LISTA 1 (GAAL) VETORES

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UNIFACS – Universidade Salvador
Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear
Curso: Engenharias 
Professores: Equipe GAAL
1a Lista de Exercícios – Vetores – 2012.2
Com base na figura coloque Verdadeiro ou Falso:
�
2) Com base na figura ao lado, 
escreva o vetor 
em função de 
, 
 e 
: 
3) Verdadeiro ou falso?
a) Se 
 então 
. b) Se 
 então 
.
c) Se 
 então 
. d) Se 
 então 
.
e) Se 
 então 
. f) Se 
 então 
 são paralelos.
g) 
ABCD é paralelogramo. h) 
i) 
 e 
 são paralelos e de mesmo sentido.
4) Dados os vetores 
 e 
, determine o vetor 
 tal que 
5) Considere os pontos A(1,2) e B(1, –2) e o vetor 
= (2, –1) 
No sistema de coordenadas XOY, represente o vetor 
com origem no ponto A, indicando o ponto A1 tal que 
= 
 
Sabendo que B, A, A1 e C são vértices consecutivos de um paralelogramo, determine o vértice C. Represente geometricamente o paralelogramo no sistema de coordenadas XOY
6) Dados os pontos 
, 
 e 
 , determinar o ponto D tal que 
 7) Considere os vetores 
; 
 e 
. Determine:
a) 
a) As coordenadas do ponto B, onde A = (1, 0, -2) e 
= 
c) As coordenadas do ponto M, onde M é o ponto médio do segmento AB do item b.
d) O versor de 
, onde 
 é paralelo a 
.
8) Determinar os valores de m para que o vetor 
 = (m,2m,2m) seja um versor.
9) Determinar os valores de m para que o vetor 
= mi + 6j tenha módulo igual a 10.
10) Determinar um vetor paralelo ao vetor 
 e que tenha módulo igual a 5.
11) Determinar um vetor de módulo 10 paralelo ao vetor 
 
12) Considere os vetores 
, 
 e 
. Determine:
a) 
 e 
 b) 
 c) 
 	 	 
d) Um vetor não nulo ortogonal a 
.
e) A projeção de 
 na direção de 
f) A projeção de 
 na direção de 
.
g) A medida algébrica da projeção de 
 na direção de 
.
13) Determinar m para que os vetores 
e 
 sejam ortogonais nos seguintes casos:
 a) 
 = ( m, -2 ,4) e 
 = (1, -2,-5) b) 
 = ( 2m - 1, 0 ,3) e 
= (0, m+1,0)
 c) 
= ( 4m, 0 ,1) e 
 = (0, 2,5)
14) Determinar o vetor 
, paralelo ao vetor 
= (2, -1, 3), tal que 
.
15) Sabendo que | 
 | = 2, | 
 | = 3 e 
, calcule:
a) 
 c) 
 
b) 
 d) 
16) Calcular 
,
, 
, sabendo que 
 e 
 e o ângulo entre 
 e 
 é de 60º .
16) Determinar o vetor 
 tal que 
, o ângulo entre 
 e 
 = (1, -1, 0) é 45º e 
 é ortogonal a 
 = (1,1,0).
17) Calcular o valor de m de modo que seja 120º o ângulo entre os vetores 
= (1, -2, 1) e 
 = (-2, 1 m + 1).
18) Calcular os ângulos diretores do vetor 
 = (6, -2, 3).
19) Os ângulos diretores de um vetor 
 são 45º , 60º e 120º e | 
 | = 2. Determinar 
.
20) Os ângulos diretores de um vetor podem ser de 45º , 60º e 90º ? Justificar.
21) � SHAPE \* MERGEFORMAT ��Dados os vetores 
 , determine:
; b) um vetor unitário ortogonal a 
 e a 
; c) área do triângulo ABC, sendo 
= 
 e 
= 
22) De um triângulo ABC sabemos que | 
 | = 2 , | 
 | = 3 e 
. 
 = 
. Determine a área desse triângulo.
23) Dados A = (1,0,1), B = (-2,0,-3) e C = (1,5,1)
 a) Mostre que 
 
. b) Verifique se o triângulo ABC é isósceles. 
24) Determine o vetor
 no R3 tal que 
 e 
 
25) Determine o vetor v no R3 tal que 
 e 
 	
26) Os pontos A = (2,3,0), B = (2,5,0) e C = (0,6,2) são vértices consecutivos de um paralelogramo. Determine o quarto vértice, a área desse paralelogramo e o sen (
,
).
27) Calcular a área do triângulo cujos vértices são os pontos P = (4,-3,1), Q = (6,-4,7), R = (1,2,2) e verifique se esse triângulo é equilátero.
28) Determine o centro e o raio da esfera com diâmetro nos pontos P = (1,1,0) e Q = (0,0,1).
29) Nos itens abaixo, os pontos A, B, C e D são vértices consecutivos de um quadrilátero. Verifique se esses pontos são vértices de um retângulo.
a) A = (1,2,1) , B = (3,3,-1) , C = (4,6,0) , D = (2,5,2) .
b) A = (3,-1,2) , B = (5,3,4) , C = (6,2,5) , D = (4,-2,3) .
30) Nos itens abaixo os pontos A, B C e D são vértices consecutivos de um quadrilátero. Verifique se esses pontos são vértices de um paralelogramo.
a) A = (3,2,2) , B = (5,6,3) , C = (6,5,5) , D = (4,1,4) .
b) A = (2,-3,1) , B = (6,5,5) , C = (6,2,5) , D = (4,-2,3).
31) Determine o vetor v sabendo que
 e que seus ângulos diretores são agudos e congruentes.
32) De um triângulo ABC, sabemos que A(1,0,2) , B(3,1,1) e 
o = 
 . Determine a altura do triângulo ABC em relação à base AC.
33) Sabendo que A = (0,0,0), B = (2,1,-2) e C = (0,0,5) são vértices de um triângulo, determine um vetor que tem a direção da bissetriz do ângulo interno BÂC.
Respostas:
	a
	b
	c
	d
	e
	f
	g
	h
	i
	j
	F
	V
	F
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
1)
2) 
= 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
3 )
	a
	b
	c
	d
	e
	f
	g
	h
	i
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	V
	F
4) 
; 5) a) A1(3,1) b) C(3, - 3) ; 6) D(-2, -6, 8) 
7) a) (8,11,6); b) (3,-1,0); c) (2, -1/2, -1); d) (2/3, -1/3, 2/3) ou (-2/3, 1/3, -2/3)
8) m = ± 1/3 ; 9) m = ± 8; 10) ( ±5√3 / 3, ± 5√3 / 3, ± 5√3 / 3); 11) ± ( 8√5 / 3, 4√5 / 3, -10√5 / 3)
12) a) u . v = 1 e u . w = 0 b) | u | = 3 e u o = (2/3,-1/3,2/3); c) (u , v) = arccos (√6/54) e (u , w) = 900 ; d) (x, y, (5x+5y) / 2 ) ; x,y Є R* ; e) ( 5/54, 5/54, -1/27); f) (0,0,0); g) 1/3; 
 13) a) m = 16 b) qualquer m c) não existe m; 14) (-6,3,-9); 15) a) 7; b) 38; c) -4; d) 5
16) 
, 
 e 7; 17) 0 ou – 18; 18) 
 = arc cos (6/7) 
 31º 
 = arc cos (-2/7) 
 107º 
= arc cos (3/7) 
 65º; 19) 
 = (
, 1, -1); 
20) Não, pois cos2 45 + cos2 60 + cos2 90 
1; 21) a) 
; b 
; c) 
; 22) 3/2 u.a. 23) a) AC.AB=0 b) O triângulo é isósceles, pois |AC| = |AB|; 24) (2,0,1); 25) (2,0,6); 26) D = (0,4,2) A = 4√2 u.a. e sen (AB, AD) = 2√2 / 3; 27) aproximadamente 18,8 u.a. O triângulo não é equilátero;
28) centro: M = (1/2,1/2,1/2) raio = 
; 29) a) não é retângulo; b) é retângulo; 30) a) é paralelogramo; c) não é paralelogramo; 31) 
; 32) 
; 33) t (2/3,1/3,1/3) , t Є R* 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
AB = GH = LJ
LM, GH e FA são coplanares.
LE, JI e IH são coplanares.
BC + CI + IB e MF são coplanares.
GM e 2AH são coplanares.
FA, FE e FM não são coplanares.
FM pode ser escrito como combinação linear de FA, FE e GM.
MG pode ser escrito como combinação linear de GH.
F = E + LM
H = I + LM
M
J
I
H
E
C
B
G
D
A
F
L
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
�PAGE \* MERGEFORMAT�1�
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