Espaços Dimensionais

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Espaços Vetoriais, Planos, Cônicas e Superfícies– Jonathan T. Quartuccio 
 
 
 
 
Espaços Vetoriais, Planos, Cônicas e 
Superfícies 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jonathan T. Quartuccio 
Estudante de Graduação em Física 
IFGW – Universidade de Campinas 
 
 
 
 
Espaços Vetoriais, Planos, Cônicas e Superfícies– Jonathan T. Quartuccio 
 
Espaços Vetoriais 
 - reta, com coordenadas ou . 
 - plano, com coordenadas e . 
 - espaço, com coordenadas e . 
Podemos denotar, de uma maneira geral, um espaço , chamado de espaço n-
dimensional. Assim, para n =1 temos uma reta ou espaço unidimensional. Para n = 2 temos um 
espaço bidimensional e para n = 3 temos um espaço tridimensional. 
 
Distâncias entre pontos 
Em temos dois pontos fixos A, situado na coordenada e B, situado na 
coordenada . A distância entre esses dois pontos é dado por . Essa distância 
determina uma reta (a menor distância). 
No espaço bidimensional, ou , temos a representação de um plano cartesiano. 
 
Fixado um ponto A no plano cartesiano, teremos suas coordenadas dadas em e . 
Um segundo ponto B terá suas coordenadas dadas por e . Sendo assim, a distância entre 
os pontos A e B é dado por: 
| | √( ) ( ) 
Isso é facilmente verificado utilizando-se o teorema de Pitágoras. 
 
Espaços Vetoriais, Planos, Cônicas e Superfícies– Jonathan T. Quartuccio 
 
A distância entre dois pontos determina um vetor. 
 
Vetores 
Sejam dois pontos A e B presentes no plano. Sendo A a origem de um segmento que 
une esse ponto com B, chamamos B de extremidade do segmento. Temos a representação de 
um vetor , denotado por ⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
Partindo do plano cartesiano, vamos adotar um segmento que parte da origem do 
plano e chega até um ponto A, com coordenadas e . A distância entre o ponto A e a origem, 
seria dada por: | |√( ) ( ) √ . 
Basicamente, vetores são grandezas determinadas por uma intensidade (o tamanho do 
vetor, ou a distância entre dois pontos), uma direção e um sentido. 
 
Determinação de Coordenadas de um Vetor 
Um ponto A é determinado por uma coordenada em e outra em . Chamamos a 
coordenada de A em e a coordenada de A em . Assim, as coordenadas de A é dado por 
( ). 
 
Norma de um Vetor 
Seja um vetor ligando a origem do plano ao ponto A, determinamos a norma (ou 
comprimento) do vetor como √ 
 
 . 
Vamos adotar agora, um caso num espaço , ou tridimensional. 
 
Um ponto A, situado num espaço tridimensional, possuiria três coordenadas, sendo 
elas e . 
Espaços Vetoriais, Planos, Cônicas e Superfícies– Jonathan T. Quartuccio 
 
Coordenadas Canônicas 
Vamos adotar três vetores unitários, ou seja, a norma deles é um. Adotamos, em cada 
eixo de coordenada, um valor unitário. Um ponto A num espaço tridimensional possui 
coordenadas ( ). Um vetor unitário em possuiria as coordenadas ( ), um vetor 
unitário em é dado por ( ) e um vetor unitário em é dado por ( ). Chamaremos o 
vetor unitário de , o vetor unitário de e o vetor unitário de ⃗ . Assim, as coordenadas de 
um vetor num espaço tridimensional são dadas por: (o que é análogo a 
 ). As coordenadas canônicas mostram o sentido em que determinado ponto se 
encontra nos eixos. Um vetor ⃗⃗ ⃗ num espaço tridimensional será: 
 
Nesse caso, o vetor ⃗⃗ ⃗ ̅̅ ̅̅ , ou seja, é o segmento que une O a P. As coordenadas 
desse vetor serão ⃗⃗ ⃗ . 
Vamos supor que existam dois pontos. O ponto P determinado por ( ) é a 
origem do segmento e o ponto Q, dado por ( ), é a extremidade do segmento. Sendo 
assim, temos um vetor ⃗⃗⃗⃗ ⃗, cujo módulo é dado por: 
| | √( ) ( ) ( ) 
 
Generalização para um espaço n-dimensional 
Seja um ponto qualquer P sobre uma reta. Sua coordenada será dada por ( ). 
Para um ponto P num plano, teremos uma coordenada em e outra em . Assim, num plano 
temos .
 
 /. Podemos atribuir uma coordenada em um plano como e ao invés de e 
 (esse método é mais fácil de trabalhar quando temos n coordenadas). Portanto, num plano 
podemos determinar as coordenadas de P por .
 
 
/. 
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Num espaço tridimensional, podemos representar as coordenadas do ponto P como 
 (
 
 
 
). 
Agora, vamos supor a existência de um espaço . Um ponto P nesse espaço possuiria 
as coordenadas 
(
 
 
 
 
 
 
 
 )
 
 
. 
Se esse ponto determina um vetor ⃗⃗⃗ , então o comprimento desse vetor será: 
| | √∑ 
 
 
 
 
 
Operações com Vetores 
A representação de um vetor ⃗⃗⃗ pode ser feita utilizando-se matrizes. Uma matriz 
linha, ou coluna, é a representação de um vetor. Seja, então, o vetor ⃗⃗⃗ com três coordenadas, 
temos: 
 ⃗⃗⃗ (
 
 
 
) 
As operações de soma entre dois vetores ⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ será: 
 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ (
 
 
 
) 
A multiplicação de um vetor ⃗⃗⃗ por um escalar será: 
 ⃗⃗⃗ (
 
 
 
) 
As operações são as mesmas em n-dimensões. 
 
Coordenadas de um vetor 
Sejam .
 
 
/ e .
 
 
/, o vetor dado por ⃗⃗⃗ ̅̅ ̅̅ possui coordenadas: 
 ⃗⃗⃗ ̅̅ ̅̅ .
 
 
/ 
 
Vetores Coplanares 
Seja A um vetor e B outro vetor, dizemos que A e B são coplanares (ou paralelos) se: 
 . 
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Para determinar se A, B e C são coplanares, podemos fazer: 
 (
 
 
 
) (
 
 
 
) (
 
 
 
) 
 ̅̅ ̅̅ (
 
 
 
) ̅̅ ̅̅ (
 
 
 
) 
Outra maneira de saber se os vetores são coplanares é utilizar a determinante dos três 
pontos. Assim: 
 (
 
 
 
) (
 
 
 
) (
 
 
 
) 
 (
 
 
 
) 
Portanto, os vetores serão paralelos se a determinante for zero. 
 
Definiça o de Reta 
Uma reta em é um subconjunto: 
 * + 
Onde P é um ponto fixo e v é um vetor também fixo. 
Uma reta que passa pelo ponto .
 
 
/ e tem vetor de direção .
 
 
/ é descrita 
como: 
.
 
 / .
 
 
/ .
 
 
/ 
O que nos fornece: 
{
 
 
 
Essa é a chamada equação paramétrica da reta. 
 
Equação Geral da Reta 
Uma reta que passa pelos pontos ( ) e ( ) passa por um ponto 
genérico ( ) qualquer. Aplicando a condição de alinhamento de três pontos, temos: 
|
 
 
 
| 
Desenvolvendo esse determinante, encontramos: 
( ) ( ) ( ) 
Assim, adotando: 
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Obtemos: 
 
 
Combinação Linear 
Temos um vetor e sejam 
 . Com isso, é combinação linear 
de 
 
Uma ideia de um espaço 
Um ponto num espaço quadridimensional possuiria as coordenadas ( ) . 
Para espaços n=3 dimensões, sabemos calcular vetores e outros tipos de formas 
geométricas. Para espaços n=4 dimensões a coisa fica um pouco mais complexa. Não podemos 
observar objetos em 4 dimensões pois habitamos em ummundo governado por 3 dimensões. 
Mas podemos ter uma representação do que seria a sombra de um objeto de 4 dimensões em 
um mundo de 3 dimensões. Primeiro, vamos ver a representação de um objeto de 3 
dimensões em um plano, ou seja, em duas dimensões. Se projetarmos a sombra de um cubo 
em uma mesa ou desenharmos um cubo numa folha de papel, iremos observar que as arestas 
sofrem certa deformação, ou seja, perdemos os ângulos retos. Todas as arestas do cubo são 
ortogonais às arestas que se ligam, mas a ortogonalidade se perde com a representação de um 
cubo num plano 2-D. 
 
Mas, assim como podemos representar a sombra de um objeto 3-D em um plano 2-D, 
podemos ter a representação de um objeto 4-D em um plano 3-D (embora aqui esteja 
representado em 2-D). O nome que daremos ao nosso cubo 4-D será Hipercubo 4-D ou 
Tesserato. Nossa representação aqui é a de um pequeno cubo dentro de outro, e da mesma 
maneira que num cubo 3-D, as arestas formam ângulos retos. 
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A rotação do Tesserato seria observada da seguinte forma: 
 
Em um mundo de 4-D seria possível beber um refrigerante sem a necessidade de abrir 
a garrafa. Isso implica que quanto mais dimensões temos, mais coisas do que parecem surreais 
tornam-se possíveis (para seres que habitam no que Carl Sagan chamou de planolândia, o 
conceito de ir pra cima ou pra baixo é surreal). 
 
Produto Interno ou Produto Escalar 
Sejam (
 
 
 
) (
 
 
 
) (podemos estender isso para ). 
Definimos 〈 〉 
Pela definição de produto escalar: 
 | || | 
O ângulo entre dois vetores pode ser calculado por: 
 
 
| || |
 
 
Projeção Ortogonal 
Seja um vetor e um vetor , cujas origens estão juntas: 
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A projeção de sobre é: 
 (
 
| | 
) 
Digamos que o vetor esteja sobre uma reta s. Se a reta s passa pela origem então 
calculamos a projeção de sobre da maneira que vimos. Mas, se s não passar pela origem, 
mas sim por um ponto A, então: 
 
 (
 ̅̅ ̅̅ 
| | 
) 
 
Produto Vetorial 
O produto vetorial é representado por . 
Sejam dois vetores ( ) e ( ). O produto vetorial pode ser 
calculado como: 
 |
 
 
 
| 
 
Ou seja, ( ) 
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Fazendo uma expansão por cofatores, temos: 
 |
 
 
| |
 
 
| |
 
 
| 
 ( ) ( ) ( ) 
Pela definição de produto vetorial, temos: 
 | || | 
O resultado de um produto vetorial é um terceiro vetor. Sendo assim, a direção e o 
sentido do vetor resultante pode ser encontrado utilizando-se a regra da mão direita. Sejam A, 
B e C vetores. Se fizermos os dedos apontam para o mesmo sentido de A, pois 
ele foi o primeiro termo a surgir. Então você rotacional os dedos em direção à B 
(formando o ângulo). O polegar apontará no sentido do vetor C. 
 
Nesse caso, . Perceba que se fizermos . Ou seja, o vetor C 
estara apontando para baixo. Portanto, dizemos que: 
 
 
Produto Misto 
Sejam os vetores e , o produto misto entre eles será: 
( ) 
Geometricamente, teremos: 
( ) 
Se tivermos um paralelepípedo formado por e , sendo correspondente a 
altura. Temos que o volume do paralelepípedo será: 
( ) | | 
Sendo que 
Podemos calcular o produto misto com o determinante, sendo (
 
 
 
) (
 
 
 
) e 
 (
 
 
 
) 
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( ) (
 
 
 
) 
Se ( ) então e são coplanares . 
 
Planos 
Temos um plano em que ( ) pertence a ele. Um vetor não nulo 
perpendicular ao plano (normal) é dado por ⃗⃗ ⃗( ). Adotando outro ponto qualquer, sendo 
esse ( ) no plano, podemos determinar um segmento ̅̅ ̅̅ ̅ pertencente a . Como o 
vetor ⃗⃗ ⃗ é perpendicular ao plano, temos que ⃗⃗ ⃗ ̅̅ ̅̅ ̅ . 
Tomando ̅̅ ̅̅ ̅ ( ) teremos: 
 ⃗⃗ ⃗ ̅̅ ̅̅ ̅ ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
 
Sendo uma constante, podemos chamar de d, temos: 
 
E assim, temos a equação geral do plano. 
Se e são dois vetores não colineares do plano e de 
maneira que . Assim, obtemos a equação paramétrica do plano. 
A equação paramétrica do plano que passa pelo ponto ( ) e tem vetores 
 ( ) e ( ) pode ser determinada: 
{
 
 
 
 
Seja ( ) e ⃗⃗⃗ ( ). Temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Que nada mais é do que a equação na forma simétrica. 
 
Ângulo entre vetores diretores de Retas 
Um vetor diretor pode ser calculado como: 
 (
 
| |
) 
Um vetor diretor nos eixos nos da os vetores unitários ⃗ ⃗⃗ e ⃗⃗⃗ . Sejam então dois 
vetores diretor das retas, temos: 
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Ângulos entre Planos 
Tomando dois vetores normais de um plano, temos: 
 ( ) 
 
| | | |
 
 
Distância de um ponto ao Plano 
Um ponto no plano que se liga a um ponto fora do plano cria um vetor, cuja 
projeção ortogonal sobre o plano coincide com a distância desse ponto ao plano. Então: 
 ( ) ̅̅ ̅̅ ̅ 
 ̅̅ ̅̅ ̅ 
| |
 
 
Distância de um ponto a Reta 
Temos uma reta e um vetor presente nessa reta. A distância de um ponto à reta 
será: 
 ( ) 
| ̅̅ ̅̅ ̅ |
| |
 
 ̅̅ ̅̅ ̅ 
( ̅̅ ̅̅ ̅ )
 
| |
 
 
Distância entre dois Planos 
Sejam dois planos e e e pontos nos respectivos planos. A distância entre os 
planos é: 
 ( ) 
 ̅̅ ̅̅ ̅̅ 
| |
 
Onde é a normal. 
 
Co nicas 
Tomando uma figura de um cone, podemos fazer secções transversais a fim de obter 
figuras geométricas chamadas de cônicas. 
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Uma cônica satisfaz a equação: 
 
 
Elipse 
Dados dois ponto e chamados de focos, temos que uma elipse é um conjunto de 
pontos de maneira que: ( ) ( ) 
 
Os pontos A e B são os vértices da elipse. Temos que ̅̅ ̅̅ é o eixo maior da elipse e ̅̅ ̅̅ 
é o eixo menor. A distância entre um dos eixos ao centro da elipse chamamos de a. A distância 
entre o centro à C ou D chamamos de b. Uma elipse encontra-se na forma padrão se o seu 
centro coincide com a origem das coordenadas. 
Seja a elipse representada por coordenadas: 
 
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Sua equação será: 
 
 
 
 
 
 
Pode calcular o valor de b: 
 √ 
Agora, digamos que os focos da elipseestão sobre o eixo y ao invés de x. Assim, 
teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
Excentricidade da Elipse 
A excentricidade ( ) da elipse mostra a quão achatada, ou não, é uma elipse. Assim: 
 
 
 
 , ) 
Se a excentricidade for igual a zero (ou seja, ), nossa elipse será um 
circulo. 
No caso geral de uma elipse, temos: 
 
 
 
 
 
Posição Padrão de cônicas 
Para uma cônica estar em posição padrão, devemos ter: 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
Cônica em boa posição 
Para uma cônica estar em boa posição, devemos ter: 
 ( ) 
 
Exemplos de Cônicas 
Seja a cônica descrita pela seguinte equação: 
 
Essa cônica está em posição padrão ( ) e está em boa posição 
( ). 
 
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Seja a cônica descrita pela seguinte equação: 
 
Essa cônica não está em posição padrão (pois e ). Mas está em boa 
posição, pois . 
 
Cônicas em posição Padrão 
 
1° Caso: Elipse 
2° Caso: Hipérbole (sinal diferente) 
3° Caso: Parábola ou 
 
Hipérbole 
Uma hipérbole possui equação: 
 
 
 
 
 
 
Ou, de maneira análoga: 
 
 
 
 
 
 
Calculamos o foco como: 
 √ 
Para o caso de , teremos: 
 
Para o caso de teremos: 
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Para a hipérbole, temos que sua excentricidade será: 
 
 
 
Assíntotas 
Existem duas assíntotas relacionadas às nossas cônicas. São elas: 
 
 
 
 
E 
 
 
 
 
 
Parábola 
Uma parábola pode ser descrita como: 
 
Ou então: 
 
Seja r uma reta diretriz e F um foco, temos: 
 
Ou então, podemos ter: 
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Uma propriedade diz que: ( ) ( ). 
O ponto p vale: 
 
 
 
 
Assim temos: 
 
E: 
 
Se a cônica encontra-se em boa posição, então existe uma equação canônica a saber: 
( )
 
 
 
( )
 
 
 
( )
 
 
 
( )
 
 
 
( )
 ( )
 
 
Características das Cônicas 
A respeito da excentricidade, temos: 
 
 
 
 
Vista Geral de Cônicas em Posição Padrão 
 
1° Caso: Elipse  , 
2° Caso: Hipérbole  (sinais contrários) 
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3° Caso: Parábola  ou 
Analisando uma elipse: 
 
Escrito na forma canônica: 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
( 
 
 
 
 
 
 √
 
 
 √
 
 
) 
Como exemplo, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 √
 
 
 √
 
 
 
Assim, temos que: 
 
(√
 
 )
 
 
(√
 
 )
 
Translação de Cônicas 
Uma cônica C é o conjunto de pontos ( ) que verificam a seguinte 
equação: 
 
Em que ( ) ( ). 
As cônicas são classificadas em: 
Não Degeneradas: Elipse, hipérbole e parábola. 
Degeneradas: união de duas retas, uma reta, um ponto ou o conjunto vazio. 
Se C está em boa posição então podemos aplicar uma translação, de forma a obter C’ 
em excelente posição. Classificamos C’, achamos seus elementos e logo voltamos à nossa 
cônica original. 
{
 
 
 
Como exemplo, temos: 
 
Essa cônica está em boa posição. Então: 
 ( )
 ( )
 ( ) 
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 ( ) ( 
 
 ) 
Impomos {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.
 
 /
 
 
.
 
 /
 
Seja um vetor no plano, cuja origem é o ponto ( ) e a extremidade é o ponto 
 ( ). Temos que a coordenada do vetor será: 
 ⃗⃗⃗ ̅̅ ̅̅̅ .
 
 
/ 
Aplicando uma translação nesse vetor, temos: 
{
 
 
 
Seja com equação ( ) 
( ) ( ) 
( ) verificam ( ) 
Então, se temos um vetor: 
 ⃗⃗⃗ .
 
 
/ 
Sua translação será: 
{
 
 
 
Como exemplo, seja , e a circunferência de raio 1 com centro (2,1). 
Achar a equação de . 
Fazendo a translação: 
{
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
Aplicações às Cônicas 
Vamos tomar algumas cônicas: 
 
Espaços Vetoriais, Planos, Cônicas e Superfícies– Jonathan T. Quartuccio 
 
{
 
 
 
 ( )
 ( ) ( )
 ( ) 
 ( ) ( ) ( 
 
 ) 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.
 
 /
 
 
.
 
 /
 
{
 
 
 
 
 
 
( ) 
.
 
 /
 
. 
 
 /
 
.
 
 /
 
A partir de sua equação canônica, podemos encontrar os elementos de C: 
 
 
 √ √
 
 
 
Utilizando outro método, temos: 
 
{
 
 
 
 ( )
 ( ) ( )
 ( ) 
Impondo o coeficiente de e o coeficiente de , temos: 
{
 
 
 
 ( )
 ( ) ( )
 ( ) 
 
 
.
 
 /
 
 
.
 
 /
 
 
Coordenadas Polares 
A relação entre coordenadas polares e cartesianas é: 
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 ( ) 
 ( ) 
Assim, temos: 
 
 
Podemos encontrar, por Pitágoras, e sendo a reta que parte da origem até um ponto 
P e o ângulo formado com o eixo dos x: 
 √ 
 
 
 (
 
 
) 
Chamamos de polo o ponto ( ) e eixo polar a semireta positiva sobre o eixo dos x. 
Se tivermos um ponto dado em ( ), que são suas coordenadas cartesianas, temos 
que suas coordenadas polares serão: 
 √ √ 
 ( ) 
 
 
 
Têm-se . Podemos escrever s em coordenadas polares: 
 
 
 
 
Sendo . Teremos: 
 
 ( ) 
 
Cônicas em Coordenadas Polares 
Vamos expressar a cônica ( ) ( ) de forma polar. 
 
 
 
Então: 
 
 
 ( ) 
Sendo ( ) 
 ( ) 
 
 
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Equação Polar de Cônicas em Boa Posição 
Tomemos uma cônica C e uma reta diretriz paralela a um dos eixos coordenados. 
Adotemos o polo sendo F e s paralela ou perpendicular ao eixo polar. Assim: 
 ( ) 
1. Se a reta s está a direita do polo F: 
 
 
 
 
2. Se a reta s está acima do polo F: 
 
 
 
 
3. Se a reta s está debaixo do polo F: 
 
 
 
 
4. Se a reta s está à esquerda do polo F: 
 
 
 
 
Como exemplo, vamos identificar a seguinte cônica:{
 
 
 
Outro exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
 {
 
 
 
 
Polinômio Característico de uma Matriz 
Para uma matriz 2x2 temos que seu polinômio característico será: 
 .
 
 
/ ( ) .
 
 
/ 
Suas raízes são chamadas valores próprios de A. 
Como exemplo, temos: 
 .
 
 
/ 
 ( ) .
 
 
/ 
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 ( )( ) 
 ( ) 
 
 ( ) {
 
 
 
E assim obtemos os valores próprios de A. 
 
Matriz de Rotação 
Definimos a matriz de rotação de ângulo como: 
 .
 
 
/ 
Se aplicarmos uma matriz de rotação sobre um vetor, nós giramos esse vetor sem 
alterar seu módulo. 
Temos um triângulo formado por onde ( ), ( ). Esse triângulo é 
equilátero e queremos encontrar o valor de . 
Sabemos que os ângulos internos valem 60°, assim: 
 .
 
 
/ (
 √ 
√ 
) 
 ( )̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ .
 
 
/ 
 (
 √ 
√ 
).
 
 
/ 
(
 
 
 
 √ 
√ 
 
 
)
 
 
Equação Matricial de Cônicas 
Seja a cônica 
 
Sua forma matricial será: 
 
Onde: 
 .
 
 / 
Para escrever uma cônica em forma matricial devemos ter: 
 ( ) (
 
 
) .
 
 / ( ) .
 
 / 
Vamos expressar a seguinte cônica em forma matricial: 
 
 ( ) (
 
 
) .
 
 / ( ) .
 
 / 
Espaços Vetoriais, Planos, Cônicas e Superfícies– Jonathan T. Quartuccio 
 
Teorema: 
Seja a cônica 
 Se ( ) é uma elipse, um ponto ou vazio. 
 Se ( ) é uma hipérbole ou um par de retas 
concorrentes. 
 Se ( ) é uma parábola, um par de retas paralelas 
ou vazio. 
No exemplo, temos que a determinante de A é maior que zero. 
 
Superfí cies Qua dricas 
Uma quádrica é o conjunto de pontos que satisfazem a equação: 
 
De maneira que ( ) ( ) 
Vejamos um esfera de centro ( ) e raio r. 
 
 (
 
 
 
) ( ) 
 √( ) ( ) ( ) 
 ( )
 ( )
 ( )
 
 
Coordenadas Esféricas 
 
Espaços Vetoriais, Planos, Cônicas e Superfícies– Jonathan T. Quartuccio 
 
É importante notar que: 
 
Chamamos o eixo x de eixo polar. Assim, determinamos: 
 
 
 
O que nos fornece: 
 
 
 
A origem do sistema de coordenadas chamamos de polo. 
Observações: 
 
 
 
Para todos esses casos, teremos uma rotação de uma reta sobre um eixo. Para o caso 
de um cone, teremos: 
 
Coordenadas Cilindricas 
Temos que: 
{
 
 
 
 
O que representa coordenadas de P: 
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1) Vamos encontrar o centro e o raio da esfera: 
 
Iremos também: 
2) Encontrar a equação canônica de E. 
3) Encontrar E em coordenadas cilindricas. 
4) Encontrar E em coordenadas esféricas. 
Uma esfera de centro ( ) e raio r será da forma: 
 * ( ) + 
 ( )
 ( )
 ( )
 
 
( )
 
 
 
( )
 
 
 
( )
 
 
 
 
 ( 
 
 
 ) ( 
 
 
 ) 
 ( 
 
 
)
 
 ( 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
1) Centro .
 
 
 
 
 
/ e raio √
 
 
 
( 
 
 
)
 
 ( 
 
 
)
 
 
 
 
 
2) 
. 
 
 
/
 
(√
 
 
)
 
 
(√
 
 
)
 
. 
 
 
/
 
√.
 
 
/
 
 
Espaços Vetoriais, Planos, Cônicas e Superfícies– Jonathan T. Quartuccio 
 
3) {
 
 
 
 
 
 
4) {
 
 
 
 
 
 
Superfí cies 
Vimos que uma quádrica é da forma: 
 
Sendo ( ) ( ) 
Vejamos algumas superfícies (as expressões são dadas quando a quádrica estiver em 
excelente posição). 
Elipsóide 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hiperbolóide de uma folha 
Podemos escrever a equação canônica da hiperbolóide de uma folha de três maneiras 
distintas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Espaços Vetoriais, Planos, Cônicas e Superfícies– Jonathan T. Quartuccio 
 
 
Hiperbolóide de duas folhas 
Da mesma maneira que a hiperbolóide de uma folha, teremos três equações que 
descrevem a hiperbolóide de duas folhas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parabolóide Elíptico 
Descrevemos o parabolíde elíptico como (sendo ): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Espaços Vetoriais, Planos, Cônicas e Superfícies– Jonathan T. Quartuccio 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parabolóide Hiperbólico 
Sendo ( ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cone Elíptico 
As equações que determinam o cone elíptico são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Espaços Vetoriais, Planos, Cônicas e Superfícies– Jonathan T. Quartuccio 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos uma equação no da forma ( ) (ou seja ( ) ou ( ) ). 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
Como exemplo temos: em . Essa equação representa uma elipse, 
então temos: 
 
Exemplos: 
Vamos determinar: 
 
 
Espaços Vetoriais, Planos, Cônicas e Superfícies– Jonathan T. Quartuccio 
 
 
(√ )
 
 
(√ )
 
 
 
 
 
 
(
 
√ 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(√ )
 
 
 
 
So lidos de Revoluça o 
Podemos tomar uma curva C num plano e rotacionar a mesma sobre um eixo, de 
maneira a obter uma figura tridimensional, chamada sólido de revolução. 
 
Na figura acima, a curva gira em torno do eixo x. 
Outros exemplos: 
Espaços Vetoriais, Planos, Cônicas e Superfícies– Jonathan T. Quartuccio 
 
 
 
 
 
Vamos ver um exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Essa figura representa uma hipérbole no plano xz. Giramos essa hipérbole sobre o eixo 
z de forma a obter umsólido de revolução. Então: 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 . √ / 
 
( √ )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Espaços Vetoriais, Planos, Cônicas e Superfícies– Jonathan T. Quartuccio 
 
Volume 
O cálculo integral busca resolver problemas relacionados à áreas de gráficos. Quando 
temos uma curva de um gráfico (dado por uma função ( )) rotacionado em torno de um 
eixo, obtemos um sólido de revolução e assim podemos calcular seu volume: 
 ∫, ( )- 
 
 
 
 
Reconhecimento de Quádricas e Superfícies através de suas Equações Paramétricas 
Sendo C uma curva plana, denotamos (sendo ): 
 {
 ( )
 ( )
 
Se S é uma superfície, temos (sendo ): 
 {
 ( )
 ( )
 ( )
 
Vamos lembrar algumas propriedades da trigonometria: 
 
 
 
Determinaremos, agora, algumas cônicas: 
 {
 
 
.
 
 
/
 
 
 
.
 
 
/
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 {
 ( )
 ( )
 
.
 
 
/
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
Espaços Vetoriais, Planos, Cônicas e Superfícies– Jonathan T. Quartuccio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 {
 ( )
 ( )
 
.
 
 
/
 
 ( ) 
 
.
 
 
/
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 {
 ( ) ( )
 ( ) ( )
 ( )
 
Nesse caso, resolvemos normalmente, fazendo operações com as duas primeiras 
linhas e depois, com o resultado obtido, fazer a operação com a terceira linha: 
.
 
 
/
 
 ( ) ( ) 
 
.
 
 
/
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Superfí cies Mí nimas 
Veremos agora algumas aplicações de superfícies, as chamadas superfícies mínimas. 
Espaços Vetoriais, Planos, Cônicas e Superfícies– Jonathan T. Quartuccio 
 
Dada uma superfície, fixamos todos os pontos do bordo. Tomando dois pontos 
quaisquer nós podemos ligá-los por infinitas curvas, de maneira que uma dessas curvas é uma 
catenária. 
Superfícies mínimas possuem curvatura média nula, o que quer dizer que para um 
determinado limite uma superfície mínima não pode ser modificada sem aumentar sua área. 
 
Catenária 
A catenária descreve uma família de curvas planas, semelhantes às curvas geradas por 
cordas suspensas pelas extremidades e sob a ação da gravidade. 
 
A catenária é descrita pela função hiperbólica: 
 .
 
 
/ 
 
 
( ) 
Uma força aplicada em um ponto qualquer de uma catenária é dividida por toda a 
curva. Por essa razão, fabricamos, com esse formato, fundos de latas, iglus, sprays, túneis, 
usamos em fiação de postes, etc. 
Se rotacionarmos uma catenária sobre um eixo, obteremos uma catenóide. 
 
Catenóide 
A catenóide é uma superfície de mínima área. 
Quando brincamos com bolhas de sabão, nós simplesmente reproduzimos uma 
superfície mínima. Um fênomeno físico chamado de tensão superficialfaz com que as películas 
portem-se como superfícies elásticas, assumindo as formas de menor área possível. 
Espaços Vetoriais, Planos, Cônicas e Superfícies– Jonathan T. Quartuccio 
 
 
A imagem acima mostra uma catenóide construida com película de sabão. 
De todos os sólidos com volumes iguais e não nulos, a esfera é o sólido que possui a 
menor área superficial possivel. Assim como a esfera, a catenóide constitui uma solução para o 
problema de extremização da área de superfícies que satisfazem determinadas condições de 
contorno. 
 
 
 
 
Tensão Superficial 
As moléculas no interior de um líquido são atraídas em todas as direções pelas 
moléculas vizinhas. A resultante dessas forças de atração se torna praticamente nula. As 
moléculas presentes na superfície do líquido, por sua vez, sofrem atração apenas lateralmente 
e inferiormente. As forças aplicadas para os lados e para baixo criam a tensão superficial, e a 
superfície do líquido age como se fosse uma membrana, comportando-se como uma película 
elástica. 
 
 
 
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Superfície Costa 
Essa superficie mínima foi descoberta pelo matemático brasileiro Celso José da Costa. 
Até a sua descoberta, as únicas superfícies até então eram a Catenóide, a Helicóide e o plano. 
A imagem abaixo é uma helicóide: 
 
Abaixo temos a superfície Costa: