumento, considere-se a expressão da 
derivada substantiva da velocidade: 
 
VXV
t
V
VV
t
V
Dt
VD rr
r
rr
rr
V+Ñ+
¶
¶
=Ñ+
¶
¶
= )
2
1
().( 2 
 
Sempre que a influência do último termo à direita puder ser desconsiderada, as equações 
poderão ser integradas sem maiores dificuldades. No intuito de aplicar um procedimento o 
mais genérico possível, multiplique-se escalarmente a equação vetorial de Euler pelo vetor 
elementar genérico rd
r
: 
 
0].
1
)
2
1
([ 2 =-Ñ++Ñ+
¶
¶
rdgpVXV
t
V rrrr
r
r
V 
 
A hipótese de interesse 0).( =rdVX
rrr
V admite as seguintes sub-hipóteses: 
i) 0ºV
r
; trivial, não há fluxo, caso hidrostático. 
ii) 0ºV
r
; fluxo é dito ser irrotacional. 
iii) rd
r
perpendicular a VX
rr
V : caso particular sem interesse específico. 
iv) rd
r
paralelo a 0)(: =rdXVV
rrr
; pode-se integrar ao longo da linha de corrente. 
 
Inicialmente, considere-se o item (iv). Pode-se mostrar que o termo )
2
1
( 2VÑ , multiplicado 
escalarmente por rd
r
, dá: 
 
)(
2
1
]
)()()(
[
2
1 2
222
Vddz
z
V
dy
y
V
dx
x
V
=
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
 
 
logo, resulta para a expressão do produto escalar acima: 
 
0
1
)
2
1
(. 2 =+++
¶
¶
gdzdpVdrd
t
V
r
r
r
 
 
Pode-se integrar ao longo da linha de corrente entre dois pontos quaisquer. Sendo a 
densidade constante: 
 
0)()(
1
)(
2
1
1212
2
1
2
2
2
1
=-+-+-+
¶
¶
ò zzgppVVdst
V
r
 
 
onde ds é o elemento de arco na linha de corrente. Essa equação é a versão da equação de 
Bernoulli sobre a linha de corrente válida para escoamentos não-permanentes. Para regime 
permanente, tem-se a forma mais comumente mencionada para a equação de Bernoulli 
sobre a linha de corrente: 
 
.
2
1 2 ctegzV
p
=++
r
 (sobre a linha de corrente) 
 
sendo que a constante pode variar de uma linha de corrente para outra. 
 
Considerando agora a sub-hipótese (ii), escoamento irrotacional, nesse caso rd
r
é qualquer, 
não precisa pertencer à linha de corrente. Sendo movimento permanente, a integração 
aplica-se a todo o domínio fluido: 
 
.
2
1 2 ctegzV
p
=++
r
 (em todo o domínio) 
 
Potencial de Velocidades 
 
Para escoamento irrotacional define-se a função ),,,( tzyxf a partir da qual pode-se obter a 
velocidade. Se 0=Ñ VX
r
, então existe uma função ),,,( tzyxf tal que fÑ=V
r
, ou: 
 
z
w
y
vx
u
¶
¶
=
¶
¶
=
¶
¶
=
fff
;; 
 
Linhas de mesmo valor de f são chamadas linhas potenciais. Vale notar que 
diferentemente da Função de Corrente, a Função Potencial de Velocidades pode ser 
definida para escoamentos tridimensionais. Nesse caso de escoamento irrotacional, vale 
notar a forma que assume a integração da equação de Euler. A seguinte igualdade pode ser 
estabelecida: 
 
 )(
)()()(
).(.
t
ddz
z
tdy
y
tdx
x
trd
t
rd
t
V
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
=Ñ
¶
¶
=
¶
¶ f
fff
f
rr
r
 
 
Consequentemente, a integração da equação de Euler ganha a seguinte forma: 
 
.
2
1 2
ctegz
p
t
=+Ñ++
¶
¶
f
r
f
 
 
válida para escoamentos irrotacionais não-permanentes. A constante é a mesma para todos 
os pontos, podendo variar com o tempo. Essa equação é chamada na literatura de Equação 
Integral de Cauchy-Bernoulli. 
 
Escoamentos potenciais notáveis 
 
Diferentes escoamentos potenciais podem ser bem representados pela adequada 
superposição de escoamentos simples. Alguns desses escoamentos serão apresentados 
adiante, em suas versões bi e tridimensionais. 
 
i) bidimensionais: 
 
i.1) Escoamento uniforme de velocidade U na direção x: 
 
As velocidades são: 
 
yx
Uu
¶
¶
=
¶
¶
==
yf
 ; 
xy
v
¶
¶
-=
¶
¶
==
yf
0 
 
Integrando-se as velocidades, descartando-se as constantes de integração, que não afetam as 
velocidades , as linhas de corrente e de potencial são obtidas: 
 
UxUy == fy ; 
 
Conforme ilustrado na Fig. 17 as linhas de corrente são retas horizontais (y = const.) e as 
linhas de potencial são verticais (x = const.). 
 
Fig. 17 Escoamento uniforme plano 
 
i.2) Linha de fonte ou sumidouro na origem: 
 
Representa emissão contínua de fluido Q no plano na direção radial. Em coordenadas 
polares, a componente circunferencial será nula. Em um raio r genérico e comprimento da 
linha definido por b, a velocidade é: 
 
q
fyf
q
y
p q ¶
¶
=
¶
¶
-==
¶
¶
=
¶
¶
===
rr
v
rrr
m
rb
Q
vr
1
0;
1
2
 
 
onde 
b
Q
m
p2
= é uma constante denominada intensidade, sendo positiva para a fonte e 
negativa para o sumidouro. Integrando as velocidades e descartando as constantes de 
integração, obtém-se as linhas de corrente e de potencial para esse escoamento radial: 
 
rmm ln; == fqy 
 
A Fig. 18 ilustra esse escoamento. 
 
 
Fig. 18 Linha de fonte ou sumidouro 
 
i.3) Linha de vórtice irrotacional: 
 
O escoamento bidimensional linha de vórtice corresponde a um movimento circular 
permanente, tal que 0=rv e )(rfv =q . Sendo r
K
v =q , onde K é uma constante chamada 
intensidade do vórtice. Esse escoamento satisfaz a equação da continuidade e é 
irrotacional, isto é VX
r
Ñ = 0. Algumas vezes denominado vórtice livre, e sendo: 
 
q
fyf
q
y
q ¶
¶
=
¶
¶
-==
¶
¶
=
¶
¶
==
rrr
K
v
rr
vr
1
;
1
0 
 
Novamente integrando: qfy KrK =-= ;ln 
 
Como ilustrado na Fig. 19, as linhas de corrente são círculos concêntricos (r = const), 
enquanto que as linhas de potencial são raios (q = const.). 
 
 
 
Fig. 19 Vórtice livre. 
 
i.4) Superposição de fonte com sumidouro iguais: 
 
Os escoamentos apresentados correspondem a fluxos incompressíveis irrotacionais que 
satisfazem as equações de continuidade 02 =Ñ y e 02 =Ñ f . Como a equação de Laplace é 
linear, qualquer soma dessas funções mais simples também será solução da equação de 
Laplace. Para fonte de intensidade +m no ponto )0,(),( ayx -= , combinada com 
sumidouro de intensidade –m localizado em )0,(a , como ilustrado na Fig. 20, as linhas de 
corrente são simplesmente a soma das duas funções simples: 
 
ax
y
m
ax
y
msf -
-
+
=+= -- 11 tantanyyy 
 
e as linhas de potencial são: 
 
])ln[(
2
1
])ln[(
2
1 2222 yaxmyaxmsf +--++=+= fff 
 
Fig. 20 Superposição de fonte e sumidouro. Linhas de corrente contínuas, linhas de 
potencial tracejadas. Setas indicam fluxo da fonte para sumidouro. 
 
Com aplicação de relações trigonométricas e logarítmicas conhecidas, as expressões dadas 
acima podem ser simplificadas para: 
 
222
1 2tan
ayx
ay
m
-+
-= -y ; -
+-
++
=
22
22
)(
)(
ln
2
1
yax
yax
mf 
 
i.5) Doublet: 
 
O processo de passagem ao limite da aproximação do par fonte/sumidouro produz 
expressão de interesse prático, denominado doublet (ou par fluido). Pode-se demonstrar que 
para 0®a , excluindo-se o ponto ax= (para 0®a esse ponto é a origem) as seguintes 
funções são obtidas: 
 
22222
;
sen
yx
x
r
x
yx
y
r +
L
=L-=
+
L
=L= f
q
y 
 
onde L é o seu chamado momento. As linhas de corrente associadas ao par fluido definido 
sobre o eixo x são, em coordenadas cartesianas: 
 
022 =
L
-+ y
c
yx 
 
que define família de círculos com centros no eixo y, conforme mostrado na Fig. 21. 
 
 
 
Fig. 21 Par fluido. 
 
ii) tridimensionais: 
ii.1) Fonte 3-D: 
 
O potencial de uma fonte tridimensional situada na origem é: 
 
r
m
zyx
m
pp
f
4
)(
4
2/1222 -=++
-
= - 
 
onde r é a distância radial até o ponto onde se situa a fonte e m a intensidade. 
 
ii.2) Semi-corpo: 
 
Soma de escoamento uniforme na direção x com fonte 3-D na origem: 
 
2/1222 )(
4
-++-= zyx
m
Ux
p
f 
 
ii.3) Ovóide de Rankine: 
 
Soma de escoamento uniforme com fonte e sumidouro: 
 
2/12222/1222 ])[(
4
])[(
4
-- ++-++++-= zyax
m
zyax
m
Ux
pp
f 
 
ii.4) Doublet: 
 
2/3222 )(4 zyx
x
++
L
=
p
f 
 
ii.5) Soma de uniforme com doublet: 
 
Em coordenadas esféricas a soma resulta em: 
 
24
cos
cos
r
Ur
p
q
qf
L
+= 
 
que corresponde ao escoamento de fluxo uniforme de velocidade U incidindo sobre esfera 
de raio 3/1)
2
(
U
r
p
L
= 
 
Caso 2-D: Ortogonalidade de linhas de corrente e de potenciais 
 
Como visto, para escoamento invíscido e irrotacional, existe uma função potencial de 
velocidades f a partir da qual as características cinemáticas podem ser determinadas. Por 
outro lado, no caso de escoamentos bidimensionais existe uma função y , a chamada 
função de corrente a partir da qual também são obtidas as velocidades. Consequentemente, 
tem-se: 
 
xy
u
¶
¶
=
¶
¶
=
fy
 
yx
v
¶
¶
=
¶
¶
-=
fy
 
 
Essas relações na forma de derivadas parciais entre as duas funções são conhecidas como 
relações de Cauchy-Riemman. Um aspecto geométrico dessas relações deve ser 
reconhecido de imediato: a ortogonalidade entre as linhas dessas funções. Isso pode ser 
observado considerando-se de início que para uma linha de f constante: 
 
vdyudxdy
y
dx
x
d +==
¶
¶
+
¶
¶
= 0
ff
f 
 
Resolvendo: 
 
 
v
u
dx
dy
const -== .)( f 
 
Em seguida, considere-se que para uma linha de y constante: 
 
udyvdxdy
y
dx
x
d +-==
¶
¶
+
¶
¶
= 0
yy
y 
 
Resolvendo: 
 
u
v
dx
dy
const == .)( y 
 
E portanto verifica-se que: 
 
.
.
)(
1
)(
const
const
dx
dydx
dy
=
= -=
y
f 
 
que é a condição matemática de ortogonalidade entre duas famílias de curvas. 
 
Escoamentos incompressíveis viscosos 
 
Alguns escoamentos simples serão tratados antes de se iniciar a discussão dos escoamentos 
viscosos em torno de corpos. 
 
a) Escoamento de Couette 
 
Seja a movimentação fluida resultante tão somente do deslocamento de placa plana com 
velocidade constante U horizontal em presença de parede fixa. Movimento assumido como 
sendo 2-D sem efeito gravitacional. Inexiste gradiente de pressão, a velocidade fluida 
horizontal 0¹u só dependede y , e 0== wv . As equações fundamentais são: 
 
Continuidade: 0=
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
z
w
y
v
x
u
 
 
reduz-se a 0=
¶
¶
x
u
, correspondente a )(yuu = apenas. 
 
Navier-Stokes: xFux
p
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
r
n
r
11 2 +Ñ+
¶
¶
-=
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
 
yFvy
p
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
r
n
r
11 2 +Ñ+
¶
¶
-=
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
 
 
a componente y dessa equação é identicamente nula, e a componente x reduz-se a: 
 
0
2
2
=
dy
ud
m 
 
e integrando-se duas vezes resulta: 21 cycu += . As duas constantes de integração são 
determinadas pela aplicação das condições de contorno pertinentes: 
 
ï
ï
î
ïï
í
ì
=
=
þ
ý
ü
î
í
ì
+-==-=
+==+=
2
2
)(0;
;
2
1
21
21
U
c
h
U
c
ou
chcuhy
chcUuhy
 
então: 
 
hyh
U
y
h
U
u ££-+= ;
22
 
 
que define um perfil linear sem escorregamento (conforme indicado na Fig. 22), 
correspondente à Lei de Newton da Viscosidade: 
 
yxy y
u
)(
¶
¶
= mt 
 
Fig. 22 Perfil de velocidade para escoamento de Couette. 
 
b) Escoamento de Poiseuille 
 
Corresponde a fluxo 2-D com gradiente de pressão, entre duas placas planas fixas, como 
ilustrado na Fig. 23. A equação da continuidade reduz-se a )(0 yuu
x
u
=Þ=
¶
¶
e as duas 
componentes de Navier-Stokes reduzem-se a: 
 
x
p
dy
ud
¶
¶
=
2
2
m 
)(0 xpp
y
p
=Þ
¶
¶
= apenas. 
Logo, .
2
2
const
dx
dp
dy
ud
==m 
 
Integrando duas vezes: 
 
21
2
2
1
cyc
y
dx
dp
u ++=
m
 
Em 
ï
î
ï
í
ì
-=
=
=Þ±=
m2
0
0 2
2
1
h
dx
dp
c
c
uhy 
 
 
Fig. 23 Escoamento gerado por duas placas (Poiseuille) 
 
 
Então, o perfil de velocidades resultante é uma parábola: 
 
)1(
2 2
22
h
yh
dx
dp
u --=
m
 
 
ocorrendo a máxima velocidade na linha de centro, com intensidade dada por: 
 
m2
2
max
h
dx
dp
u -= 
 
Essa expressão deixa evidenciado o sinal negativo do gradiente de pressão constante. 
 
Escoamentos viscosos externos 
 
Conforme já discutido, próximo de uma parede as ações viscosas são relevantes. Nos 
escoamentos internos, efeitos viscosos propagam-se das paredes para o centro, e ao final, 
em toda a região fluida do fluxo as tensões viscosas são relevantes. Em contrapartida, para 
escoamentos externos, em princípio para números de Reynolds relativamente altos, esses 
efeitos ficam restritos a uma região limitada, sem que as ações viscosas difundam-se para 
regiões amplas. Esse fato dá sustentação física à modelação clássica de teoria de camada 
limite fina. Um aspecto constitutivo dessa modelação é de que o escoamento externo em 
torno de um corpo compõe-se de uma região fina onde o movimento é governado por 
Navier-Stokes, com tensões viscosas importantes, que coexiste com a região mais exterior 
onde o escoamento é invíscido. Esse modelo tipo “colcha de retalhos” produz resultados 
muito satisfatórios para corpos esbeltos e números de Reynolds elevados. A teoria de 
camada limite teve seus principais desenvolvimentos no primeiro quarto do século vinte, 
através dos pesquisadores germânicos L. Prandtl e T. von Karman. Para baixos números de 
Reynolds ( 1000Re0 ££ ) onde os efeitos viscosos não ficam restritos a camadas finas, o 
modelo não se aplica. Nesses casos, a análise tem que ser fortemente lastrada em resultados 
experimentais e/ou numéricos. 
 
Fig. 24 Camada limite em escoamento plano. 
 
A Fig. 24 apresenta diagramaticamente a camada limite resultante do movimento fluido 
viscoso em contato com a superfície de uma das faces de uma placa plana. A linha 
tracejada pretende ilustrar a estreita região denominada camada limite. Indica-se em cada 
posição longitudinal x a espessura dessa camada. Sobre a placa a condição de não-
deslisamento implica em velocidade resultante nula. Desse ponto de contato onde a 
velocidade é nula até a região externa da camada limite, a velocidade longitudinal do fluido 
cresce até ajustar-se ao valor da velocidade do escoamento não afetado pela viscosidade. 
De forma pragmática, estabelece-se um critério para definir espessura de camada limite 
)(xd : lugar geométrico dos pontos onde Uu
100
99
= onde U é a velocidade no escoamento 
invíscido. 
 
De um modo geral, o fluxo entra na placa de forma estruturada em camadas bem 
ordenadas. Nesse caso o escoamento dentro da camada limite é dito ser laminar. Mais para 
dentro da superfície da placa os filetes bem arranjados começam a desestruturar-se e 
chegam adiante a fluírem de forma completamente misturada, desordenada em seqüenciais 
flutuações. Alguns pontos dessa região dita de transição ainda retém o caráter ordenado. 
Ainda mais adiante, depois que praticamente todos os filetes perderam sua laminaridade, 
diz-se que o regime dentro da camada limite tornou-se turbulento. Grandes gradientes de 
velocidade são então observados próximo à parede. 
 
Mais adiante estaremos deduzindo os resultados clássicos de solução das equações 
fundamentais da Mecânica dos Fluidos fundamentados na chamada teoria de camada limite, 
tanto para escoamentos laminares quanto turbulentos. No presente estágio do 
desenvolvimento das discussões serão antecipados alguns resultados dessas soluções para 
dar uma idéia das dimensões envolvidas no desenvolvimento de camadas limites. Mais 
adiante esses resultados serão exatamente deduzidos. No momento, registramos aqui as 
expressões das espessuras de camada limite: 
 
ï
ï
î
ïï
í
ì
>
=
)10(
16.0
min
5
6
7/1
2/1
ex
ex
ex
Rturbulento
R
arla
R
x
d
 
 
onde 
n
Ux
Rex = ó o número de Reynolds local, sendo x a ordenada posicional sobre a placa, 
x=0 sendo a aresta de ataque na placa.. Resultados típicos estão apresentados na Tabela 2 
para placa plana: 
 
exR 
410 510 610 710 810 
lamx
)(
d
 
0.050 0.016 0.005 
turb
x
)(
d
 
 0.022 0.016 0.011 
Tabela 2: Espessuras típicas de camada limite nos regimes laminar, crítico e turbulento 
para placas planas 
 
Para corpos delgados a camada limite pode ser tão fina como sugerido pelos valores 
ilustrativos da Tabela 2. Para corpos não delgados, como no caso de um cilindro circular, a 
camada limite é fina, em geral, apenas na região de vante do corpo, onde predomina um 
gradiente favorável de pressão. Nessa região, assim como em geral para corpos delgados, a 
pressão sobre a superfície pode ser avaliada, com muito boa precisão, como se a camada 
limite fina não interferisse no campo de pressão, ou seja, a pressão sobre a superfície obtida 
fruto da solução da equação de Euler, correspondente a escoamentos invíscidos. Para 
corpos rombudos, na região de gradiente de pressão adversa há grande dificuldade para o 
fluido acompanhar a curvatura do corpo. Disso decorre que nessas regiões a aproximação 
da pressão sobre a parede ser determinada a partir do resultado de escoamento invíscido 
torna-se problemática. 
 
Um valor referencial aceito em geral é de que hidrodinamicamente uma camada limite é 
fina para valores da ordem de 1.0<
x
d
. Na placa plana isso ocorre quando:
2/1
5
1.0
exRx
==
d
, 
ou: 2500>exR . Para valores inferiores, camada limite grossa não será compatível com 
determinação da pressão no escoamento invíscido. Por outro lado, ainda como valor 
referencial, a transição de regime laminar para turbulento ocorrerá para números de 
Reynolds em torno de 6103 XRex » . Para navios, considerando-se as dimensões de 
supertanques, pode-se encontrar regimes com números de Reynolds tão elevados quanto 
9105 XRex » . 
 
Nas seções subsequentes serão introduzidos