Transmissão de Potência em Sistemas Rotativos

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FACULDADE DE TECNOLOGIA DE 
 SOROCABA 
 
 
 
FATEC-SO 
 
 
 
 
 
 
EIXOS 
 
 
- TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA EM SISTEMAS ROTATIVOS 
 
- DIMENSIONAMENTO DE EIXOS 
 
- FORÇAS ATUANTES NOS EIXOS 
 
 
 
 
 
 
CURSO: TECNOLOGIA MECÂNICA 
MODALIDADE: PROJETOS 
 
DISCIPLINA: CONSTRUÇÕES DE MÁQUINAS I 
 
PROF. JOSÉ ANTONIO ESQUERDO LOPES 
 
Prof. Esquerdo FATEC-SO 2005 
 
1 
 
 
PÁGINA 
 
 
INTRODUÇÃO......................................................................................................................................................... 2 
 
 
1. TRASNSMISSÃO DE POTÊNCIA EM SISTEMAS ROTATIVOS......................................................................... 2 
1.1. POTÊNCIA........................................................................................................................................................ 2 
1.2. SISTEMAS DE TRASNSMISSÃO..................................................................................................................... 2 
1.3. ROTAÇÃO E TORQUE .................................................................................................................................... 3 
1.4. RELAÇÃO DE TRASNSMISSÃO...................................................................................................................... 3 
1.5. RENDIMENTO.................................................................................................................................................. 4 
1.6. ROTAÇÃO EM MOTOR ASSÍNCRONO .......................................................................................................... 5 
1.7. EXERCÍCIO .................................................................................................................................................. 5, 6 
 
2. EIXOS.................................................................................................................................................................. 7 
2.1. INTRODUÇÃO.................................................................................................................................................. 7 
2.2. MATERIAIS................................................................................................................................................... 7, 8 
2.3. DIMENSIONAMENTO ................................................................................................................................ 9, 14 
2.3.1. RIGIDEZ ................................................................................................................................................ 15, 16 
2.4. CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES , FADIGA ........................................................................................... 16, 28 
 
3. FORÇAS TÍPICAS ATUANTES EM EIXOS....................................................................................................... 29 
3.1. INTRODUÇÃO................................................................................................................................................ 29 
3.2. EIXO SUPORTANDO TRANSMISSÃO POR CORREIA ................................................................................ 29 
3.3. EIXO SUPORTANDO TRANSMISSÃO POR CORRENTE............................................................................. 30 
3.4. EIXO SUPORTANDO ENGRENAGENS CLINDRICAS DE DENTES RETOS ............................................... 31 
3.5. EIXO SUPORTANDO ENGRENAGENS CLINDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS..................................... 32 
3.6. EIXO SUPORTANDO ENGRENAGENS CONICAS .................................................................................. 33,34 
3.7. SISTEMA COM COROA E EIXO TIPO PARAFUSO SEM FIM ...................................................................... 35 
 
BIBLIOGRAFIA...................................................................................................................................................... 37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 
INTRODUÇÃO: 
 
 Esta apostila se constitui em material didático para as aulas de teoria da disciplina 
“Construção de Maquinas I”, do curso de Tecnologia Mecânica Modalidade Projetos, da Fatec-So. 
 
 Este material se resume na condensação de notas e tabelas / gráficos com os fatores de 
concentração de tensões pesquisados por Jacobsen e Weigand, com o objetivo de proporcionar ao 
aluno o material prático para consulta no desenvolvimento de projetos. É composta de 34 páginas e 
está subdividida conforme segue: 
 
1. Transmissão de potência em sistemas rotativos 
2. Eixos 
3. Forças atuantes nos eixos 
 
1- TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA EM SISTEMAS ROTATIVOS. 
 
 
Vamos estudar parâmetros e relações matemáticas que nos servem de ferramentas, para 
avaliarmos o que está agindo nos elementos componentes de máquinas e equipamentos, em termos 
de esforços mecânicos e energia envolvida. 
 
 
1.1 - POTÊNCIA: Define-se como o produto escalar entre força e velocidade: 
 
 N = POTÊNCIA [ kgf * m / s ] 
 
 N = F * V F = FORÇA [ kgf ] 
 
 (eq. 01) V = VELOCIDADE [ m / s ] 
 
 
75 kgf * m / s = 1 C.V. = 736 Watts = 0.736 kWatts ( UNIDADES USUAIS ) 
 
 
1.2 - SISTEMAS DE TRANSMISSÃO: 
 
Muitos equipamentos industriais são acionados por alguma fonte de potência. Essas fontes 
geralmente fornecem parâmetros de potência (força e velocidade) inadequados aos tipos de serviços 
executados. 
Energia Trabalho 
 
 
 
 FONTE DE POTÊNCIA SISTEMA DE TRANSMISSÃO MÁQUINA ACIONADA 
 
 
Exemplo: Motor elétrico Exemplo: Caixa de engrenagem Exemplo: Máquinas ferramentas 
 Motor à explosão Redutor Equipamentos 
 Turbina, etc. Câmbio, etc. Veículos 
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3 
1.3 - ROTAÇÃO E TORQUE: 
 
São os elementos que quando aplicados a um movimento circular de diâmetro d qualquer, 
nos fornece os parâmetros F e V da potência: 
 
V = pi d n /60 [ m / s ] ( eq. 02) MT V 
d = Diâmetro [ m ] n 
n = Rotação [ rpm ] F 
MT = Torque [ kgf.m ] d/2 
 
 
 
 
r = raio 
d / 2 = r 
 
F = MT / r = 2 . MT / d (eq. 03) substituindo eq. 02 e 03 em 01 temos: 
 
 
N = 2 . MT . pi . d . n [ C.V. ] ou MT = 716,2 . N [ kgf . m ] 
 d . 60. 75 n 
 
 
1.4 - RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO: 
 
Em um para rotativo qualquer a relação de transmissão é o quociente da rotação da roda 
motriz pela rotação da roda movida. 
 
 
i = relação de transmissão = n1 / n2 
 
n1 = rotação da roda motora 
n2 = rotação da roda movida 
 
 
 
 
 RODA MOTRIZ 1 
 
 
 d1; n1; MT1V 
 RODA MOVIDA 2 
 F 
 d2 ; n2; MT2 
No ponto de contato V1 = V2 
 
 
∴ V1 = pi d1 n1 = V2 = pi d2 n2 
 60 60 
 
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4 
 
 ∴ n1 = d2 = i = relação de transmissão 
 n2 d1 
 
 
No ponto de contato F1 = F2 
 
2
T2
2
1
T1
1 d
M2F
d
M2F ⋅==⋅= 
 
 
∴ d2 = MT2 = i = relação de transmissão 
 d1 MT1 
 
 
 
1.5 - RENDIMENTO: ( η ) 
 
É definido como sendo o quociente entre a potência útil pela potência fornecida em um 
sistema qualquer. 
 
 
NF = Potência fornecida NU = Potência útil 
 
 
 
 
 
 ND = Potência dissipada 
 
 
 
 
η = NU < 1 Exemplo: η = 0,95 ou 95% 
 NF O rendimento é sempre < 1 
 
 
Se o sistema for subdividido ou composto por outros sistemas temos: 
 
 
 
 NF SISTEMA 1 SISTEMA 2 SISTEMA 3 SISTEMA n NU 
 
 η 1 η 2 η 3 η n 
 
 
η total = NU = η1 . η2 . η3. ..... .ηn 
 NF 
 
 
∴ η total = η1 . η2 . η3 . .... . ηn 
 
 
 
 
 SISTEMA DE TRANSMISSÃO 
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5 
1.6 - ROTAÇÃO EM MOTOR ELÉTRICO ASSÍNCRONO: Da eletricidade temos: 
 
nm = rotação do motor 
f = freqüência da corrente elétrica 
p = número de pólos do motor 
 
 nm = 120 . f 
 p 
 
1.7- EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO: Para o elevador de cargas esquematizado abaixo, determinar: 
 
Potência nominal do motor: N 
Relação de velocidade necessária ao redutor: i 
Torque no eixo do motor: MTM 
Torque no eixo do tambor de enrolamento do cabo: MTT 
 
DADOS: 
Carga a elevar G = 2000 kgf 
Velocidade de elevação V = 10m / minuto 
Diâmetro do tambor-carretel DT = 250 mm 
Rendimento do redutor ηR = 0,90 
Rendimento no par de mancais ηm = 0,99 
Rendimento cabo / tambor = ηcb = 0,95 
Motor deverá ter 08 pólos p = 8 e f = 60 Hz 
 
 Acoplamento com freio 
 Motor 
 
 Redutor 
 
 Acoplamento Mancais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 DT 
 
 Cabo 
 
 Velocidade V 
 
 Carga G 
 
 
 
 
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6 
Solução: 
 
a) Potência do motor: 
 
N = F . V [ C.V. ] F = G = 2000 kgf V = 10m/min = 10/60 m/s 
 75 
 
Substituindo vem N = 4,44 C.V. esta é a potência útil = NU 
 
Devemos determinar a potência que o motor precisa fornecer ao sistema: NF 
 
NF = NU ηtotal = ηr . ηm . ηcb = 0,90 . 0,99 . 0,95 = 0,846 
 ηtotal 
 Substituindo vem NF = 5,24 C.V. 
 
A potência fornecida é também chamada de potência necessária ao sistema, consultando um 
catalogo de fabricante de motores, verificamos que o motor normalizado disponível mais próximo de 
nossa necessidade é um motor de 6 ( seis ) C.V. 
 
Portanto, a potência especificada para o motor é de 6 C.V. ( potência Instalada ou nominal ) 
 
 
b) Relação de velocidade do redutor: i 
 
Para avaliarmos a relação de velocidade do redutor, necessitamos saber a rotação de entrada 
e saída do redutor: 
 
( ne ) rotação de entrada = rotação do motor nm = p
f120 ⋅
 = 
8
6120 0⋅
 = 900 rpm (nomina ) 
 
Rotação real (dado extraído do catálogo do fabricante do motor ) 880 rpm (motor assíncrono) 
 
( ns ) rotação de saída = rotação do eixo do tambor, da expressão V = pi . DT . nT [m/min] 
 
temos: nT = 10 = 12,73 rpm 
 pi . 0,25 
 
portanto i = ne / ns = 880 / 12,73 = 69,128 ; i = 1 : 69,128 
 
 
c) Torque: 
 
Nota: É usual como fator preventivo, no dimensionamento de alguns componentes como eixos, 
acoplamentos, chavetas, etc., utilizar a potência instalada e desprezar as perdas; no nosso caso 6 
C.V. , porém para alguns equipamentos esta opção pode ser exageradamente conservativa, cabe ao 
projetista do equipamento avaliar. 
 DT/2 
MTM = 716,2 . N = 716,2 . 6 = 4,88 kgf.m ou 4.880 kgf.mm Tambor 
 nm 880 
 
MTT = i . MTM = 69,128 . 4,88 = 337,56 kgf.m ou 337.560 kgf.mm 
 
MTT = G . DT = 2000 . 0,25 = 250 kgf.m ou 250.000 kgf.mm ( real ) G 
 2 2 
 
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7 
2 - EIXOS 
 
 
2.1- INTRODUÇÃO: 
 
Eixos são elementos de máquinas que suportam corpos e constituem o seu centro de rotação. 
Geralmente apoiados em mancais, são elementos de ligação de sistemas e, por serem peças muito 
solicitadas e normalmente vitais para um sistema, devem ter seu estudo, dimensionamento e escolha 
dos materiais muito bem elaborados. 
Denominamos eixos (simplesmente) peças que suportam elementos de máquinas em rotação 
e são o centro de giro. 
Denominamos eixos - árvore, os eixos que, além de suportarem elementos de máquinas em 
rotação e serem o seu centro de giro, transmitem momentos torsores (torque), transferindo energia 
entre os elementos a ele conectados. 
São peças rotativas ou muitas vezes estacionárias usualmente de seções circulares, onde se 
montam elementos como engrenagens, polias, rodas dentadas, etc. Estão geralmente sujeitos aos 
esforços de flexão, torção, compressão, tração ou combinações destes. Podem ter em vista disto, 
seções variáveis. 
 
Existem normas de padronização dimensional para eixos: 
 
DIN 114 - Diâmetro de eixos padronizados 
DIN 112 - Rotações normalizadas 
DIN 42943 - Pontas de eixos para máquinas elétricas 
 
Naturalmente, quando o eixo precisa de abruptas mudanças de secção, temos dificuldades 
em usar dimensões normalizadas; nestes casos, ligeiros desvios são aceitáveis. Além disto, quando 
se determina a forma da variação da secção de um eixo devemos estar atentos aos pontos de 
concentração de tensões. 
 
 
2.2- MATERIAIS: 
 
Os materiais a serem usados em eixos devem ser escolhidos de acordo com as 
características de operação dos eixos. Devem possuir alta resistência mecânica, baixa sensibilidade à 
concentração de tensões e boa usinabilidade. Podem ser fabricados de aço carbono ( 1025 a 1045 
SAE/ABNT ) mais comumente, com tratamento térmicos de normalização ou tempera. 
Uma maior resistência localizada nas pontas dos eixos pode ser conseguida endurecendo o 
aço até 40 ou 50 RC.Para se conseguir melhores e mais adequados materiais, menores diâmetros e 
acrescenta resistência ao desgaste nas pontas dos eixos, são usados aços carbonos ligados e 
efetuados tratamento térmicos e termoquímicos. No entanto isso resulta em maior custo e em 
maior sensibilidade à concentração de tensões, reduzindo um pouco o seu campo de aplicação. 
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Resumidamente, podemos recomendar alguns aços mais comumente indicados para 
aplicação em eixos: 
 
ABNT / SAE 1020 e 1030 - Baixa solicitação - peças secundárias. 
ABNT / SAE 1045 - Média solicitação - é o mais utilizado. 
ABNT / SAE 4140 - Média solicitação ( Aço cromo - molibdênio ) 
ABNT / SAE 4320 - Média solicitação. ( Aço níquel - cromo- molibdênio) 
ABNT / SAE 4340 - Alta solicitação. ( Aço níquel - cromo- molibdênio) 
ABNT / SAE 8640 - Alta solicitação. ( Aço níquel - cromo- molibdênio) 
 
 
A seguir tabela com a resistência mecânica dos materiais mais usados na construção de 
eixos. (valores orientativos, valores exatos dependem da bitola da matéria prima e processo de 
fabricação)*: 
 
 
 
 MATERIAL 
 
 AISI / SAE 
 
 
TRATAMENTO 
 
 TÉRMICO 
 
 TENSÃO DE 
 RUPTURA 
 σR ( kgf / mm2 ) 
 
1020 
 
 
NORMALIZADO 
 
40 
 
1030 
 
 
NORMALIZADO 
 
50 
 
1045 
 
 
NORMALIZADO 
 
63 
 
1045 
 
TEMPERA 
TOTAL 
 
75 
 
4320 
 
 
NORMALIZADO 
 
65 
 
4340 
 
TEMPERA 
TOTAL 
 
160 
 
8640 
 
 
NORMALIZADO 
 
70 
 
8640 
 
 
TEMPERA 
TOTAL 
 
125 
 
* Para mais informações e outros materiais ver apostila: “Resistência mecânica dos materiais” da 
disciplina Estática e Resistência dos Materiais I. 
 
 
 
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2.3- DIMENSIONAMENTO: 
 
Para dimensionamento de um eixo, ou seja , para a definição completa de seu projeto 
devemos seguir à seguinte seqüência de ação: 
 
a) Executar um layout (croqui), em escala, dos componentes envolvidos. 
 
b) Definir as forças atuantes 
 
c) Fazer esquema em perspectiva posicionando as forças encontradas. Salvo justificativa, na maioria 
dos casos, o peso próprio pode ser desconsiderado, se o seu valor não afeta de maneira significativa 
o dimensionamento. 
 
d) Isolar o eixo que queremos analisar, definir as reações nos apoios, executar os diagramas de 
momentos fletores e torsores. Deverá sempre ser considerado um modelo estrutural específico da 
resistência dos materiais ( comumente viga bi-apoiada em apoios articulados). Na determinação dos 
diagramas dos esforços solicitantes em planos verticais e horizontais, MFV e MFH (fletores) 
normalmente tem valores distintos ao passo que os momentos MTV e MTH (torsores) são os mesmos e 
simplesmente definidos por MT. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A B C D E 
 
 
Consideremos o eixo esquematizado acima suportando três engrenagens e transmitindo 
torque, admitamos seu carregamento conforme indicado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 E R4H 
 MTD 
 
 D 
 MTC 
 F1H 
 C F4V R2V 
 MTB 
 B 
 C 
 
 A F2V F3V 
R5A F2V 
 R3H 
 
 
 R1V 
 
 
 
Calculam-se as reações nos apoios e efetuam-se os diagramas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 MFVC 
 MFeqC 
 E 
 D 
 PLANO 
 VERTICAL 
 
 CMFhC 
 
 B 
 A 
 
 PLANO HORIZONTAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Para a secção crítica “C”, ou para as seções a serem analisadas calcula-se o momento fletor 
equivalente: 
 
 
( ) ( )22eqv. MfhC MfvC =CM + 
 
 
 
Diagrama de torção: 
 Mt 
 
 
 
 
 
 
 
Executar o dimensionamento, ou a verificação das dimensões considerando: 
 
Pré-cálculo pela teoria da resistência dos Materiais, em função dos esforços determinados. 
Podemos calcular a secção mais crítica ou fazer o cálculo para cada secção que nos interesse. Por 
exemplo, num determinado eixo, que é escalonado, onde as seções aumentam ou diminuem, 
podemos fazer em vários pontos, cálculos de diâmetros de eixos totalmente individuais, partindo MFH1 
e MFv1, MFh2, MFh3 e MFv3 e encontrando d1, d2 e d3 para cada secção, sempre considerando também 
os MT1, MT2, MT2, etc. 
Vamos verificar que tipos de esforços que existem: se existem só fletores, se só existem 
momentos torsores ou se existem momentos fletores e torsores simultâneos. 
 
Caso tenhamos eixo onde só exista a flexão, defino a secção crítica ou as seções escolhidas 
e nela haverá MF ou MFeq 
temos σ = MFeq = tensão atuante (sigma) 
 W 
W = módulo de resistência à flexão para eixos W = pi.d3 ≅ 0,1.d3 
 32 
para que o eixo resista é necessário: σ ≤ σ e σ = σR σR = tensão de ruptura do material 
 s 
 σ = tensão admissível do material 
 3 s = coeficiente de segurança 
 ou então: MFeqv 
 d = 
 0,1. σ 
 
Caso tenhamos um eixo onde só exista a torção temos o MT (geralmente constante ao longo 
do eixo ) e no caso dos planos horizontal e vertical MTH = MTV = MT 
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τ = tensão atuante = MT WT = módulo de resistência à torção WT = pi.d3 = 0,2. d3 
 WT 16 
 
Para que o eixo resista é necessário: τ ≤ τ e τ = τR τR = tensão de ruptura do material 
 s 
 τ = tensão admissível do material 
 3 
 ou então: MT s = coeficiente de segurança 
 d = 
 0,2 . τ τR ≅ 0,5 σR (para aços ) 
 τ = (táu) 
 
 
 
Caso o eixo esteja solicitado à flexão e torção simultaneamente, ou seja à flexo-torção, 
necessitamos ter em mãos os valores de MF ou MFeqv e MT. Além disso temos que pensar agora na 
influência da variação das cargas e consequentemente na variação das tensões e sua influência no 
momento fletor e torsor. Podemos ter uma tensão constante no tempo, pulsante ou alternada; 
conseqüência da forma de atuação do carregamento. 
 
 
Tensão constante (carregamento tipo I) Tensão pulsante (carregamento tipo II) 
 
 σ ou τ σ ou τ 
 
 
 
 
 tempo tempo 
 
 
 
Tensão alternada (carregamento tipo III) 
 
 
 σ ou τ 
 
 
 
 tempo 
 
 
 
 
 
 
O critério que vamos adotar para o dimensionamento de eixos à flexo-torção na FATEC-SO é 
o critério de Dobrovolski. Esse critério é ligeiramente conservativo e seus coeficientes para cálculo 
das tensões admissíveis já levam em consideração o aspecto de carregamento alternado e é a base 
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para um pré-dimensionamento do eixo. À medida que a geometria do eixo vai sendo definida de 
maneira mais clara pelo projetista, deve-se fazer verificações adicionais comprobatórias das seções 
críticas, levando-se em consideração os aspectos específicos de concentrações de tensões e fadiga, 
porém normalmente as dimensões definidas por Dobrovolski atendem a maioria das aplicações. 
 
 
 
 Diagrama típico de ruptura por fadiga do aço 
 σR 
 
 
 ≅ 0,4.σR 
 
 
 tensão admissível de Dobrovolski ≅ 0,1σR 
 
 
 106 a 109 ciclos N= n° de ciclos 
 
 
 
 
 
O critério de Dobrovolski se baseia na expressão de dimensionamento por flexão, acrescido 
de um conceito de combinação do MF com o MT, este conceito nos proporciona um momento fictício 
chamado de momento ideal ou combinado, e o efeito de carregamento diferente é corrigido pelo fator 
α , conforme a seguir: 
 
 
( )
3
flexao
2
eqv
2
σ0,1
MtαMfd
×
×+
=
 
 
 
 
O fator α é o fator de relação entre as tensões provocadas por diferentes tipos de carregamentos. 
 
 
Torção a tocarregamen de caso op/ admissível tensão
Flexão da tocarregamen de caso op/ admissível tensão
=α
 
 
Exemplos : 
 
• Se as tensões da flexão variarem de acordo com o caso I e as da torção variarem de acordo com o 
caso II, teremos: 
 
II
I
σ
σ
α = 
 
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14 
• Se as tensões da flexão variarem de acordo com o caso II e as da torção variarem de acordo com 
o caso III, então: 
 
III
II
σ
σ
α = 
 
Na maioria dos casos temos o clássico: 
I
III
σ
σ
α = 
Porque quase sempre as tensões da flexão variam de acordo com o caso III e as da torção variam de 
acordo com o caso I. 
 
Sabemos que existem valores empíricos de uma correlação matemática obtida por pesquisa 
experimental, que vale: 
 
 
 3,8
σ
1,7σ
1,0
σ IIIIII
==
 e 3,8
τ
1,7
τ
1,0
τ IIIIII
==
 
 
 
 
Portanto, considerando o exemplo anterior, teríamos: 
 
se 2,24
1,7
3,8
α
σ
σ
α
II
I
==→= 
 
 
se 0,263
3,8
1
α
σ
σ
α
i
III
==→= 
 
1α = para momento fletor e momento torsor sujeitos ao mesmo tipo de carregamento. 
 
Para o dimensionamento de eixos vamos usar como ponto de partida para o cálculo das 
tensões admissíveis a seguinte relação: 
rupturaI σ0,333σ ×= 
 
Terminado o pré-cálculo em função dos esforços, continuaremos a seqüência do 
dimensionamento partindo para: 
 
2.3.1 - Verificação da rigidez: 
 
2.3.1.1 - Rigidez à flexão 
 
Em função da elasticidade do material os eixos se deformam pela flexão; estas deformações 
são avaliadas pelos deslocamentos da linha elástica e rotação das seções. A determinação da 
grandeza destas deformações se faz com os princípios da elasticidade e teorias conhecidas no curso 
de Resistência dos Materiais. 
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15 
Com a finalidade de simplificar os cálculos em caso de eixos escalonados (vários segmentos 
com diâmetros variados) prescinde-se de cálculo mais exato substituindo este eixo por um de 
diâmetro constante e com rigidez equivalente. 
Os limites aceitáveis das deformações variam em função da aplicação específica dos eixos, e 
pode ser definida em normas específicas ou especificações técnicas por um bom desempenho. 
Citamos como exemplo o caso de eixos que suportam engrenagens, estas deformações quando 
grandes, alteram a eficiência de um engrenamento. E para estes eixos, salvo outra exigência, pode-se 
assumir como aceitáveis os seguintes valores para de formação: 
 
f = flecha admissível 
0,0002f < 
L = distância entre os apoios 
ϕ = rotação admissível da secção 
0,001=ϕ radiano para mancal plano 
0,008=ϕ radiano para rolamento radial de esfera 
0,05=ϕ radiano para rolamento autocompensador 
 
2.3.1.2 - Rigidez à torção 
 
É avaliada pelo cálculo do ângulo θ. No caso de eixos com vários seguimentos de diâmetros e 
comprimentos diferentes e torques eventualmente diferentes para cada segmento se avalia em θ 
específicos. Sendo a deformação total: 
 
∑
=
×
×
=
n
1i piJG
LiMti
θ
 
θ = ângulo de torção 
MTi = momento torsor 
Li = comprimento do segmento i 
G = módulo de elasticidade transversal do material 
JPI = momento polar de inércia do segmento i 
i = primeiro segmento 
 n = último segmento 
 
Salvo outro limite especificado podem em geral adotar-se 0,25θ = a 0,35 graus / metro 
 
2.3.1.3 - Rigidez à vibração lateral e rotação crítica 
 
O eixo, ao girar sob condição da flecha ƒ e de uma massa m da roda e do eixo; fica sujeito à 
força centrífuga. 
 
 
 
 
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16 
 
 Deslocamento f 
 
 
 
 
 FC 
 
 
 
Com o aumento da rotação do eixo, aumenta a força centrífuga, dependendo da rigidez do 
eixo a flecha aumenta com mais ou menos intensidade, podendo para certas velocidades, provocar 
com o acréscimo nos níveis de tensão a ruptura do eixo. A rotação que pode dar início à tal fenômeno 
chamado de ressonância é a rotação crítica dada pela expressão: 
 
f
1300ncrit ≅ 
 
A rotação de trabalho de um eixo próximo da rotação crítica, deve situar-se em um intervalo 
de segurança em função da rotação crítica que varia da ordem de : 
 
 
crittrabalhocrit 1,3nn0,7n << 
 
 
 
2.4.- Verificação quanto a concentração de tensão (caso as solicitações estejam sujeitas a fadiga). 
 
Fadiga é o efeito a que está submetido o material de uma peça que sofre variação de tensão 
ao longo do tempo; sob essa condição a resistência do material diminui. 
 σ 
 σmáx 
 
 σm 
 
 
 σmin. 
 tempo 
 
σm = tensão média = 2
minmax σσ +
 
 
σa = tensão alternada = 2
minmax σσ −
 
 
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17 
• Para o carregamento tipo I (tensão constante) tem-se σmin = σmax = σm e σa = 0 
• Para o carregamento tipo II (tensão pulsante) tem-se σmin = 0 , 2
maxσσ =m e 2
maxσσ =a 
• Para o carregamento tipo III (tensão alternada) tem-se minmax σσ = , 0=mσ e maxσσ =a 
 
As tensões mais importantes para o fenômeno de fadiga são σm e σa. 
 
As tensões que produzem a fadiga podem ser de tração, compressão, cisalhamento, flexão e 
torção, ou ainda, a combinação desses efeitos. 
 
Curva de Fadiga 
 
O ensaio até a ruptura de corpos de prova submetidos à flexão alternada nos mostra que o 
número de ciclos que conseguimos aplicar varia em função do valor de carregamento (tensão) 
aplicado. 
 log σ 
 σr log log′ = − +σ f m N b 
 
 
 σfo 
 
 
 
 
 103 Nfo log N 
 
σr = Tensão de ruptura 
σfo = Tensão em que ocorre a ruptura por fadiga no corpo de prova 
N = Número de ciclos aplicados (rotações) 
′σ f = Tensão limite de fadiga para N ciclos 
Outra conclusão importante é que para abaixo de certo nível de carregamento (tensão) o 
corpo de prova não rompe qualquer que seja o número de ciclos. 
 
Na falta de informações mais exatas podemos usar para aços : σf0 = (0,4 a 0,5) σr 
 Nf0 = 106 a 109 
 
Para peças que não atingirão um número de ciclos elevado, podemos trabalhar com tensões 
maiores, porém se atingirmos Nfo a peça romperá. 
Supondo Nf0 = 106; 
 
 
 
 
 
 
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18 
A ) Para o trecho entre 63 10N10 ≤≤ 
 
 
 
m
b
ff N
10
σ b+mlogNσlog =′∴−=′ Sendo : 
f0σ
0,9σ,log
3
1
m = 
 
 
( )
f0
2
σ
0,9σ,log=b 
 
B ) Se N<103 σrσ f0 = 
 
 
Fatores que influenciam a fadiga: o nível de tensão que provoca a fadiga é afetado por uma 
série de fatores, com base nesses fatores corrigimos o valor de tensão de fadiga à ser admitida para o 
projeto: 
 
=fσ tensão de fadiga corrigida 
 
 
f0f σKfKeKdKcKbKaσ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 
 
 
Ka = fator de acabamento superficial (ver tabela) 
Kb = fator tamanho (ver tabela) 
Kc = fator confiabilidade (ver tabela) 
Kd = fator temperatura (Kd = 1 para T< 71°C para T ≥ 71°C: 
T273,3
344,4Kd
+
= ) 
Ke = fator concentração de tensões ( )1Ktq1
1Ke
−+
= 
Kt = fator teórico de concentração de tensões (ver tabelas) 
q = coeficiente de sensibilidade do aço (ver tabela) 
Kf = outros fatores: a) tensões residuais 
 b) processo de produção do material (laminação, forjamento, etc.) 
 c) tratamento superficial 
 d) corrosão 
 e) revestimentos metálicosf) elementos fixados sob ajustes com interferência 
Na falta de informações específicas do material podemos considerar σ f 0 : 
 
 
 
 
 
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19 
 
Material 
 
 
À Tração 
 
À Flexão 
 
À Torção 
Aço carbono 0,32σr 0,4σr 0,25σr 
Aço fundido 0,26σr 0,4σr 0,2σr 
Fo.Fo. cinzento 0,25σr 0,5σr 0,38σr 
Fo.Fo. maleável 0,28σr 0,4σr 0,26σr 
 
 
 
A tensão admissível à fadiga: 
s
σ
σ ff = 
 
s = coeficiente de segurança adotado 
s = 1,5 para choque leves (exemplo: máquinas elétricas) 
s = 1,9 para choque médios (exemplo: máquinas operatrizes, máquinas ferramentas, equipamentos) 
s = 1,9 à 2,5 para para choque fortes (exemplo: prensas) 
s = 2,5 à 3,5 para choques muito fortes (exemplo: laminadores) 
Se quisermos saber o coeficiente de segurança à flexo-torção de uma peça conhecendo-se 
as tensões atuantes podemos calcular: 
 
22 CtCf
CfCtC
+
⋅
= sendo 
f
a
e
m
σ
σ
σ
σ
1Cf
+
= e 
f
a
e τ
τ
τ
τ
+
=
m
1Ct 
 
Para MF → III → σm = 0 
Para MT → I → τa = 0 
σe = tensão de escoamento do material 
 
 
A seguir, veremos as tabela e gráficos que nos fornecem os coeficientes obtidos 
experimentalmente sobre concentrações de tensões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ka = fator de acabamento superficial 
 
 
 
 
Kb = fator tamanho 
 
 
 
 
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q = coeficiente de sensibilidade do aço 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Kc = fator confiabilidade 
 
 
 
C 
0,5
0 
0,60 0,70 0,80 0,90 0,91 0,92 0,93 0,95 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 
Kc 1,0
0 
0,98 0,96 0,93 0,9 0,89 0,89 0,88 0,88 0,87 0,86 0,85 0,84 0,81 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Kt = fator de teórico de concentração de tensões para eixos em flexão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Kt = fator teórico de concentração de tensões para eixos em torção 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Kt = fator teórico de concentração de tensões para eixos chavetados 
 
 
 torção 
 
 
 
 
 
À flexão 
 
 
 
 
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25 
Kt = fator teórico de concentração de tensões para eixos tracionados 
 
 
 
 
 
 
Fórmulas para calcular o módulo de resistência líquido para seções dos eixos considerando 
as perdas dos rasgos para chavetas, etc. 
 
 
 
 
 
Alguns exemplos considerando os efeitos de fadiga: 
 
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26 
1. Determinar a tensão limite de fadiga para N = 105 ciclos para um material de σr = 80 Kgf / mm2 e 
Nf0 = 106. 
 
 
m
b
f N
10
σ =′ Usando σf0 = 0,4 σr = 32800,4 =⋅ 0,11732
800,9log
3
1
σ
0,9σ,log
3
1
=m
f0
=
⋅
= 
 
( ) ( ) 2,21
32
800,9log
σ
0,9σ,log=b
2
f0
2
=
⋅
= 
 
 
Portanto: ( )
2
0,1176
2,21
f m42,23kgf/m
10
10
σ ==′ este é o valor limite da tensão de fadiga para N = 
105 ciclos. 
 
2. Para o eixo abaixo, considerando o carregamento, os diagramas de esforços indicados, os efeitos 
de fadiga e concentração de tensões, determinar os coeficientes de segurança sabendo-se que o 
material tem σr = 100 kgf / mm2 
 
 500kg d1 = 56 
 6 
 r = 3,5 200kg d2 = 40 
 
 
 
 
 
 
 
 secção 1 sec. 2 
 400kg 300kg 
 
 
 
 100 100 200 100 100 
 
 MF 
 
 
 MF1=400.000 kgf.mm 
 
 
 MF2= 800.000 
 MT 
 MT=100.000 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo das tensões atuantes nas seções críticas 1 e 2 : 
 
 
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27 
Secção 1 só flexão (III) 
 
 
2
3 6,25Kgf/mm400,1
40.000
σ ±=
⋅
= 
 
Secção 2 flexão (III) torção (I) 
 
Usando o critério de Dobrovolski e com α = 0,26, temos: 
 
( ) 2
3
22
6,74kgf/mm
500,1
100.0000,2680.000
σ =
⋅
⋅+
= 
2
3 6,4kgf/mm400,1
80.000
σ =
⋅
= só flexão 
2
3 4kgf/mm500,2
100.000
τ =
⋅
= só torção 
 
 
Cálculo das tensões de fadiga corrigida pelos fatores de concentração de tensões e fadiga, 
 
usando-se as tabelas e gráficos dos fatores, considerando acabamento polido, temperatura ≤71°C, 
σe =70 kgf/mm2 e confiabilidade de 0,99, temos: 
 
para secção 1 d1 = 40mm 
 
Ka = 0,88 D/d = 56/40 = 1,4 
Kb = 0,87 r/d = 3,5/40 = 0,09 → Kt = 1,78 → q = 0,82 →Ke = 0,82 
Kc = 0,81 
Kd = 1 
 
215,2kgf/mm1000,410,610,810,870,88σf =⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 
 
Para a secção 2 
 
Ka = 0,88 ρ=2 t = 6 
Kb = 0,82 
Kc = 0,81 
Kd = 1 
 
Ke torção → kt = 2,6 → q = 0,88 → ket = 0,41 
 
Ke flexão → kt = 1,28 → q= 0,7 → ket = 0,83 
 
2m19,44kgf/m1000,40,8310,810,820,88σf =⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 
 
 Para o efeito de torção que segue o carregamento tipo I, não há fadiga porém vamos 
considerar o coeficiente Ket=0,41 para concentração de tensão devido o rasgo da chaveta, 
majorando a tensão τ calculada: 
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28 
 
9,75
0,41
14,0m =⋅=τ 
 
 
Cálculo dos coeficientes de segurança: 
 
 
Para a secção 1 ( só flexão) 
 
32,4
15,2
6,25
70
0
1
σf
σa
σe
σm
1Cf =
+
=
+
= 
 
 
 
Para a secção 2 flexo-torção 
 
 
43,0
19,44
6,4
70
0
1Cf =
+
= 3,59
35
9,75
1
f
a
e
m
1Ct ==
+
=
τ
τ
τ
τ
 ( )I0a =τσe0,5e ⋅=τ 
 
2,3
3,593,04
3,043,59
CtCf
CfCtC
2222
=
+
⋅
=
+
⋅
= 
 
 
 
 
 Portanto como conclusão, temos que o menor coeficiente de segurança para o eixo ocorre na 
secção 2 à flexo-torção e vale 2,3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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29 
3- FORÇAS TÍPICAS ATUANTES NOS EIXOS. 
 
3.1-INTRODUÇÃO: 
 
As forças que atuam nos eixos podem ter as mais variadas origens dependendo da finalidade do eixo 
ou do equipamento; vamos abordar aqui os casos mais comuns sendo que outros casos que possam 
surgir devem ser interpretados e diagnosticados pelo tecnólogo tendo por base os princípios de que 
todas as forças que surjam ações ou reações devem ser absorvidas pelo eixo e transmitidas aos 
mancais. 
 
3.2-EIXO SUPORTANDO TRANSMISSÃO COM CORREIAS: 
 
No contato da correia com a polia, para que haja a transmissão da energia mecânica é necessário 
aderência entre ambas, e isto é obtido através do atrito e de força inicial de esticamento (F0). Com a 
atuação desta força é possível pelo conjunto polias correia transmitir a energia, e isto se faz através 
da força de transmissão Ft à uma certa velocidade. 
 FT 
 
 MT1 
 F0 
 F0 2 
 1 
 R R 
 DP1 F0 F0 Dp2 Dp1
2.MtFt = 
 
 
F0 é recomendado = FT para correias planas 
F0 é recomendado = 0,75.FT para correias “V” 
R=força resultante assumida para o eixo: 
R =2.FT para correia plana 
R =1,5.FT para correia “V” 
 
 
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30 
3.3 - EIXO SUPORTANDO TRANSMISSÃO COM CORRENTE: 
 
 Para transmissão mecânica por corrente e roda dentada não há necessidade da força 
adicional de esticamento ( para grandes transmissões em o peso atua de maneira significativa pode 
haver necessidade de força adicional para compensar o efeito catenária ) pois a transmissão ocorre 
por contato direto entre o rolo da corrente e a roda dentada. Para o cálculo da força resultante no eixo 
leva-se em consideração a força de transmissão majorada por um fator de choque “ f ”: 
 
 
 
 
 
 tFfR ⋅= 
 
 
 
Condição de 
funcionamento 
Fator f 
cargas uniformes 1,0 
cargas c/ 
choques 
moderados 
1,2 
cargas c/ 
choques severos 
1,4 
cargas reversas 1,5 
 
 
 
 
 
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31 
3.4- EIXOS SUPORTANDO ENGRENAGENS DE DENTES RETOS: 
 
 
 A força de ação básica num par de engrenagens é a força normal “Fn” que atua normal à 
tangente no ponto de contado de dois dentes engrenados, essa força é decomposta em componentes 
chamada força radial “Fr” e força tangencial “Ft” em função do angulo de pressão θ das engrenagens. 
 
 
 
Dp
Mt2Ft = 
cosθ
FtFn = tangθFtFr ⋅= 
 
 
Dp = diâmetro primitivo da engrenagem 
Mt = torque no eixo da engrenagem considerada 
 
Um eixo que suporta engrenagem motriz recebe como cargas atuantes as reações às forças Fr e Ft. 
Um eixo que suporta engrenagem movida recebe como cargas atuantes as ações das forças Fr e Ft. 
 
 
 
 
 
 
 
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32 
3.5- EIXOS SUPORTANDO ENGRENAGENS DE DENTES HELICOIDAIS: 
 
 
 Nestes casos o dente tem a inclinação da hélice fazendo surgir além das Fr e Ft vistas no 
caso anterior a força axial “Fa”: 
 
 
 
 tangβFtFa ⋅= 
cosβ
tangθFtFr = β = angulo de inclinação da hélice 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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33 
3.6 - EIXOS SUPORTANDO ENGRENAGENS CÔNICAS: 
 
 Nestes casos as forças Ft, Fr e Fa dependem da forma do dente: 
 
 
 
 
 
 
 À seguir exemplos de montagem: 
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34 
 
 
 
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35 
3.7-SISTEMA COM COROA E PARAFUSO ROSCA SEM FIM: 
 
 
 
 
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36 
BIBLIOGRAFIA: 
 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS -NIEMANN GUSTAV 
ELEMENTOS ORGÂNICOS DE MÁQUINAS- FAIRES VIRGIL 
MECHANICAL ENGINEERING DESIGN - SHIGLEY JOSEPH 
ENGRENAGENS - STIPKOVIC F. MARCO 
STRENGHT OF MATERIALS - TIMOSHENKO S. 
APARATOS DE ELEVACION E TRANSPORTE - ERNEST 
INGENIERIA DE DISEÑO- ORLOF 
ORGÃOS DE MÁQUINAS - CARVALHO JOSÉ RODRIGUES 
DESIGN OF MACHINE ELEMENTS - SPOTTS M. F. 
ELEMENTOS E ORGÃOS DE MÁQUINAS - COLEÇÃO SHAUM 
CINEMÁTICA DOS MECANISMOS - SHIGLEY JOSEPH 
DISEGNO DI MACHINE - SPELUZZI E TESSAROTTO 
MACHINERY’S HANDBOOK - OBERG E JONES 
ROSCAS E PARAFUSOS - OLIVEIRAN. C. GILDE 
DESENHO DE MÁQUINAS - KWAYSSER EMIL 
MACHINE DESIGN - BLACK PAUL H. 
PRACTICAL GEAR DESIGN - DUDLEY DALDLEY 
DESIGN OF MACHINE MEMBERS - DOUGHTIE VENTON 
RESISTENCIA DOS MATERIAIS - VLADIMIR ARRIVABENE