Exercícios de Geometria Analítica

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Universidade Federal de Vic¸osa - Campus Florestal
Primeira Trabalho de GAAL
Professoras Ceili Marcelino e Ellen Fraga
Nome: Matr´ıcula:
1. Decida se as afirmac¸o˜es dadas abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas. Em qualquer situac¸a˜o, justifique
sua resposta.
(a) Se uma part´ıcula desloca-se no plano e seu vetor posic¸a˜o, para cada instante de tempo t,
e´ dado por
~r(t) = (cos t+ sin t)~i+ (cos t− sin t)~j
enta˜o ‖~r(t)‖ e´ constante, ∀t ∈ R, isto e´, o movimento descrito pela part´ıcula e´ circular.
(b) Seja ~v = (−3, 4) ∈ R2, a soma das componentes do vetor ~w que satisfaz as seguintes
condic¸o˜es
* ~w possui mesma direc¸a˜o de ~v;
* ~w possui o sentido contra´rio ao de ~v;
* ‖~w‖ = 15.
e´ divis´ıvel por 2.
(c) Sejam ~v1 = (1, 2), ~v2 = (−4, 6) e ~v3 = (1, 6), enta˜o o versor do vetor
~w = 2~v1 + 0.5~v2 − ~v3
e´ dado por ~wu = (
√
3/3,
√
3/3).
(d) Os pontos A(1, 2, 0), B(−2, 1, 1) e C(0, 3,−1) sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo?
(e) O vetor ~u = 4~i−3~j+4~k pode ser escrito como combinac¸a˜o linear dos vetores ~v1 = (1,−2, 2)
e ~v2 = (2, 1, 0)
(f) O triaˆngulo de ve´rtices A, B e C, em que ~AB = (2, 1, 2) e ~AC = (−4, 1, 1), e´ um triaˆngulo
acutaˆngulo.
(g) O triaˆngulo de ve´rtices A, B e C, em que ~AB = (0, 1, 1) e ~AC = (2, 1, 2), tem medida da
a´rea inferior a 1.
(h) Suponha que ‖x‖ = 2, ‖y‖ = 3 e o aˆngulo entre ~x e ~y e´ 600 graus. Se ~a ⊥ ~b, em que
~a = 2~x+ ~y e ~b = −3~x+m~y, enta˜o m < 1.
(i) A soma das componentes do vetor ~u que satisfaz as seguintes condic¸o˜es:
* ~u e´ combinac¸a˜o linear de dos vetores (1,−3, 0) e (0,−4, 1);
* ~u ⊥ (0, 1,−2);
* ‖~u‖ = 3;
* O aˆngulo entre ~u e ~k e´ obtuso;
e´ igual a 1.
(j) Se ~u,~v ∈ R3 e ~u ⊥ ~v, enta˜o ‖~u+ ~v‖2 = ‖~u‖2 + ‖~v‖2.
(k) Se ~u,~v ∈ R3 e (~u+ ~v) ⊥ (~u− ~v), enta˜o ‖~u‖ = ‖~v‖.
2. Decomponha o vetor ~u = ~j + 1
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~k como uma soma
~u = ~u1 + ~u2
em que ~u1 e´ um vetor paralelo ao vetor ~v = 2~i−~j e ~u1 ⊥ ~u2.
3. Sejam A(1, 0, 1), B(0, 2, 3) e C(2, 0, 1) treˆs pontos do R3. Fac¸a o que se pede:
(a) Determine a a´rea do triaˆngulo de ve´rtices A, B e C.
(b) Determine a medida da altura, relativa ao lado A¯B, do triaˆngulo descrito no item (a).
(c) Determine a equac¸a˜o geral do plano (pi) que conte´m o triaˆngulo descrito no item (a).
4. Considere as retas de equac¸o˜es parame´tricas:
(L1) :

x = 1 + t
y = 1 + 2t, t ∈ R
= 2− t
(L2) :

x = 3− s
y = 4− s, s ∈ R
= −1 + 2s
(a) O ponto Q(−1,−1, 3) ∈ (L1)? O ponto R(6, 7,−5) ∈ (L2)? justifique suas respostas.
(b) Mostre que (L1) e (L2) sa˜o concorrentes e determine as coordenadas do ponto P intersec¸a˜o
entre elas.
(c) Determine as equac¸o˜es parame´tricas da reta (L3) que passa por P e e´ simultaneamente,
ortogonal a`s retas (L1) e (L2).
5. Sejam A(1, 0,−1), B(2, 1, 1) e C(0, 3, 1) e considere as retas de equac¸o˜es parame´tricas
(L1) :

x = 1 + 2t
y = 2t, t ∈ R
= 2 + t
(L2) :

x = 1− 3s
y = 2 + s, s ∈ R
= 1− 2s
(a) Determine a equac¸a˜o do plano (pi) que passa por A, B e C.
(b) Mostre que (L1) e´ transversal ao plano (pi) e determine as coordenadas do ponto de
intersec¸a˜o entre ele.
(c) Mostre que (L2) ⊂ (pi).
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