13 Limites Indeterminados

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1 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA 
CAMPUS IV-CCAE 
CURSO LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
DISCIPLINA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
PROFESSOR José Elias Dos Santos Filho 
 
Limites Indeterminados 
-Introdução 
 Sabemos que para calcular o limite da função 
2( ) 4f x x 
 e da função 
2( ) 2g x x x  
 
quando 
2x 
, procedemos da seguinte forma: 
2
2 2
lim ( ) lim( 4) 4 4 0
x x
f x x
 
    
 
2
2 2
lim ( ) lim( 2) 4 2 2 0
x x
g x x x
 
      
 
 Isto significa que os valores de 
( )f x
, bem como os valores de 
( )g x
, estarão suficientemente 
próximo de 0(zero) sempre que 
x
 estiver suficientemente próximo de 2. 
 Lembre-se que 
( ) 0 ( ) 0f x e g x 
, pois 
2
2
x
x


. Na verdade, o que teremos é 
( ) 0 ( ) 0f x e g x 
 sempre que 
2x 
. 
 Vejamos agora tentar, de forma direta, calcular o limite da função 2
2
( ) 4
( ) 2
f x x
g x x x


 
 quando 
2x 
, vejamos: 
2
2
2 2
( ) 4 4 4 0
lim lim
( ) 4 2 2 02x x
f x x
g x x x 
 
  
  
. 
 Veja que temos uma expressão da forma 
2
( ) 0
lim
( ) 0x
f x
g x

, o que significa que tanto o numerador 
quanto o denominador, são valores suficientemente próximos de 0(zero) e assim não temos como saber o 
comportamento da divisão 0
.
0
 Esse limite 
2
( ) 0
lim
( ) 0x
f x
g x

 é denominado de limite indeterminado. 
 Observe a tabela abaixo e veja o que acontece com os valores de 
( )
( )
f x
g x
 quando 
2x 
. 
 
 2 
 Pela tabela acima, vemos que 
2
( )
lim 0,5
( )x
f x
g x

. De uma forma mais analítica, note que, 
2( ) 4 ( 2)( 2)f x x x x    
 e que 
( ) ( 1)( 2)g x x x  
. 
Logo, podemos calcular o limite 
2
( )
lim
( )x
f x
g x
 da seguinte forma: 
2 2
( 2) ( 2)( )
lim lim
( )x x
x xf x
g x 
 

( 6) ( 2)x x  2
( 2) 4
lim 0,5
( 6) 8x
x
x

  

. 
-Limites Indeterminados 
0
0
. 
Estamos entrando em outra etapa sobre limites, este é conhecido por LIMITES INDETERMINADOS, 
sempre que tivermos uma indeterminação do tipo: 
 
 
Teremos que fazer uso dos nossos conhecimentos algébricos, onde os mais conhecidos são: 
Fatoração de Polinômios, Divisão de Polinômios e Multiplicação pelo Conjugado. 
Faremos aqui alguns exercícios sobre limites indeterminados. Ante de iniciarmos faremos duas 
discussões, uma sobre DIVISÃO ENTRE POLINÔMIOS e outra sobre MULTIPLICAÇÃO OELO CONJUGADO. 
 
-EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1) Seja 
2( )f x x x 
. O valor do 
0
( ) ( )
lim
h
f a h f a
h
  é: 
Resolução: 
Temos que, 
f (a + h) = (a + h)2 + a + h 
I) 2
2 2
( ) ( ) ( )
2
f a h a h a h
a ah h a h
     
    
 
 
 II) 
2( )f a a a 
 
 
 
 
Agora, substituímos os valores de 
( )f a h
 e 
( )f a
, para calcular o limite, observe: 
 
   2 2 2
0 0
2
0
2( ) ( )
lim lim
lim
h h
h
a ah h a h a af a h f a
h h
a
 

      
 

22ah h a   2h a  a 2
0
0
2
lim
2
lim
h
h
ah h h
h h
a h


 
 

h
2h

h
h

h 0
lim(2 1) 2 1.
h
a h a

 
     
 
 
 Portanto, 
0
( ) ( )
lim 2 1.
h
f a h f a
a
h
 
 
 
Foi feito o seguinte passo aqui: Onde tinha (x) eu 
troquei por (a + h), pois estou analisando f(a + h) 
Foi feito o seguinte passo aqui: Onde tinha (x) eu 
troquei por (a), pois estou analisando f(a) 



1 , ,0 , 0 , - , , 
0
0 00
 3 
 
2) Calcule o limite 2
32
3 2
lim
8x
x x
x
 

. 
Resolução: 
Poderemos usar para sair da indeterminação 0
0
, a Divisão entre Polinômios ou Fatoração. Neste caso, vamos optar 
por usar Fatoração de Polinômios. 
 
Sabemos pelos produtos notáveis que 
I) x2 – a2 = (x – a)(x + a) 
II) x3 – a3 = (x – a)(x2 + ax + a2) 
Sabendo que 3 3 38 2x x   , e por (II) temos que 3 28 ( 2)( 2 4)x x x x    . 
Com relação ao numerador da fração 2
3
3 2
8
x x
x
 

, vamos determinar as raízes da equação 2 3 2 0x x  , que 
são 
1 22 1.x ou x 
 Como, 
2
1 2( )( )ax bx c a x x x x    
 então 
2 3 2 ( 2)( 1)x x x x    
. 
Assim, 
 
2
32 2
( 2)3 2
lim lim
8x x
xx x
x 
 


.( 1)
( 2)
x
x

 2 22 2
( 1) (2 1) 1
lim .
( 2 4) (2 2.2 4) 12.( 2 4) x
x
x xx x 
 
  
    
 
 
 
3) Calcule o limite indeterminado 2
4
5 4
lim
4x
x x
x
 

 . 
 Resolução: 
Como as raízes da equação 2 5 4 0x x  , são os valores 
1 24 1x ou x 
, então 
2 5 4 ( 4).( 1).x x x x    
 
Desta forma teremos: 
2
4 4
( 4)5 4
lim lim
4x x
xx x
x 
 


.( 1)
( 4)
x
x

 4
¨ lim( 1) 4 1 3.
x
x

    
 
Portanto, 2
4
5 4
lim 3
4x
x x
x
 


. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
MULTIPLICAÇÃO PELO CONJUGADO 
 
Suponha que queremos calcular o limite indeterminado 
0
1 1
lim
x
x x
x
  . 
Em muitos casos como estes, é de grande importância que nos livremos do termo que envolve a 
radiciação e que neste caso é 
( 1 1 )x x  
. O conjugado do termo 
( 1 1 )x x  
 é o termo 
( 1 1 )
Sinal
oposto
ao
anterior
x x  
. 
O que fazemos na prática para calcular o limite, é a multiplicar a fração 1 1x x
x
   pela 
fração  
 
1 1
1 1
x x
x x
  
  
 que representa o valor 1. 
Assim teremos o seguinte cálculo: 
 
   
 0 0
1 1 1 11 1
lim lim .
1 1x x
x x x xx x
x x x x 
       

  
, 
A intenção de se fazer isso, é produzir a “Diferença de Dois Quadrado”, veja: 
   
 
   
2 2
( ) ( )
2 2
0 0
1 1 1 1 1 1
lim . lim
1 1
a ba b a b
x x
x x x x x x
x xx x
 
 
        

  
. 
Efetuando as operações devidas iremos obter o resultado do limite, veja a resolução completa 
abaixo: 
   
 
   
2 2
( ) ( )
0 0
2 2
0 0
0
1 1 1 11 1
lim lim .
1 1
1 1 ( 1) (1 )
lim lim
.( 1 1 )
1
lim
a b a b
x x
a b
x x
x
x x x xx x
x x x x
x x x x
x x x x
x
 
 
 

       
 
  
     
  
  


1
0
2
lim
.( 1 1 ) x
x x
x x x 


   x
0
.( 1 1 )
2 2 2
lim 1
2( 1 1 ) 1 1x
x x
x x

  
   
   
 
 
 5 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1) Determine o valor numérico do limite 
1
1
lim .
1x
x
x


 
Resolução: 
Observe que se trata de um limite indeterminado 0
.
0
 
Usaremos a multiplicação pelo Conjugado de 
( 1)x 
 que é 
( 1)x 
. 
Observe:  
2
2
1 1 1
1
11 ( 1) ( 1)
lim lim . lim
1 ( 1) ( 1) ( 1).( 1)
( 1)
lim
x x x
x
xx x x
x x x x x
x
  

  
  
    


( 1)x  1
1 1 1
lim .
2.( 1) ( 1) 1 1xx x
  
  
 
Portanto, 
1
1 1
lim .
1 2x
x
x



 
 
2) Calcule 
2
2
lim
2y
y
y


. 
 
Resolução: 
Vamos multiplicar a fração 2
2
y
y


 pelo termo 2
2
y
y


, observe os cálculos feitos: 
 
 
 
 
   
2 2
2 2
2
2 ( 2) 2( 2)
lim . lim
22 2
( 2)
lim
y y
y
y y yy
y y y
y
 

  
 
  


 2
( 2)
y
y


 
2
lim 2 2 2 2 2.
y
y

    
 
 
 
Portanto, 
2
2
lim 2 2.
2y
y
y



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
-Limites Indeterminados 

. 
Considere a função 
4 2( )f x x x 
. 
Logo, 
4 2lim ( ) lim ( )
x x
f x x x
 
   
, que é uma indeterminação, pois quando 
x 
 
teremos 4x  e 2x  , ou seja, crescem indefinidamente e assim, não podemos estimar o 
resultado da subtração 

. 
Para resolver esse tipo de indeterminação, usaremos o fato de que o comportamento de um 
polinômio qualquer 
1 2
1 2 1 0( )
n n
n nP x a x a x a x a x a

     
, com 
0na 
, coincide com o 
comportamento final de seu termo de maior grau 
n
na x
, ou 
seja,
1 2
1 2 1 0lim ( ) lim
n n n
n n n
x x
a x a x a x a x a a x
 
     
 . 
 Assim, vamos calcular o limite 
4 2lim ( ) lim ( )
x x
f x x x
 
 
 da seguinte forma: 
4 2 4lim ( ) lim ( ) lim
x x x
f x x x x
  
    
. 
- Exercícios Resolvidos 
1) Calcule o seguinte limite 
4
3
lim
2 4 5x x x  
. 
Resolução: 
 Observe que pelo cálculo direto do limite teremos, 
4
3 3
lim
2 4 5x
Indeterminação
x x

  
. 
 Vamos usar o fato de que quando 
x 
 o polinômio 42 4 5x x  possui o mesmo 
comportamento de 42x . 
 Assim, 
4 4
3 3 3
lim lim 0
2 4 5 2x xx x x 
  
 
. 
 
-Limites Indeterminados 


. 
 Considere a função 4
3
2 3 2
( )
4
x x
g x
x x
 


. Note que quando, 
x 
 então 
42 3 2x x  
 e que 3 4x x  e assim teremos 4
3
2 3 2
lim
4x
x x
x x
  


 que também 
representa um tipo de indeterminação. 
 
 
 
 7 
Para calcular o limite 4
3
2 3 2
lim
4x
x x
x x
 

 iremos novamente utilizar o fato de que 
1 2
1 2 1 0lim ( ) lim
n n n
n n n
x x
a x a x a x a x a a x
 
     
. 
Assim, 4 4
3 3
2 3 2 2 2
lim lim lim
14x x x
x x x x
x x x  
 
   

. 
-Exercícios Resolvidos: 
1) Calcule o limite 3
4 3
2 5 1
lim
5 3x
x x
x x
 
 
, caso exista. 
Resolução: 
 Temos que 3 3
4 3 4
2 5 1 2 2 2
lim lim lim 0
5 3x x x
x x x
xx x x  
 
   
 
. 
 
2) Calcule o limite 4
8
3 2
lim
3 4x
x
x x

 
. 
Resolução: 
 Temos que 
8
2
4 4 4
8 8
3 2 3 3
lim lim lim
3 4x x x
x
x x x
x x x  

 
 
4x
3¨. 
 
-Exercícios Propostos: 
1) Para cada uma das funções abaixo determine o limite 
0
( ) ( ) ( ) ( )
lim lim
h x a
f a h f a f x f a
e
h x a 
  

 para 
os respectivos valores de 
a
. 
2 2
2 2 3
3 3 3 2
) ( ) 2 , 3; ) ( ) , 3; ) ( ) 2 , 1
) ( ) 2 , 2; ) ( ) 2 1, 1; ) ( ) , 2
) ( ) 1, 1 ) ( ) 2 , 2; ) ( ) , 3
a f x x a b f x x a c f x x a
d f x x x a e f x x a f f x x a
g f x x a h f x x a i f x x x a
      
         
         
 
2) Calcule os seguintes limites: 
25 2
6 3 2 2
1 2 3
2 2 2
2 2 2
2 3 1
2 2
2
3 0 2
3
2
2 1
4 14 9 7 3 4
)lim ) lim )lim
3 1 4 14 2
5 6 9 5 4
)lim )lim )lim
4 5 6 4 3
9 (2 ) 4 2
) lim )lim )lim
3 2 2
8
)lim ) lim
2
x x x
x x x
x h x
x x
xx x x x
a b c
x x x x
x x x x x
d e f
x x x x x
x h x
g h i
hx x x
x x
j k
x x
  
  
  
 
  
   
    
    
   
 
 

2
2 0
2
0 1
1 9 5 4 3
)lim
6 3 3
4 2 2 3
)lim )lim
49
x
x x
x x
l
xx x
x x
m n
x x

 
  
 
   

 
 
 8 
3) Calcule os seguintes limites no infinito: 
   
3 4 2
4 3 28
2 2
2
3
2
2
4 4
3
2 5 1 3 2 2 3
) lim ) lim ) lim
5 3 3 13 4
1 1
) lim ) lim ) lim
3 2 3 23 1
) lim ) lim 1 ) lim 1 3
3
2 3 1
) lim ) lim
x x x
x x x
x x x
x x
x x x x x
a b c
x x x xx x
x x x
d e g
x xx x
x x
h i x x j x x
x
x x x
k l
x x
  
  
  
 
    
    
 
  

    

   9
4 9 6 4
1
) lim
5 1x
x
m
x x x

   
 
4) Calcule os seguintes limites infinitos: 
3 2 3
2 2 2
2 1
3
2 5
2
3
2 2
0 1 1
2 2
2
2 3
3 1 3 1
) lim ) lim ) lim
2 1 4 2 1
5 6 1 5
) lim (5 4 ) ) lim ) lim
36 1
2 1 2 3 2 3
) lim ) lim ) lim
1 1
4 3
) lim ) lim
4 4
x x x
x x x
x x x
x x
x x x x x
a b c
x x x x x
x x
d x x x e f
xx x
x x x
g h i
x x x
x x
j k
x x
 

  
 
  
  
  
 
   
    
 
  
 
  
 
 
  2 1
1
) lim
6 9 1x
x x
l
x x x

  