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089206 - Ca´lculo 2 - Turmas D e H Primeira lista de exerc´ıcios Prof. Marcelo Jose´ Dias Nascimento 19 de outubro de 2016 1. Desenhe a trajeto´ria (imagem) de cada uma das seguintes func¸o˜es vetoriais: (a) r(t) = (1, t), t ∈ R; (b) γ(t) = (2 cos t, sen t), t ∈ [0, 2pi]. (c) γ(t) = (t, t, t2), t > 0. (d) F (t) = ( sen t, t), t ∈ [0, pi]. 2. Determine o domı´nio das seguintes func¸o˜es: (a) f(t) = ( t, √ t− 2 t+ 1 , ln(5− t2), e−t ) (b) g(t) = ( 2 , 1 t , 4 √ 2− t2 , arctg t ) (c) h(t) = t2 i + √ t− 1 j +√5− tk 3. Em cada um dos itens abaixo, determine a equac¸a˜o da reta tangente a` trajeto´ria da func¸a˜o dada, no ponto dado. (a) F (t) = (3t2, e−t, ln (t2 + 1)), no ponto F (0); (b) F (t) = ( sen 5t, cos 4t,−e−2t), no ponto F (pi); (c) G(t) = ( 1 t , 1 t , t2 ) , no ponto F (2); (d) F (t) = (t, t2, t, t2), no ponto F (1). 4. Calcule lim t→t0 F (t), lim t→t0 G(t), lim t→t0 F (t) ·G(t), lim t→t0 F (t) ∧G(t), em cada um dos itens abaixo: (a) F (t) = ( t3 + 3t2 − t+ 1 5t2 + 4t− 1 , sen (t) + cos(t 2)− 1, e2t+1 ) , G(t) = ( t2 + 4t+ 5, et − 1, tg (t) + (t− 1)) ; t0 = 0. (b) F (t) = ( t2, e2t−2 + sen 2(t− 1), cos(1− t3)), G(t) = ( t5 − 3t2 + t+ 1 3t2 − 4t− 15 , tg (1− t 4), cos(1− t5) + (1− t) ) ; t0 = 0. 5. Em cada um dos itens do exerc´ıcio anterior, determine: (a) os domı´nios das func¸o˜es F,G, F ·G e F ∧G; (b) os conjuntos de pontos em que cada uma das func¸o˜es F,G, F ·G e F ∧G e´ cont´ınua; (c) os conjuntos de pontos em que cada uma das func¸o˜es F,G, F ·G e F ∧G e´ diferencia´vel. 1 (d) as expresso˜es das derivadas de cada uma das func¸o˜es F,G, F · G e F ∧ G nos conjuntos obtidos no item anterior. 6. Considere h : R→ R dada por h(s) = sen (s2) cos(s+ 1) + es2−1, s ∈ R. Utilizando a Regra da Cadeia para func¸o˜es vetoriais, encontre as derivadas d ds (F ◦ h)(s) e encontre d ds (G ◦ h)(s), onde F e G sa˜o dadas pelos itens do Exerc´ıcio 4. 7. Em cada um dos itens abaixo, calcule ∫ b a F (t)dt: (a) F (t) = ( 3t3 − 2t2 + t− 15, e2t−2 + sen (t− 1), cos2(1− t)); a = 0 e b = 1. (b) F (t) = ( tg (t+ 1), sen 2(1− t) + t2 − 1, cos(t+ 1)); a = 0 e b = 2. 8. Suponha que F : R→ R3 seja deriva´vel ate´ 2a ordem e que, para todo t > 0, tenha-se ‖F (t)‖ = √ t. Mostre que F ′(t) · F ′(t) = −F (t) · F ′′(t) em [0,∞). 9. Sejam F : A→ R3 e G : A→ R3. Suponha que lim t→t0 F (t) = (0, 0, 0) e que ‖G(t)‖ 6M para todo t ∈ A, onde M > 0 e´ um real fixo. Mostre que lim t→t0 F (t) · G(t) = 0 e que lim t→t0 F (t) ∧ G(t) = 0. [Sugesta˜o: Use o Corola´rio do Teorema do Confronto que voceˆ aprendeu em Ca´lculo 1.] 2
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