Barras Esbeltas

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BARRAS ESBELTAS
Barras Curtas e Esbeltas
Flambagem
Prof. Helio Flavio Vieira
Barra Curta e Barra Esbelta
Barra Curta
Uma barra é considerada curta quando a relação entre sua seção
transversal e seu comprimento é de tal ordem que as deformações
produzidas pela carga externa não interferem na ação desta carga
externa.
Por exemplo: se tivermos uma Barra Curta em que atue sobre a mesma uma
carga excêntrica (excentricidade “e”), a relação mencionada anteriormente
faz com que as deformações produzidas sejam tão pequenas em relação a
excentricidade que podem ser desprezadas. Ou seja:
• o comprimento “pequeno” em relação a uma seção transversal “grande”
desfavorece a flexibilidade da barra, produzindo deformações desprezíveis
com relação a flexão;
• sendo assim, como as deformações são muito pequenas, estas não se
constituem numa excentricidade adicional a já existente excentricidade, não
interferindo na ação da carga externa. Prof. Helio Flavio Vieira
Barra esbelta
x
P
Barra curta 
x 
P
y
y 
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Barra Curta
Considerações sobre barra curta:
• Atuando uma carga axial sobre uma barra curta, mesmo sendo uma carga 
excêntrica (situação mais favorável a flexão), a relação entre sua seção e 
seu comprimento é tal que não irá produzir flexibilidade a barra.
• Como a barra não irá flambar, caso a carga seja aumentada
continuamente, chegará a uma grandeza de tensão interna tal que irá
produzir a ruptura desta barra por compressão.
• Ou seja, a Capacidade Limite Elástica (σe – materiais dúcteis ou σR –
materiais frágeis) é atingida e a barra perde a estabilidade por ruptura.
• Portanto, sempre que formos construir uma barra sobre a qual irá atuar
uma carga axial (excêntrica ou não) é importante verificar se ela é curta
ou esbelta.
• Caso seja constatado que a barra é curta, ela será dimensionada
considerando sua Capacidade Limite Elástica (σe) ; de outro lado, se ela
for esbelta, será considerada sua Tensão Crítica Euler (σCR).
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Barra Esbelta
Barra Esbelta
Uma barra é considerada esbelta quando a relação entre sua seção
transversal e seu comprimento é de tal ordem que as deformações
produzidas pela carga externa interferem na ação desta carga externa,
ou seja:
• Caso a barra esteja solicitada a uma carga excêntrica compressiva (flexão
composta), é criada uma excentricidade adicional a já existente.
• Caso a barra esteja solicitada a uma carga centrada compressiva, será criada
uma excentricidade adicional e, portanto, produzindo uma flexão composta,
antes inexistente. Antes existia apenas compressão.
Para este caso, a verificação da estabilidade da barra é feita através da
Tensão Crítica de Euler, pois antes da barra perder a estabilidade por
ruptura (σe), ela perderá por flambagem (σCR).
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Carga Crítica e Tensão Crítica de Euler
Carga Crítica de Euler
Considerar uma barra esbelta solicitada a uma carga excêntrica:
Simbologia:
P: carga externa excêntrica compressiva.
Le: comprimento efetivo da barra.
e: excentricidade da carga.
x: distância do engaste, onde está se determinando
a deflexão (y).
y: deflexão da barra numa seção distante “x” do
engaste.
δ: grandeza da deformação (deflexão) que começa
a interferir na ação da carga externa.
* Iremos chamar “δ” de “Deformação Flexional”
δ e
e
y
x
x
y
..
eL
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Considerações sobre a figura anterior:
• Constitui-se de uma barra esbelta carregada excentricamente (e),
onde está representado apenas o eixo da barra e a carga excêntrica.
• Por se tratar de uma barra esbelta surge, evidentemente, uma deflexão
“δ” a se somar a já existente “e”.
• Caso seja aumentada gradativamente a grandeza da carga externa a
sua deflexão é aumentada de forma desproporcional, já que teremos,
além do aumento da carga, com o aumento do momento devido a
excentricidade (e), este será acrescido do aumento do momento
adicional devido a deformação flexional (δ).
• Com isso, muito antes da barra perder a estabilidade por ruptura, ela
perderá a estabilidade por flambagem, isto é, a grandeza das tensões
internas irão atingir a grandeza da tensão crítica (σCR) muito antes de
atingir a grandeza da Capacidade Limite Elástica do material (σe).Prof. Helio Flavio Vieira
Determinação da Equação Geral da Deflexão
O momento fletor numa seção distante de “x” do engaste é:
M = - P (δ + e - y) (1)
A equação matemática que representa a curva formada pelo eixo
deformado da barra (Linha Elástica) é uma equação diferencial
homogênea de segunda ordem:
(2)
Substituindo a primeira na segunda, obtemos:
Usando a notação:
MyEI
dx
ydEI zZ −== ".. 2
2
( )yePyEI z −+= δ".
zEI
Pp =2
( )yeP
EI
Py
z
−+= ."
δ e
e
y
x
x
y
eL
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Determinação da Equação Geral da Deflexão
Sendo assim:
→
Equação diferencial da linha elástica para a barra estudada
Resolvendo a equação diferencial, obtemos:
Equação que nos dá a declividade para
uma seção qualquer “x”.
Equação que nos dá a deflexão para
uma seção qualquer “x”.
C1 e C2 são constantes de integração cujas grandezas devem ser
determinadas de tal forma que sejam satisfeitas as condições de
contorno da barra estudada.
( )yePpy −+= 2" ( )epypy +=+ δ22"
senpxpCpxpCy .cos.' 21 −=
( )epxCsenpxCy +++= δcos.. 21
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Determinação da Equação Geral da Deflexão
Condições de contorno no engaste para a barra estudada:
Para: x = 0 → y’ = 0 (declividade)
x = 0 → y = 0 (deflexão)
Utilizando estes valores de condições de contorno e aplicando nas
expressões da declividade e deflexão respectivamente, obtemos as
grandezas das constantes que são: C1 = 0 e C2 = - (δ + e)
Com isso, a Equação Diferencial da Linha Elástica da barra resolvida,
ou seja, que nos dá a Deflexão ou Deslocamento Linear (y) em
qualquer seção transversal, bastando para isso atribuir valores de “x”,
será: ( )( )pxey cos1−+= δ
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Determinação da Equação Geral da Deflexão
Para obtermos a grandeza da Deformação Flexional (δ), que é
uma grandeza desconhecida e nos interessa, atribuímos o valor de
x = Le → sabemos que para esse valor de “x” → y = δ; substituindo
na equação anterior e simplificando, obtemos:
Grandeza da *Deformação Flexional
Deformação Flexional é a grandeza de deformação que quando ocorrer em uma barra
carregada axialmente irá interferir na ação da carga externa, fazendo com que ela
flambe, portanto esta deformação somente irá surgir em barras esbeltas.
Levando esse valor para equação diferencial da linha elástica resolvida e
efetuando, obtemos:
Equação Geral da Deflexão
em Barras Esbeltas
( )
e
e
pL
pLe
cos
cos1 −
=δ
( )
epL
pxey
cos
cos1 −
=
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Determinação Carga Crítica
Carga Crítica de Euler
• Para uma barra engastada numa extremidade e carregada
excentricamente na outra, se fizermos crescer a carga P, partindo do
zero, a deflexão inicialmente irá crescer proporcionalmente a carga,
tendo a barra nesse período as características de barra curta.
• Continuando a crescer a carga, chegaremos a um determinado ponto
em que a deflexão irá crescer mais rapidamente que P de maneira
cada vez mais acentuada e evolutiva, atingindo patamares que irão
influenciar a ação da carga externa.
• Isso acontece, pois o momento fletor não só aumenta com o
crescimento da carga P, ele também aumenta devido a deformação
flexional.
Vamos montar um diagrama de eixos coordenados, onde nas ordenadas
temos a a grandeza da carga P aplicada e nas abscissas a
Deformação Flexional:
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Determinação Carga Crítica
• Se formos aumentando gradativamente a carga, inicialmente a
deformação é pequena, não influenciando na ação da carga externa,
portanto, não apresentando ainda deformação flexional δ.
• Isso ocorre até uma grandeza de carga P4, conforme pode ser
observado no diagrama abaixo:
OBS: a barra até a grandeza de carga
P4 apresenta características de um
Pilar curto, já que δ = 0.
P
δ
.
1P
2P
3P
4P
CRP
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Determinação Carga Crítica
• A partir de P4, continuando a aumentar a carga, a deflexão atinge
proporções que começa a influenciar na ação da carga externa,
surgindo então a deformação flexional.
• Iremos chegar a uma grandeza de carga de tal ordem, que mesmo a
carga sendo centrada (situação mais desfavorável a flexão), a
deformação flexional irá se tornar infinita (curva torna-se uma reta
paralela ao eixo das abscissas). Sendo assim:
δ = ∞ →
Para que esse cociente seja infinito é necessário que:
Para que: → pLe = 90º = π/2
( )
e
e
pL
pLe
cos
cos1 −
=δ ( )
e
e
pL
pLe
cos
cos1 −
=∞
0cos =epL
0cos =epL
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Determinação Carga Crítica
Sabendo que: obtemos:
P
L
Carga Crítica de Euler
Carga Crítica de Euler: é uma grandeza de carga que quando aplicada
sobre uma barra esbelta, esta está na eminência de perder a
estabilidade, não por ruptura, mas por flambagem (flexibilidade).
zEI
Pp =2
2
pi
=epL
zEI
Pp =
2
.
pi
=e
LN
CR L
EI
P
LN
e
CR EIL
P .
4 2
2pi
=
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Vinculação da Barra e o Comprimento Efetivo (Le)
Grandeza de Le para tipos de Vinculação
Quando as fórmulas da carga crítica e tensão crítica foram deduzidas,
partiu-se da análise de uma barra engastada em uma extremidade e
livre na outra.
Nessa situação, consideramos o comprimento da barra como sendo “Le”
e deduzimos as fórmulas.
Para o caso de termos barras com outros tipos de vinculação, poderemos
efetuar uma analogia do comprimento destas com o comprimento da
barra original estudada.
Efetuada analogia e obtido o comprimento efetivo (Le) correspondente,
basta tão somente utilizar esse comprimento nas fórmulas
desenvolvidas e efetuar o estudo desejado, conforme a seguir:
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Vinculação da Barra e o Comprimento Efetivo (Le)
Engastada e livre Biengastada Biapoiada Apoiada e engastada
L L
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L
LLe 25,0= LLe 5,0= LLe 35,0=
L
LLe =
Tensão Crítica
Tensão Crítica de Euler
A Tensão crítica é obtida dividindo-se a carga crítica pela área da seção
transversal da barra em estudo.
• Pode-se observar que tanto a carga crítica como obviamente a tensão
crítica, dependem tão somente das características geométricas e físicas
da barra em estudo.
• Ou seja, poderemos determinar a tensão crítica conhecendo a rigidez
do material (E), sua seção transversal (ILN) e seu comprimento (L).
• Sendo assim, basta ter em mãos estas características e a capacidade
limite elástica do material da barra que poderemos determinar se ela é
curta ou esbelta.
LN
e
CR EIL
P .
4 2
2pi
=
A
EI
LA
P LN
e
CR
CR .4 2
2pi
σ ==
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Verificação de Barra Curta ou Esbelta
Barra Curta ou Esbelta?
Conforme foi visto anteriormente:
• Uma barra curta é aquela que se aplicarmos uma carga centrada e
formos aumentando esta, antes de flambar a barra perde a estabilidade
por ruptura, ou seja, atinge a grandeza de tensão interna igual a sua
Capacidade Limite Elástica (σe→ tensão de ruptura) antes mesmo de
atingir a sua tensão crítica (σCR).
• Uma barra esbelta é aquela que se aplicarmos uma carga centrada e
formos aumentando esta, antes de romper a barra perde a estabilidade
por flambagem, ou seja, atinge a grandeza de tensão interna igual a
sua Tensão Crítica (σCR→ tensão de flambagem) antes mesmo de
atingir a sua tensão ruptura (σe). Ou seja, quando:
• σe < σCR → Barra Curta
• σe > σCR → Barra Esbelta
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Verificação de Barra Curta ou Esbelta
Considerações Importantes sobre Carga e Tensão Crítica:
• Quando se quiser determinar se uma barra é curta ou esbelta, basta que seja
calculada sua tensão crítica (σCR) e posteriormente efetue a comparação com
sua Capacidade Limite Elástica (σe):
� se Capacidade Limite Elástica (σe) for maior a barra é esbelta;
� caso contrário, se Capacidade Limite Elástica (σe) for menor ela será curta.
• Quando uma barra sujeita a uma carga axial centrada vai ser dimensionada,
o momento de inércia a ser considerado nas fórmulas de Euler será sempre o
menor em relação aos eixos de flexão da barra, pois ela irá flambar sempre
no sentido da menor rigidez.
• Quando tiver que ser utilizada a σadm para dimensionar ou verificar uma
barra carregada axialmente e se tiver dúvida se a mesma é curta ou esbelta,
será necessário efetuar a operação do primeiro item acima, pois para:
Barra Curta: Barra Esbelta:
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cefseg
e
adm
σ
σ =
coefseg
CR
adm
σ
σ =
Flambagem em relação Menor Rigidez
Barra com uma carga axial centrada irá flambar sempre no 
sentido da menor rigidez. Sendo assim, o momento de inércia a ser 
considerado será o ILN (MÍNIMO).
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Aplicação
Uma barra sujeita a uma carga axial centrada compressiva será
analisada. Sabendo que suas características são as apresentadas abaixo,
Determinar qual será a tensão admissível (σadm) a ser utilizada na análise.
Vinculação: biengastada E = 105GPa σe = 100MPa
Seção Transversal: 4cmx6cm Comprimento: 8,6m Coef. Seg. = 1,4
Resolução:
ILN = 32.10-8m4
Le = 2,15m
A = 24m2
σCR= 7,5MPa < σe = 100MPa→ Barra Esbelta
MPa
xx
xx
CR 5,710.2415,24
10.3210.10514,3
42
892
==
−
−
σ
MPaMPa
coefseg
CR
adm 4,54,1
5,7
===
σ
σ
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Aplicação
Um pilar de aço com seção transversal 3,6cm x 2,4cm,
E = 20.105 Kgf/cm2, tensão de escoamento igual a 24 Kgf/mm2.
O pilar é biengastado, possui um comprimento de 1,8m e deseja-se manter um
coeficiente de segurança igual a 2, determinar: a) a carga crítica do pilar; b)
analise e explique se o pilar é curto ou esbelto? b) qual sua tensão admissível?
Resp.: a) PCR = 10100Kgf ; b) σCR = 1168Kgf/cm2 < σe = 2400Kgf/cm2 (ESBELTO) ; c) σadm = 584,3Kgf/cm2
Um pilar engastado numa extremidade e livre na outra, apresenta tensão de
escoamento igual a 28 Kgf/mm2, E = 20.105 Kgf/cm2 e uma seção
transversal 0,6m x 1,2m. Para esse pilar determine o menor comprimento
para que o mesmo possa ser considerado esbelto.
Resp.: L = 7,3m
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Uma barra biarticulada é constituída de um material que possui
σe = 150 Kgf/cm2, E = 15.103Kgf/mm2, seção transversal igual a 5,2cmx3,2cm.
Sabendo-se que será utilizado um coeficiente de segurança igual a 2 e que a
barra tem um comprimento de 2,8m, determinar: a) a carga crítica da barra;
b) se a barra é curta ou esbelta; c) a tensão admissível da mesma; d) caso a
barra fosse engastada numa extremidade e livre na outra, qual seria sua carga
crítica de Euler? e) para esta mesma barra do item anterior, qual seria sua
tensão admissível então?
Resp.: a) PCR = 2678,6Kgf ; b) σCR = 161Kgf/cm2 > σe = 150Kgf/cm2 (CURTO) ; c) σadm = 75Kgf/cm2
d) PCR = 670Kgf ; b) σCR = 40Kgf/cm2 < σe = 150Kgf/cm2 (ESBELTO) ; c) σadm = 20Kgf/cm2
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Aplicação
Calcule a carga necessária para causar flambagem em uma coluna com as
seguintes características: L = 170 mm; b = 15 mm; h = 1 mm; E = 200 GPa.
Resp.: PCR = 21,3N
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Aplicação
Uma coluna de alumínio está engastada em uma extremidade e
amarrada por um cabo na outra como mostrado abaixo, de maneiraa
impedir o deslocamento na direção x e livre na direção y. Determine a maior
carga possível P que pode ser aplicada na coluna sabendo-se que: Eal = 70 GPa;
σe = 215 Mpa; A = 7,5.10-3m2; Ix= 61,3.10-6 m4; Iy = 23,2.10-6 m4. Use F.S. = 3.
Resp.: P = 423KN
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Aplicação
Determine a máxima carga P que a estrutura pode suportar sem
flambar o membro AB. Assumir que o membro AB é feito de aço e
está articulado nas suas extremidades para o eixo de flambagem y e engastado e
livre em B para o eixo de flambagem x. Eaço = 200 GPa e σadm = 360 MPa.
Resp.: P = 42,8 kN
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Aplicação
Um tubo de aço A-36 com 24 ft de comprimento e a seção transversal
mostrada deve ser usado como uma coluna, a ser presa por um pino na
extremidade. Determinar a carga axial máxima admissível que a coluna
suportara sem sofrer flambagem, sabendo:
Eaço = 29.103ksi ; σe = 36 ksi
Resposta: Pcr= 64,5 kip; σcr = 14,3 ksi < σe = 36 ksi, Prof. Helio Flavio Vieira
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