Segunda prova - Simone Moraes (GA)

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Universidade Federal da Bahia - Instituto de Matema´tica - DMAT
MAT A01 - Geometria Anal´ıtica Professora: Simone Moraes
2a PROVA RESOLVIDA
1.a Questa˜o. (2 pontos) Considere o vetor ~v = (5, 12) no plano.
(a) Escreva o vetor ~v como combinac¸a˜o linear dos vetores ~u = (3, 2) e ~w = (1, 5).
(b) Encontre uma base ortonormal de IR2 que contenha um vetor paralelo ao vetor ~v.
Soluc¸a˜o:
(a) O vetor ~v e´ combinac¸a˜o linear dos vetores ~u e ~w se, somente se, existem nu´meros reais a e b
tais que:
~v = a~u+ b~w ⇐⇒ (5, 12) = a(3, 2) + b(1, 5)⇐⇒ (5, 12) = (3a+ b, 2a+ 5b)
⇐⇒
{
3a+ b = 5 ×(−2)
2a+ 5b = 12 ×3 ⇐⇒
{
−6a− 2b = −10
6a+ 15b = 36
=⇒ 13b = 26 =⇒ b = 2 =⇒ 2a = 12− 5b = 12− 10 = 2 =⇒ a = 1.
Portanto, v = (5, 12) = 1 · (3, 2) + 2 · (1, 5).
(b) Como ‖ ~v ‖= √52 + 122 = √25 + 144 = √169 = 13, enta˜o −→v1 = ~v‖ ~v ‖ =
(
5
13
,
12
13
)
e´ um
vetor unita´rio paralelo ao vetor ~v.
Tomando −→v2 =
(−12
13
,
5
13
)
temos um vetor unita´rio ortogonal a −→v1 .
Portanto, B =
{(
5
13
,
12
13
)
,
(−12
13
,
5
13
)}
e´ uma base ortonormal de IR2.
2.a Questa˜o. (2 pontos) Sejam ~u = (1, 4) e ~w = (3,−5) vetores no plano, determine:
(a) A projec¸a˜o do vetor ~u na direc¸a˜o de ~w.
(b) As equac¸o˜es parame´tricas da reta r que passa pelo ponto P = (−7, 4) e tem a direc¸a˜o do vetor
~v = ~w − ~u.
1
Soluc¸a˜o:
(a) A projec¸a˜o do vetor ~u na direc¸a˜o de ~w e´ o seguinte vetor:
proj~w · ~u = 〈~u, ~w〉‖ ~w ‖2 · ~w.
Como

〈~u, ~w〉 = 〈(1, 4), (3,−5)〉 = 1× 3 + 4× (−5) = −17
‖ ~w ‖2 = ‖ (3,−5) ‖2= (−3)2 + (−5)2 = 9 + 25 = 34,
segue que:
proj~w ~u =
−17
34
· ~w = −1
2
· (3,−5) =
(−3
2
,
5
2
)
.
(b) Como a reta r passa pelo ponto P = (−7, 4) e tem a direc¸a˜o do vetor
~v = ~w − ~u = (3,−5)− (1, 4) = (2,−9), enta˜o as equac¸o˜es parame´tricas de r sa˜o:
r :
{
x = −7 + 2t
y = 4− 9t , com t ∈ IR.
3.a Questa˜o. (2 pontos) Determine um vetor ~u em E3, espac¸o tridimensional, tal que:
• ~u e´ combinac¸a˜o linear dos vetores ~v = (1, 1, 1) e ~w = (0, 1,−1).
• ~u e´ ortogonal ao vetor ~t = (2, 1,−1).
• Comprimento de ~u e´ igual a 3√5.
Soluc¸a˜o:
• Como ~u e´ combinac¸a˜o linear dos vetores ~v = (1, 1, 1) e ~w = (0, 1,−1), enta˜o
~u = a(1, 1, 1) + b(0, 1,−1)⇐⇒ ~u = (a, a+ b, a− b).
• Como ~u e´ ortogonal ao vetor ~t = (2, 1,−1), enta˜o
〈~u,~t〉 = 0⇐⇒ 〈(a, a+ b, a− b), (2, 1,−1)〉 = 0⇐⇒ 2a+ a+ b− (a− b) = 0
⇐⇒ 2a+ 2b = 0⇐⇒ b = −a.
Portanto, ~u =
(
a, a+ (−a), a− (−a)) = (a, 0, 2a) = a(1, 0, 2).
2
Logo,
‖ ~u ‖=‖ a · (1, 0, 2) ‖= |a|· ‖ (1, 0, 2) ‖= |a| ·
√
12 + 22 = |a| ·
√
5.
• Mas ‖ ~u ‖= 3√5, portanto |a| ·√5 = 3√5⇐⇒ |a| = 3, assim podemos tomar a = −3 ou a = 3.
Consequentemente, ~u = 3 · (1, 0, 2) = (3, 0, 6) e´ um vetor que satisfaz todas as condic¸o˜es.
4.a Questa˜o. (2 pontos) Sejam ~u = (3,−2, 6), ~v = (3, 5,−8) e ~w = (1, 0, 1) vetores em E3, espac¸o
tridimensional.
(a) Calcule a a´rea do paralelogramo determinado por ~u e ~v.
(b) Verifique se os vetores ~u, ~v e ~w sa˜o L.I.
Soluc¸a˜o:
(a) Como ~u e ~v determinam um paralelogramo, enta˜o a a´rea deste paralelogramo e´ ‖ ~u ∧ ~v ‖.
Ja´ que
~u ∧ ~v =
∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
3 −2 6
3 5 −8
∣∣∣∣∣∣∣ = −14~i+ 42~j + 21~k = (−14, 42, 21) = 7 · (−2, 6, 3),
enta˜o a a´rea do paralelogramo e´:
‖ ~u∧~v ‖=‖ 7·(−2, 6, 3)∧~v ‖= |7|· ‖ (−2, 6, 3)∧~v ‖= 7·
√
(−2)2 + 62 + 33 = 7·
√
49 = 7·7 = 49.
(b) Os vetores ~u, ~v e ~w sa˜o L.I. se, e somente se,∣∣∣∣∣∣∣
3 −2 6
3 5 −8
1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0.
Mas, ∣∣∣∣∣∣∣
3 −2 6
3 5 −8
1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 1 ·
∣∣∣∣∣ −2 65 −8
∣∣∣∣∣+ 1 ·
∣∣∣∣∣ 3 −23 5
∣∣∣∣∣ = −14 + 21 = 7 6= 0.
Portanto, ~u, ~v e ~w sa˜o L.I.
3
5.a Questa˜o. (2 pontos) Sejam ~u e ~v vetores em E3, espac¸o tridimensional, mostre que:
(a) ‖ ~u+ ~v ‖2 − ‖ ~u− ~v ‖2 = 4 〈~u,~v〉.
(b) Se os vetores ~u e ~v sa˜o ortogonais, enta˜o as diagonais do paralelogramo determinado por ~u e ~v
teˆm o mesmo comprimento.
Soluc¸a˜o:
(a) Observemos que:
‖ ~u+ ~v ‖2 − ‖ ~u− ~v ‖2 = 〈~u+ ~v, ~u+ ~v〉 − 〈~u− ~v, ~u− ~v〉
= 〈~u, ~u〉+ 2〈~u,~v〉+ 〈~v,~v〉 − (〈~u, ~u〉 − 2〈~u,~v〉+ 〈~v,~v〉)
= 4〈~u,~v〉
.
(b) Os vetores ~u e ~v sa˜o ortogonais se, e somente se, 〈~u,~v〉 = 0
Logo, no item (a) se ~u e ~v sa˜o ortogonais temos:
‖ ~u+ ~v ‖2 − ‖ ~u− ~v ‖2 = 0⇐⇒‖ ~u+ ~v ‖2=‖ ~u− ~v ‖2⇐⇒‖ ~u+ ~v ‖=‖ ~u− ~v ‖ .
Como os vetores ~u+ ~v e ~u− ~v sa˜o as diagonais do paralelogramo determinado por ~u e ~v segue
o resultado.
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