Fluxos Bi dimensionais

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Fluxos Bi-Dimensionais∗
Arthur Mattuck
Massachusetts Institute of Technology – MIT
Nesta sec¸a˜o e na pro´xima veremos uma maneira diferente de olhar para
o teorema de Green, maneira que na˜o so´ mostra a importaˆncia desse teo-
rema para campos de fluxos como tambe´m permite dar um significado f´ısico
intuitivo para essa misteriosa igualdade entre integrais.
Vimos que, se F e´ um campo de forc¸a e C uma curva orientada, enta˜o
trabalho feito por F ao longo de C =
∫
C
〈F, dr〉 =
∫
C
〈F, T 〉 ds . (1)
Em palavras, estamos integrando 〈F, T 〉, a componente tangencial de F , ao
longo da curva C. Em notac¸a˜o de componentes, se F = (M,N), enta˜o a
igualdade acima fica
trabalho =
∫
C
M dx+ N dy =
∫ t1
t0
(
M
dx
dt
+N
dy
dt
)
dt. (2)
Analogamente, podemos integrar 〈F,n〉, a componente normal de F ao
longo de C. Para isso, suponha que a curva C seja parametrizada pelo
comprimento de arco s, crescendo na direc¸a˜o positiva de C. O vetor posic¸a˜o
para essa parametrizac¸a˜o e seu correspondente vetor tangente sa˜o dados por
r(s) = (x(s), y(s)) t(s) =
(
dx
ds
,
dy
ds
)
;
onde usamos t ao inve´s de T ja´ que e´ um vetor unita´rio –
seu comprimento e´ 1, como podemos ver dividindo por ds em
ambos os lados de
ds =
√
(dx)2 + (dy)2.
O vetor unita´rio normal n e´ aquele mostrado na figura, obtido pela rotac¸a˜o
de 90 o de t no sentido hora´rio.
∗Traduc¸a˜o livre, por Mayra Madeira, do texto Two-dimensional Flux
1
2
Infelizmente, essa direc¸a˜o e´ oposta a`quela geralmente usada
em cinema´tica, onde t e n formam um sistema de coordenadas
orientado segundo a regra da “ma˜o direita” para se mover
ao longo C. A escolha de n depende enta˜o do contexto do
problema; a escolha que demos aqui e´ a mais natural para
usar o teorema de Green em problemas de fluxo.
A fo´rmula usual para girar um vetor de 90 o no sentido hora´rio (veja a
figura) mostra que
n(s) =
(
dy
ds
,−dx
ds
)
. (3)
A integral de linha sobre C da componente normal 〈F,n〉 do campo vetorial
F e´ chamada de fluxo de F atrave´s de C. Em s´ımbolos,
fluxo de F atrave´s de C =
∫
C
〈F,n〉 ds =
∫
C
(
M
dy
ds
−N dx
ds
)
ds . (4)
Na notac¸a˜o de diferenciais, usando (3) escrevemos n ds = (dy,−dx), e temos
que
fluxo de F atrave´s de C =
∫
C
M dy − N dx =
∫
C
(
M
dy
dt
−N dx
dt
)
dt, (5)
onde (x(t), y(t)) e´ qualquer parametrizac¸a˜o de C. Vamos precisar tanto de
(4) como de (5).
Exemplo 1 Calcule o fluxo do campo
F =
1
x2 + y2
(x, y)
atrave´s de uma c´ırculo de raio a e centro na origem,
a) usando (4); b) usando (5) .
Soluc¸a˜o. a) O campo e´ direcionado radialmente para fora, e portanto
F e n teˆm a mesma direc¸a˜o. (Com usual, o c´ırculo e´ orientado no sentido
anti-hora´rio, o que significa que n aponta para fora). Segue-se que, em cada
ponto do c´ırculo,
〈F,n〉 = ||F || = 1√
x2 + y2
=
1
a
.
Enta˜o, por (4), temos
fluxo =
∮
C
〈F,n〉 ds =
∮
C
1
a
ds = 2pi.
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b) Podemos obter o mesmo resultado deretamente usando a parametri-
zac¸a˜o do c´ırculo x = cos t, y = sen t. Nesse caso, usando (5) obtemos que
fluxo =
∮
C
x dy − y dx
x2 + y2
=
∫ 2pi
0
a2 cos2 t+ a2 sen2 t
a2
dt = 2pi.
�
A interpretac¸a˜o f´ısica natural para fluxo nos leva a pensar em F como
sendo um campo de fluxo no plano (veja texto da semana 12). Enta˜o a
integral de linha representa a taxa em relac¸a˜o ao tempo em que a massa
e´ transportada atrave´s de C. Pensamos no fluxo de um tanque raso de
profundidade 1. A convenc¸a˜o sobre n faz com que o transporte de massa
seja positivo se o fluxo for da esquerda para a direita, para quem olha no
sentido positivo de C, e negativo caso contra´rio.
Para ver isso, seguimos o mesmo procedimento usado para interpretar a
integral da componente tangencial de um campo de forc¸a como trabalho.
O passo essencial e´ perceber que, se F e´ um campo vetorial constante
representando um fluxo e C e´ um segmento de reta orientado de comprimento
L, enta˜o
taxa de transporte de massa atrave´s de C = 〈F,n〉L (6)
h
Para ver isso, decomponha o campo de fluxo em suas componentes para-
lelas a C e perpendiculares a C, conforme ilustra a figura abaixo a` esquerda.
A componente paralela na˜o contribui em nada com o fluxo atrave´s de C,
enquanto a componente perpendicular e´ F · n = 〈F,n〉.
Outra maneira de ver (6) e´ ilustrada pela figura acima a` direita. Sendo
C ′ como mostrado, vemos pela conservac¸a˜o da massa que
taxa de transporte de = taxa de transporte de
massa atrave´s de C massa atrave´s de C ′
= ||F || (L cos θ)
= 〈F,n〉L
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Uma vez que temos isso, seguimos o mesmo procedimento usado para de-
finir o trabalho como uma integral de linha. Dividimos a curva em pequenos
pedac¸os, aproximamos cada pedac¸o por um segmento de reta e aplicamos (6)
a cada um desses segmentos, o k-e´simo deles tendo comprimento ∆sk . Assim
taxa de transporte de massa atrave´s do k-e´simo segmento ≈ 〈Fk,nk〉∆sk .
Somando as aproximac¸o˜es, e passando ao limite com as subdiviso˜es da curva
se tornando cada vez menores, obtemos
taxa de transporte de massa atrave´s de C =
∫
C
〈F,n〉 ds .
Essa interpretac¸a˜o mostra porque chamamos a integral de linha de fluxo
de F atrave´s de C. Esta terminologia e´ usada mesmo quando F na˜o repre-
senta um campo de fluxo no plano. Falamos do fluxo de um campo eletro-
magne´tico, por exemplo.
Voltando ao Exemplo 1, o campo F =
1
x2 + y2
(x, y) la´ discutido repre-
senta um fluxo saindo de uma fonte de mo´dulo 2pi na origem; assim, o fluxo
atrave´s de cada c´ırculo centrado na origem deve ser tambe´m igual a 2pi, in-
dependente do raio do c´ırculo. Isso e´ o que de fato encontramos por meio
dos ca´lculos realizados naquele exemplo.