A heurística de resolução de problemas em George Polya

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS 
FACULDADE DE MATEMÁTICA 
 
 
 
JOSÉ MARIA LEAL MIRA JUNIOR 
 
 
 
 
 
A HEURÍSTICA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS EM 
GEORGE POLYA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cidade Universitária Professor José Silveira Netto 
Belém-Pará-Brasil 
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Nada é mais importante do que observar as origens da 
invenção, as quais são, na minha opinião, mais 
interessantes do que as próprias invenções. 
 Gottfried Leibniz 
 
 
 
 
 
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RESUMO 
 
A resolução de problemas é atividade fundamental da matemática, no entanto, em 
sala de aula, muitas vezes, este importante aspecto é negligenciado e limitado à resolução de 
problemas rotineiros. Assim, é de nosso interesse neste trabalho, ressaltar pontos importantes 
da resolução de problemas segundo George Polya. Para tanto, o trabalho analisa aspectos da 
matemática e da sua linguagem, os conceitos de matemática, os tipos de problemas 
matemáticos, de heurística, fazendo ainda uma análise bibliográfica do livro “A Arte de 
Resolver Problemas” com objetivo de apresentar os aspectos fundamentais da heurística de 
resolução de problemas de George Polya. Apresentando também o método de questionar do 
professor, visando o incentivo ao aluno e alguns requisitos importantes ao solucionador de 
problemas, bem como a lista de indagações e sugestões analisando as quatro fases: 
compreensão, estabelecimento do plano, execução do plano e retrospecto da resolução. 
O trabalho apresenta ainda alguns pensamentos de George Polya sobre o ensino e 
aprendizagem de matemática, como a percepção de progresso em resolução de problemas e 
alguns aspectos inerentes à docência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
PALAVRAS-CHAVE: Ensino da matemática. Problemas matemáticos. Heurística de 
resolução de problemas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO. ..................................................................................................................... 7 
2. MATEMÁTICA A CIÊNCIA DOS PADRÕES. .................................................................. 11 
2.1 A necessidade de compreender a matemática e a sua linguagem................................................ 14 
3. O QUE É UM PROBLEMA MATEMÁTICO? ................................................................... 18 
3.1 Tipos de problemas matemáticos. ............................................................................................... 19 
3.2 O que é um bom problema matemático? ..................................................................................... 20 
4. HEURÍSTICA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS. ....................................................... 22 
5. A ARTE DE RESOLVER PROBLEMAS, UMA VISÃO DO LIVRO. ............................... 25 
6. A HEURÍSTICA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE GEORGE POLYA. .............. 27 
6.1 Breves dados biográficos sobre George Polya. ........................................................................... 28 
6.2 Atirando-se cegamente à resolução de um problema. ................................................................. 30 
6.3 O método de questionar do professor. ......................................................................................... 32 
6.4 Como solucionadores de problemas entram em forma. .............................................................. 33 
6.5 Fase 1: Compreensão do problema. ............................................................................................ 36 
6.6 Fase 2: Estabelecimento de um plano. ........................................................................................ 38 
6.7 Fase 3: Execução do plano. ......................................................................................................... 43 
6.8 Fase 4: Retrospecto. .................................................................................................................... 45 
7. SE O ALUNO NÃO CONSEGUIR RESOLVER O PROBLEMA PROPOSTO. ............... 48 
7.1 Professor e aluno: Imitação e prática. ......................................................................................... 50 
7.2 Dez mandamentos para professores. ........................................................................................... 51 
8. CONSIDERAÇÕES FINAIS. .............................................................................................. 55 
9. REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 56 
 
 
 
 
 
7 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO. 
 
O desenvolvimento da matemática está baseado na resolução de problemas, um 
problema é, para o matemático, motivação para lançar-se na busca de uma solução. Busca 
que, muitas vezes, no meio do processo solucionador, promove o desenvolvimento de novos 
ramos da matemática. Em grau de importância, maior ou menor, poderíamos tomar vários 
exemplos de bons problemas matemáticos, assim como aos grandes gênios que foram capazes 
de solucioná-los. 
No contexto educacional, o aluno poderá, por meio da resolução de problemas, 
experimentar o triunfo da descoberta, obtendo assim, dentre os vários benefícios, o gosto pelo 
trabalho mental. As fases de resolução da heurística de George Polya, juntamente com as 
sugestões e indagações, poderão proporcionar-lhe o gosto pelo raciocínio independente, 
tornando-o um hábil questionador, capaz de “colher frutos” do seu próprio trabalho, 
descobrindo por si mesmo e assimilando a utilização adequada do método proposto. Neste 
caminho o aluno poderá desenvolver sua autonomia com discernimento e perceber ainda que 
resolver um problema passa pela compreensão e o desejo de resolvê-lo. 
Alguns jornais ou revistas, ou ainda materiais especializados apresentam uma 
série de enigmas e palavras cruzadas que revelam, de uma forma ou de outra que, as pessoas 
levam algum tempo do seu dia, resolvendo problemas sem aplicação prática, nas palavras de 
Polya: 
Por trás do desejo de resolver este ou aquele problema que não resulta em nenhuma 
vantagem material, pode haver uma curiosidade mais profunda, um desejo de 
compreender os meios e as maneiras, as motivações e os procedimentos de 
resolução. (POLYA, 1995, Pg. 6) 
George Polya aponta ainda o fato de, a resolução de problemas revelar um aspecto 
importante da matemática: o de ciência experimental, indutiva, diferente do aspecto rigoroso 
em que normalmente os fatos matemáticos são postos em sala de aula. 
É bom lembrar ainda, que a proposta de George Polya não é um livro de receitas 
sobre resolução de problemas, nem tampouco pretende apresentar regras infalíveis para a 
descoberta da solução de um problema matemático, a esse respeito Polya se manifesta: 
Regra de descoberta infalíveis, que levem a resolução de todos os problemas 
matemáticos, seriam mais preciosas do que a pedra filosofal, em vão procurada 
pelos alquimistas. Tais regras fariam milagres, mas não há milagres. Encontrar 
regras infalíveis, aplicáveis a toda sorte de problemas é um velho sonho filosófico, 
que nunca passará de sonho. (POLYA, 1995, Pg. 133) 
Dessa forma as fases de resolução de um problema, juntamente com a lista de 
indagações são, na verdade, o estudo que tem por objetivo desencadear processos mentais 
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específicos que funcionam como elementos auxiliares na busca da solução do problema. Essas 
sugestões apresentam-senaturalmente ao solucionador de problemas interessado que, muitas 
das vezes, não se dá conta disso ou não é capaz de exprimir os procedimentos apresentados a 
si. George Polya, apresenta então a expressão desses fatos, colocados de forma sincera, clara, 
bem ordenada e com as devidas considerações credenciadas pela sua experiência como 
matemático. 
Em 1997, foi publicado nos Estados Unidos um documento denominado Relatório 
Riley, que aponta a importância da matemática no ensino e a influência deste aprendizado 
para o pleito de vagas em universidades e mercado de trabalho, nas palavras de Devlin: 
Usando dados de diversos estudos de longo prazo, o relatório em questão descobriu 
que 83 por cento dos estudantes do ensino médio que tinham estudado álgebra e 
geometria ingressavam na universidade, um número maior do que o dobro (36%) do 
de estudantes que não estudaram essas matérias. Estudantes de baixa renda que 
estudavam álgebra e geometria tinham uma probabilidade quase três vezes maior 
de ingressar em uma universidade do que os que não estudavam essas disciplinas. 
Além do mais, estudantes que haviam concluído o currículo completo destas duas 
matérias saíam-se notavelmente melhor no curso superior do que seus colegas que 
haviam deixado o estudo dessas matérias pelo meio. (DEVLIN, 2008, Pg. 303) 
O mais surpreendente vem em seguida: 
O relatório não dizia nada sobre a obtenção de boas notas em álgebra e geometria, 
ou até mesmo sobre a aprovação nas séries . O simples fato de estudar as matérias 
já trazia benefícios. E mais, os estudantes obtinham os mesmos benefícios 
independentemente dos cursos universitários que fossem fazer. Alunos de inglês, 
história e de arte saíam-se bem, da mesma forma que os que se especializavam em 
matemática e ciência. É o processo de pensamento que faz a diferença. (DEVLIN, 
2008, Pg. 304) 
A interpretação do relatório não pode ser mais evidente, e mostra claramente o 
benefício do pensamento matemático, segundo o próprio Keith Devlin: “pensar matemática é 
tão bom para a mente quanto uma caminhada ou uma corridinha é para o corpo.”(DEVLIN, 
2008, Pg. 28) 
Na contra mão desses dados, observa-se que, no que diz respeito à educação 
matemática no Brasil, os índices de desempenho apontam a necessidade de melhorias, o 
Sistema de Avaliação da Educação Básica (SAEB) do governo federal, coloca a matemática 
como principal responsável pelas reprovações dos alunos com dificuldades relacionadas à 
aplicação de conceitos e resolução de problemas. 
De imediato justifica-se a pergunta: Se a matemática é tão importante para a 
sociedade, como poderemos melhorar o seu ensino? 
Obviamente a resposta não é única e muito disso justifica-se por questões 
extraclasses como a baixa remuneração dos professores, falta de motivação, falta de recursos 
materiais e humanos, evasão escolar, falta de políticas voltadas à escola brasileira, entre 
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outros. 
Neste cenário é interessante propor novos métodos de ensino, dentre os quais é de 
nosso especial interesse a resolução de problemas. Tendo em vista que o uso da heurística, em 
especial a proposta por George Polya, é pouco aplicada por diversos motivos que vão, desde 
falta de tempo, ao total desconhecimento do assunto por parte do professor ou ainda é posto 
em prática apenas uma caricatura do método de resolução, deixando de lado fases importantes 
como a do retrospecto da resolução, conforme pode-se ver abaixo: 
A prática mais frequente consiste em ensinar um conceito, procedimento ou técnica 
e depois apresentar um problema para avaliar se os alunos são capazes de 
empregar o que lhes foi ensinado. Para a grande maioria dos alunos, resolver um 
problema significa fazer cálculos com os números do enunciado ou aplicar algo que 
aprendem nas aulas. (BRASIL-PCN, 1998, Pg. 40) 
A capacidade de resolver problemas traz inúmeros benefícios ao aluno, dentre eles 
destacam-se a autonomia de pensamento que o levará à assimilação, por imitação e prática, 
dos passos necessários para a resolução de um problema, tornando-o, assim, um hábil 
questionador com a capacidade de traçar e executar planos plausíveis. 
Em seu livro “A Arte de Resolver Problemas”, George Polya, aponta alguns 
benefícios da resolução de problemas: 
Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de 
descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode ser modesto, mas 
se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o 
resolver por seus próprios meios, experimentará a tensão e gozará o triunfo da 
descoberta. Experiências tais, numa idade susceptível, poderão gerar o gosto pelo 
trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua marca na mente e no caráter. 
(POLYA, 1995, Pg. 5) 
 
Para tanto, este trabalho, será fundamentado na heurística de resolução de 
problemas de George Polya e terá como base o livro A Arte de Resolver Problemas, 
juntamente com a lista de sugestões e indagações e alguns apontamentos do autor sobre o 
ensino e aprendizagem. 
Desta forma o trabalho será desenvolvido inicialmente a partir de informações 
importantes para o solucionador de problemas, como o conceito, de grande parte dos 
matemáticos, sobre o que é a matemática, linguagem matemática, problema matemático, tipos 
de problemas matemáticos e, naturalmente, o próprio conceito de heurística de resolução de 
problemas. 
Num segundo momento é feita uma análise sobre o livro “A Arte de Resolver 
Problemas”, de George Polya, apontando as principais divisões do texto, juntamente com 
breves comentários dos conteúdos desenvolvidos nos capítulos da obra. 
Na terceira parte deste trabalho ocorre o estudo da heurística de George Polya, 
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com o apontamento de dados biográficos do autor, alguns fatos motivadores para a utilização 
de um método heurístico e a lista de indagações e sugestões, juntamente com as quatro fases 
de resolução. 
Na quarta parte do trabalho são apresentados alguns pensamentos de George 
Polya sobre o ensino e aprendizagem de matemática, apresentando aspectos de incentivo ao 
aluno com dificuldades de aplicação do método, apontando aspectos importantes ora na 
perspectiva do aluno, ora na perspectiva do professor, juntamente com objetivos a serem 
atingidos por quem pretende ser um bom professor de matemática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. MATEMÁTICA A CIÊNCIA DOS PADRÕES. 
 
No mundo moderno, a competição e a excelência funcionam como parâmetros 
para o desenvolvimento do indivíduo, as novas tecnologias que permeiam a sociedade atual 
reforçam a importância do desenvolvimento científico e suas aplicações. 
Nesse cenário, a matemática tem um papel de destaque, já que é a ciência que 
descreve muito bem vários fenômenos do mundo que nos cerca. Sem a matemática não é 
possível compreender o que mantém um avião no ar, um satélite em órbita, as ondas de rádio, 
música, eletromagnetismo, etc. Sem ela não poderíamos olhar para o futuro e realizar 
previsões estatísticas, como resultados de eleições, climáticas, dentre outras. 
 Muitos são os exemplos de aplicação matemática em nossas vidas cotidianas, que 
sobre uma visão superficial já seriam suficientes para mostrar a importância e a influência da 
matemática na sociedade moderna, contudo, não justifica a necessidade do ensino da 
matemática, já que, a maior parte dos cidadãos do mundo moderno são apenas consumidores 
da tecnologia disponibilizada, perante os avanços matemáticos. Nas palavras de Devlin: 
A justificativa mais comum é que o mundo é tão dependente da ciência e da 
tecnologia que todo mundo necessita ser bom em matemática para poderter sucesso 
na vida, e contribuir integralmente para a sociedade. Isso é o mesmo que dizer que, 
como nossas vidas são tão dependentes do automóvel, todo mundo deve aprender a 
consertar um carro. Embora uma sociedade dependente do automóvel certamente 
exija um número apropriado de engenheiros e mecânicos bem treinados, para a 
maioria de nós é bastante saber dirigir. O mesmo acontece com a matemática. 
(DEVLIN, 2008, Pg. 300) 
Percebe-se ainda que, alguns alunos sentem dificuldades em justificar as horas 
que passam sobre seus livros de matemática. Dessa forma o estudo da matemática não define 
um objetivo claro para a obtenção desse conhecimento e acaba tendo como fim, a obtenção de 
notas finais suficientes para aprovação. 
Dentre as justificativas para o ensino da matemática pode-se destacar a 
transmissão da cultura humana, a capacidade de questionar, interpretar, compreender, mudar 
de opinião, formular planos, tomando decisões e diferentes caminhos adaptáveis logicamente. 
Em resumo um fator importante da matemática é a capacidade de fazer o indivíduo pensar. 
Muitas das dificuldades em matemática, explicam-se pela forma com qual o 
professor ensina os conteúdos em sala de aula. Grande parte das aulas, seguem roteiros de 
definições seguidos de exercícios rotineiros e praticamente imutáveis ano após ano. Ora, mas 
o que permite a alguns perceber algo aparentemente inatingível aos outros? Parte desta 
explicação talvez esteja na forma com a qual essas pessoas definem e enxergam a matemática. 
Se perguntado a qualquer pessoa, o que é a matemática, provavelmente obteremos 
12 
 
 
 
como resposta algo do tipo, “é uma ciência que estuda os números” ou mesmo “são regras de 
como lidar com números” essas definições, precárias, muitas vezes limitam-se à aritmética, 
que apesar de ser uma parte da matemática, não é sequer sua maior parte. Para Devlin, 
 As partes mais avançadas da matemática pouco têm a ver com aritmética ou com o 
cálculo numérico, ou até mesmo com os números, em absoluto, quando estes são 
usados no seu sentido usual. Na verdade, alguns dos melhores matemáticos não são 
bons com números. (DEVLIN, 2008, Pg. 23) 
Entender o que os matemáticos afirmam ser matemática é um passo importante 
para incentivar a continuidade de estudo atenta e eficaz, tendo em vista que assim é 
estabelecida uma meta, um objetivo interessante a ser alcançado que ressalta vários aspectos 
importantes. Um desses aspectos é indicado por Devlin: 
Um aspecto da matemática que atrai muita gente é que ela é muito bem ordenada e 
confiável, em contraposição ao mundo do dia a dia no qual vivemos. Um individuo 
que procura um alto padrão de ordem na sua vida poderia muito bem encontrá-lo 
na matemática. (DEVLIN, 2008, Pg. 298) 
Em meio a isso, uma observação se faz necessária, se o aluno não souber o que é a 
matemática, como poderá entender sua necessidade de estudo? Esse cenário permite 
questionamento por parte dos alunos e um dos mais comuns é “onde vou aplicar isso na 
minha vida?” 
Se perguntado a um matemático, “o que é a matemática?”, a resposta mais comum 
será a que diz que a matemática é a ciência dos padrões, que não deixa de ser uma boa 
resposta desde que a palavra “padrão” seja definida. A esse respeito Devlin se manifesta: 
Permita que eu assinale que os padrões estudados pelo matemático podem ser reais 
ou imaginários, visuais ou mentais, estáticos ou dinâmicos, qualitativos ou 
quantitativos, utilitários ou recreativos. Eles surgem do mundo a nossa volta, das 
profundezas do espaço e do tempo, e do funcionamento da mente humana. 
Diferentes tipos de padrões fazem surgir diferentes áreas da matemática. Por 
exemplo a teoria dos números estuda (e a aritmética usa) padrões de número e de 
cálculo numérico; a geometria estuda padrões de formas; o cálculo infinitesimal 
nos permite lidar com padrões de movimento; a lógica estuda padrões de 
raciocínio; a teoria das probabilidades lida com padrões do acaso; a topologia 
estuda padrões de proximidade e posição. (DEVLIN, 2008, Pg. 26) 
Percebe-se então que os padrões estudados pelos matemáticos não são 
exclusivamente numéricos, embora o padrão numérico usado na aritmética também pode ser 
estudado matematicamente. 
Ao ampliar o horizonte da definição de padrão temos uma parca ideia das áreas de 
estudo da matemática, assim, somos capazes de perceber que a matemática está claramente 
inserida no mundo a nossa volta, em toda parte da natureza e muitas vezes não tem nada a ver 
com números. A este respeito Devlin se manifesta: 
Por que, perguntava Wigner ”a matemática pode ser aplicada com tanta freqüência 
e com tão bons resultados?” A partir do momento em que se percebe que a 
matemática não é um jogo qualquer inventado pelas pessoas, mas sim algo que diz 
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respeito aos padrões que surgem no mundo à nossa volta, a observação de Wigner 
não parece tão surpreendente. 
A matemática não é algo que diz respeito a números, mas sim à vida. Ela é algo que 
nasce no mundo em que vivemos. Lida com ideias. E, longe de ser aborrecida e 
estéril, como muitas vezes é retratada, ela é cheia de criatividade. (DEVLIN, 2008, 
Pg. 98) 
 Ao discorrer sobre o que é a matemática, Keith Devlin (2008, Pg. 96) compara 
a matemática a um par de óculos que permite ver semelhanças entre fenômenos que, em um 
primeiro momento, aparentam ser bastante diferentes, ela funciona como um aparelho de raios 
X, ou uns óculos de visão noturna militar, capaz de tornar visível o invisível. Por exemplo, 
“Gravidade” é dar um nome à coisa, mas não explica o fenômeno que leva algo ao chão 
quando largados no ar. Somente com as equações newtonianas no século 17 foi possível “ver” 
o fenômeno, que não só elucidou o que faz a maçã cair da árvore ao chão como também foi 
possível compreender o que mantém a terra girando ao redor do sol, a lua ao redor da terra, 
um satélite artificial etc. 
Para descrever esses padrões o matemático necessita de uma linguagem, que 
acaba sendo outra forma de definir matemática por algumas pessoas, já que na presença da 
linguagem matemática, dentro de um determinado contexto, é possível detectar conceitos 
matemáticos, figuras, símbolos e, consequentemente, a matemática. Esta linguagem, mesmo 
sendo apontada como um dos motivos da dificuldade de aprendizado, é necessária, 
principalmente por eliminar paradoxos que surgem com o uso indiscriminado da linguagem 
corrente. Além disso a utilização de uma notação adequada, inequívoca, fecunda e fácil de 
lembrar, antecede o bom entendimento do conceito matemático. O professor tem um papel 
importante então: mostrar ao aluno a necessidade do uso desta linguagem e não apresentá-la 
de forma arbitrária. O aluno deve perceber, de preferência por si só, com o auxílio da 
experiência e prática que a linguagem matemática é importante e necessária e que está 
presente para ajudar e não para atrapalhar. Dessa forma não representará uma sobrecarga para 
a memória pois, o aluno estará satisfeito com os argumentos e pronto para utilizá-los. 
 Várias pessoas comparam a matemática com a música, com alguma razão, pois 
as duas são recheadas de símbolos e possuem linguagem própria, os matemáticos e os 
músicos se expressam por meio dessas linguagens. Um músico lendo uma partitura, pode ser 
comparado a um matemático lendo um teorema, o primeiro, ao ler símbolos musicais, alcança 
diretamente os sons e os matemáticos lendo símbolos matemáticos alcança diretamente os 
padrões, com exceção é claro do fato do músico poder expressar os símbolos na forma de um 
som. 
 A linguagem matemática certamente afasta muito as pessoas, a ponto de causar 
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temores a simples vista de simbologia matemática, ora, se o matemático trabalha com padrõesabstratos, nada mais natural que faça uso de uma linguagem abstrata para descrevê-los. Nas 
palavras de Devlin: 
Você pode pensar nos padrões abstratos dos matemáticos como “esqueletos” de 
coisas do mundo. O matemático pega um aspecto do mundo, digamos, uma flor ou 
um jogo de pôquer, separa um determinado aspecto da coisa escolhida, e depois 
descarta todas as características particulares, deixando apenas um esqueleto 
abstrato. No caso da flor, esse esqueleto abstrato pode ser sua simetria. Quanto ao 
jogo de pôquer, pode ser a distribuição das cartas, ou o padrão de apostas. 
(DEVLIN, 2008, Pg. 99) 
Keith Devlin (2008) relata uma pesquisa realizada com modernas técnicas de 
tratamento de imagem, que mostram as partes do cérebro ativadas enquanto o paciente realiza 
tarefas mentais ou físicas, nesse estudo foi comparado quais regiões do cérebro estavam ativas 
quando um matemático profissional e um músico profissional trabalhavam, o resultado só 
vem corroborar com as similitudes, já que as regiões ativas eram muito semelhantes em 
ambos os casos, embora com músicos e matemáticos amadores, o resultado nem sempre é 
semelhante. 
2.1 A necessidade de compreender a matemática e a sua linguagem. 
 
Ao lidar com a matemática, as pessoas normalmente dividem-se em dois grupos, 
os que acham a matemática algo difícil, quase incompreensível, e outro grupo menor, que 
acha a matemática bastante fácil e ainda são capazes de perceber elementos estéticos como 
beleza e elegância nos padrões matemáticos. Sabe-se, porém, que para se fazer uso da 
capacidade matemática o homem não necessita de nenhuma capacidade especial, 
individualizada. Todos somos capazes de dominar a matemática e dela colher frutos. Mas 
exatamente o quê, torna a matemática interessante para uns e uma terrível obrigação para 
outros? 
Parte dessa explicação reside na forma com que a matemática é ensinada em sala 
de aula, o aluno recebe o conhecimento matemático como se fosse uma receita do que fazer 
com os números, do tipo “faça isso e obterá a resposta”. A esse respeito Polya se manifesta: 
O livro de cozinha fornece uma descrição detalhada dos ingredientes e dos 
procedimentos, mas não dá nenhuma demonstração ou razão para as receitas: 
prova-se o pudim comendo-o. O livro de cozinha pode servir perfeitamente aos seus 
fins. De fato, ele não precisa de qualquer sistema lógico ou mnemônico, pois as 
receitas estão escritas e impressas, não precisando ficar retidas na memória. 
(POLYA, 1995, Pg. 117) 
Se um professor seguir muito de perto o que faz um livro de receitas corre o risco 
de não trazer nenhuma motivação as suas aulas, e o pior, fará com que os conteúdos 
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matemáticos não sejam compreendidos, pois os fatos matemáticos enunciados dessa forma 
tornam-se facilmente esquecidos, principalmente pela sua incoerência aos olhos do aluno. 
Nesse modelo as aulas tornam-se manipulações de símbolos sem sentido. 
Nesse momento surge um fator importante, a linguagem matemática. Que é o 
meio mais apropriado de descrever as propriedades, já que a complexidade e abstração da 
matemática tornam proibitivo o uso de outra coisa que não seja a notação simbólica. O aluno 
deverá então ser capaz de ler o símbolo, atribuindo a ele seu significado matemático. 
Podemos tomar como exemplo, o uso dos numerais para denotar os números, como ilustra 
Keith Devlin (2008) “Para usar o numeral “7” para denotar o número 7, devemos reconhecer 
o número 7 como uma entidade.” O mesmo ocorre, por exemplo, com a utilização de letras 
para denotar números desconhecidos em equações algébricas, é preciso que o aluno ao utilizar 
uma letra como o x para denotar um certo número inteiro, tenha em mente o conceito de um 
número inteiro. O símbolo matemático, neste sentido, permite que evoquemos conceitos 
matemáticos que a priori já devem estar definidos em nossa mente. Qualquer manipulação 
simbólica que não siga esta orientação será arbitrária e desprovida de sentido. 
Keith Devlin toma como exemplo, para ilustrar o ponto de vista do aluno, o 
procedimento que descreve a soma de frações: 
1
2
+
3
5
 
Esta operação aponta um erro bastante comum, o aluno enxerga a operação como 
duas adições, e para solucionar o problema soma os numeradores 1 + 3 = 4 e os 
denominadores 2 + 5 = 7. Obtendo como resposta: 
4
7
 
O que, simbolicamente, parece ser o mais lógico a se fazer, porém o resultado não 
faz sentido matematicamente. Este exemplo pode representar um motivo pelo qual o aluno 
começará a sentir dificuldade em compreender conceitos matemáticos. E se o professor não 
mostrar passo a passo o que acontece em termos dos números representados pelos símbolos, 
todo o processo se tornará incompreensível, contudo, devido a capacidade do cérebro humano 
em adaptar-se e aprender determinadas sequências de ações, o aluno aprenderá a forma 
correta de operar os símbolos, motivado talvez, pela necessidade de obtenção de notas nas 
avaliações, ele estará encontrando assim, uma resposta correta, mesmo que ela não faça 
nenhum sentido para ele. 
Assim, o aluno inteligente, não ficará satisfeito em verificar se os passos ou o 
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raciocínio estão corretos, mas compreender a motivação e finalidade desses passos, e não 
obterá proveito nenhum se o passo mais importante permanecer nebuloso, nas palavras de 
Devlin: 
Quantas crianças deixam a escola com boas notas em matemática, mas sem 
compreender o que estão fazendo? Certamente que muitas, a julgar pelo grande 
número de alunos perfeitamente inteligentes que não conseguem somar frações. Se 
apenas entendessem o que está acontecendo , elas nunca se esqueceriam de como 
fazê-lo. Sem essa compreensão, no entanto, poucos conseguem se lembrar de um 
procedimento tão complicado por muito tempo, depois de terminado o exame final. 
(DEVLIN, 2008, Pg. 88) 
Esses fatos ilustram parcialmente um dos motivos que levam as pessoas a 
compreender ou não a matemática, focado na manipulação simbólica desprovida de sentido. 
Outro ponto bastante conhecido, está relacionado com a capacidade do aluno de 
expressar em símbolos matemáticos um problema formulado em palavras. Esta tradução de 
um problema colocado em linguagem corrente, para linguagem matemática, é denominada 
equacionamento, termo que foi utilizado primeiramente por Newton em sua Arithmetica 
Universalis. As dificuldades que surgem no equacionamento são dificuldades de tradução. Já 
que o uso de palavras muitas vezes é repleto de duplo sentido, causando a necessidade do 
resolvedor de problemas escolher o significado que mais se adapta ao caso. 
Aqui surge uma oportunidade interessante que é a descrição de um fato 
matemático em linguagem corrente, tendo em vista que alguns filósofos chegaram ao ponto 
de afirmar que o uso de palavras é fundamental para o raciocínio, contudo, os matemáticos 
alegam que existe a possibilidade de fazer uso do raciocínio sem utilizar palavras, como 
quando, o matemático faz uso de figuras geométricas e símbolos algébricos para nortear o 
raciocínio matemático, segundo Polya (POLYA, 1995, Pg. 97) é possível aprofundar ainda 
mais esta afirmativa alegando que “o uso de signos parece indispensável ao uso do 
raciocínio.” 
Tomemos como exemplo o seguinte enunciado, proposto por Keith Devlin (2008): 
“Um fazendeiro tem 12 vacas. Todas menos 5 morrem. Quantas vacas restam?”. Caso a aluno 
atire-se cegamente à resolução, ficará tentado a realizar a subtração 12 − 5 = 7, obtendo 7 
como resposta. Quando na verdade a resposta correta é 5, provando que a dificuldade de 
tradução pode representar um resultado desastroso, dessa forma, Devlin observa que, 
Gente que é “boa em aritmética” não comete esses erros. O que distingue essas 
pessoas demuita gente que parece “nunca pegar a coisa” não é o fato de que elas 
memorizaram melhor as regras. Em vez disso, elas compreendem essas regras. Na 
verdade, sua compreensão é de tal ordem que elas não precisam absolutamente de 
regras. (DEVLIN, 2008, Pg. 89) 
Para que ocorra a tradução correta, primeiramente é preciso compreender 
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integralmente o enunciado que foi posto em linguagem corrente. Em um segundo momento é 
preciso estar familiarizado com as formas e expressões matemáticas. 
A exemplo do que ocorre em uma tradução do inglês para o português, a tradução 
fica mais simples se pudermos realizar uma tradução literal, contudo, há expressões inglesas 
que não permitem esse artifício. Nos casos mais simples teremos uma tradução imediata para 
símbolos matemáticos, já nos mais difíceis, precisaremos estar atentos ao significado, sendo 
necessário, talvez, reformular o enunciado para fazer melhor uso dos símbolos matemáticos. 
O que fica claro é que os conteúdos matemáticos repletos de símbolos, tornam-se 
mais fáceis se soubermos seus significados, quando os símbolos passam a fazer sentido. Isto 
influencia diretamente a nossa capacidade de abordar problemas, pois somos dependentes da 
nossa familiaridade com os conceitos matemáticos. 
Um outro aspecto importante de alguém que consegue um bom desempenho em 
matemática não reside apenas na capacidade de compreender os símbolos matemáticos, mas 
também na forma que as pessoas enxergam essas entidades matemáticas. Segundo Keith 
Devlin (2008) “um matemático é alguém para quem a matemática é uma série de televisão”. 
Onde os personagens nessa série não são pessoas, mas sim objetos matemáticos. Já os fatos e 
as relações de interesse não são casamentos ou casos amorosos, mas fatos e relações 
matemáticas. Tomemos como exemplo o π, que, para alguns é apenas um número irracional, 
mas que pode adquirir todo um significado, ilustrado a seguir pela ideias de Devlin: 
Para uma pessoa comum, o número π é apenas isso: um número que você obtém 
quando divide a circunferência de um círculo pelo seu diâmetro. (O resultado é 
aproximadamente 3,14159). Mas, para mim, π tem uma personalidade definida. É 
um personagem importantíssimo numa peça que vem se desenrolando numa enorme 
paisagem nos últimos 2.500 anos. E vejo π como um indivíduo muito influente, bem 
relacionado, aparecendo em diferentes locais, e tendo relação com muitos outros 
objetos matemáticos. (DEVLIN, 2008, Pg. 285) 
Com a diferença de que não se pode ter uma imagem visual de π, já que π é 
completamente abstrato. Portanto a principal chave para lidar com a matemática, é o querer. 
Desejar compreender a matemática faz com que usemos nosso cérebro de uma maneira 
ligeiramente diferente, permitindo uma forma diferente de conceber a matemática. Segundo 
Keith Devlin (2008) “quando as pessoas acham que realmente precisam dominar matemática, 
elas geralmente o conseguem”. 
 Não perceber isso pode ser a diferença entre os dois grupos de pessoas citadas 
inicialmente. 
 
18 
 
 
 
3. O QUE É UM PROBLEMA MATEMÁTICO? 
 
O dicionário Michaelis define problema matemático como “toda questão em que 
se procura calcular uma ou várias quantidades desconhecidas, denominadas incógnitas, 
ligadas mediante relações a outras conhecidas e chamadas dados.” Ou “proposição que afirma 
qualquer coisa que deve ser executada ou demonstrada.” 
A definição de problema matemático, colocada de forma intuitiva, diz respeito à 
necessidade de solucionar uma situação matemática onde os meios para esse fim não são 
conhecidos. Em outras palavras, deseja-se resolver algo, mas se desconhece o caminho para 
tanto. 
É certo dizer que a preocupação de resolver um problema, matemáticos ou não-
matemático, é exercitada em nossa vida cotidiana. Mesmo em atividades sem fins práticos, 
colocamos em exercício, ainda que inconscientemente e com base em nossa experiência, 
processos necessários à resolução dessas situações conflitantes. Nas palavras de Polya: 
Resolver problemas é uma atividade humana fundamental. De fato, a maior parte do 
nosso pensamento consciente relaciona-se com problemas. A não ser quando nos 
entregamos a meros devaneios ou fantasias, os nossos pensamentos dirigem-se para 
um fim, procuramos meios, procuramos resolver um problema. (POLYA, 1995, Pg. 
139) 
Em sala de aula, erroneamente, utiliza-se indiscriminadamente a palavra 
“problema” para descrever toda sorte de situações colocadas aos alunos, grande parte dessas 
são exercícios, denominados “problemas rotineiros” por George Polya, que são aplicações de 
resultados matemáticos já conhecidos pelo aluno. Esse problema rotineiro, por exemplo, pode 
ser a aplicação de algum algoritmo, como o da fórmula geral de resolução de equações de 2º 
grau, desde que o aluno de posse da fórmula tenha visto a resolução por substituição das letras 
pelos números em uma questão anterior. Nesse caso só lhe resta seguir uma rotina já 
exemplificada, um passo a passo deu um exemplo já visto. Em situações como esta o aluno 
não tem necessidade de fazer uso de seu discernimento e de suas faculdades inventivas, 
embora, a resolução de problemas rotineiros seja parte importante no aprendizado de 
matemática já que faz uso da capacidade de reconhecer padrões do cérebro humano. No caso 
de resolução de problemas pode-se utilizá-los para evocar elementos já conhecidos ao 
solucionador, capazes de trazer familiaridade com o problema proposto, já que é possível 
fazer uso de seu método e experiência adquirida. Esses conhecimentos previamente 
adquiridos podem representar a diferença entre o que é um problema fácil ou difícil. 
Com a definição de problema colocada nas linhas acima, pode-se concluir que o 
que é um problema para um, pode não passar de um exercício rotineiro para outro. Tudo 
19 
 
 
 
dependerá da experiência e capacidade adquirida por quem se propõe a resolvê-lo. 
3.1 Tipos de problemas matemáticos. 
Os problemas matemáticos dividem-se basicamente em dois grupos, problemas de 
determinação e problemas de demonstração. O primeiro deles, tem por objetivo a obtenção de 
um resultado, denominado incógnita, que nada mais é que um objeto procurado no enunciado 
do problema proposto. Sobre esses aspectos, Polya aponta ainda que, 
A incógnita é também chamada quaesitum, ou aquilo que se procura ou de que se 
necessita. Os “problemas de determinação” podem ser teóricos ou práticos, 
abstratos ou concretos, problemas sérios ou simples enigmas. Podemos procurar 
determinar incógnitas de todos os tipos; podemos tentar encontrar, calcular, obter, 
produzir, traçar, construir todos os tipos imagináveis de objetos. No problema da 
novela policial, a incógnita é um assassino. No problema de xadrez, a incógnita é a 
jogada do enxadrista. Em certos problemas de Álgebra elementar, a incógnita é um 
número. Num problema de traçado geométrico a incógnita é uma figura. (POLYA, 
1995, Pg. 124) 
 Já o problema de demonstração, tem por objetivo concluir se uma certa 
afirmativa é verdadeira ou falsa. A questão principal é esta: se o enunciado é ou não 
verdadeiro, para isto a pessoa empenhada em demonstrar o problema deve concluir uma das 
duas hipóteses possíveis: provando-a verdadeira ou provando-a falsa. 
Tendo em vista que algo não pode ser verdadeiro e falso ao mesmo tempo exclui-
se uma terceira possibilidade. A esse respeito Polya se manifesta: 
Uma testemunha afirma que o acusado passou em casa toda uma certa noite. O juiz 
tem de verificar se essa afirmativa é verdadeira ou não e, além disso, tem de 
apresentar razões tão boas quanto possíveis para a sua conclusão. Assim, o juiz tem 
um “problema de demonstração”. ( POLYA, 1995, Pg. 125) 
É possível ressaltar ainda as diferenças entreas partes dos problemas. Os 
problemas de determinação, por exemplo, têm como partes principais a incógnita, os dados e 
a condicionante, já os de demonstração, têm como partes principais a hipótese e a conclusão. 
É preciso dizer que os termos: “problemas de determinação” e “problemas de 
demonstração” foram adotados com objetivo de substituir termos históricos que podem causar 
confusão pelo uso corrente. Nas versões latinas de textos matemáticos gregos os “problemas 
de determinação” são denominados simplesmente “problemas” e os “problemas de 
demonstração” são denominados “teoremas”. 
No livro “A arte de resolver problemas” de George Polya, a lista de indagações 
que evocam as operações mentais típicas de resolução de problemas, é melhor aplicada em 
problemas de determinação, sendo necessária alterações para que as sugestões também 
possam ser aplicadas em problemas de demonstração. 
Além disso os problemas matemáticos podem ser formulados com base em 
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contextos do mundo a nossa volta. Esses problemas intitulados práticos, exigem atenção 
redobrada, pois tendem a ser mais complexos e menos nítidos. Em um bom problema 
matemático as partes do problema são essenciais e devem ser levadas em conta, já em um 
problema prático tudo tende a ser mais nebuloso, as partes do problema podem ser numerosas 
e não são necessariamente úteis e muitas vezes precisam ser descartadas. Acrescente ainda o 
fato de problemas matemáticos derivados de problemas práticos, ocasionalmente, tolerem 
aproximações como resultado, sendo razoável, então, pequenas imprecisões no cálculo, se 
obviamente, a aproximação trouxer o benefício da simplicidade ou a utilização de um 
resultado já conhecido. Contudo a motivação e as atitudes tomadas no caminho do processo 
solucionador dos problemas puramente matemáticos ou dos problemas práticos parecem ser 
as mesmas. 
3.2 O que é um bom problema matemático? 
 
Um problema matemático é mais interessante, a medida que o solucionador 
necessite fazer uso de várias ferramentas ou mesmo inventar argumentos necessários ao 
processo solucionador. O próprio desenvolvimento da matemática necessita desses tipos de 
problemas, tomemos como exemplo o teorema de Fermat, que afirma que não existe nenhum 
conjunto de inteiros positivos x, y, z e n, com n maior que 2, que satisfaça �� + 
� = ��. 
Este enunciado foi escrito por Pierre de Fermat às margens de uma tradução de Arithmetica de 
Diofanto, juntamente com o enunciado, Fermat afirmava ter descoberto uma demonstração do 
teorema, mas que não poderia mostrá-la por falta de espaço. 
Este problema de demonstração foi objeto de pesquisa por cerca de 300 anos. Os 
matemáticos apoiados na afirmativa de Fermat, acreditavam e buscavam a demonstração do 
teorema com toda dedicação. Demonstração que só veio ocorrer em 1994, realizada pelo 
matemático britânico Andrew Wiles. 
Hoje se acredita que Fermat enganara-se ao afirmar ter realizado a demonstração, 
pois Wiles utilizara ferramentas avançadas não disponíveis para Fermat. 
O teorema de Fermat, pode ser tomado como um bom problema matemático, pois, 
no caminho da demonstração provocada pelo enunciado, promoveu-se o desenvolvimento de 
ideias e ferramentas matemáticas originais, fundamentais no processo solucionador. 
No contexto educacional, é preciso definir o que é um bom problema. Um bom 
problema para o aluno passa antes por um diagnóstico, cuidadosamente realizado pelo 
professor, onde, deve ser feito apontamento que indique o nível de desenvolvimento do aluno 
21 
 
 
 
e da turma, permitindo assim, a elaboração de um problema mais próximo da capacidade do 
aluno, que deverá então ser capaz de compreendê-lo e resolvê-lo se realmente tiver interesse. 
Antes de qualquer coisa o enunciado verbal do problema precisa ser claro e suas partes 
principais bem definidas para que o estudante adquira o hábito de direcionar sua atenção 
nesses pontos, beneficiando sua capacidade de resolver problemas. 
Um bom problema nunca fica completamente esgotado, sempre restará alguma 
coisa a fazer, compreender e melhorar a resolução. Esses tipos de problemas servem ainda 
para aumentar consideravelmente o repertório do solucionador, proporcionando um método 
ou resultado que, com bom senso e o devido cuidado, poderá ser aplicado em vários outros 
casos. Esses pontos relevantes devem ser estimulados e podem representar a diferença entre 
um problema fácil e um difícil. 
Outro aspecto importante de um bom problema matemático é que ele deve 
despertar algum interesse em quem está disposto a resolvê-lo. Só assim, para o solucionador, 
será possível consagrar toda a personalidade na busca do objetivo final. Muitas vezes quando 
um estudante mostra-se pouco interessado e sem perseverança, nem sempre a culpa é 
inteiramente dele, já que o estudante pode carecer do desejo para compreender e interessar-se 
pela resolução do problema, em outras palavras é preciso gostar para fazer bem. Na visão de 
Polya: 
É uma tolice responder a uma pergunta que não tenha sido compreendida. É triste 
trabalhar para um fim que não se deseja. Estas coisas tolas e tristes, fazem-se 
muitas vezes, mas cabe ao professor evitar que elas ocorram O aluno precisa 
compreender o problema, mas não só isto: deve também desejar resolvê-lo. Se lhe 
faltar compreensão e interesse, isto nem sempre será culpa sua. O problema deve 
ser bem escolhido, nem muito difícil nem muito fácil, natural e interessante, e um 
certo tempo deve ser dedicado à sua apresentação natural e interessante. (POLYA, 
1995, Pg. 4) 
Na citação acima, George Polya utiliza um termo pouco comum: “desejo”. 
Inaugura-se então a pedagogia do desejo, apontando a necessidade de uma sincera motivação 
para resolver problemas. Se o professor for capaz disso, provocará uma revolução na forma de 
enxergar a matemática por parte dos seus alunos. 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
 
4. HEURÍSTICA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS. 
 
Segundo o dicionário Aurélio (5ª edição revista e ampliada, Rio de Janeiro 2001 
Editora Nova Fronteira), Heurística é o “conjunto de regras e métodos que visam à 
descoberta, à invenção ou à resolução de problemas.” Já o adjetivo “heurístico” significa “que 
serve para descobrir”. 
Essas definições, um tanto quanto precárias, ressaltam aspectos gerais importantes 
da heurística, mas carecem de um conceito mais detalhado. 
Diante de uma situação conflitante, necessária ao exercício de certa atividade, 
somos levados a executar uma série de ações com objetivo de solucionar esse ou aquele 
problema. O processo psíquico que auxilia a resolução do problema que, até então era algo 
inédito ao solucionador, é também denominado pensamento criador, atividade heurística ou 
simplesmente, heurística. A importância da heurística fica evidente nas palavras de Puchkin: 
Não é difícil imaginar a importância e a significação de uma atividade produtiva e 
criadora. Descobertas científicas, criação de novas formas de construção, 
elaboração de planos de batalha ou atividades operativas num posto de expedidor, 
investigação de um crime complicado etc., nem de longe compõem a relação dos 
diversos trabalhos em que, como importantíssimo componente, entra a atividade 
criadora. Esse componente comprova até que ponto são relevantes o estudo dado 
dessa atividade e a descoberta de sua constante. (PUCHKIN, 1969, Pg. 8) 
 Pode-se então definir heurística como a ciência que estuda os padrões da 
atividade do pensamento criador. Porém não é limitado somente a isso, já que abrange 
também a elaboração de métodos do processo heurístico. Esta nova utilização do termo 
heurística é denominada por George Polya como heurística moderna, que:Procura compreender o processo solucionador de problemas, particularmente as 
operações mentais, típicas desse processo, que tenham utilidade. Dispões de várias 
fontes de informação, nenhuma das quais deve ser desprezada. Um estudo 
consciencioso da Heurística deve levar em conta, tanto as suas bases lógicas quanto 
as psicológicas . Não deve esquecer aquilo que autores antigos como Pappus, 
Descartes, Leibniz e Bolzano escreveram sobre o assunto, mas muito menos deve 
desprezar a experiência imparcial. (POLYA, 1995, Pg. 87) 
George Polya define Heurística ou “ars inveniendi” como um ramo não bem 
delimitado ora pertencente à Lógica, ora à Filosofia, ora à Psicologia que apresenta algumas 
características não definidas claramente, mas que já se fazia presente nos trabalhos dos 
comentaristas de Euclides, onde podemos destacar Pappus, matemático grego, que viveu 
aproximadamente no ano 300 de nossa era. Em sua obra Pappus descreve um estudo 
denominado por ele de analyomenos, que segundo a tradução de George Polya significa 
“Tesouro da Análise” ou “Arte de Resolver Problemas” ou finalmente “Heurística”, é fácil 
perceber que George Polya prefere e utiliza a ultima denominação. 
23 
 
 
 
Conforme a indicação de Geoge Polya, matemáticos e Filósofos ao discorrer sobre 
o tema, sentiram a necessidade de uma melhor sistematização e, nesse sentido, deve-se muito 
a Descartes, Leibniz e Bernard Bolzano. 
Descartes (1596-1650) desenvolveu um método universal para a resolução de 
problemas chamado Regras para a Direção do Espírito. Este material inacabado, encontrado 
somente após a morte de Descartes, aparentemente foi escrito antes de sua obra mais 
conhecida o Discours de La Méthode. Neste material, Descartes relata o que parece ser a 
origem de suas ideias: “Quando jovem, ao ouvir falar de invenções engenhosas, tentei 
inventá-las eu próprio, sem nada ter lido dos seus autores. Ao fazê-lo, percebi, gradualmente, 
que estava a utilizar certas regras.” Em um certo ponto da proposta de Descartes, o autor 
cogita a redução de qualquer tipo de problema, a um problema matemático, o que já 
demonstra a necessidade de melhoria em sua proposta de heurística, já que nem sempre isso é 
possível. 
Já Leibniz (1646-1716) objetivou escrever uma obra denominada “Arte da 
invenção” sem, contudo, concluí-la. Do que seria este material, nos restam diversos 
fragmentos dentre os quais esta valiosa observação: “Nada é mais importante do que observar 
as origens da invenção, as quais são, na minha opinião, mais interessantes do que as próprias 
invenções.” 
Bolzano (1781-1844) em sua obra sobre Lógica denominada Wissenschaftslehre, 
reservou parte do trabalho para tratar de Heurística, com objetivo de formular em linguagem 
clara o processo heurístico, comumente utilizado pelo solucionador de problema, ainda que de 
forma inconsciente. Para Polya o estudo da heurística: 
Tem objetivos “práticos”: melhor conhecimento das típicas operações mentais que 
se aplicam à resolução de problemas pode exercer uma certa influência benéfica 
sobre o ensino, particularmente sobre o ensino da matemática. (POLYA, 1995, Pg. 
87) 
Com esses breves comentários, somos capazes de conceituar heurística, mas 
devemos ficar atentos para um de seus produtos e uma das principais razões do nosso estudo, 
o raciocínio heurístico, que nada mais é que a capacidade de formular e elaborar planos 
plausíveis com a capacidade de perceber se a ideia provisória é boa ou má, planejando ainda 
metodicamente a sua aplicação a um determinado problema. 
A utilização de um método heurístico pode proporcionar o melhor aproveitamento 
das alternativas de resolução de um determinado problema, já que não fará uso de todas as 
possibilidades de solução, mas apenas de umas delas, escolhidas com base no discernimento 
do solucionador. Com base nisso, podemos caracterizar dois tipos de planos de resolução, os 
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sistemáticos e os heurísticos. 
Tomemos como exemplo o problema proposto por Puchkin (1969, Pg. 8) que é o 
de procurar uma bola em um recanto qualquer de uma clareira. O autor aponta que o meio 
mais seguro de obter a solução, é o de procurar a bola vasculhando canto por canto da 
clareira, este modelo ilustra uma resolução sistemática. Contudo nem sempre é possível fazer 
uso de planos sistemáticos, mesmo que bem concebidos, pois são pouco positivos e nem 
sempre são possíveis de se por em prática. Como alternativa a isso temos os planos 
heurísticos que, desde que sejam plausíveis e não apenas uma adivinhação desconectada das 
condições do problema, poderá ter a capacidade de solucionar rapidamente e da forma mais 
eficiente, já que limita as possibilidades de resolução. 
Este tipo de raciocínio orienta a vida cotidiana e tem como característica não 
apresentar a certeza de uma demonstração rigorosa, mas ser extremamente útil na aquisição 
de conhecimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. A ARTE DE RESOLVER PROBLEMAS, UMA VISÃO DO LIVRO. 
 
Não é fácil encontrar grandes matemáticos que dediquem especial interesse pelos 
currículos e métodos voltados ao ensino da matemática. Neste cenário George Polya tem um 
papel de destaque, suas opiniões acerca do processo de ensino-aprendizagem, resultam de 
uma longa experiência, como matemático profissional e professor, fundamentada num longo 
estudo de métodos de resolução de problemas que aqui chamaremos de heurística de George 
Polya. Suas reflexões sintetizadas em vários excelentes artigos do qual se destaca e temos 
especial interesse pelo livro “A arte de resolver problemas”, traz à tona excelentes orientações 
ao professor, aluno ou a qualquer pessoa interessada em aprender e ensinar matemática. 
George Polya sintetiza suas ideias e objetivos a partir de uma lista de indagações e 
sugestões denominada “Como Resolver um Problema”, a reunião desses elementos recebe a 
denominação de “a lista” ou “nossa lista” pelo próprio autor. 
A heurística de George Polya se desenvolve a partir dessa lista, determinando seus 
objetivos, fundamentos, operações mentais e aplicação prática a partir de exemplos ilustrados 
com diálogos idealizados pelo autor, entre um aluno e um professor fictícios. A lista de 
indagações tem como característica principal a generalidade e pode certamente ser aplicada a 
problemas de qualquer tipo, tendo em vista que é dotada de naturalidade e segue um caminho 
que provavelmente seria adotado por um solucionador interessado, na ordem natural e mais 
provável do surgimento da indagação, nada além do bom senso comum. Nas palavras de 
George Polya: 
Está com fome? Deseja então conseguir comida e pensa em meios conhecidos de 
obtê-la. O seu problema é de Geometria? Deseja então traçar um triângulo e pensa 
em maneiras conhecidas de encontrar essa ou outra incógnita semelhante. Se fizer 
isto, estará seguindo exatamente a sugestão que citamos em nossa lista. E estará 
assim no caminho certo, pois a sugestão é boa e indica um procedimento que 
frequentemente apresenta bons resultados. (POLYA, 1995, Pg. 2) 
O livro foi dividido em quatro partes, a primeira delas, denominada “Em Aula”, 
que contém vinte seções. Nas seções de 1 a 5 expõe em termos gerais os objetivos da lista de 
indagações e sugestões, já as de 6 a 10 discute as divisões principais, questões principais da 
lista e apresenta ainda um exemplo prático. As seções 18, 19 e 20 acrescentam outros 
exemplos. 
Já a segunda parte, intitulada “Como Resolver um Problema”, apresenta um 
diálogo fictício entre um professor e um aluno idealizados por George Polya. 
A terceira parte, a mais extensa do livro, é denominada “Pequeno Dicionário de 
Heurística”,é composta por sessenta e sete artigos, em ordem alfabética, e serve para 
26 
 
 
 
complementar, definir e aprofundar termos utilizados pela heurística de forma geral. 
Temos ainda uma quarta parte do livro, denominada “Problemas, Indicações, 
Soluções”. Onde são propostos alguns problemas para o leitor mais interessado, esses 
problemas são apresentados com algumas indicações que direcionam o solucionador no 
caminho da resolução. 
Muitas vezes um bom solucionador de problemas sequer percebe os 
procedimentos que ele adota na resolução de um problema, ou então esta preocupação nunca 
lhe passou pela cabeça o livro “A arte de resolver problemas” preocupa-se em expressar esses 
fatos. Outro ponto claramente definido no livro é o objetivo de auxiliar o professor de 
matemática na execução de seu trabalho, várias passagens falam diretamente ao professor, 
estabelecendo objetivos e condutas que não são impostos, mas fundamentados em sólidos 
argumentos, conforme podemos observar nas palavras de Polya: 
Há dois objetivos que o professor pode ter em vista ao dirigir a seus alunos uma 
indagação ou uma sugestão da lista: primeiro, auxiliá-lo a resolver o problema que 
lhe é apresentado; segundo, desenvolver no estudante a capacidade de resolver 
futuros problemas por si próprio. (POLYA, 1995, Pg. 2) 
O professor deve então desenvolver a capacidade de resolver problemas em seus 
alunos, inicialmente pela imitação, posteriormente pela prática e finalmente pelo próprio 
convencimento do aluno de que o método é eficaz. A esse respeito Polya se manifesta: 
A resolução de problemas é uma habilitação prática como, digamos, o é a natação. 
Adquirimos qualquer habilitação por imitação e prática. Ao tentarmos nadar, 
imitamos o que os outros fazem com as mãos e os pés para manterem suas cabeças 
fora d’água e, afinal, aprendemos a nadar pela prática da natação. Ao tentearmos 
resolver problemas, temos de observar e imitar o que fazem outras pessoas quando 
resolvem os seus e, por fim, aprendermos a resolver problemas, resolvendo-os. 
(POLYA, 1995, Pg. 3) 
O autor, trazendo consigo sua vasta experiência como matemático profissional e 
professor, afirma que, a utilização da lista, juntamente com um trabalho bem elaborado de 
aplicação das sugestões, posto de forma genérica e de modo a deixar boa parte do trabalho ao 
próprio aluno, muito frequentemente auxilia o aluno a adquirir uma boa capacidade de 
resolver problemas, este, depois de seguidas utilizações do método, deve inclusive ser capaz 
de notar seu benefícios por conta própria e ser capaz de absorver a ideia tornando a utilização 
da lista uma atitude natural. Este é o objetivo de George Polya com o livro a Arte de Resolver 
Problemas, a assimilação da lista. 
 
 
 
 
27 
 
 
 
6. A HEURÍSTICA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE GEORGE POLYA. 
 
Quando estamos interessados em resolver um problema, tendemos a adotar 
determinadas posturas diante da situação apresentada e mudamos continuamente nosso ponto 
de vista até perceber progresso, novas possibilidades, um particular ponto de vista que nos 
leve a um novo estágio no caminho da solução. Essas mudanças de perspectiva são 
fundamentais e devem ser estimuladas no processo de solução de problemas ao ponto de, 
tornar-se uma postura natural do solucionador diante de situações desafiadoras. Esta postura, 
segundo o autor, pode ser estimulada a partir da sua proposta de Heurística com a utilização 
correta da lista de indagações e sugestões, George Polya tem o mérito de propor a primeira 
lista deste tipo, logo o autor deixa claro que ela certamente pode ser aperfeiçoada, sem que a 
lista deixe de ser simples, natural, genérica e curta. Simples e natural pois do contrários não 
seria discreta, genéricas para ser aplicável a problemas de todos os tipos e curta para que o 
aluno possa repeti-la com frequência em várias condições, tornando-se mais fácil a 
possibilidade de assimilação. 
Uma dos importantes aspectos da heurística de George Polya é que e o autor não 
tem interesse de apresentar um método infalível para resolução de problemas, esta posição 
demonstra que o bom solucionador de problemas deverá ter pela frente um caminho que não é 
fácil, que será necessário dedicação, tempo, prática e perseverança. A familiarização com a 
lista de indagações e sugestões visa então a compreensão da ação sugerida, percebendo que a 
lista serve como um exercício de uma postura natural de resolução. Essas atitudes, que visam 
a aplicação de uma regra, com naturalidade e objetividade é denominado mestria. Por outro 
lado, a aplicação de uma regra, sem o devido exame da necessidade de utilizá-la é 
denominado pedantismo. Logo, a atitude que nos interessa, é a atitude desencadeada por 
mestria, sendo assim, a lista de indagações e sugestões de George Polya, deve ser 
compreendida, tornando sua aplicação uma atitude adotada graças à experiência adquirida 
com a aplicação do método. Assim, não se deve fazer uso de uma sugestão ou indagação 
indiscriminadamente, simplesmente por hábito, mas sim por discernimento e necessidade de 
utilização. 
Com a finalidade de agrupar convenientemente a lista de indagações, George 
Polya sugeriu quatro fases de resolução, que serão colocadas superficialmente aqui, com 
posterior aprofundamento das mesmas. A primeira fase é a fase de compreensão, que tem a 
ver com a percepção dos objetivos solicitados no enunciado. A segunda fase é a fase de 
28 
 
 
 
estabelecimento do plano de resolução, priorizando o levantamento das relações entre as 
incógnitas e os dados do problema. A terceira fase trata da execução do plano e a quarta e 
ultima fase é a do retrospecto da resolução, com a revisão e discussão da eficácia do plano 
adotado. 
Devemos destacar ainda, o papel fundamental do professor na utilização da lista 
de indagações e sugestões. O professor pode começar por uma indagação ou sugestão da lista, 
mas caso ela não obtenha o efeito desejado e o aluno não perceba a indicação, o professor 
deve reformular a indagação ou sugestão, descendo gradativamente para outras mais 
específicas e concretas até chegar à que provoque o efeito desejado na mente do estudante, 
tentando dar o máximo de trabalho ao aluno ou pelo menos a ilusão dele, nas palavras de 
Polya: 
Este método de questionar não é rígido. E ainda bem, pois, nestes assuntos, 
qualquer procedimento rígido, mecânico, pedante, será forçosamente prejudicial. O 
nosso método permite uma certa elasticidade e variação, admite abordagens 
diversas, pode e deve ser aplicado de tal maneira que as questões apresentadas pelo 
professor possam ter ocorrido ao próprio aluno. (POLYA, 1995, Pg. 14) 
Se o aluno atira-se imediatamente a realizar cálculos sem compreender o 
problema, manipulando detalhes sem ter um plano, ou ainda após executado o plano, não faça 
a verificação de seus passos criticamente com objetivo de melhorar e ampliar sua proposta de 
solução, ele certamente deixará de adicionar inúmeros benefícios a sua capacidade de resolver 
problemas. 
É preciso perceber a importância das quatro fases e a cuidadosa disposição delas, 
que, logicamente podem ser revisitadas nas diferentes perspectivas adotada pelo solucionador, 
sem que se perca o benefício, e a disposição naturalmente proposta. O estudante precisa 
adquirir uma perfeita noção das fases a ponto de perceber e fazer uso da atitude mental 
estimulada por elas, para que ele possa convencer a si mesmo do benefício e necessidade da 
utilização da lista. 
6.1 Breves dados biográficos sobre George Polya. 
 
George Polya nasceu em Budapeste, Hungria, no dia 13 de dezembro de 1887 em 
uma família judaica de origem polaca. 
Teve um bom desempenho no ensino secundário,apesar de se sentir pouco a 
vontade com o ensino baseado em memorização, prática considerada por Polya, sem utilidade 
e monótona. Esse autor, 
Recorda-se do seu tempo de estudante, um aluno um pouco ambicioso, ávido por 
compreender alguma coisa de Matemática e de Física. Ele assistia às aulas, lia 
29 
 
 
 
livros, tentava assimilar as resoluções e os fatos que lhe eram apresentados, mas 
havia uma questão que o perturbava repetidamente: “Sim, a resolução parece que 
funciona, que está certa, mas como seria possível inventar, eu próprio essas 
coisas?” Hoje o autor ensina matemática numa universidade. Pensa, ou espera, que 
alguns dos seus alunos mais interessados façam perguntas semelhantes e procura 
satisfazer a curiosidade deles. (POLYA, 1995, Pg. 5) 
George Polya licenciou-se em 1905 entre os quatro melhores alunos de sua turma 
o que proporcionou-lhe uma bolsa de estudos na universidade de Budapeste. A exemplo de 
seu pai, ingressou no curso de Direito, porém, achou o curso aborrecido passando a cursar 
Línguas e Literatura. Posteriormente teve seu interesse despertado por Latim, Física, Filosofia 
e finalmente por Matemática tendo, em 1912, concluído o seu doutoramento. Em 1913 foi 
para Paris com objetivo de trabalhar no seu pós-doutoramento. 
Em 1914 assumiu um cargo na Universidade de Zurique, neste mesmo ano foi 
convocado pela Hungria para prestar serviço militar, mas recusou-se a ir para a guerra, com 
medo de ser preso, retornou a sua pátria somente após a segunda guerra mundial. 
Em 1940, com receio de uma possível invasão alemã na Suíça, decidiu ir para os 
Estados Unidos aceitando um cargo na universidade de Stanford, onde permaneceu até o 
momento em que aposentou-se em 1953. George Polya continuou trabalhando ativamente até 
sua morte em 7 de setembro de 1985. Nos últimos 40 anos de sua vida, interessou-se pelo 
ensino da matemática, dedicando-se quase exclusivamente ao estudo da transmissão do 
conhecimento matemático. 
George Polya publicou vários livros e artigos originais que lhe deram grande 
reputação em Análise Clássica, Combinatória e Probabilidades. Dentre suas publicações 
destacam-se “Aufgaben und Lehrsãtze aus der Analysis” (Berlim, 1924) onde Polya foi co-
autor deste livro, escrito em conjunto com Gabor Szegö. Neste material Polya e Szegö 
mostram como o ensino da Análise Matemática pode ser desenvolvido dos fundamentos até as 
fronteiras do conhecimento, com base em uma sequência de exercícios e problemas 
escolhidos de uma forma conveniente, material que já demonstra o interesse do autor pelo 
benefício dos problemas. Contudo o mais famoso de seus livros “How to Solve It” que 
recebeu a tradução para o português como “A Arte de Resolver Problemas”, é um material 
voltado ao ensino aprendizagem, seguiram-se ainda nesta linha “Mathematichs and Plausible 
Reasoning” (Princeton Univ. Press, 1954) e “Mathematical Discovery” (2 vols., Wiley, 1962 e 
1965). As sugestões de Polya, sobre o ensino da matemática não propõe truques ou fórmulas 
miraculosas, mas um judicioso trabalho pautado em uma orientação bem cuidada por parte do 
professor, onde nela o aluno é levado a perceber os princípios da descoberta e tem a 
oportunidade de exercitá-los, com objetivo de proporcionar trabalho independente e o uso de 
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suas faculdades inventivas na resolução de problemas, muitos desses problemas, dotados de 
suprema elegância. 
Suas obras completas, em 4 volumes, foram publicadas em 1984 pelo MIT Press, 
e se constituem importante fonte de pesquisa para a matemática e para a educação. 
6.2 Atirando-se cegamente à resolução de um problema. 
 
Quando parte dos alunos deparam-se com um problema matemático desafiador 
costumam tentar resolvê-los de qualquer forma, sem muitos critérios, na maioria das vezes 
esperam que “caia dos céus” uma ideia brilhante, uma solução inesperada que surgirá de 
repente, pronta e acabada com todos os detalhes necessários à resolução do problema. Mesmo 
cientes de que, quanto menos se conhece sobre um determinado assunto, menor a 
possibilidade do surgimento dessa ideia, essas esperanças ainda são mantidas, baseadas 
somente na fé. Outros são mais audaciosos, e atiram-se cegamente à tentativa de solucionar o 
problema, esses costumam manipular dados indiscriminadamente, sem objetividade ou apoio 
lógico, tornando a resolução do problema uma simples obra do acaso. O professor tem então 
um grande desafio, que consiste em detectar as dificuldades individuais dos alunos durante as 
tentativas de resolução de problemas, com objetivo de contorná-las da melhor forma possível. 
George Polya sugere que o professor interessado em caracterizar o 
aproveitamento do aluno, no que diz respeito à resolução de problemas, deverá empregar um 
diagnóstico, termo que, segundo Polya (1995, Pg. 59) é a “caracterização mais rigorosa do 
aproveitamento do aluno” este diagnóstico, ao contrário do que uma nota de exame faz 
grosseiramente, deve ser capaz de apontar os aspectos bons e maus dos alunos durante a 
resolução de problemas, assim teremos não só a simples constatação de que o aluno não é 
capaz de resolver determinado problema, mas sim, quais aspectos no desenvolvimento da 
solução, são positivos e quais são negativos. Demonstrando ainda a eficácia do aluno em 
resolver determinado problema, pois mesmo que a solução seja obtida, o caminho que levou 
até ela, pode ser melhorado. 
Deste modo, George Polya sugere a utilização das quatro fases de resolução 
propostas por ele, com objetivo de determinar o ponto, no desenvolvimento da resolução, que 
está causando dificuldade ao aluno, proporcionando assim, uma ação direcionada por parte do 
professor nos pontos que causam dificuldades. Esta ação deverá fazer uso da lista de 
sugestões e indagações proposta pelo autor, como um aliado capaz de direcionar o aluno rumo 
a uma ideia plausível, fazendo uso do método socrático (que será conceituado mais adiante) 
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para atingir este objetivo. 
As conjecturas que interessam ao solucionador de problemas, devem ser simples e 
plausíveis, logo, não podem surgir desconectadas da incógnita, dos dados e da condicionante 
do problema. Essas ideias devem manter uma regularidade, uma sintonia com o problema a 
ponto de orientar o solucionador. Claro que, para que o solucionador possa vislumbrar uma 
ideia proveitosa, ele deve compreender o problema como um todo. Compreendido o problema 
o solucionador terá uma melhor posição para examinar os detalhes do problema, percebendo e 
decompondo os pontos essenciais até onde for necessário. Porém, naturalmente, nem todos os 
alunos procederão desta maneira, alguns deles inclusive, tem o mau hábito de “mexer” em 
detalhes do enunciado sem ter compreendido o problema, isto quase sempre desencadeia 
resultados desastrosos. A falta da compreensão adequada é talvez, a deficiência mais comum 
encontrada nos alunos. 
O surgimento de uma ideia, que mereça atenção, que seja plausível e possa 
acrescentar elementos importantes para a solução do problema, deve estar vinculada à 
compreensão do problema, as ideias que surgem a partir da compreensão, não devem ser 
desprezadas e comumente apresentam, se não a solução procurada, pelo menos fragmentos da 
mesma. Essas ideias proveitosas estão baseadas em raciocínio heurístico, que nada mais é 
que, o raciocínio que não se considera final e rigoroso, mas provisório e plausível. 
No que diz respeito à concepção do plano, juntamente com a elaboração de uma 
ideia proveitosa, o problema normalmente está em atirar-se à resolução, realizando cálculos e 
desenhos sem ter um plano capaz de direcionar suas atitudes, ou ainda, esperar o surgimento 
de uma ideia sem tomar nenhuma atitudepara proporcionar a sua aparição. 
Na fase de execução do plano, a falta de uma verificação eficiente dos passos da 
resolução é um desleixo bastante comum, já que exige atenção e paciência nas verificações. 
Finalmente, na fase de retrospecto, onde deve-se verificar seus métodos e resultados, alguns 
alunos contentam-se com o resultado obtido, por mais absurdo que ele pareça. Nas palavras 
de Polya: 
Alguns deles não ficam, de modo algum, desconcertados quando encontram 4.839 
metros para o comprimento de um navio e 8 anos e 2 meses para a idade de seu 
comandante, do qual se sabe, a propósito, que já é avô. Este desprezo pelo óbvio 
não revela, necessariamente, imbecilidade e sim indiferença para com problemas 
artificiais. (POLYA, 1995, Pg. 67) 
Dessa forma o aluno deve evitar o pedantismo, e concentrar-se na aplicação 
honesta da heurística de George Polya, com atenção especial às sugestões do autor. Sendo 
ainda, capaz de perceber seu progresso na aplicação do método a partir de suas próprias 
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conclusões. 
 
6.3 O método de questionar do professor. 
 
Vimos anteriormente que a base onde está assentada a heurística de George Polya, 
baseia-se na lista de sugestões e indagações cuidadosamente escolhida pelo autor, para servir 
de suporte às quatro fases de resolução. Os benefícios da lista devem proporcionar ao aluno, 
gradativamente, a autonomia de utilizá-las por conta própria, percebendo o momento 
oportuno de sugerir ou indagar a si mesmo, de acordo com os desafios que demandam do 
problema. 
Dada as dificuldades dos alunos, em perceber em curto prazo, o benefício da 
heurística de George Polya, é importante que nos primeiros contatos dos alunos com 
problemas desafiadores, o professor tome para si o papel de questionar e sugerir aos alunos 
possibilidades de caminhos promissores para a solução do problema. 
Esta técnica de investigação, que faz uso do diálogo entre o professor e o aluno, 
que permite que o aluno reflita a descoberta dos próprios valores, é chamada de método 
socrático. O nome da técnica é devido a Sócrates, filósofo grego do século V a.C. considerado 
o primeiro a fazer uso desses artifícios. Apesar, de não termos nenhuma obra escrita atribuída 
a Sócrates, seus diálogos foram transmitidos por Platão. Nesses diálogos, Sócrates utiliza um 
discurso que permite que a pessoa interessada em resolver um problema, obtenha a solução 
por ela própria, percebendo contradições em suas próprias suposições. 
Sócrates iniciava sua discussão sobre algo, com uma pergunta, e por meio dela 
obtinha a opinião do interlocutor, que em um primeiro momento era aceita. Depois, a partir de 
sugestões e indagações, mostrava pontos contraditórios no argumento, levando o interlocutor 
a perceber que seu argumento inicial estava errado. Em seguida, partindo novamente do 
raciocínio inicial do interlocutor, agora, já convencido da necessidade de mudanças em seus 
argumentos, constrói em conjunto, a solução do problema proposto inicialmente. Deste modo 
a verdade surgirá de uma discussão que levará o interlocutor ao convencimento da validade de 
suas afirmações, e não por um fato imposto e desconectado. 
O professor deverá apoderar-se dessa belíssima forma de ensinar por 
convencimento e mérito, aplicando-as em suas aulas, sempre que possível. 
O professor deve perceber seu papel na aquisição de conhecimento dos alunos, 
pois o que ele diz é importante, mas o que os alunos pensam em consequência do que foi dito, 
é muito mais. Ele deve dar informações sim, mas seu objetivo maior será atingido se ele 
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conseguir com que o aluno tenha capacidade de usar essas informações. 
Para atingir esse objetivo, o professor pode utilizar o método socrático, fazendo 
com que as ideias principais na resolução do problema, nasçam na mente do aluno, George 
Polya compara o professor a uma parteira, que traz ao mundo as ideias desenvolvidas pelo 
próprio aluno. 
O professor deve perceber que a lista de indagações e sugestões de George Polya, 
pode ser adaptada a um certo contexto, encontrado pelo professor em sala de aula. Isto lhe 
dará ferramentas para aplicar o método, baseado na receptividade dos alunos e no tempo que 
será necessário para resolver problemas. 
Neste caminho, o professor deve aperfeiçoar a utilização de suas indagações e 
sugestões. Ele deve perceber que não há nenhum benefício em sugerir a ideia principal do 
problema, levando o aluno diretamente a solução. O ideal é reformular as sugestões e 
indagações, descendo gradativamente ao ponto em que o aluno perceba algo de útil para a 
formulação de sua ideia. Se o professor insistir em apresentar as sugestões e indagações que 
levem diretamente a solução do problema, os alunos enxergarão essas ideias como coelhos 
retirados da cartola por um habilidoso mágico, não percebendo assim, a possibilidade de 
aplicar o método em outros problemas, tornando-se uma sugestão pouco instrutiva. 
6.4 Como solucionadores de problemas entram em forma. 
 
Segundo George Polya a base onde a heurística está assentada, é baseada na 
experiência na resolução de problemas juntamente com a experiência na observação dessa 
atividade por parte dos outros. Esta atividade deve procurar aspectos comuns na maneira de 
resolver problemas de todos os tipos, independentemente do assunto, logo o estudo da 
heurística visa a generalidade. Para que o solucionador de problemas seja capaz de resolver 
um problema, ele precisa adquirir certos hábitos e atitudes mentais diante da situação 
problema. Contudo, o processo de resolução de problemas é complexo, apresentando diversos 
aspectos diferentes, por conta disso George Polya apresenta vários elementos importantes 
para alguém interessado em tornar-se um solucionador de problemas. 
Um solucionador de problemas, para obter sucesso, necessita de alguns pré-
requisitos. Dentre eles, deve possuir algum conhecimento sobre o assunto envolvido no 
problema, mas não somente isso, pois deverá ser capaz de reunir e selecionar o que de fato o 
auxiliará a resolver o problema. A concepção do problema no fim é sempre mais elaborada do 
que no início, esta melhor compreensão do problema, é provocada por conta dos 
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conhecimentos extraídos da memória, assim o solucionador busca elementos já conhecidos, 
como por exemplo, um problema correlato com mesma incógnita ou condicionante, um 
teorema aplicável, este é um fator essencial e George Polya denomina este ato de 
mobilização. 
No entanto, para resolver um problema não basta relembrar fatos vinculados ao 
problema, precisamos organizar esses fatos a ponto de que essas informações sejam úteis para 
a resolução. Essas informações combinadas e adaptadas é denominada por George Polya 
como: organização. 
Temos agora dois fatores importantes para auxiliar o solucionador de problemas, e 
mais, a mobilização e a organização não podem ser separadas. Sobre esses aspectos, Polya se 
manifesta: 
Quando trabalhamos com concentração num problema, relembramos apenas 
aqueles fatos que estão mais ou menos relacionados com o nosso objetivo e nada 
temos a relacionar e organizar a não ser o material que relembramos e 
mobilizamos. (POLYA, 1995, Pg. 130) 
George Polya ressalta ainda que a mobilização e a organização são dois aspectos 
de um processo muito mais complexo, constituído de muitos outros aspectos, dentre eles a já 
citada mudança de concepção do problema, já que no início e posteriormente no fim da fase 
de compreensão o problema apresenta outros elementos ao solucionador, muitos deles 
provocados por variações do problema. Conforme pode-se ver abaixo nas palavras de Polya: 
À medida que progredimos no sentido de nossa meta final, passamos a conhecê-la