lista_limites

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Universidade Te
nológi
a Federal do Paraná
Câmpus Campo Mourão
Prof. Lilian Caroline Xavier Candido
CD3X2 - Cál
ulo Diferen
ial e Integral II
Limite e 
ontinuidade de funções de n variáveis reais
1. Cal
ule o limite dado.
a) lim
(x,y)→(2,3)
(3x2 + xy − 2y2) R: 0
b) lim
(x,y)→(2,−1)
3x− 2y
x+ 4y
R: -4
) lim
(x,y)→(0,0)
ex + ey
cosx+ sen y
R: 2
d) lim
(x,y)→(0,1)
x4 − (y − 1)4
x2 + (y − 1)2 R: 0
2. Prove que para a função f dada, lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) não existe.
a) f(x, y) = x
2−y2
x2+y2
b) f(x, y) = x
4y4
(x2+y4)3
) f(x, y) = x
9y
(x6+y2)2
3. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
a) lim
(x,y)→(5,−2)
(x5 + 4x3y − 5xy2) R: 2025
b) lim
(x,y)→(0,0)
xy cos y
3x2 + y2
R: Não existe
) lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
R: Não existe
d) lim
(x,y)→(0,0)
x2 + y2√
x2 + y2 + 1− 1 R: 2
e) lim
(x,y,z)→(0,0,0)
xy + yz2 + xz2
x2 + y2 + z4
R: Não existe
4. Cal
ule, 
aso exista.
a) lim
(x,y)→(0,0)
x sen
1
x2 + y2
R: 0
b) lim
(x,y)→(0,0)
x√
x2 + y2
R: 0
) lim
(x,y)→(0,0)
x2√
x2 + y2
R: não existe
d) lim
(x,y)→(0,0)
xy√
x2 + y2
R: não existe
e) lim
(x,y)→(0,0)
xy(x− y)
x4 + y4
R: não existe
f) lim
(x,y)→(0,0)
x+ y
x− y R: não existe
g) lim
(x,y)→(0,0)
xy
y − x3 R: não existe
h) lim
(x,y)→(0,0)
xy2
x2 − y2 R: não existe
5. Cal
ule lim
(h,k)→(0,0)
f(x+ h, y + k)− f(x, y)− 2xh− k
||(h, k)|| , onde f(x, y) = x
2 + y. R: 0
6. Cal
ule, 
aso exista, lim
(h,k)→(0,0)
f(x, y)
||(h, k)|| , onde f é dada por f(x, y) =
x3
x2+y2
. R: não existe
7. Cal
ule lim
(x,y)→(0,0)
sen(x2 + y2)
x2 + y2
. R: 1
8. Seja f(x, y) =
{
e
1
x2+y2−1
se x2 + y2 < 1
0 se x2 + y2 ≥ 1
Cal
ule lim
(x,y)→
(√
2
2
,
√
2
2
)
f(x, y)
x2 + y2 − 1 . R: 0
9. Cal
ule o limite dado.
a) lim
(x,y,z)→(pi3 ,1,pi)
sec xy + sec yz
y − sec z R:
1
2 b) lim
(x,y,z)→(0,0,0)
(ex + ey + ez)2
e2x + e2y + e2z
R: 3
10. Determine todos os pontos em que a função é 
ontínua.
a) f(x, y) = x
2
y−1
R: {(x, y) ∈ R2|y 6= 1}
b) h(x, y) = sen y
x
R: {(x, y) ∈ R2|x 6= 0}
) f(x, y) = 4x
2y+3y2
2x−y
R: {(x, y) ∈ R2|y 6= 2x}
d) g(x, y) = ln(25− x2 − y2) R: {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 < 25}
e) f(x, y) =
{
xy√
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
R: R2
f) f(x, y) =
{
x+y
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
R: {(x, y) ∈ R2|(x, y) 6= (0, 0)}
g) G(x, y) =
{ xy
|x|+|y|
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
R: R2
h) f(x, y) = xy√
16−x2−y2
R: {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 < 16}
i) f(x, y) = x√
4x2+9y2−36
R: {(x, y) ∈ R2|4x2 + 9y2 > 36}
j) f(x, y) = arsec(xy) R: {(x, y) ∈ R2; |xy| ≥ 1}
k) f(x, y) = arcsen(x+ y) + ln(xy)
l) f(x, y) =
{ senx+y
x+y
se x+ y 6= 0
1 se x+ y = 0
R: R2
11. Determine o 
onjunto de pontos de 
ontinuidade. Justi�que sua resposta.
a) f(x, y) = 3x2y2 − 5xy + 6 R: R2
b) f(x, y) =
√
6− 2x2 − 3y2 R: {(x, y) ∈ R2|2x2 + 3y2 ≤ 6}
) f(x, y) = ln x−y
x2+y2
R: {(x, y) ∈ R2|x > y}
d) f(x, y) = x−y√
1−x2−y2
R: {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 < 1}
e) f(x, y) =
{
x−3y
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
R: {(x, y) ∈ R2|(x, y) 6= (0, 0)}
f) f(x, y) =
{
sen(x2)
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
1 se (x, y) = (0, 0)
R: R2
g) f(x, y) =
{
e
1
r2−1
se r < 1 onde r = ||(x, y)||
0 se r ≥ 1 R: R
2
12. f(x, y) =
{
xy2
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
é 
ontínua em (0, 0)? Justi�que. R: Sim
13. A função G é de�nida por
G(x, y) =
{
x2 + 4y2 se x2 + 4y2 ≤ 5
3 se x2 + 4y2 > 5
Mostre que a região de 
ontinuidade de G 
onsiste em todos os pontos de R2, ex
eto aqueles sobre
a elipse x2 + 4y2 = 5.
14. Dis
uta a 
ontinuidade da função dada:
a) f(x, y, z) = xz√
x2+y2+z2−1
R: 
ontínua em {(x, y, z) ∈ R3|x2 + y2 + z2 > 1
b) f(x, y, z) =
{ 3xyz
x2+y2+z2
se (x, y, z) 6= (0, 0, 0)
0 se (x, y, z) 6= (0, 0, 0) R: 
ontínua em todos os pontos em R
3