Cálculo 3 Lista 1 Gabarito

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo III
Mo´dulo 3 – Gabaritos – Lista 1 2.o/2017
Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) A figura ilustra uma espira retangular no plano Oyz, de lados a e b e com um de seus
ve´rtices no ponto (0, y0, 0), na qual circula uma corrente I2 no sentido hora´rio. Nesse caso,
o campo magne´tico B(x, y, z) = µ0I1
2pi
(
−y
x2+y2
, x
x2+y2
, 0
)
exerce uma forc¸a Fi = I2
∫
Ci
Ti×B ds
em cada um dos lados Ci da espira, i = 1, 2, 3, 4, em que Ti e´ o vetor unita´rio tangente a Ci
com a orientac¸a˜o dada pelo sentido da corrente.
C E a) No plano Oyz o campo magne´tico depende
apenas de y.
C E b) A forc¸a F3 e´ diretamente proporcional a` y0 + a.
C E c) F2 =
µ0I1I2
2pi
(0, 0, ln(1 + a
y0
)).
C E d) A soma F2 + F4 depende do sentido da corrente I2.
C E e) A soma F1 + F3 depende do sentido da corrente I2.
F1 F3
F2
F4
I2I1
C1 C3
C2
C4
b
y0 y0 + a
2) Suponha que uma cerca tenha sido constru´ıda ao longo da curva C de parametrizac¸a˜o
P (t) = (30 cos3(t), 30 sen3(t)) com t ∈ [0, pi/2]. Suponha ainda que, em cada ponto (x, y) da
curva, a altura A(x, y) da cerca seja dada por A(x, y) = 1 + y/3, conforme ilustra a figura.
θ
P (θ)
A(P (θ))
a) Calcule o elemento comprimento de arco ds da curva.
Resposta: ds = ‖P ′(t)‖dt = 90 cos(t) sen(t) dt
b) Calcule o comprimento da curva C.
Resposta:
∫
C
ds = 45
c) Justifique o fato de que a integral
∫
C
Ads fornece a a´rea de um dos lados da cerca.
Resposta:
o produto A(x, y) ds corresponde a` a´rea de um retaˆngulo de altura A(x, y) e base
infinitesimal ds, e a integral e´ a soma de todas essas a´reas
d) Calcule a integral do item anterior.
Resposta:
∫
C
Ads = 225
e) Use os dois itens anteriores para calcular a altura me´dia da cerca.
Resposta: altura me´dia = 5
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3) Para a > 0, a curva definida pela equac¸a˜o r(θ) = a ( 1 + cos(θ) ) em coordenadas
polares, com θ ∈ [0, 2 pi], e´ conhecida como um cardio´ide, e pode ser parametrizada na
forma P (θ) = (x(θ), y(θ)).
2a
a
a) Obtenha a parametrizac¸a˜o P (θ) em termos das func¸o˜es r(θ),
cos(θ) e sen(θ).
Resposta: P (θ) = (r(θ) cos(θ), r(θ) sen(θ))
b) Expresse o vetor velocidade P ′(θ) em temos das func¸o˜es r(θ),
r′(θ), cos(θ) e sen(θ).
Resposta: P ′(θ) = r′(θ)(cos(θ), sen(θ)) + r(θ)(− sen(θ), cos(θ))
c) Verifique que o elemento comprimento de arco da curva pode ser expresso em termos
apenas das func¸o˜es r(θ) e r′(θ).
Resposta: ds =
√
r(θ)2 + r′(θ)2 dθ
d) Use a identidade 2 cos2( θ
2
) = 1+cos(θ) para obter uma primitiva da func¸a˜o
√
1 + cos(θ)
em um intervalo em que cos( θ
2
) na˜o muda de sinal.
Resposta:
∫ √
1 + cos(θ) dθ = ±2√2 sen( θ
2
) + c, conforme o sinal de cos( θ
2
)
e) Use os itens anterior para calcular o comprimento da curva P (θ) com θ ∈ [0, 2 pi].
Resposta: comprimento = 8 a
4) Suponha que um arame tenha a forma obtida da intersec¸a˜o da esfera x2 + y2 + z2 = 1
com o plano x+ y + z = 0, como ilustrado abaixo.
a) Justifique a afirmac¸a˜o de que a forma do arame corresponde a
um c´ırculo unita´rio de centro na origem.
Resposta: isto porque o plano passa pela origem.
b) Verifique que os vetores u = 1√
2
(−1, 0, 1) e v = 1√
6
(1,−2, 1) sa˜o
unita´rios, ortogonais e pertencem ao plano.
Resposta: ‖u‖ = ‖v‖ = 1, 〈u, v〉 = 0 e a soma das coordenadas tanto de
u como de v se anula.
u
v
c) Verifique que o vetor w = au+ bv esta´ no plano para quaisquer a, b ∈ R. Em seguida,
calcule a norma ‖w‖ em termos das coordenadas a e b.
Resposta: segue-se de que u e v esta˜o no plano, e ‖w‖ = √a2 + b2.
d) Use os itens anteriores para obter uma parametrizac¸a˜o P (θ), θ ∈ [0, 2 pi], da curva
correspondente a` forma do arame.
Resposta: P (θ) = cos(θ)u+ sen(θ) v.
e) Calcule a massa do arame supondo densidade linear dada por δ(x, y, z) = x2.
Resposta: massa = 2pi/3.
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