Resolução da 2ª lista de exercícios Limites

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2ª Lista de Exercícios - Limites - Resolução
1. Calcule os limites, caso exista.
(a) lim
(x,y)→(0,0)
x4− y4
x2+ y2
Solução: lim
(x,y)→(0,0)
x4− y4
x2+ y2 = lim(x,y)→(0,0)
(x2− y2)(x2+ y2)
x2+ y2 = lim(x,y)→(0,0)x
2− y2 = 0
(b) lim
(x,y)→(0,0)
x2+ sin2 y
2x2+ y2
Solução: Ao longo de y = 0: lim
x→0
x2
2x2
= 1
2
Ao longo de x = 0: lim
y→0
sin2y
y2
= lim
y→0
sin y
y
· sin y
y
= 1 ·1= 1
Logo, o limite não existe!
(c) lim
(x,y)→(0,0)
x · sin 1
x2+ y2
Solução: Como lim
(x,y)→(0,0)
x = 0 e sin 1
x2+ y2 é limitada, então lim(x,y)→(0,0)x · sin
1
x2+ y2 = 0
(d) lim
(x,y)→(0,0)
x√
x2+ y2
Solução: Ao longo de y = 0: lim
x→0
xp
x2
= lim
x→0
x
|x| . Como
x
|x| =
{
1, se x Ê 0
−1, se x < 0 esse limite não existe,
então o limite geral também não existe!
(e) lim
(x,y)→(0,0)
x2√
x2+ y2
Solução: Em coordenadas polares: r =√x2+ y2 e x = r cosθ. Então, r → 0+ quando (x, y)→ (0,0)
Assim: lim
(x,y)→(0,0)
x2√
x2+ y2
= lim
r→0+
r 2 cos2θ
r
= lim
r→0+
r cos2θ = 0
(f) lim
(x,y)→(0,0)
xy(x− y)
x4+ y4
Solução: Ao longo de y = 2x : lim
x→0
x ·2x(x−2x)
x4+ (2x)4 = limx→0
−x3
5x4
= lim
x→0
−1
5x
=−∞.
Então, o limite não existe!
(g) lim
(x,y)→(0,0)
xy
y −x3
Solução: Ao longo de y = 0: lim
x→0
x ·0
0−x3 = 0. Considere a curva y =α(x)+x
3. Tem-se,
f (x, y)= f (x,α(x)+x3)= x[α(x)+x
3]
α(x)+x3−x3 =
xα(x)+x4
α(x)
= x+ x
4
α(x)
Assim, tomando α(x)= x4, segue que ao longo de y = x4+x3:
lim
x→0
x(x4+x3)
x4+x3−x3 = limx→0x+1= 1
Então, o limite geral não existe!
(h) lim
(x,y)→(0,0)
xy2
x2− y2
Solução: Ao longo de y = 0: lim
x→0
x ·0
x2−0 = 0. Considere a curva y =
√
α(x)+x2. Tem-se,
f (x, y)= f (x,
√
α(x)+x2)= x[
√
α(x)+x2]2
x2− [
√
α(x)+x2]2
= x(α(x)+x
2)
x2− (α(x)+x2) =
xα(x)+x3
−α(x) =−x−
x3
α(x)
Assim, tomando α(x)= x3, segue que ao longo de y =
p
x3+x2:
lim
x→0
x(
p
x4+x3)2
x2− (
p
x3+x2)2
= lim
x→0−x−1=−1
Então, o limite geral não existe!
(i) lim
(x,y)→(0,0)
x3+ y3
x2+ y2
Solução: Tem-se: lim
(x,y)→(0,0)
x3+ y3
x2+ y2 = lim(x,y)→(0,0)x
x2
x2+ y2+y
y2
x2+ y2 = 0, pois, lim(x,y)→(0,0)x = lim(x,y)→(0,0) y = 0
e x
2
x2+ y2 e
y2
x2+ y2 são limitadas.
(j) lim
(x,y)→(0,0)
sin(x2+ y2)
x2+ y2
Solução: Façamos u = x2+ y2, então (x, y)→ (0,0)⇒ u→ 0.
Assim, lim
(x,y)→(0,0)
sin(x2+ y2)
x2+ y2 = limu→0
sin(u)
u
= 1
(k) lim
(x,y)→(0,0)
1−cos(x2+ y2)
x2+ y2
Solução: Façamos u = x2+ y2, então (x, y)→ (0,0)⇒ u→ 0.
Assim, lim
(x,y)→(0,0)
1−cos(x2+ y2)
x2+ y2 = limu→0
1−cos(u)
u
= (por L’Hospital)= lim
u→0
sin(u)
1
= 0
(l) lim
(x,y)→(0,0)
1−x2− y2
x2+ y2
Solução: Ao longo de y = 0: lim
x→0
1−x2
x2
=+∞. Então, o limite geral não existe!
(m) lim
(x,y)→(0,0)
e−1/
p
x2+y2√
x2+ y2
Solução: Façamos u = x2+ y2, então (x, y)→ (0,0)⇒ u→ 0+.
Assim, lim
u→0+
e−1/
p
u
p
u
= lim
u→0+
1p
u
e−1/
p
u . Façamos, agora v = 1p
u
. Então, u→ 0+⇒ v→+∞.
Segue que: lim
v→+∞ve
−v = lim
v→+∞
v
ev
= (por L’Hospital)= lim
v→+∞
1
ev
= lim
v→+∞e
−v = 0
2. Determine o conjunto dos pontos de continuidade.
(a) f (x, y)=√6−2x2−3y2
Solução: f é contínua no conjunto {(x, y);6−2x2−3y2 Ê 0}= {(x, y);2x2+3y2 É 6}
(b) f (x, y)= ln x− y
x2+ y2
Solução. ln x− y
x2+ y2 = ln(x−y)−ln(x
2+y2). Devemos ter x−y > 0⇒ y < x uma vez que x2+y2 > 0∀(x, y).
Assim f é contínua no conjunto {(x, y); y < x}
(c) f (x, y)= x− y√
1−x2− y2
Solução: f é contínua no conjunto {(x, y);1−x2− y2 > 0}= {(x, y);x2+ y2 < 1}
(d) f (x, y)= e1−xy
Solução: f é contínua em todos os pontos do R2
3. f (x, y)=

xy2
x2+ y2 , se (x, y) 6= (0,0)
0, se (x, y)= (0,0)
é contínua em (0,0)? Justifique.
Solução: lim
(x,y)→(0,0)
xy2
x2+ y2 = lim(x,y)→(0,0)x
y2
x2+ y2 = 0= f (0,0). Logo, f é contínua em (0,0)
4. Calcule os limites, caso exista.
(a) lim
(x,y,z)→(0,0,0)
sin(x2+ y2+ z2)√
x2+ y2+ z2
Solução: Façamos u =√x2+ y2+ z2⇒ u2 = x2+y2+z2. Então, u→ 0+ quando (x, y,z)→ (0,0,0). Assim,
lim
u→0+
sin(u2)
u
= (L’Hospital)= lim
u→0+
cos(u2) ·2u
1
= 0
(b) lim
(x,y,z)→(0,0,0)
sin
√
x2+ y2+ z2
x2+ y2+ z2
Solução: Façamos u =√x2+ y2+ z2⇒ u2 = x2+y2+z2. Então, u→ 0+ quando (x, y,z)→ (0,0,0). Assim,
lim
u→0+
sin(u)
u2
= lim
u→0+
sin(u)
u
· 1
u
= 1 ·+∞=+∞.
Então, o limite não existe!
(c) lim
(x,y,z)→(0,0,0)
xyz
x2+ y4+ z4
Solução: Ao longo de x = 0, y = 0, z = t : lim
t→0
0
t4
= 0
Ao longo de x = t2, y = t , z = t : lim
t→0
t2 · t · t
(t2)2+ t4+ t4 = limt→0
t4
3t4
= 1/3.
Então, o limite não existe!
(d) lim
(x,y,z)→(0,0,0)
xy + yz2+xz2
x2+ y2+ z4
Solução: Ao longo de x = 0, y = 0, z = t : lim
t→0
0
t4
= 0
Ao longo de x = t2, y = t2, z = t : lim
t→0
t2 · t2+ t2 · t2+ t2 · t2
(t2)2+ (t2)2+ t4 = limt→0
3t4
3t4
= 1.
Então, o limite não existe!