Resumo de Hidrodinâmica - Ondas de gravidade

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Equac¸o˜es Ba´sicas
Seg. Lei Newton Massa × Aceler. = ∑Fexternas (ρDv/Dt) δ V ol = Fcorpo + Fsuperf.
Conserv. Massa Massa e´ Invariante D/Dt (massa) = 0
Impenetrabilidade Igual. Comp. Normais: Contorno e Fluido un = vn
Derivada Substantiva: DDtf =
∂f
∂t + v · ∇f
Fluido Newtoniano: Incompress´ıvel, Tensa˜o proporcional a taxa de variac¸a˜o de velocidade
O contorno fluido e´ descrito por uma F (x, y, z, t) = 0
Forc¸as de corpo Fcorpo = ρg δ V ol derivam de um potencial g = ∇(−gz)
Seg. Lei Newton Equac¸a˜o de Navier-Stokes ρ DDtv = ρ
∂v
∂t + ρv · ∇v = ρg −∇p+ µ∇2v
Conserv. Massa diverg. (ρv) = var. tempo de ρ ∇ · (ρv) = −∂ρ∂t
Impenetrabilidade un = vn DDtF =
∂F
∂t + v · ∇F = 0
Efeitos viscosos desprez´ıveis
Incompress´ıvel ⇒ ρ = Constante e ∂ρ/∂t = 0
Seg. Lei Newton Equac¸a˜o de Euler ρ DDtv = ρ
∂v
∂t + ρv · ∇v = ρg −∇p
Conserv. Massa Equac¸a˜o da Continuidade ∇ · v = 0
Impenetrabilidade un = vn DDtF =
∂F
∂t + v · ∇F = 0
Efeitos viscosos desprez´ıveis + Forc¸as de corpo derivam de um potencial + Fluido incompress´ıvel⇒
Na˜o ha´ criac¸a˜o de Vorticidade
Se inicialmente irrotacional ⇒ sempre irrotacional ⇒ ∇× v = 0
Se irrotacional ⇔ existe φ tal que v = ∇φ
Seg. Lei Newton Integral da Eq. de Euler ∂φ∂t +
1
2 | v |2 +pρ + gz = 0
Conserv. Massa Equac¸a˜o da Continuidade ∇ · v = ∇2φ = 0
Impenetrabilidade un = vn DDtF =
∂F
∂t + v · ∇F = 0
Texto Preliminar, SH Sphaier 2
Ondas Lineares
Efeitos Viscosos Desprez´ıveis (As ondas se propagam ao longo de grandes distaˆncias quase sem perda
de amplitude)
Forc¸as de Corpo derivam de um Potencial (Na Terra, campo gravitacional)
Fluido Incompress´ıvel (a´gua a temperatura constante)
Escoamento Irrotacional (Na˜o ha´ criac¸a˜o de vorticidade, quando as treˆs condic¸o˜es acima sa˜o im-
postas)
Ondas de pequenas amplitudes (As velocidades sa˜o muito pequenas)
Algumas Caracter´ısticas e Definic¸o˜es
O per´ıodo de uma onda monocroma´tica e´ invariante, T .
Altura da onda e´ a distaˆncia entre cava e crista. Amplitude da onda ζ0 e´ igual a meia altura.
Comprimento da onda e´ a distaˆncia entre duas cristas consecutivas, L (ou λ).
Celeridade c e´ a velocidade com que a onda (a forma) se propaga e e´ a relac¸a˜o entre o comprimento
da onda e seu per´ıodo, uma vez que o per´ıodo e´ o tempo que uma crista leva para alcanc¸ar a posic¸a˜o
que era ocupada pela crista posterior quando iniciou-se a contagem do tempo. Este tempo nada
mais e´ que o periodo da onda.
Frequeˆncia ω e´ a relac¸a˜o
ω =
2pi
T
Nu´mero de onda k e´ a relac¸a˜o
k =
2pi
L
Velocidade de grupo cg e´ a velocidade com que a energia da onda se propaga. Deve-se observar que
a celeridade e a velocidade de grupo na˜o necessariamente sa˜o iguais.
A energia total de uma onda por comprimento de onda e´ proporcional ao quadrado da altura da
onda.
Equac¸a˜o da dispersa˜o e´ uma equac¸a˜o fundamental nas ondas. Em a´guas profundas a onda se propaga
sem sentir o efeito do fundo. A medida que encontra a´guas mais rasas seu comprimento e´ alterado
e por conseguinte, altera sua celeridade. Tambe´m e´ alterada a velocidade de grupo. Como o fluxo
de energia (velocidade de grupo x energia / comprimento de onda) tem que permanecer constante,
a energia de um comprimento tem que se alterar. Logo a altura da onda tem que ser alterada.
Func¸a˜o potencial de velocidade e´ uma func¸a˜o que na˜o tem significado f´ısico direto. e´ a soluc¸a˜o da
equac¸a˜o de Laplace no problema de ondas. Podemos interpreta´-la como uma func¸a˜o geradora do
campo de velocidade, da forma do perfil da onda e do campo de pressa˜o.
Como as ondas propagam-se com uma longa frente, da´-se muita importaˆncia ao estudo da propagac¸a˜o
da onda como um problema bidimensional. Vamos aqui considerar que temos um sistema de re-
fereˆncia cartesiano com eixo Ox sobre a superf´ıcie livre em repouso. O eixo Oz e´ vertical e aponta
para cima. A onda ba´sica de refereˆncia aqui adotada e´ cossenoidal, isto e´, na origem x = 0, no
instante inicial t = 0, observamos que a onda forma uma func¸a˜o cosseno, com a superf´ıcie livre
passando pelo ponto z = ζ0.
A elevac¸a˜o da onda e´ a cota da superf´ıcie livre em um instante ao longo do eixo x.
Texto Preliminar, SH Sphaier 3
Equac¸o˜es Ba´sicas
Integral da Equac¸a˜o de Euler linearizada
∂φ
∂t
+
p
ρ
+ gz = 0
Equac¸a˜o da Continuidade para fluido incompress´ıvel + escoamento irrotacional
∇ · v = ∇2φ = 0
Soluc¸a˜o
Potencial de velocidades
φ = i
ζ0g
ω
cosh(k(z + d))
cosh(k d)
exp[i(ω t− k x)] (1)
Perfil da onda
ζ = −1
g
∂φ(x, 0, t)
∂t
ζ = ζ0 cos(ω t− k x) (2)
Equac¸a˜o da Dispersa˜o
ω2 = gk tanh kd (3)
Campos de velocidade
vx =
ζ0ω cosh[k(z + d)]
sinh(k d)
cos(ω t− k x)
vz = −ζ0ω sinh[k(z + d)]sinh(k d) sin(ω t− k x)
Acelerac¸o˜es
ax = −ζ0ω
2 cosh[k(z + d)]
sinh(k d)
sin(ω t− k x)
az = −ζ0ω
2 sinh[k(z + d)]
sinh(k d)
cos(ω t− k x)
O´rbitas
x− x0 = ζ0 cosh[k(z0 + d)]sinh(k d) sin(ω t− k x0)
z − z0 = ζ0 sinh[k(z0 + d)]sinh(k d) cos(ω t− k x0)]
Texto Preliminar, SH Sphaier 4
(x− x0)2
(cosh[k(z0 + d)])2
+
(z − z0)2
(sinh[k(z0 + d)])2
=
{
ζ0
sinh(k d)
}2
Pressa˜o
p = −ρ∂φ
∂t
− ρgz
p = ρgζ
cosh(k(z + d))
cosh(k d)
− ρgz
Texto Preliminar, SH Sphaier 5
A´guas Profundas
G(z) = a exp(kz)
Convenciona-se que o limite de a´guas profundas se da´ quando L/d = 2.
Potencial de Velocidades
φ = i
ζ0ω
k
exp(kz) exp[i(ω t− k x)]
Equac¸a˜o da Dispersa˜o
ω2 = gk
Celeridade e Comprimento da Onda
c =
L
T
=
gT
2pi
=
√
g
k
L =
gT 2
2pi
Campos de velocidade
vx = ζ0ω exp(kz) cos(ω t− k x)
vz = −ζ0ω exp(kz) sin(ω t− k x)
Acelerac¸o˜es
ax = −ζ0ω2 exp(kz) sin(ω t− k x)
az = −ζ0ω2 exp(kz) cos(ω t− k x)
O´rbitas circulares
(x− x0)2 + (z − z0)2 = ζ20e2kz0
Pressa˜o
p = ρgζekζ − ρgz
Texto Preliminar, SH Sphaier 6
A´guas Rasas
Limite quando kd << 1:
lim
kd→�
sinh(kd) = kd
lim
kd→�
sinh[k(z + d)] = k(z + d)
lim
kd→�
cosh[k(z + d)] = 1
Convenciona-se aceitar que o limite de a´guas rasas se da´ quando L/d = 20.
Velocidades
vx =
ζ0ω
k d
cos(ω t− k x)
vz = −ζ0ω(1 + z
d
) sin(ω t− k x)
Acelerac¸o˜es
ax = −ζ0ω
2
kd
sin(ω t− k x)
az = −ζ0ω2(1 + z
d
) cos(ω t− k x)
Comprimento da onda e celeridade
L = T
√
gd
c =
ω
k
=
√
gd
O´rbitas
x− x0 = ζ0
k d
sin(ω t− k x0)
z − z0 = ζ0(1 + z
d
) cos(ω t− k x0)
(x− x0)2
( ζ0k d)
2
+
(z − z0)2
(ζ0(1 + zd))
2
= 1
Texto Preliminar, SH Sphaier 7
Fluxo de Energia e Velocidade de Grupo
Energia Total da onda por unidade de comprimento de onda
E¯t =
ρgH2
8
Fluxo de Energia Total por unidade de comprimento de onda
G¯ = E¯tcn
n =
1
2
(
1 +
2kd
sinh(2k d)
)
A energia total da onda por unidade de comprimento de onda propaga-se com velocidade de grupo
cg:
cg = cn
G¯ = E¯tcn =
ρgH2
8
cg
cgH
2 = cg,∞H2∞
A´guas Profundas
n =
1
2
cg = c/2
A´guas Rasas
n = 1
cg = c
Texto Preliminar, SH Sphaier 8
Tabela Auxiliar - Equac¸a˜o da Dispersa˜o I
d/L kd tanh(k d) ω2d/g d/L∞ L∞/L n
0.001 0.006283 0.006283 0.000039 0.000006 159.157013 0.999987
0.002 0.012566 0.012566 0.000158 0.000025 79.581650 0.999947
0.003 0.018850 0.018847 0.000355 0.000057 53.057922 0.999882
0.004 0.025133 0.025127 0.000632 0.000101 39.797108 0.999789
0.005 0.031416 0.031406 0.000987 0.000157 31.841454 0.999671
0.006 0.037699 0.037681 0.001421 0.000226 26.538385 0.999527
0.007 0.043982 0.043954 0.001933 0.000308 22.751078 0.999356
0.008 0.050265 0.050223 0.002524 0.000402 19.911118 0.999159
0.009 0.056549 0.056488 0.003194 0.000508 17.702728 0.998936
0.010 0.062832 0.062749 0.003943 0.000627 15.936430 0.998686
0.015 0.094248 0.093970 0.008856 0.001410 10.641727 0.997051
0.020 0.125664 0.125006 0.015709 0.002500 7.999591 0.9947750.025 0.157080 0.155800 0.024473 0.003895 6.418472 0.991869
0.030 0.188496 0.186294 0.035116 0.005589 5.367848 0.988350
0.035 0.219911 0.216434 0.047596 0.007575 4.620353 0.984236
0.040 0.251327 0.246166 0.061868 0.009847 4.062298 0.979549
0.045 0.282743 0.275442 0.077879 0.012395 3.630526 0.974314
0.050 0.314159 0.304216 0.095572 0.015211 3.287136 0.968556
Tabela 1: Comprimento de onda em func¸a˜o da profundidade - A´guas rasas
Texto Preliminar, SH Sphaier 9
Tabela Auxiliar - Equac¸a˜o da Dispersa˜o II
d/L kd tanh(k d) ω2d/g d/L∞ L∞/L n
0.050 0.314159 0.304216 0.095572 0.015211 3.287136 0.968556
0.055 0.345575 0.332446 0.114885 0.018285 3.008011 0.962305
0.060 0.376991 0.360092 0.135751 0.021605 2.777071 0.955590
0.065 0.408407 0.387119 0.158102 0.025163 2.583183 0.948444
0.070 0.439823 0.413498 0.181866 0.028945 2.418393 0.940900
0.075 0.471239 0.439200 0.206968 0.032940 2.276868 0.932990
0.080 0.502655 0.464202 0.233334 0.037136 2.154232 0.924751
0.085 0.534071 0.488487 0.260886 0.041521 2.047139 0.916215
0.090 0.565487 0.512037 0.289550 0.046083 1.952984 0.907418
0.095 0.596903 0.534842 0.319249 0.050810 1.869711 0.898394
0.100 0.628319 0.556893 0.349906 0.055689 1.795676 0.889175
0.125 0.785398 0.655794 0.515060 0.081974 1.524869 0.841285
0.150 0.942478 0.736359 0.694002 0.110454 1.358034 0.792958
0.175 1.099557 0.800340 0.880020 0.140060 1.249469 0.746922
0.200 1.256637 0.850134 1.068310 0.170027 1.176285 0.704926
0.225 1.413717 0.888281 1.255777 0.199863 1.125770 0.667871
0.250 1.570796 0.917152 1.440660 0.229288 1.090331 0.636015
0.275 1.727876 0.938804 1.622138 0.258171 1.065185 0.609185
0.300 1.884956 0.954931 1.800002 0.286479 1.047196 0.586958
0.325 2.042035 0.966880 1.974403 0.314236 1.034254 0.568790
0.350 2.199115 0.975701 2.145678 0.341495 1.024904 0.554102
0.375 2.356194 0.982193 2.314239 0.368322 1.018129 0.542336
0.400 2.513274 0.986963 2.480508 0.394785 1.013210 0.532983
0.425 2.670354 0.990461 2.644881 0.420946 1.009631 0.525596
0.450 2.827433 0.993024 2.807708 0.446861 1.007025 0.519795
0.475 2.984513 0.994900 2.969291 0.472577 1.005127 0.515261
0.500 3.141593 0.996272 3.129881 0.498136 1.003742 0.511734
Tabela 2: Comprimento de onda em func¸a˜o da profundidade - A´guas intermedia´rias
Texto Preliminar, SH Sphaier 10
Tabela Auxiliar - Equac¸a˜o da Dispersa˜o III
d/L kd tanh(k d) ω2d/g d/L∞ L∞/L n
0.500 3.141593 0.996272 3.129881 0.498136 1.003742 0.511734
0.550 3.455752 0.998009 3.448873 0.548905 1.001994 0.506886
0.600 3.769912 0.998938 3.765906 0.599363 1.001063 0.504007
0.650 4.084070 0.999433 4.081755 0.649632 1.000567 0.502316
0.700 4.398230 0.999698 4.396899 0.699788 1.000303 0.501331
0.750 4.712389 0.999839 4.711628 0.749879 1.000161 0.500761
0.800 5.026548 0.999914 5.026115 0.799931 1.000086 0.500433
0.850 5.340708 0.999954 5.340462 0.849961 1.000046 0.500245
0.900 5.654867 0.999976 5.654728 0.899978 1.000025 0.500139
1.000 6.283185 0.999993 6.283142 0.999993 1.000007 0.500044
Tabela 3: Comprimento de onda em func¸a˜o da profundidade - A´guas profundas
Figura 1: Perfil da Onda
Texto Preliminar, SH Sphaier 11
Figura 2: Onda propagando-se em fundo plano inclinado I
Figura 3: Onda propagando-se em fundo plano inclinado II
Texto Preliminar, SH Sphaier 12
Figura 4: c/c∞, L/L∞ e cg/c∞ em func¸a˜o de d/L∞
Figura 5: Perfil da onda e perfis de velocidades
Texto Preliminar, SH Sphaier 13
Figura 6: Perfil da onda e perfis de acelerac¸a˜o
Figura 7: O´rbitas das part´ıculas Fluidas
Figura 8: Distribuic¸a˜o da pressa˜o em ondas, com a profundidade
Texto Preliminar, SH Sphaier 14
Figura 9: Energia potencial de uma fatia vertical em uma onda
Figura 10: Grupo de ondas
Texto Preliminar, SH Sphaier 15
Figura 11: H/H∞ em func¸a˜o de d/L∞
Texto Preliminar, SH Sphaier 16
Figura 12: Cancelamento em Estruturas Semisubmers´ıveis