funcoes

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5 Relações e funções em espaços reais n-dimensionais
5.1 Funções de duas variáveis reais a valores reais
Uma função de duas variáveis reais a valores reais é uma função f : A → R, onde
A é um sub
onjunto de R2. Uma tal função asso
ia, a 
ada par (x, y) ∈ A, um úni
o
número f(x, y) ∈ R.
O 
onjunto A é o domínio de f e será indi
ado porDf . O 
onjunto Imf = {f(x, y) ∈
R|(x, y) ∈ Df} é a imagem de f .
Frequentemente es
revemos z = f(x, y) para tornar explí
itos os valores tomados
por f em um ponto genéri
o (x, y). As variáveis x e y são variáveis independentes e z é
a variável dependente.
Se a função f é dada por uma fórmula e seu domínio não é espe
i�
ado, �
a suben-
tendido que o domínio de f é o 
onjunto de todos os pares (x, y) para os quais a expressão
dada forne
e um número real bem de�nido.
Exemplo: Seja f a função de duas variáveis reais a valores reais dada por f(x, y) = x+y
x−y
.
O domínio de f é o 
onjunto de todos os pares (x, y) de números reais, 
om x 6= y, isto é,
Df = {(x, y) ∈ R2|x 6= y}. Esta função transforma o par (x, y) no número real x+yx−y .
Exer
í
ios Resolvidos:
1. Seja f = x+y
x−y
. Cal
ule:
a) f(2, 3)
b) f(a+ b, a− b)
2. Represente gra�
amente o domínio da função f dada por
f(x, y) =
√
y − x+
√
1− y
3. Represente gra�
amente o domínio da função w = f(u, v) dada por
u2 + v2 + w2 = 1, w ≥ 0
4. Represente gra�
amente o domínio da função z = f(x, y) dada por z =
√
y − x2.
5. Determine o domínio e a imagem de g(x, y) =
√
9− x2 − y2.
5.1.1 Grá�
os de funções de duas variáveis
Seja z = f(x, y), (x, y) ∈ A, uma função de duas variáveis reais. O 
onjunto
Gf = {(x, y, z) ∈ R3|z = f(x, y), (x, y) ∈ A}
denomina-se grá�
o de f .
Munindo-se o espaço de um sistema ortogonal de 
oordenadas 
artesianas, o grá�
o
de f pode então ser pensado 
omo o lugar geométri
o des
rito pelo ponto (x, y, f(x, y)),
quando (x, y) per
orre o domínio de f .
2
Como o domínio de f é um 
onjunto de pontos no plano xy, e 
omo a 
ada par
ordenado (x, y) no domínio de f 
orresponde um úni
o valor de z, nenhuma reta perpen-
di
ular ao plano xy pode inter
eptar o grá�
o de f em mais de um ponto.
Exemplo: O grá�
o da função 
onstante f(x, y) = k é um plano paralelo ao plano xy.
Exer
í
ios Resolvidos:
1. Esbo
e o grá�
o da função f(x, y) = 6− 3x− 2y.
2. Esbo
e o grá�
o de g(x, y) =
√
9− x2 − y2.
3. Determine o domínio e a imagem e esbo
e o grá�
o de h(x, y) = 4x2 + y2.
5.1.2 Curvas de nível
A representação geométri
a do grá�
o de uma função de duas variáveis não é tarefa
fá
il. Em vista disso, quando se pretende ter uma visão geométri
a da função, lança-se
mão de suas 
urvas de nível, 
uja representação geométri
a é sempre mais fá
il de ser
obtida do que o grá�
o da função.
Sejam z = f(x, y) uma função e c ∈ Imf . O 
onjunto de todos os pontos (x, y) de
Df tais que f(x, y) = c denomina-se 
urva de nível de f 
orrespondente ao nível z = c.
Assim, f é 
onstante sobre 
ada 
urva de nível.
Em outras palavras, as 
urvas de nível f(x, y) = c são apenas 
ortes do grá�
o de f
no plano horizontal z = c projetadas sobre o plano xy.
Assim, se vo
ê traçar as 
urvas de nível da função e visualizá-las elevadas para a
superfí
ie na altura indi
ada, poderá imaginar o grá�
o da função 
olo
ando as duas
informações juntas. A superfí
ie será mais in
linada onde as 
urvas de nível estiverem
mais próximas umas das outras; e um pou
o mais a
hatada onde as 
urvas de nível estão
distantes umas das outras.
3
Exer
í
ios Resolvidos:
1. Esbo
e as 
urvas de nível da função
g(x, y) =
√
9− x2 − y2 para c = 0, 1, 2, 3
2. Desenhe as 
urvas de nível de f(x, y) = x2 + y2.
3. Seja f a função dada por z = 1
x2+y2
.
a) Determime o domínio e a imagem.
b) Desenhe as 
urvas de nível.
) Esbo
e o grá�
o.
4. Considere a função f dada por z = y
x−1
.
a) Determime o domínio e a imagem.
b) Desenhe as 
urvas de nível.
5. Considere a função f dada por z = 2xy
2
x2+y4
, (x, y) 6= (0, 0).
a) Desenhe as 
urvas de nível de f .
b) Determine a imagem de f .
5.2 Funções de três variáveis reais a valores reais
Uma função de três variáveis reais a valores reais, de�nda em A ∈ R3, é uma função
que asso
ia, a 
ada ordenada (x, y, z) ∈ A, um úni
o número real w = f(x, y, z). O grá�
o
de tal função é o 
onjunto
Gf = {(x, y, z, w) ∈ R4|w = f(x, y, z), (x, y, z) ∈ A}
O grá�
o de f é então um sub
onjunto doR4, não sendo possível, portanto, representá-
lo geometri
amente. Entretanto, 
onseguimos uma idéia de f desenhando suas superfí
ies
de nível, que são as superfí
ies 
om equação f(x, y, z) = c, onde c é uma 
onstante. Se um
ponto (x, y, z) se move ao longo de uma superfí
ie de nível, o valor de f(x, y, z) permane
e
�xo.
Exemplo: Seja f(x, y, z) = y. Para 
ada real c, a suoerfí
ie de nível 
orrespondente a
w = c é o plano y = c.
Exer
í
io Resolvido: Determine as superfí
ies de nível da função
f(x, y, z) = x2 + y2 + z2
4
5.3 Funções 
om mais de três variáveis
Uma função 
om n variáveis é uma regra que asso
ia um número real z = f(x1, x2, . . . , xn)
à n-ulpa (x1, x2, . . . , xn) de números reais.
Por exemplo, se uma fábri
a de alimentos usa n ingredientes diferentes para manufa-
turar um determinado alimento, sendo ci o 
usto por unidade do i-ésimo ingrediente, e se
são ne
essárias xi unidades do i-ésimo ingrediente, então o 
usto total C dos ingredientes
é uma função de n variáveis x1, x2, . . . , xn:
C = f(x1, x2, . . . , xn) = c1x1 + c2x2 + · · ·+ cnxn
Referên
ias
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cál
ulo. Vol. 2. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
LEITHOLD, L. O Cál
ulo 
om Geometria Analíti
a. 3. ed. Vol. 2. São Paulo:
Harbra, 1994.
STEWART, J. Cál
ulo. Vol. 2. São Paulo: Cengage Learning, 2009.