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1 INTRODUÇÃO E A PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS INTRODUÇÃO Os livros de cálculo costumam conter um capítulo ou um apêndice dedicado a explicações de fatos básicos da matemática e que, em geral, são abordados no Ensino Médio das escolas brasileiras. O entendimento desses conceitos, e o uso correto deles em diversas situações, são condições necessárias para que o aluno da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I possa compreender conceitos específicos da disciplina, como o de derivada e integral, e possa aplicar esses conceitos na resolução de situações- problema relevantes. Por outro lado, percebe-se que, na maioria das vezes que o estudante apresenta dificuldades em resolver um problema de aplicação de limite, derivada ou integral, essa dificuldade não reside no entendimento dos conceitos específicos do cálculo diferencial e integral, mas sim na modelagem do problema, no seu equacionamento, na manipulação de expressões algébricas, ou na utilização de fatos elementares de trigonometria ou de geometria plana. Por essas razões, é extremamente importante que todos os estudantes da disciplina identifiquem suas próprias dificuldades com esses fatos elementares da matemática e se esforcem para superá-las ao longo do curso. Para auxiliar os estudantes nesse ponto, listamos uma relação de conceitos matemáticos que serão utilizados com muita freqüência durante o curso e cujo entendimento deve ser priorizado pelos estudantes. 1. Números Operações com frações e números reais. Potenciação e radiciação. Raiz quadrada. Intervalos. Desigualdades. Valor absoluto. Reta numérica. Equações polinomiais. 2. Álgebra Elementar. Produtos notáveis e fatoração. Operações com polinômios: soma, subtração, divisão. Raízes e igualdade de polinômios. Cálculo da decomposição de uma fração em soma de frações parciais. 3. Geometria Analítica. Coordenadas de pontos no plano cartesiano. Distância entre pontos. Simetrias. Retas: equações, paralelismo e perpendicularidade. Equações da circunferência. Equação e gráfico de parábolas. Elipse dada pela sua equação reduzida. Hipérbole de equação x y 1= . Translação de gráficos. 4. Funções e gráficos. Definição de função, domínio e imagem. Determinação de domínio e imagem de funções reais. Funções pares e ímpares. Funções crescentes e decrescentes. Operações e composições de funções. Função exponencial. Função logarítmica. A exponencial e o logaritmo natural. Aplicações de exponencial e logaritmo. Funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente. As funções que definem a parte superior, inferior e lateral de uma circunferência. 5. Trigonometria Trigonometria nos triângulos. Lei dos senos e dos cossenos. O círculo trigonométrico. Graus versus radianos. Identidades trigonométricas. Aplicações de trigonometria. 2 ESTRATÉGIAS DE ESTUDO Apresentamos também as seguintes estratégias de estudo para essa parte inicial da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I. (a) É extremamente importante que você possua algum livro de cálculo durante todo o semestre letivo. Então providencie um livro, fazendo um empréstimo na biblioteca ou com algum amigo, comprando o livro ou de outra forma qualquer. (b) Identifique as seções do seu livro que tratam dos conteúdos listados acima e LEIA essas seções, dando especial atenção para as definições, para as propriedades e para os exemplos resolvidos no livro. (c) Não acumule dúvidas. Assim que possível, durante o seu estudo, procure o seu professor ou os monitores para esclarecimentos de todas as suas dúvidas. (d) Resolva os exercícios do livro e compare suas soluções com as de outros alunos do curso. Caso você tenha dúvidas sobre algum exercício, procure o seu professor. (e) Resolva todos os exercícios listados a seguir. A lista de exercício a seguir aborda praticamente todos os conteúdos listados anteriormente. Esses exercícios devem ser obrigatoriamente resolvidos por todos os alunos das Turmas Especiais de Cálculo Diferencial e Integral I. 3 LISTA 1 1. Calcule a área do retângulo de dimensões 70 3 e 48 7 . 2. Considere o pentágono ABCDE de lados 20 21;12; 6 7 === CDBCAB ; 527 == EAeDE . a) Calcule o perímetro desse pentágono. b) Qual é o menor lado? 3. Dê contra-exemplos para mostrar que as afirmações a seguir são falsas. a) b d c d bc d +=+ , para quaisquer números reais a, b, c, com 0,0 ≠≠ bc e . b) 0≠+ bc baba +=+ , para quaisquer números reais não-negativos a, b. c) aa =2 , para qualquer número real a. d) ayx x yax +=+ 2 , para qualquer 0≠x . 4. Se | a | = 2, quais são os possíveis valores para a? Represente na reta numérica o conjunto de todos os valores de a que satisfazem à igualdade dada. 5. Em cada caso a seguir, determine todos os valores de x que satisfazem a relação dada e, também, represente na reta numérica todos esses valores de x: a) | x − 3 | = 2 b) | x − 3 | < 2 c) | x − 3 | > 2 6. Determine todas as raízes reais de cada equação a seguir: a) (2x − 3)(4x2 − 9)(x2 + 9) = 0; b) x3 − 5x2 +6x = 0; c) (x2 − 4x + 3)2 = 1. d) x(x − 7)2 = 50x. 7. Determine, se possível, os valores de A, B e C para que 1 12 23 + ++=+ + x CBx x A xx x , para todo x real. 8. Determine, se possível, os valores de A, B e C para que 1)1( 1 2222 2 + ++=+ −− x CBx x A xx xx , para todo x real. 9. Determine a para que a distância entre os pontos P = (a, 3) e Q = (5, 6) seja igual a 4. 10. Para dar uma interpretação para o exercício 9, responda às seguintes perguntas: a) Que figura fica caracterizada pelos pontos da forma P = (a, 3)? b) Que figura fica caracterizada pelos pontos cuja distância a Q = (5, 6) é igual a 4? c) Utilizando os itens (a) e (b), dê uma interpretação para o exercício 9. Respostas: 2) b) CD 6) a) 2 3± b) 0, 2, 3 c) 2, 22± d) 0, 257 ± 7) A =1, B = -1, C = 2 8) Não tem solução. 4 11. Determine os pontos sobre a reta de equação y = 2x − 3 cujas distâncias ao ponto Q = (4, 5) sejam iguais a 2 57 . 12. Determine o centro e o raio da circunferência de equação . Explicite y em função de x e identifique a figura que cada uma dessas funções representa? 036422 =−+−+ yxyx 13. Determine a equação da reta tangente à circunferência de equação no ponto Q de abscissa 3 sobre essa circunferência e que está no quarto quadrante. 2522 =+ yx 14. Analise a resolução da equação e diga o que está errado. Sol. . Cancelando o x obtemos . Daí , o que nos fornece as raízes xxxx 2)3( 2 −=− xxxx 2)3( 2 −=− 2)3( 2 −=− xx 0232 =+− xx 2 13±=x , isto é, 1 e 2. 15. Simplifique: a) 22 22 −− − xx xx b) h h 25)5( 2 −+ c) 16 8 4 3 − − x x 16. Resolva as desigualdades: a) b) −4x + 7 > 0 c) 012102 2 <−+− xx 0 32 2 2 ≤−− − xx x d) 0 )1( 2.2)1(2 22 2 ≥− −− x xxxx e) 2x x> + f) 2 34 1 2 + +≥+ − x x x x g) 2 1sen ≥x , no intervalo [0, π2 ] h) 2 2sen 2 1 ≤≤ x , no intervalo [0, π2 ] 17. Determine o valor de x no triângulo abaixo. 18. Seja , calcule f(0), f(1) e f(2). ⎩⎨ ⎧ > ≤−= 1, 1,1 )( 2 xsex xsex xf 19. Esboce o gráfico de y = |x − 2| + |x + 6|. Respostas: 11) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 12, 2 15 e ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − 2, 2 1 12) centro ( )3,2 − e raio 4. 13) .6 4 3 += xy 16) c ) 21 ≤<− x e ) x > 2 g ) 6 7 6 π≤≤π x h) 46 π≤≤π x ou . 6 7 4 3 π≤≤π x 17) .14=x 18) ( ) ;10 =f ( ) ;01 =f ( ) .42 =f 5 20. Encontreo domínio de cada função a seguir: a) 26 )3(ln)( xx xxf − −= b) ttth −+= 4)( . 21. Expresse a área de um retângulo em função de um de seus lados sabendo que ele tem perímetro igual a 20 cm. 22. Expresse o perímetro de um retângulo em função de um de seus lados sabendo que ele tem área igual a 16 cm2. 23. Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão que tem dimensões 12 cm por 20 cm. Devem-se cortar quadrados de lados x em cada canto do papelão e depois dobrá-los. Expresse o volume da caixa em função de x. 24. Um quadrado está inscrito em um círculo de raio r. Expresse o lado do quadrado em função de r. 25. Determine as coordenadas do ponto da circunferência 2 2 1x y+ = que está mais próximo do ponto . (4 , 3)P = 26. Ache o ponto do eixo que é eqüidistante de y (5 , 5)− e . (1 ,1) 27. Determine todas as retas que passam pelo ponto (2,3)P = e que são tangentes a circunferência de equação . 2 2 4x y+ = 28. Os pontos , e (2 , 2)A = (6 ,14)B = (10 , 6)C = são vértices de um triângulo retângulo? Se sim, qual desses pontos é o vértice de ângulo reto? 29. Usando a expressão: área = metade da base vezes a altura, determine a área do triângulo retângulo de vértices , (6 , 7)A = − (11 , 3)B = − e (2 , 2)C = − . 30. Determine a equação da reta em cada situação a seguir. a) A reta passa pelos pontos A = (1, 3) e B = (−2, 7); b) A reta passa pelo ponto C = (−4, 1) e é paralela à reta de equação 3x − 4y = 1; c) A reta passa pelo ponto C = (3, 1) e é perpendicular à reta de equação 2x + 6y = 1. Respostas: 20) a) b) .63 << x .40 << t 21) ( )llA −= 10 para 0 < l< 10. 22) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += l lP 162 para . 23) ∞<< l0 ( )( )xxxV −−= 6104 para 0 < x < 6. 24) 2rl = . 25) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 5 3, 5 4 26) ( )4,0 − 27) 6 13 12 5 += xy e . 2=x 28) Sim; C. 29) 2 41 . 30) a) 3 13 3 4 +−= xy b) 4 4 3 += xy c) 83 −= xy 6 D C A B 31. Na figura ao lado, é um paralelogramo, as coordenadas do ponto C são ( e os lados e estão contidos, respectivamente, nas retas de equações ABCD 6 ,10) AB AD 14 2 xy = + e . Determine as coordenadas dos pontos , 4 2−y x= A B e . D 32. O triângulo isósceles ABC tem como vértices da base os pontos (4 , 0)A = e . Determine as coordenadas do vértice sabendo que ele está sobre a reta de equação . (0 , 6)B = C 4y x= − 33. O número R de respirações por minuto que uma pessoa executa é uma função do primeiro grau da pressão P do dióxido de carbono ( CO 2 ) contido nos pulmões. Quando a pressão do CO 2 é de 41 unidades, o número de respirações por minuto é de 13,8; quando a pressão aumenta para 50 unidades o número de respirações passa para 19,2 por minuto. a ) Escreva R como função de P. b ) Ache o número de respirações por minuto quando a pressão do CO 2 for de 45 unidades. 34. Simplifique a expressão até encontrar um número inteiro: . 2log 7 724 log (8+ ) 2 2ax bx c x x x+ + + − += ⋅35. Suponha que a equação 8 4 seja válida para todo número real 2 3 5 5 8 x , em que , b e são números reais. Determine o valor dessas constantes , b e . a c a c 36. Sabendo que xx 2sen1calcule, 2 −π<<π . 37. Resolva as equações: (a) 3x + 3− x = 1 (b) 5x – 5− x = 3 . 38. Sem utilizar calculadora, calcule a área do triângulo ABC , sabendo que , 10AB cm= 3BC c= m e . o75ˆ =CBA Respostas: 31) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 7 114, 7 32A , ( )16,8=B , ( )10,6=C , ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 7 22, 7 18D 32) ( 13,17 ) 33) a) R = 0,6 P - 10,8 b) 16,2. 34) 70. 35) 3 5=a , 3 5=b e 6=c . 36) .cos x− 37) a ) não tem solução real. b ) . 5ln 2 133ln ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + =x 38) ( ) 2cm13 4 215 . + 7 39. Desintegração radioativa: os átomos de uma substância radioativa possuem a tendência natural a se desintegrarem, emitindo partículas e transformando-se em outra substância não radioativa. Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade de substância original diminui aumentando, conseqüentemente, a massa da nova substância transformada. Além disso, pode-se demonstrar que se no instante de tempo 0t = a quantidade de matéria radioativa é igual a 0M , então no instante de tempo a quantidade dessa matéria será igual a 0t ≥ 0( ) ktM t M e−= , sendo uma constante positiva que depende da matéria radioativa considerada. Em geral, para o cálculo dessa constante k , é informado o tempo de meia vida da substância radioativa: esse é o tempo para que metade da substância radioativa se desintegre. k a). Mostre que as constantes e , de uma mesma substância radioativa, estão relacionados pela expressão: k mt ln 2 m k t = . b) A meia-vida de uma substância radioativa é um ano. Quanto tempo levará para que num corpo puro de 10 gramas desse material reste apenas um grama? c) Uma amostra de tório reduz-se a 4 3 de sua quantidade inicial depois de 33.600 anos. Qual é a meia-vida do tório? 40. Lei de resfriamento de Newton: essa lei afirma que em um ambiente com temperatura constante, a temperatura de um objeto no instante t varia de acordo com a expressão: , sendo ( )T t ( ) ktT t A Ce−− = A a temperatura do meio, C a diferença de temperatura entre o objeto e o meio no instante e uma constante positiva. 0=t k a) Num certo dia, a temperatura ambiente é de 30 graus. A água que fervia numa panela, 5 minutos depois de apagado o fogo tem a temperatura de 65 graus. Quanto tempo depois de apagado o fogo a água atingirá a temperatura de 38 graus? b) O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto às 23 horas. O médico da polícia chegou às 23:30 h e imediatamente tomou a temperatura do cadáver que era de 34,8 graus. Uma hora mais tarde ele tomou a temperatura outra vez e encontrou 34,1 graus. A temperatura do quarto era mantida constante a 20 graus. Use a lei do resfriamento de Newton para estimar a hora em se deu a morte. Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva é de 36,5 graus. Respostas: 39) b) 3,310log 2ln 10ln 2 ≈= anos. c ) 5,956.80 3 4ln 2ln600.33 ≈ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛× anos. 40) a) .min6,15 2ln 4 35ln5 ≈ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ b) 24,2 1,14 8,14ln 8,14 5,16ln ≈ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ horas antes das 23:30 h, ou seja, aproximadamente às 21:15 h. 8 41. Utilizando um teodolito e uma trena um topógrafo fez as medidas de ângulos e distâncias indicadas na figura ao lado. Calcule a altura da torre indicada nessa figura. 42. Para saber o comprimento de uma ponte que será construída sobre um rio, um engenheiro instalou o teodolito no ponto B a uma distância de 30 metros do ponto A, situado na margem do rio. Depois, mediu os ângulos e , conforme a figura. Com base nas medidas feitas pelo engenheiro, determine o comprimento AC da ponte. o105CAˆB = o30ABˆC = Respostas: 41) ( ) ( )( ) ( ) m7,957,12,8723tg35tg 35tg23tg oo oo ≈+×− . 42) .m215 INTRODUÇÃO E A PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS INTRODUÇÃO ESTRATÉGIAS DE ESTUDO
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