Estudo dirigido - Fenômenos de Transporte

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O que difere um tensor de um vetor?
Um vetor apresenta uma direção e um sentido e a intensidade de uma dada grandeza,
tendo 1 dimensão, enquanto o tensor é representado por grandezas com dimensões maiores
que 3.
Basicamente, qual a vantagem em se utilizar a Notação Indicial de Einstein?
A notação de Einstein consiste em omitir o símbolo de somatório e interpretar índices
que se repetem uma vez em um mesmo termo como indicador desse somatório. Índices que
não se repetem não representam somatórios, mas o número de equações.
O que é o Princípio da Homogeneidade Dimensional?
Isso significa que todos os termos da equação têm que ter as mesmas dimensões.
Defina o Delta de Kronecker, indicando suas faixas de validade (domínio).
O delta de Kronecker, δij, permite uma representação mais simples do produto escalar
entre os vetores ortonormais do sistema de coordenadas cartesiano.
δij=ei∙ej
Como esses vetores são ortonormais, ou seja, são unitários e formam ângulos de 90º entre si,
o produto escalar de um com o outro é sempre zero e de um com ele mesmo sempre a
unidade, ou seja:
δij={1, se os valores de i e j forem iguais
0, se i e j forem diferentes}
Defina o Tensor Permutador, indicando sua faixa de validade (domínio).
Símbolo Permutador: O símbolo permutador (εijk) é usado para simplificar a
representação do produto escalar triplo, sendo um tensor de terceira ordem, e este tensor é
definido da seguinte forma:
εijk= {1 se for (i, j, k) em ordem cíclica e com i, j, k distintos
0 se for (i, j, k) tal que i = j ou i = k ou j = k
−1 se for (i, j, k) com i, j, k distintos e em ordem não cíclica}
Quantos componentes tem um tensor de 1ª ordem?
3 componentes.
Quais são as ordens (naturezas resultantes) das seguintes operações:
(u.v)= 1+1-2= tensor de ordem 0 (escalar);
(v-u)w= (1+1)= tensor de ordem 2
(uv : wr)= (1+1) -4 +(1+1)= tensor de ordem 0 (escalar)
(u. pwu)= (1-2+0+1+1)= tensor de ordem 1 (vetor)
{(vxu) x (wxr)}= {(1+1-1)-1+(1+1)}= tensor de ordem 1 (vetor)
Mostre que a desigualdade abaixo é verdadeira: (u.v)w ≠ u(v.w)
Seja S um tensor de 2ª ordem e u um vetor, indique a ordem do tensor
resultante da operação S.u;
S.u= (2+1-2)= tensor de ordem 1 (escalar)
Mostre que a operação abaixo é igual a 1: [(e1xe2.e3)]
Mostre que a operação abaixo é igual a -e3: [(e2xe3)x(e1xe3)]
[(e2xe3) x (e1xe3)]
[(eyxez) x (exxez)]
(ex) x (-ey)
= -ez = -e3
Qual a ordem (natureza da grandeza) resultante da divergência de um vetor?
O divergente diminui a ordem da grandeza associada, porém será um escalar.
Qual a ordem (natureza da grandeza) resultante do laplaciano de um vetor?
O Laplaciano conserva a ordem da grandeza associada, portanto será um vetor.
Descreva os pontos de vista de Euler e de Lagrange para a descrição de
sistemas, destacando as diferenças entre volume de controle e volume
material.
A visão de Euler define um espaço fixo e admite a entrada e saída de matéria naquele
espaço fixo. A massa não é constante e não há deformação. Volume de controle.
Na visão de Lagrange, o volume/espaço se deforma e a quantidade de matéria se mantém.
Massa é constante, pode haver deformação, não admite entrada e saída de massa. Volume
material.
Depois de rever e entender o desenvolvimento do Teorema do Transporte de
Reynolds partindo do monitoramento de uma propriedade volumétrica ψ(x,t),
escreva a equação final obtida, a qual relaciona os pontos de vista de Euler e
de Lagrange.
Teorema do Transporte de Reynolds
No estudo da conservação da massa em sistemas físicos, fazendo uso do
Teorema do Transporte de Reynolds (TTR) para a obtenção da Equação da
Continuidade, justifique porque o primeiro termo da referida equação do TTR
(primeiro membro da equação, à esquerda da igualdade) torna-se nulo durante
seu desenvolvimento em tais condições?
ψ= ρ = m/v
Uma vez que a massa não varia, Dm/Dt=0.
De posse da Equação da Continuidade na forma integral, indique o significado
físico de cada um dos dois termos presentes na equação.
1: somatório do acúmulo de massa ;
2: somatório das saídas de massa menos as entradas.
Qual a vantagem em se aplicar o Teorema da Divergência de Gauss nos
desenvolvimentos abordados?
O Teorema da Divergência de Gauss possibilita a transformação de uma integral de
volume em uma integral de superfície ou vice-versa.
Quais são os fluidos compressíveis e quais são os fluidos incompressíveis?
Com base na definição de massa específica, indique a diferença básica entre
os dois termos.
Os fluidos classificados como compressíveis são aqueles que possuem a habilidade de
serem comprimidos em um recipiente quando seu volume diminui, devido a ação de uma
força aplicada. A densidade do fluido muda em relação ao grau de compressão sofrido.
Já os fluidos incompressíveis, são aqueles cuja densidade permanece constante, ou
seja, é um fluido que apresenta uma resistência à redução do seu volume quando submetido a
uma força de compreensão.
Tomando como base a expressão v.ndS, por que se diz que entradas são
negativas e saídas são positivas nas abordagens descritivas de correntes
entrando e saindo de sistemas físicos através da superfície?
Essa vazão será positiva quando for dirigida de dentro para fora do volume de
controle, quando for uma vazão de saída; será negativa no caso contrário, porque a direção
positiva de n, vetor unitário normal à superfície, é convencionalmente dirigida para fora.
O termo acúmulo representa a quantidade de massa contida num sistema.
Esta afirmativa é verdadeira ou falsa? Por que?
Falsa. A taxa de acumulação de massa no volume de controle é igual à diferença entre
as vazões de entrada e a de saída mais a diferença entre as taxas de geração e de absorção do
fluido no interior do volume de controle.
Qual propriedade volumétrica ψ(x,t) é monitorada em sistemas que leva à
obtenção da Equação do Movimento pelo Teorema do Transporte de
Reynolds?
É uma propriedade volumétrica qualquer associada a uma mistura. Toma-se como
base um referencial que acompanha o volume material (conjunto definido de partículas do
fluido).
Explique cada termo presente na Equação do Movimento indicando as classes
e os tipos de forças que atuam no sistema.
Termo I: variação da quantidade de movimento pelo tempo no volume material.
Termo II: as forças que atuam no sistema, sendo elas força de campo (Fb), responsáveis por
atuar sob todo o volume do sistema, e forças de superfície (Fs), responsáveis por atuar sob
toda a superfície. As forças de campo atuam sob um vetor de intensidade de campo e as
forças de superfície dependem de um contato físico.
Quais os termos são negligenciados na Equação do Movimento para obtenção
da Equação da Estática dos Fluidos? Por que os mesmos são cancelados?
O termo inercial e as forças dinâmicas de superfície (forças viscosas). O primeiro é
cancelado porque a aceleração é nula, então m.a será igual a 0. O segundo é cancelado porque
só é possível medir viscosidade se houver movimento, uma vez que não há aceleração, não
haverá movimento.
O operador nabla possui natureza vetorial. Sendo assim, explique qual a
direção e sentido do vetor ∇𝑃 na Equação da Estática dos Fluidos.
O operador nabla possui crescimento na direção de g e sentido na direção de z.
O gradiente da pressão forma um ângulo de 90° com as linhas isobáricas num
tanque de fluido incompressível. Esta afirmativa é verdadeira ou falsa?
Verdadeira.
Um tubo admite água (ρa = 1000 kg/m3 ) num reservatório com uma vazão de
20 L/s (veja figura abaixo). No mesmo reservatório é trazido óleo (ρb = 800
kg/m3 ), por outro tubo, com uma vazão de 10 L/s. A mistura homogênea
formada é descarregada por um único tubo cuja seção tem uma área de 30
cm2 . Partindo da Equação da Continuidade, determine a massa específica da
mistura no tubo de descarga e sua velocidade.
Considerando o Princípio dos Vasos Comunicantes, com base na figura, na
qual se observa a presença de dois líquidos imiscíveis e de densidades
diferentes, pode-se afirmar que as pressões PA e PB são iguais? Por quê?
Não. As pressões só seriam iguaisse estivessem na referência da interface do fluido,
uma vez que ρa≠ρb e as alturas das colunas de líquido são inversamente proporcionais às
respectivas massas específicas, se os pontos A e B estão numa mesma horizontal; logo, estão
submetidos a uma mesma pressão.
Ainda considerando o Princípio dos Vasos Comunicantes, com base na figura,
na qual se observa a presença de um único líquido e dois vasos
pressurizados, pode-se afirmar que as pressões PA e PB são iguais? Por quê?
Sim. PA e PB se encontram numa mesma altura e suas massas específicas são as
mesmas.
Um manômetro do tipo Tubo em U mede pressão absoluta ou relativa? E o
manômetro de Bourdon?
O manômetro do tipo tubo em U e o de Bourdon medem pressão relativa.
Considerando que você está, neste momento, de pé na sala de sua
casa/apartamento, diga, com base no entendimento de peso específico, se a
pressão atmosférica do ambiente pode ser considerada a mesma tanto no
nível de seus pés como no teto da sala.
Levando-se em consideração que o peso específico do ar que preenche a sala é muito
pequeno e altura também, podemos considerar a pressão como uniformemente distribuída por
todo o sistema.
Considerando que em num dado dia ensolarado, Uberlândia e Ubatuba
estejam com a mesma temperatura média local. É correto afirmar que a
pressão atmosférica de Uberlândia (altitude média: 854 m) seja menor que a
pressão atmosférica de Maceió (altitude média: 7 m)?
Sim, pois P= Patm+λH, então Patm= P -λH. Quanto maior a altitude, menor a pressão
atmosférica.
Um manômetro acoplado a um reservatório de gases indica uma pressão igual
a -10,7 psi (negativa). Considerando que o reservatório esteja numa sala cuja
pressão atmosférica local seja 1 atm, qual a pressão absoluta no reservatório
(em psi)?
Pabs= Patm+Pman
Pabs= 14,7 - 10,7
Pabs- 4psi
Qual é a altura da coluna de mercúrio (λHg = 136.000 N/m3 ) que irá produzir na
base a mesma pressão de uma coluna de água de 5 m de altura? (λágua=10.000
N/m3 )?
O que é um fluido ideal?
Um fluido que não oferece resistência ao escoamento nem perdas de energia por estar
escoando.
Quais os termos são negligenciados na Equação do Movimento para obtenção
da Equação de Euler? Por que os mesmos são cancelados?
∇τ , pois não há transferência de quantidade de movimento.
Cada uma das extremidade, ρm) está acoplada a um cilindro de gás.
Considerando que no cilindro que contém o gás A a pressão é igual a PA e no
cilindro contendo o gás B a pressão é igual a PB, apresente uma expressão
para a diferença entre as pressões dos tanques como função do peso
específico do fluido manométrico.
(Pa-Pb) = (ρm-ρ)gh
A Equação de Bernoulli para fluidos ideais, na forma como foi deduzida e
apresentada no curso, pode ser aplicada tanto para o escoamento de líquidos
como o de gases (sendo este último em qualquer condição de pressão). A
afirmativa é verdadeira ou falsa? Por quê?
Falsa. Para o escoamento de gases é necessário considerar as temperaturas. Além
disso, a massa específica é muito menor para gases do que para líquidos, podendo
desconsiderar a altura. E o gás se expande quando a pressão diminui.
Determinar 𝜌o, P0 [relativa] e P0 [absoluta] na configuração do desenho,
sendo dados: hB= 0,1 m; hA= 0,2 m; 𝜌b= 1.000 Kg/m3 ; Patm= 100 kPa; g= 10
m/s2 .
Seja um escoamento de fluido incompressível conforme apresentado na figura
abaixo. Qual a relação entre velocidade e pressão dentro do canal de
escoamento convergente, no trecho de maior área e em uma segunda análise
para o trecho de menor área de seção transversal. Tome como base para a
análise os fundamentos da Equação da Continuidade e da Equação de
Bernoulli.
A velocidade e a pressão são inversamente proporcionais. Se a área diminui, a
velocidade aumenta e a pressão diminui. Se a área aumenta, a velocidade diminui e a pressão
aumenta.
Com base no estudo realizado para projetos de medidores de vazão dos tipos
placa de orifício, venturi e bocal, explique o que é o Coeficiente de Descarga,
qual a necessidade deste conceito em relação à medida de vazão ideal e qual
sua relação com as perdas de cada dispositivo.
A placa de orifício consiste num disco com um orifício central com saída em ângulo
que deve ser montado concêntrico ao eixo do conduto cilíndrico, provido de duas tomadas de
pressão, uma a jusante e outra a montante do disco. Seu objetivo é causar um desnível e
aumentar a perda de carga. O coeficiente de descarga é definido como a razão entre a vazão
real e a vazão máxima (teórica) que um dado dispositivo pode fornecer. Atingido o regime
permanente no enchimento/esvaziamento de um reservatório, é possível comparar a vazão de
entrada com a vazão de saída. Para o tubo Venturi, a seção de escoamento mínima
praticamente coincide com a seção da garganta, resultando uma perda de carga menor que a
obtida no caso anterior de uma placa de orifício para uma mesma vazão. O bocal é um
medidor semelhante ao tubo Venturi, porém sem a tubeira divergente, sendo também
chamado tubo Venturi curto, sua função é conduzir o fluido para o final do bocal, há menos
perdas. Seu equacionamento fornece resultados bastante próximos aos obtidos para o tubo
Venturi.
Aeronaves usam tubos pitot para medir a velocidade do ar. O mesmo princípio
também pode ser usado para a medição de vazão do ar escoando no interior
de uma tubulação. Considere um tubo de Pitot clássico como ilustrado na
figura, acoplado a uma tubulação. Determine uma expressão para o cálculo de
v1 como uma função da pressão medida com o Pitot apresentado na tabela,
considerando o ar como fluido ideal. A posição do tubo de Pitot foi variada em
seis pontos ao longo do diâmetro da tubulação, obtendo valores distintos de
pressão (fato que evidencia um perfil de velocidades no duto). Ainda, calcule a
velocidade média no interior do duto (vmédia) através da média aritmética dos
pontos obtidos na tabela. Considere ρar= 1,308 kg/m3 .
Água é bombeada entre os pontos 1 e 2 num trecho de escoamento cujas
tubulações possuem mesmo diâmetro (D= 2,54 cm; 1 in) conforme o esquema
abaixo. Com base nas seguintes condições operacionais: −∆𝑃= 3·105 Pa, 𝑉̇=
1,5 L/s, = ρágua= 1.000 kg/m3 , 𝜇= 1 cP, Potbomba= 1500 W e nbomba= 70%.
Considere a tubulação hidraulicamente lisa e calcule a altura H que a bomba
conseguiria elevar o fluido. Considere ainda h1= 0 m como condição de
referência. A equação para especificação da bomba é:
O coeficiente de resistência de joelhos de 90° (1 in, PVC, marca Schneider) é
Ks= 2,25. Para o cálculo do fator de atrito use o Diagrama de Moody.