Rolamento

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Rolamento 
 
 
 
 
 
Jonathan Tejeda Quartuccio – Unicamp 
 
 
 
Rolamento 
Temos um objeto que pode ser uma roda, ou um cilindro, e ele está girando em 
torno do seu centro de massa, que chamaremos de Q. O centro de massa possui uma 
velocidade . O raio de nosso objeto é R e o mesmo possui uma velocidade angular dada por 
 . Dizemos que o objeto apresentou um rolamento puro quando, ao dar uma volta em torno 
de seu centro de massa, a distância percorrida foi de : 
 
Ou seja, nosso objeto apresentou uma rotação e uma translação sem derrapar. 
Vamos assumir que nosso objeto esteja rolando sobre uma superfície bem lisa e horizontal. 
Nosso objeto move-se com uma velocidade constante. Dessa forma não existe aceleração e 
consequentemente não existe nenhuma força agindo sobre o objeto. O peso e a normal se 
anulam e assim vemos que não há atrito sobre nosso objeto e o chão (lembre-se que a 
velocidade é constante então a soma de forças é nula). 
 
Sabemos que a velocidade do centro de massa é dada por: 
 
O que podemos nos perguntar agora é: a velocidade em qualquer ponto da borda do 
disco é a mesma? Vamos adotar dois pontos em nosso objeto. 
 
O ponto A é o ponto máximo do objeto enquanto que o ponto B é o ponto de 
contato com a superfície. Q representa o centro de massa. Sabemos que a velocidade do 
centro de massa é a velocidade com que o disco está se deslocando como um todo. Assim, 
podemos adotar . No ponto A temos uma velocidade dada por e no ponto B temos 
uma velocidade . Assim, podemos fazer uma soma vetorial das velocidades. Assim, a 
velocidade no ponto A será: 
 
Ou seja, no ponto A a velocidade do objeto é o dobro do centro de massa. Já no 
ponto B, temos: 
 
No ponto de contato com a superfície, a velocidade é zero. Se analisarmos uma foto 
estroboscópica de uma roda girando, iremos notar que o ponto B da roda parece estar parado, 
enquanto que o ponto A apresenta rotação máxima. 
 
Vamos mudar as coisas um pouco. Iremos colocar nosso objeto sobre um plano 
inclinado, ou seja, existirá uma força agindo que irá mudar o valor da velocidade angular. As 
forças estão determinadas a seguir: 
 
A questão é: alguma força realiza o torque? 
Sabemos que o torque é , ou seja, é o produto vetorial do raio do objeto pela 
força aplicada. Nesse caso, temos as seguintes forças atuando: , , e . 
Perceba agora que todas as forças, exceto o atrito, formam ângulos de 0° ou 180° com relação 
ao raio r do nosso objeto. Ou seja, temos que: 
 
 
 
Nesse caso somente o atrito realiza torque, pois temos que . Então: 
 
Sabemos que a velocidade angular está mudando, então, claramente, existe uma 
aceleração angular que realiza essa mudança. Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos nos lembrar de que como escrevemos o momento angular de um objeto: 
| | ⃗ ⃗ 
Partindo dessa definição, podemos encontrar o torque derivando o momento 
angular: 
 
 
 ⃗ 
 ⃗
 
 ⃗ ⃗ 
Podemos escrever o momento angular em termos da velocidade angular: 
| | ( ) | | 
Então, o torque será: 
 
Da relação de velocidade linear e angular, temos: 
 
Então: 
 
 
 
 
Podemos escrever ainda: 
 
 
 . 
Vamos supor que temos um cilindro rolando por uma rampa. Podemos determinar a 
aceleração agindo sobre o mesmo? 
Vamos partir da definição de torque: 
 
 
Escrevendo em termos de : 
 
 
 
 ( ) 
Queremos determinar o valor da aceleração, mas nesse caso temos duas incógnitas 
( e ). Portanto, será necessária uma segunda equação. Da segunda lei de Newton, temos 
que: 
 ( ) 
Agora, temos duas incógnitas e duas equações. Isolando na equação (I) e 
substituindo em (II) temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
 
 
 
 
E essa será a aceleração adquirida pelo nosso cilindro. Vamos supor que temos dois 
cilindros sólidos, um de massa m e raio r e outro de massa M e raio R. Portanto, temos um 
cilindro maior que o outro. Vamos solta-los do mesmo ponto da rampa e queremos 
determinar qual chegará primeiro no final da mesma. O momento de inércia de um cilindro 
sólido é 
 
 
 . Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
Cancelando os termos obtemos: 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
 
Perceba que em nosso resultado final tanto a massa quanto o raio desaparecem. Ou 
seja, não importa o tamanho dos cilindros. Se ambos forem sólidos eles chegarão juntos no 
final da rampa. Vamos supor agora que ao invés de um cilindro sólido temos um cilindro 
vazado (ou oco), como um cano. O momento de inércia de um cilindro oco é . Assim: 
 
 
 
 
Nossa conclusão é que: se soltarmos dois cilindros sólidos do mesmo ponto da 
rampa, eles chegarão ao final da mesma em tempos iguais. Se soltarmos dois cilindros ocos do 
mesmo ponto da rampa, eles chegarão, também, em tempos iguais no final da mesma. Agora, 
se soltarmos um cilindro sólido e um oco do mesmo ponto, o cilindro sólido chegará mais 
depressa no final da rampa, pois sua aceleração, como vimos, é maior. Se empurrarmos dois 
cilindros de modo a fazê-los subir pela rampa, o cilindro oco alcançará uma altura maior (pois a 
aceleração que o puxa para baixo é menor). 
Perceba algo importante: para um objeto em translação (vamos adotar uma roda) os 
pontos do mesmo apresentam uma velocidade angular, mas o centro de massa apresenta uma 
velocidade linear. O centro de massa, diferente dos pontos em torno de si, não varia em 
ângulo, mas sim em espaço. Assim, para os pontos em torno do centro de massa (chamaremos 
esses pontos de ) temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Para o centro da roda, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, a energia cinética total será: