Modelagem Matemática de Movimentos

Prévia do material em texto

1a Questao (3,5)
Uma estudante (E) recebe como tarefa modelar matematicamente lima caminhada numa pista
que e considerada perfeitamente retilinea. Ela me sma realiza a caminhada e registra seu
movimento numa tabela posicao-ternpo. Para isso E utiliza um cronornetro manual e as
rnarcacoes de distancia na pista, tomadas a partir do marco zero (referencia das posicoes), para ..;'
definir a coordenada de posicao [",. V
B A
VO
o I?O$i~ )
- i( -I- \CBfret~
E inicia a caminhada (t=O) no ponto A e prossegue sem paradas ate chegar ao ponto B, 6
minutos depois (FIG.I). As anotacoes feitas por ela encontram-se na Tabela 1.
FIG. 1
f~I__~u-__ _
Tabela 1
a) Se levarmos em conta apenas 0 instante t=O ha duas posicoes possiveis para a referencia, R e
R'. Mostre-as na FIG.I usando a escala Icrn : 50rn, indicando tambern a convencao de sinais
para cada caso. Diga qual e a posicao correta, explicando como foi obtida. ./
(
b) Supondo que sua caminhada foi aproximadamente uniforme, E escolhe como primeiro
modelo rnatematico uma funcao linear em t, obtendo SL (t) = -100 - 72t (m,i)"para 0 < t <
6min. A fim de avaliar 0 modelo SL (t), E calcula a discrepancia ik entre sexp(4min) e s(4rnin),
s(t) - sex (t)
instante de tempo que ficou fora de sua modelagem. Use a definicao 6[ = p xlOO.
s \~), -3?O~ ( r -3Zg - (-3i-O) , - set)
ex~ ~ [;:. ------~-- ! -I~ I
5(,\, -\00 _n(~) L! ...,.oe !,\00 z ;;("'" = ~,64 i,
sL 4') e, -100 - .z-g2
~(4');'~ri
-- 3l-~
2
c) Para melhorar a modelagem, E faz uma interpolacao quadratica em t na amostragem da
Tabela 1, sQ (t) = a + bt + ce , usando os seguintes criterios:
- sQ (0) = sexp(O);
- sQ (t) e sexp(t) coincidem no segundo e quarto pontos da Tabela 1.
Obtenha sQ (t) e de discrepancia oQ entre So (t) e a amostragem experimental para t= 4min, e
diga se 0 objetivo de E foi alcancado.
5a(0) O-~(O) ••-\(}i)
Q=--l00 f
Jh-l-4C = -~g
bb+2:f,C.;:' -63Z,
b+.lc c -fl~ C_C}
~6"'y;,,-~-<;;;32--------
IZ
~qc.4-,=-l:,- c \
_-c.:z.,z
I r: \:)+ ok -
11O~I - -tAc --562-
I c ...J.2,~
I
:)t1(Z)' -(oO..L.,2.6 + 4c. ~ -2gi?
+b1"'"3bG "'-_53z..
~CE:.)"--IOO
~\b""~4,~ s - \q~
b So ~ oL"b8\~
t:
SciClI'" -\o.o-~8, ~t;··cL,;L,;0tf
\
i5Qllt) :.-lOo _23~ll (~) ~ J)\J>(ll)t
, QS3C-l-3SS,,2
! ~(4)~ _loO - 10
~ l4) '--69 g,~1>"\
~ ;:.1-692,4:(-~:;~1 xlO::=>
B \ --;'1&,' \
I .,!J fJ :. 4 "+ \02 I~
( \
\
d) Se um segundo observador usar 0 ponto B como referencia e chamar de yet) a coordenada de
posicao de E, qual seria a relacao entre yet) e set)? Considere que yet) >0 para todo 1. Justifique
sua resposta com urn desenho na figura abaixo.
B A \00I
R.+
I yet) =
3
23 Questao (3,5)
Esta questao eonsta de duas partes independentes I e II.
[ - Uma esfera rnetalica cai num plano inelinado. A extremidade inferior do plano esta na borda
de uma mesa, que tern altura H = 1,0 m. A esfera esta manchada de tinta, e ao bater no chao 0
ponto da colisao fica marcado numa folha de papel braneo. A marea da colisao fieou a uma
distancia 0 = 0,5 m. 0 tempo medido por urn observador para eair a altura H foi 0,1 s. Tome
g=l Om/s''.
\ «I 0 5,"" :I I
20 D I<-------------------71 -------~.
x
FIG. 2
I I
I
chao
y
Obtenha as funcoes x(t) e yet) que descrevem as movimentos das sombras x e y entre t=0
(instante em que a esfera se desprende do plano) e t=O, Is. Use 0 sistema referencia indieado na
FIG. 2. \ I If) c- 4 5 _ 5t Y(t)~ O--~bt-t-<.e- I.f : b(OI')+ 5(0,,)1..
xlt); .o.,l6t \ 1" I
~ (' \,,1.0\010 I {-.O,jb+OlOS
" c..oS~" I b, 0, 'l s :0[1
~lol",(\5 I
'S, \ -~ ~ \ I. z: qlS
avO'll I I ~ \ {.) z..
I
, . ) lQ\ :. 0 y Ci;,):; q[ st + St. k
)< lO/) , 1 /
0-".::.0Iy(o/\ ' 1
(
x(t) =1•.5 _.S-L
.z.
yet) =ct, 5 t +St
4
II - A FIG. 3 mostra urn sistema de referencia e tres pontos sobre 0 eixo y. Suponha que entre
os pontos A e B uma bolinha carregada eletricamente se movimenta no eixo y com velocidade
constante igual a Sm/s. No ponto Bas coordenadas SaD XB = 0 e YB = Sm.
jX
FIG. 3
A(I), 0) i\J'~(DIS) ~ C (0 ) Y
Porem, entre os pontos B e C a~condiyois'd,6 !l10t-virrlbntomudam. Quando a bolinha passa por
Bela sofre 0 impacto com urn agente extefno-' no5sentido positivo do eixo x, e, ao mesmo tempo
passa a atuar sobre ela uma forca eletrica no sentido negativo do eixo x, puxando-a de volta ao
eixo y. Assim, as novas condicoes do movimento serao:
-no ponto B, VX = 1 m/s e Vy = S m/s;
-em todo 0 trecho BC, ax e ay sao constantes, valendo ax = - 4 m/s'', ay = 0 m/s'',
Com estas condicoes, a bolinha sai do eixo y e volta apos um certo tempo. 0 ponto de retorno e
o ponto C. A FIG. 3 esta fora de escala.
a)Calcule 0 tempo necessario para que 0 corpo se desloque entre os pontos A e C.
1... 'L z, 0 ~ 1....
Y.,-\ +5 .t'+--bt"'Gl
X\"~-
,(u-= ~
)C(t) -,~-l::- ;.d: z,
)
b)Em algum ponto da trajetoria entre Be C 0 vetor velocidade faz um angulo 81 com 0 eixo x,
tal que tan 81 = 10. Quails SaD as coordenadas XI e YI onde isso ocorre? De a resposta em metro e
com duas casas decimais.
XI = YI =
-,
5
3a Questao (3,0)
Esta questao consta de tres partes independentes I, II e Ill.
I (1,0) - E registrada a trajetoria de um jogador de futebol entre duas posicoes A e C. Verifica-se
tambem que nesse trecho 0 modulo de sua velocidade e constante, igual a 3 m/s. No instante em
que 0 jogador atinge B inicia-se a contagem do tempo, sendo esse instante tomado como t=O.
Com esses dados, constroi-se a funcao modelo set) para seu movimento, onde set) representa a
coordenada de POSiy30 sobre a trajetoria, tornando como referencia das posicoes 0 ponto A. A
convencao de sinais e tal que s(O) > O. Entre A e B 0 jogador percorreu 15m ( FIG. 4)
c
FIG. 4
A
bandeirinha
a)Obtenha a funcao s(t)1 valida para todo 0 trajeto de A ate C e diga para que instante de tempo
tA set) fornece a posicao A do jogador.
set) = ( )
para 0 trecho AC
t" =
b)Um bandeirinha acompanha 0 jogador correndo ao longo do lado inferior do campo de modo
que a projecao de sua posicao sobre esse lado coincide sempre com a propria posicao do
bandeirinha (considere-o como a sombra da posicao do jogador sobre 0 lado inferior do campo).
Calcule 0 modulo Vo da velocidade do bandeirinha em t=O. Sugestao: desenhe 0 vetor
velocidade do jogador na FIG. 4 e tome medidas com unta regua para obter os dados
necessarios.
6
II (1,0) - Uma pequena esfera suspensa por 1110laoscila periodicamente, com periodo de 2,4s,
em torno de sua posicao de equilibrio, tomada como referencia R para a coordenada de posicao
s. A convencao de sinais esta indicada na figura, que mostra os extrernos da primeira oscilacao
completa. Como modelo para descrever 0 movirnento da esfera toma-se a funcao set) = A cos
(rot) (em, rad, s). Determine as constantes A e co para que s(t) reproduza as posicoes
mostradas na figura.
I
I
Reta suporte :
da trajetoria I
I
I
I
I
30cm" I
I
I :
I
I
I
~l---__+tl 'i'
I i 18 em
I If:~
...........,················1··········;+········
t ~ 0 I t = ~,2S
'i'
I
I
I
I
: 42 em
I
I
I
I
- - - - -j- - --
I
I____'ct. _
A=
(1)=
7
III - (1,0) A FIG. 5 mostra lima pista de caminhada ern forma oval. Um atleta (ponto P) corre
na pista com velocidade de modulo constante. 0 movirnento e estudado pela decornposicao no
sistema de referencia cartesiano cuja origem coincide com 0 centro geornetrico da pista. 0
sentido do movimento e as posicoes para os instantes de tempo tl, t2 e t3 estao indicados. F e
um ponto qualquer sobre 0 eixo x, nao coincidente com a origem do sistema de referencia e de
a distancia entre F e 0 atleta (P) no instante t.. 0 atleta da uma (mica volta completa na pista,
cornecando no extrerno direito (x=a) e retornando a esse mesmo ponto.
y
t}
~lidO
t I
FIG. 5
a x
t..'
Marque V(verdadeiro), F(falso) Oll X (branco) ao lado de cada lima das 10 afirmacoes a seguir.
Pontuacao: resposta certa: 0,1; resposta errada: -0,1; resposta em branco: O. A nota maxima e
1,0, a nota minima e zero.
[.f 0 movimento da soinbra x e uniforme
~~f] em tl a coordenada XCtl) e igual ad cos (8)
~£tl a coordenada y(tl) e igual ad sen (8)
U0m qualquer instantet do movimento, a distancia entre 0 atleta e a origem do sistema de
referencia e igual a [X(t)2+y(t)2] 1/2
L---~ra qualquer referencia R e convencao de sinais escolhidas para definicao da coordenada
escalar set) sobre a trajet6ria tem-se Iv(t)1 = Is'Ct)1
C.-[ f]'entre os instantes t2 e t3 0 deslocamento cia sombra y e ~Yt2-t3 = 2b
y]~.!1 a projecao x do vetor velocidade e igual a -X'(tl)
~rr-;:ainstante em que x = - a, y'(t) = O.
'"
l.-J.f:,o'l"para qualquer instante t, la(t)1 = Is" (t)1
,fr1~tervalo de tempo em que Ax = -2a, y(t) muda de sinal lima unica vez.
8