Lista 2 C1

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Lista 2
Cálculo 1 - Turma CC (2/2018)
Professor: Matheus Bernardini
1. Escreva, com suas palavras, o significado de:
a) lim
x→a
f(x) = L.
b) lim
x→a−
f(x) = L.
c) lim
x→a+
f(x) = L.
d) lim
x→a
f(x) não existe.
e) lim
x→a−
f(x) não existe.
f) lim
x→a+
f(x) não existe.
2. Faça gráficos de funções f tais que (escolha valores para a e L, caso deseje):
a) lim
x→a
f(x) = L, com a ∈ Dom(f).
b) lim
x→a
f(x) = L, com a /∈ Dom(f).
c) lim
x→a−
f(x) = L, com a ∈ Dom(f).
d) lim
x→a−
f(x) = L, com a /∈ Dom(f).
e) lim
x→a+
f(x) = L, com a ∈ Dom(f).
f) lim
x→a+
f(x) = L, com a /∈ Dom(f).
g) lim
x→a
f(x) não existe.
h) lim
x→a−
f(x) não existe.
i) lim
x→a+
f(x) não existe.
3. Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça:
• lim
x→3+
f(x) = 5, lim
x→3−
f(x) = 1, lim
x→−1
f(x) = 0.
• f(3) = 2, f(−1) não esteja definida.
Determine os pontos de continuidade dessa função.
4. (1/2001) Um comprimido na forma de um cilindro circular reto de raio da base igual a 5 mm tem
altura de h (em miĺımetros). Como o processo de fabricação está sujeito a erros, a altura h deve ter
uma precisão razoável, uma vez que a dosagem de medicamento que é ingerida pelo paciente depende
dela.
a) Determine, em função de h, o volume V (h) do comprimido.
b) Determine o valor de h tal que o volume do comprimido seja igual a 20 mm3.
c) Determine, em mm, o erro máximo tolerado na altura h de maneira que |V (h)−20| seja inferior
a 0, 1.
5. (1/2002) Suponha que, na construção de um aparelho elétrico, usa-se um fio cuja resistência R
depende apenas do comprimento x do fio e ela seja dada por R(x) = 0, 1x. A resistência deve ser
igual a R0 = 0, 5Ω e, portanto, o comprimento deve ser igual a x0 = 5 m. No entanto, o comprimento
real x pode ser diferente do comprimento previsto x0. O valor |x − x0| é o erro devido ao processo
de fabricação.
a) Determine os valores máximo e mı́nimo de x para que o erro de fabricação seja menor que ou
igual a 10 cm.
b) Calcule o erro máximo que pode ocorrer na resistência devido a um erro de fabricação menor
que ou igual a 10 cm no comprimento x.
c) Determine o maior erro que pode ocorrer no comprimento x de forma que o correspondente erro
na resistência seja menor que ou igual a 0,025.
1
6. (2/2002) Considere que um mol de um gás esteja contido em um recipiente de volume fixo V = 20
litros e sujeito a uma pressão P (em Pa) e a uma temperatura T (em K). Suponha que o gás obedeça
à lei de Boyle, isto é, que P = P (T ) = 60T
V
, mas que a medida de T esteja sujeita a pequenos erros.
a) Determine a temperatura T0 para que o gás esteja à pressão de P0 = 900 Pa.
b) Calcule o erro máximo que pode ocorrer na determinação de P (T ) em razão de um erro máximo
de 2 K na temperatura.
c) Determine uma margem de erro não nula na temperatura T de forma que o correspondente erro
na pressão P (T ) seja menor que ou igual a 4 Pa.
7. Considere o gráfico da função f dado abaixo:
Determine, caso exista:
a) Dom(f).
b) f(−4), f(1), f(5), f(9), f(10), f(14).
c) lim
x→−4+
f(x) e lim
x→−4
f(x).
d) lim
x→1−
f(x), lim
x→1+
f(x) e lim
x→1
f(x).
e) lim
x→5−
f(x), lim
x→5+
f(x) e lim
x→5
f(x).
f) lim
x→9−
f(x), lim
x→9+
f(x) e lim
x→9
f(x).
g) lim
x→10−
f(x), lim
x→10+
f(x) e lim
x→10
f(x).
h) lim
x→14−
f(x) e lim
x→14
f(x).
Determine também os pontos de continuidade e de descontinuidade da função f .
8. (1/2018) Seja f : [−5, 6]→ R uma função com gráfico dado abaixo:
a) Determine f(−5), f(−1), f(1), f(3) e f(6).
2
b) Determine os limites lim
x→a−
f(x) e lim
x→a+
f(x) para a = −1, a = 1 e a = 3. Determine também
lim
x→−5+
f(x) e lim
x→6−
f(x).
c) Determine os pontos de descontinuidade da função f . Justifique.
d) Determine os pontos de continuidade da função f . Justifique.
9. (2/2018) Seja f : [−4, 6]→ R uma função com gráfico dado abaixo:
a) Determine f(−4), f(−1), f(1), f(3) e f(6).
b) Determine, caso exista, os limites lim
x→a−
f(x) e lim
x→a+
f(x) para a = −1, a = 1 e a = 3. Determine
também, caso exista, lim
x→−4+
f(x) e lim
x→6−
f(x).
c) Determine os pontos de continuidade da função f . Justifique.
10. Considere a função f : R→ R dada por:
f(x) =

2− x, se x < −1
x2, se − 1 ≤ x ≤ 1
x+ 2, se x > 1
a) Esboce o gráfico de f .
b) Calcule, caso exista, lim
x→−1−
f(x), lim
x→−1+
f(x) e lim
x→−1
f(x).
c) Calcule, caso exista, lim
x→0−
f(x), lim
x→0+
f(x) e lim
x→0
f(x).
d) Calcule, caso exista, lim
x→1−
f(x), lim
x→1+
f(x) e lim
x→1
f(x).
e) Seja a > 1. Calcule, caso exista, lim
x→a−
f(x), lim
x→a+
f(x) e lim
x→a
f(x).
f) Seja a < −1. Calcule, caso exista, lim
x→a−
f(x), lim
x→a+
f(x) e lim
x→a
f(x).
g) Determine os pontos de continuidade e de descontinuidade da função f .
11. (1/2018) Considere a função f dada por
f(x) =

x2 − 9
x+ 3
, se x < −3
ax2 + b, se − 3 ≤ x ≤ 0
sen(5x)
x
, se x > 0.
3
a) Determine, em função de a e b, os valores f(−3) e f(0).
b) Calcule lim
x→−3−
f(x) e lim
x→−3+
f(x).
c) Calcule lim
x→0−
f(x) e lim
x→0+
f(x).
d) Determine o valor de b para que f seja cont́ınua em 0.
e) Considerando o valor de b encontrado no item anterior, determine o valor de a para que f seja
cont́ınua.
12. (2/2018) Considere a função f dada por
f(x) =

x4 − 1
x+ 1
, se x < −1
ax2018 + b, se − 1 ≤ x ≤ 0
sen(2x)
5x
, se x > 0.
a) Determine, em função de a e b, os valores f(−1) e f(0).
b) Calcule lim
x→−1−
f(x) e lim
x→−1+
f(x).
c) Calcule lim
x→0−
f(x) e lim
x→0+
f(x).
d) Determine o valor de b para que f seja cont́ınua em 0.
e) Considerando o valor de b encontrado no item anterior, determine o valor de a para que f seja
cont́ınua.
13. Determine os valores de a e b que fazem com que a função f dada por
f(x) =

sen(2x)
x
, se x < 0
ax+ b, se 0 ≤ x ≤ 2
x2 − 4
x− 2
, se x > 2
seja cont́ınua.
14. a) (1 e 2/2018) Enuncie o Teorema do Confronto.
b) Mostre que lim
x→0
x2018 sen
(
1
x
)
= 0.
c) (2/2018) Mostre que lim
x→0
x2 sen
(
1
x2
)
= 0.
d) Mostre que lim
x→−1
3
√
x+ 1ecos(
2018
x+1 ) = 0.
e) (2/2018) É verdade que: como −1 ≤ cos
(
1
x
)
≤ 1, para todo x ∈ R \ {0}, então
−1 ≤ lim
x→0
cos
(
1
x
)
≤ 1? Justifique sua resposta.
15. Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→3
x3 − 8
x− 2
b) lim
x→2
x3 − 8
x− 2
c) lim
x→1
1− x
1−
√
x
d) lim
x→3
3
√
x− 3
√
3
x− 3
e) lim
x→0
(
1
x
− 1
x2 + x
)
f) lim
h→0
(1 + h)3 − 1
h
4
16. (2/2003) Em um processador, a quantidade x (em Gb) de dados, com x ≤ 10, é processada em
T (x) = 2x+ 280 (em segundos). Para uma quantidade x > 10 (em Gb), o tempo de processamento
é igual a T (x) = K(x2 − 100) + 300 (em segundos), em que K é uma constante positiva. Isso define
uma função T : [0,∞) → R, em que T (x) é o tempo de processamento de uma quantidade x de
dados.
a) Calcule T (10).
b) Determine os limites laterais lim
x→10−
T (x) e lim
x→10+
T (x).
c) Conclua se T é cont́ınua em x = 10.
d) Determine os pontos de continuidade de T .
17. Considere a função T dada no exerćıcio anterior e seja
V (x) =
T (x)− T (10)
x− 10
.
a) Determine o domı́nio da função V .
b) Determine os limites laterais lim
x→10−
V (x) e lim
x→10+
V (x).
c) Determine o valor de K para que lim
x→10
V (x) exista.
d) Determine os pontos de continuidade de V .
e) Considere a função Ṽ : [0,∞) dada por
Ṽ (x) =
{
V (x), se x 6= 10
M, se x = 10,
em que M é uma constante. Determine o valor de M para que a função Ṽ seja cont́ınua.
18. Determine os pontos de continuidade das seguintes funções:
a) f(x) = x2018 − 2018
b) f(x) =
x3 − 1
x− 3
c) f(x) =
√
x− x+ 3
d) f(x) = sec(x) + cotg(x)
e) f(x) = sen(ex)− cos
(
1
x
)
f) f(x) =
ex + e−x
2x3
g) f(x) =
{
1, se x ∈ Q
0, se x /∈ Q
h) f(x) =
{
x, se x ∈ Q
0, se x /∈ Q
19. (2/2018 - extra) Sejam f e g funções reais e a ∈ R tais que
? lim
x→a
(f(x) + g(x)) = 2
? lim
x→a
(f(x)− g(x)) = 1
Calcule lim
x→a
(f(x)2 − g(x)2) e lim
x→a
f(x) · g(x).
5
Gabarito(com posśıveis erros)
1. Pessoal
2. Pessoal
3. Um exemplo é:
4. a) V (h) = 25πh
b) h = 4
5π
c) |h− 4
5π
| < 0,1
25π
5. .
a) 4, 9 < x < 5, 1
b) 0, 01
c) |x− 0, 5| < 0, 25
6. .
a) T0 = 300 K
b) 6 Pa
c) 4
3
7. a) [−4, 14]
b) 3, 5, 8, 4, 8, 2
c) 3, 3
d) 5,−1, não existe
e) 6, 8, não existe
f) 4, 4, 4
g) 8,−1, não existe
h) 2, 2
Pontos de descontinuidade: 1, 5, 10; pontos de continuidade: [−4, 14] \ {1, 5, 10}.
8. a) f(−5) = 3, f(−1) = 2, f(1) = 3, f(3) = 5 e f(6) = 3
6
b) lim
x→−1−
f(x) = 1, lim
x→−1+
f(x) = 1
lim
x→1−
f(x) = 3, lim
x→1+
f(x) = 1
lim
x→3−
f(x) = 1, lim
x→3+
f(x) = 5
lim
x→−5+
f(x) = 3, lim
x→6−
f(x) = 4
c) {−1, 1, 3, 6}
d) [−5, 6] \ {−1, 1, 3, 6}
9. a) f(−4) = 3, f(−1) = 0, f(1) = 3, f(3) = 5 e f(6) = 3
b) lim
x→−1−
f(x) = 1, lim
x→−1+
f(x) = 1
lim
x→1−
f(x) = não existe , lim
x→1+
f(x) = 3
lim
x→3−
f(x) = 5, lim
x→3+
f(x) = 5
lim
x→−4+
f(x) = 3, lim
x→6−
f(x) = 4
c) Pontos de continuidade: [−5, 6] \ {−1, 1, 3, 6}
10. a) Gráfico
b) 3, 1, não existe
c) 0, 0, 0
d) 1, 3, não existe
e) a+ 2, a+ 2, a+ 2 (isso mostra que f é cont́ınua em todo a > 1)
f) 2− a, 2− a, 2− a (isso mostra que f é cont́ınua em todo a < −1)
g) Pontos de descontinuidade: −1, 1; pontos de continuidade R \ {−1, 1}.
11. a) f(−3) = 9a+ b, f(0) = b
b) lim
x→−3−
f(x) = −6, lim
x→−3+
f(x) = 9a+ b
c) lim
x→0−
f(x) = b, lim
x→0+
f(x) = 5
d) b = 5
e) a = −11
9
12. a) f(−1) = a+ b, f(0) = b
b) lim
x→−1−
f(x) = −4, lim
x→−1+
f(x) = a+ b
c) lim
x→0−
f(x) = b, lim
x→0+
f(x) =
2
5
d) b = 2
5
e) a = −22
5
13. a = 1 e b = 2
14. a) Teorema do Confronto
b) Use −1 ≤ sen
(
1
x
)
≤ 1,∀x 6= 0 e o Teorema do Confronto.
c) Use −1 ≤ sen
(
1
x2
)
≤ 1, ∀x 6= 0 e o Teorema do Confronto.
d) Use −1 ≤ cos
(
2018
x+1
)
≤ 1,∀x 6= −1, a função f(x) = ex é crescente e o Teorema do Confronto
(observar que 3
√
x+ 1 pode assumir valores positivos e negativos quando x está próximo de −1).
7
e) Não. Quais são as hipóteses do Teorema do Confronto?
15. .
a) 19
b) 12
c) 2
d)
1
3 3
√
9
e) 1
f) 3
16. .
a) 300
b) 300, 300
c) É cont́ınua.
d) Cont́ınua em [0,∞).
17. .
a) [0,+∞) \ {10}
b) 2, 20K
c) K =
1
10
d) Cont́ınua em [0,∞) \ {10}
e) M = 2
18. .
a) R
b) R \ {3}
c) [0,∞)
d) {x ∈ R : x 6= kπ
2
, k ∈ Z}
e) R \ {0}
f) R \ {0}
g) ∅
h) {0}
19. 2; 3
4
8