Lista 1 de Cálculo 3 (Sem Gabarito)

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Universidade Federal Fluminense
Instituto de Humanidades e Saúde
Departamento de Ciências da Natureza
Cálculo III - Lista 1 - Setembro de 2016
1. Calcule o valor de cada função no ponto indicado:
(a) z =
(
arccotg (x+y)
arctg (x−y)
)3
para x = 1+
√
3
2
e y = 1−
√
3
2
(b) w = ecos z(x+y) para x = y = pi
2
e z = −1
2. Especifique, algebrica e geometricamente, o domínio de cada uma das
funções abaixo:
(a) z =
√
x+ y
(b) z =
√
2x− y2
(c) z = 1√
x+y
(d) z = log (x+ 5y)
(e) z =
√
x seny
(f) z =
√
x+ y
(g) z =
√
3− x2 − 2y2
(h) z = log (x2 − y2)
(i) z = arctg x
2
x2+y2
(j) z = arctg x
x+y
(k) z = cos arctg y
x
(l) z = arccos log (x+ y)
3. A temperatura do ponto (x, y) de uma chapa é dada por T(x, y) =
2x2+3y2+15. Determine a equação da isoterma que passa pelo ponto
(1, 3) e represente-a no plano XY.
4. A temperatura do ponto (x, y) de uma chapa é dada por T(x, y) =
30+
√
50− x2 − y2.
(a) Determine o domínio de T e a temperatura do ponto (3, 4).
(b) Determine a equação da isoterma que contém o ponto (3, 4) e
represente-a no plano XY.
5. O potencial elétrico em uma região do plano XY é dado por V(x, y) =
20
x2+y2
.
(a) Qual é o lugar geométrico dos ponto cujo potencial é 30?
(b) Determine a curva equipotencial que passa pelo ponto (1, 1).
6. O potencial elétrico no ponto (x, y) de uma região do plano XY é
dado por V(x, y) = 4√
9−x2−y2
(V em volts). Determine e represente,
no plano XY, as curvas equipotenciais para 4 e 4000 volts.
7. Seja f(x, y) = 5−
√
x2 + y2. Faça um esboço de seu gráfico.
8. Seja f(x, y) = 5−
√
(x− 1)2 + (y− 2)2. Faça um esboço de seu gráfico.
9. Seja f(x, y) =
√
x2 + y2 +
√
(x− 4)2 + y2.
(a) Determine as curvas de nível 8,6 e 4.
(b) Faça um esboço do gráfico de f.
10. Utilize algum software de computação algébrica para fazer os gráficos
das seguintes funções:
(a) z = f(x, y) = x2−y2 (sela de cavalo)
(b) z = f(x, y) = x3−3xy2 (sela de macaco)
(c) z = f(x, y) = 4x3y− 4xy3 (sela de cachorro)
11. Uma chapa plana de metal está situada no plano XY de modo que a
temperatura T (em graus centígrados) no ponto (x, y) é inversamente
proporcional à distância da origem (0, 0).
(a) Descreva as isotermas de T .
(b) Se a temperatura no ponto (4, 3) é 400C, ache a equação da
isoterma para uma temperatura de 200C
12. O potencial elétrico V no ponto (x, y, z) é dado por V = 6√
x2+4y2+9z2
.
(a) Descreva as superfícies equipotenciais, isto é, as superfícies de
nívelde V que representam pontos onde o potencial elétrico é
constante.
(b) Ache a equação da superfície equipotencial V = 120.
13. Faça um esboço dos gráficos das funções definidas por:
(a) z = 2xy
(b) z = x− y
(c) z = sen (x+ y)
(d) z = |y|
(e) f(x, y) =
{
−
√
x2 + y2 − 1 se x2 + y2 ≥ 1√
1− x2 − y2 se x2 + y2 ≤ 1
14. Procure as seguintes palavras no dicionário e explique como cada
um dos termos se refere a curvas de nível de certos tipos de funções
escalares:
(a) linha isobárica
(b) linha isoquímera
(c) linha isóclina
(d) linha isodinâmica
15. Demonstre que para a função f dada, lim(x,y)→(0,0) f(x, y) não existe.
(a) f(x, y) = x
2−y2
x2+y2
(b) f(x, y) = x
2y2
x3+y3
(c) f(x, y, z) = x
2y2z2
x6+y6+z6
16. Demonstre que para a função f dada, lim(x,y)→(0,0) f(x, y) existe.
(a) f(x, y) = x
3+y3
x2+y2
(b) f(x, y) =
{
(x+ y) sen 1
x
sen
1
y
se x 6= 0 e y 6= 0
0 se x = 0 ou y = 0