Frege - Vida e Obra (Os Pensadores)

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F R EG
(1848-1925)
VIDA e OBRA
Consultoria de Luís Henrique dos Santos
178	 OS P•NSADORF:S
A
s sistematizações das leis ideais
do pensamento, elaboradas pela
filosofia antiga e pelos lógicos da
Idade Média, podem ser sintetizadas em
torno de quatro características funda-
mentais. São bivalentes, admitindo
como valores lógicos apenas o verda-
deiro e o falso; são normativas, apoian-
do-se no pressuposto de que o verda-
deiro deve ser procurado, e o falso,
evitado; vinculam-se a uma metafisica
essencialista, supondo que os conceitos
lógicos expressem a própria realidade
dos seres; permanecem quase completa-,
mente presas ao âmbito da linguagem
corrente.
Esse panorama geral da lógica come-
çou a se alterar na Idade Moderna, em
virtude, sobretudo, do surgimento da ál-
gebra. Leibniz (1646- I 716) colocou os
princípios de uma lógica simbólica,
atraves de seu projeto de uma linguagem
artificial, desprovida de qualquer ambi-
güidade. Contudo. somente no século
XIX alguns pensadores conseguiram
construir uma lógica formal liberta dos
entraves que impediram o desenvolvi-
mento da lógica clássica.
Entre os trabalhos nesse sentido,
salientam-se os realizados por George
Boole (1815-1864), que desenvolveu
uma álgebra da lógica, os de Georg Can-
tor (1845-1918), criador da teoria ma-
temática dos conjuntos, os de De Mor-
gan (1806-1871) e os de Giuseppe
Peano (1858-1932). Mas as investiga-
ções mais importantes nesse período
foram as realizadas por Cottloh Frege,
considerado por muitos historiadores
como o verdadeiro fundador da moderna
lógica matemática.
Frege nasceu em 1818 na cidade de
Wismar, Alemanha. Seus estudos primá-
rio e secundário foram feitos no ginásio
da cidade natal e o superior nas univer-
sidades de Gõttingen e Jena. \ esta últi-
ma, tornou-se livre-docente, em 1874, e
professor titular, em 1896, e nela per-
maneceu até sua morte, ocorrida em
1925, em Bad Kleinen.
Durante toda a sua vida, Frege dedi-
cou-se quase exclusivamente à matemá-
tica e à lógica. O desenvolvimento das
idéias que formulou a respeito desses
assuntos pode ser estudado de acordo
com quatro períodos distintos. O pri-
meiro e marcado pela obra Conceito-
grafia, uma linguagemformular do pen-
samento puro, imitada da linguagem
aritmética, publicada em 1879 e na qual
sintetizou suas pesquisas sobre opera-
ções de negação e implicação e sobre os
conceitos de identidade e de quantifi-
cador universal, além de desenvolver
uma teoria lógica das séries. No segundo
período, que corresponde a Os Funda-
mentos da Aritmética (1884), Frege ocu-
pou-se com o esboço informal da defini-
ção lógica de número e com a
demonstração lógica das leis aritméticas
fundamentais, a partir de leis lógicas. O
terceiro período estende-se de 1881 até
1903, quando Frege completou a publi-
cação de As Leis Fundamentais da Arit-
mética, na qual procurou formalizar e
completar Os Fundamentos da Aritmé-
tica e, por essa razão, foi levado a alte-
rar alguns aspectos da sua conceito-
grafia e a inserir em seu contexto a
distinção entre sentido e significado.
Com essas modificações, Frege tornou
possível o uso generalizado do sinal de
identidade, sem provocar perplexidades
filosóficas, bem como conseguiu expli-
car por que as equações aritméticas são
ao mesmo tempo analíticas e informati-
vas. Além disso, Frege introduziu a
noção de percurso de valor de unes fim-
ção (todo conceito é urna espécie de fun-
ção. a extensão de um conceito é seu per-
curso de valor e todo número é urna
extensão de certo conceito) e criou uma
notação simbólica correspondente ao
que Russell, posteriormente, chamaria
descrição definitiva, isto é, expressões
do tipo "o tal-e-tal - . A esse terceiro
período do pensamento de Frege. perten-
cem, além de As Leis Fundamentais da
Aritmética, os importantes artigos Fun-
çào e Conceito, Conceito e Objeto e Sen-
tido e Significado.
Pouco antes da publicação do segundo
volume de As Leis Fundamentais da
Aritmética (1903), Frege recebeu de
Bertrand Russell uma carta, na qual o
filósofo inglês lhe comunicava um pro-
blema que, posteriormente, ficaria famo-
so como "paradoxo das classes". Segun-
do Russell, o paradoxo das classes
"Quaruic - -191
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"Quando um conceito, que serve de base a uma importante ciência, oferece
dificuldades, torna-se tarefa irrecusável investigá - lo de modo mais preciso e
superar essas dificuldades . . ." Frege dedicou toda sua vida à investigação
dos conceitos fundamentais da aritmética, desde sua juventude em Gõttingen.
(Vista de Gõttingen, Prefeitura e Praça do Mercado; Foto Biiuerle, Munique.)
FREGE
	
1 79
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pela obra Conceito-
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ida em 1879 e na qual
esquisas sobre opera-
implicação e sobre os
tidade e de quantifi-
além de desenvolver
das séries. No segundo
exponde, a Os Funda-
ica (1884), Frege ocu-
ço informal da defini-
número e com a
ca das leis aritméticas
irtir de leis lógicas. O
stende-se de 1884 até
ee completou a publi-
undarnentais da Arit-
irocurou formalizar e
damentos da Aritmé-
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de valor de urna fun-
é uma espécie de fun-
um conceito é seu per-
todo número é urna
conceito) e criou unia
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mia carta, na qual o
comunicava um pro-
rmente, ficaria famo-
das classes". Segun-
radoxo das classes
poderia ser demonstrado no sistema ló-
gico proposto por Frege, o que obrigou
este a escrever uni apêndice a As Leis
Fundamentais da Aritmética, propondo
uma maneira de corrigir seu sistema a
fim de evitar a contradição apontada por
Russell. Contudo, essa solução não
satisfez a Frege, na medida em que
ameaçava o caráter lógico do sistema,
isto é, sua evidência imediata. Iniciou-se
então o quarto período, no qual Frege
procurou outra solução para o proble-
ma, mas logo desanimou e voltou-se
para outros assuntos. A maior parte dos
escritos desse período somente foram
publicados em 1969. Entre eles salien-
tam-se três artigos, O Pensamento, A
Negação, Conexões de Pensamento (dos
poucos publicados em vida), que Frege
pretendia reunir sob a designação de
Investigações Lógicas. Uma quarta in-
vestigação (Generalidade Lógica) ficou
inacabada devido à morte do autor.
Além desses trabalhos, Frege redigiu
dois outros textos pequenos, num dos
quais reconhecia explicitamente a im-lossibilidadede reduzir a aritmética àógica e propunha o novo projeto de
reduzi-la a geometria. O projeto, contu-
do, ficou apenas esboçado.
Uma nova lógica
Os três primeiros períodos da obra de
Frege centralizaram-se no projeto de
redução da aritmética à lógica, projeto
que poderia ser sintetizado em dois
objetivos. O primeiro consiste em definir
toda expressão aritmética em termos ló-
gicos e com isso mostrar que toda
expressão aritmética significa o mesmo
que uma expressão lógica determinada.
I 80	 OS PENSADORES
truir deduções ilegítimas e toda
ilegitimidade pode ser facilmente cons-
tatada, na medida em que o conjunto de
passagens permitidas é pequeno e as re-
gras que as comandam são formais, isto
e, são do tipo "de sentenças de tal e tal
forma, pode-se deduzir uma sentença de
tal outra forma". Com isso, a dedução
torna-se um cálculo, uma série de opera-
ções sobre símbolos. É importante,
porém, notar que, para Frege, isso é ape-
nas um recurso útil e acidental. Frege
não pode, portanto, ser confundido com
os formalistas, segundo os quais a lógi-
ca é simplesmente uma teoria sobre sím-
bolos sem significado. Para Frege, os si-
nais de conceitografia têm significado e
o conjunto de axiomas e regras é estabe-
lecido de acordo com esse significado.
Ocorre apenas que se pode operar com
os símbolos como se fossem vazios, gra-
ças ao artificio da formalização.
As duas vantagens da lógica de Frege
em relação à lógica clássica, isto é, a
ampliação de seu campo e a formaliza-
ção, não devem ser postas em pé de
igualdade. A primeira é fundamental;„
pois, sem a nova teoria do conceito e aincorporação da teoria dos conjuntos, /
não seria possível reduzir a aritmética à/ -
lógica. O mesmo não pode ser dito da,
formalização, porque não é indispen-
sável a construção de uma linguagem
artificial; bastaria usar a linguagem
comum com algumas correções e acrés-
cimos que incorporassem as vantagens
da conceitografia. Prova disso encon-
tra-se no fato de Frege usar nos Funda-
mentos a linguagem comum. Em suma, a
ampliação do campo da lógica é condi-
ção de realização do projeto de Frege, a
formalização apenas torna as coisas
mais fáceis.
O segundo objetivo dependeria dos
resultados alcançados pelo anterior e,
em caso positivo, consistiria em mostrar
que as proposições lógicas obtidas pode-
riam ser deduzidas de leis lógicas
imediatamente evidentes.
Para cumprir esses objetivos, a lógica
clássica mostrava-se duplamente insufi-
ciente. Primeiro, por ser incompleta,
pois as relações e propriedades aritmé-
ticas seriam relações e propriedades ló-
gicas muito mais complexas do que as
que a lógica clássica era capaz de repre-
sentar. Em segundo lugar, esta última
não é suficientemente formalizada, dei-
xando-se contaminar pela imprecisão da
linguagem comum. Por causa dessas
insuficiências, o projeto de Frege passou
a exigir a elaboração de uma nova lógi-
ca. A essa tarefa, Frege se dedicou na
obra Conceitografia, uma linguagem
formular de pensamento puro, imitada
da linguagem aritmética e nos artigos
Funçáo e Conceito, Conceito e Objeto e
Sentido e Significado. A nova lógica ela-
borada nesses textos comporta uma
nova teoria do conceito, que conduz a
uma nova maneira de analisar proposi-
ções, à ampliação das possibilidades de
expressão de propriedades e relações ló-
gicas e, conseqüentemente, à ampliação
das possibilidades de definição de pro-
priedades e relações em geral. Além
disso, Frege incorporou à lógica a parte
da matemática posteriormente conhe-
cida como teoria dos conjuntos.
Por outro lado, a nova lógica elabo-
rada por Frege expressa-se
lógica 
de
uma linguagem simbólica artificial. A
linguagem comum (utilizada pela IO-
gica clássica) é inadequada para expri-
mir com exatidão propriedades e rela-
ções lógicas, em virtude de sua
gramática não se orientar por necessi-
dades puramente cognitivas, servindo
também a outras necessidades humanas,
como a estética. Uma dedução em lin-
guagem comum contém, assim, lacunas
e premissas implícitas que dificultam o
reconhecimento das conclusões logica-
mente legítimas. A conceitografia de
Frege, ao contrário, contém um conjunto
bem determinado de regras de dedução e
de axiomas lógicos, supostamente evi-
dentes. Assim, com a conceitografia, tor-
na-se gramaticalmente impossível cons-
Lógica e matemática
O núcleo da ampliação do campo da
lógica realizada por Frege encontra-se
em sua teoria do conceito. Frege substi-
tui a clássica distinção entre sujeito e
predicado pela distinção entre função e
argumento, como par de categorias lógi-
cas básicas. Essa substituição corres-
ponde a uma mudança mais radical de
ponto de vista: a unidade lógica deixa de
ser o conceito e passa a ser a proposição.
Investigando
problema das re:-.:_;-±;!SI
i	 asnsu_ficiénci
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Investigando sobretudo o conceito de número, Frege lançou novas luzes sobra o
problema das relaçóes entre a matemática e a lógica. Com isso, constatou us
insuficiências da lógica tradicional, particularmente sua incapacidade puro
abranger o pensamento matemático. (Igreja de São Jacó, em Gõttingen, orate
Cottlob Frege iniciou seus estudos universitários: Foto Bduerle, Alunique.)
r	 FREGE	 181
ilegítimas e toda
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ta em que o conjunto de
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Com isso, a dedução
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nbolos. É importante,
e. para Frege, isso é ape-
, útil e acidental. Frege
nto, ser confundido com
segundo os quais a lógi-
ite urna teoria sobre sim-
ficado. Para Frege, os si-
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lo com esse significado.
que se pode operar com
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da formalização.
agens da lógica de Frege
lógica clássica, isto é, a
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primeira é fundamental;„
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afia. Prova disso encon-
de Frege usar nos Funda-
agem comum. Em suma, a
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apenas torna as coisas
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ampliação do campo da
da por Frege encontra-se
do conceito. Frege subst i-
distinção entre sujeito e
k distinção entre função e
mo par de categorias lógi-
Essa substituição corres-
mudança mais radical de
a unidade lógica deixa de
e passa a ser a proposição.
OS PENSADORES
Segundo Frege, toda proposição admite
um processo de decomposição que a
reduz a uma expressão incompleta,
comportando um ou mais lugares vazios
e a uma ou mais expressôe' s-que-pOdem-
preencher esses lugares a fim de recom-
por a proposição. Assim, "dois é um nú-
mero" decompõe-se em "dois" e "( ) é
um número". A primeira expressão é
completa, tem como significado um
objeto; , a segunda é incompleta, tem
como significado uma função. Essa
forma de análise estende-se a toda espé-
cie de expressão. "A capital do Brasil",
por exemplo, decompõe-se em "A capi-
tal de ( )" e "Brasil", a primeira signifi-
cando uma função, a segunda, um obje-
to. Estende-se, assim, à lógica a noção
matemática de função. Do mesmo modo
que em matemática a expressão "o
dobro de ( )" significa uma lei que faz
corresponder a cada número, tomado
como argumento da função, outro núme-
ro que é o valor da função para o argu-
mento (argumento 1, valor 2; argumento
2, valor 4, etc.), também "a capital de
( )" significa uma lei que faz correspon-
der, por exemplo, o valor "Brasília ao
argumento "Brasil" o valor Londres,
ao argumento "Inglaterra": No caso de a
expressão decomposta ser uma proposi-
ção (como no exemplo "dois é um núme-
ro"), o valor da função é um valor de
verdade, que Frege diz ser"a circuns-
tância de ser ela [a proposição) verda-
deira ou falsa". Os valores de verdade
são dois: o verdadeiro e o falso. Assim, o
valor da função "( ) é um número" para o
argumento 2 é o valor de verdade verda-
deiro, pois preenchendo-se o lugar vazio
do nome da função com o nome do argu-
mento obtém-se uma proposição verda-
deira; pelo mesmo motivo, o valor dessa
função para o argumento "Brasília" é o
valor de verdade falso. Assim, o que
tradicionalmente se chama "conceito"
nada mais é para Frege do que uma fun-
ção que tem para qualquer argumento
um valor de verdade como valor. Anali-
sar logicamente uma proposição é de-
compô-la em uma parte significando um
conceito e uma ou mais partes signifi-
cando os argumentos. A proposição é
encarada como nome próprio, expressão
que significa o valor de verdade assu-
mido pelo conceito para aquele(s) argu-
Comtemporaneamente a Frege, o
matemático Giuseppe Peano contribuiu
de maneira decisiva para a formulação
de urna nova lógica, que sanasse as
insuficiências da lógica tradicional.
mento(s). Essa maneira de conceber a
análise lógica rompeu com toda a tradi-
ção e tornou-se o fundamento da lógica
moderna e o fio condutor na construção
dos modernos sistemas de cálculos de
predicados.
Os conceitos, segundo Frege, podem
ser classificados conforme o número de
lugares vazios, podendo ser preenchidos
por diferentes objetos. Em cada um dos
exemplos anteriores, trata-se de concei-
tos simples, com um só lugar vazio. Ao
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A figura acima representa uma etapa na construção de urna curva de Peano.
Continuando-se o processo de construção, todos os pontos da superfície seriam
preenchidos pela curva, demonstrando-se, assim, que uma curva, elaborada
convenientemerzte, pode ocupar todo a plano. Fatos como esse, considerados
"anormais" na época, exigiram a reformulação das bases lógicas da matemática.
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	 183
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contrário, o conceito "maior que" com-
porta dois lugares vazios: trata-se de
uma função de dois argumentos possí-
veis, um conceito relacional.
A todo conceito, segundo Frege, está
associado um objeto lógico, sua exten-
são entendida como caso particular de
uma noção mais geral definida para fun-
ções. Se duas funções assumem os mes-
mos valores para os mesmos argumen-
tos, diz-se que elas têm o mesmo
percurso de valor. 'No caso dos concei-
tos, assumir os mesmos valores para os
mesmos argumentos é equivalente a
assumir o valor verdadeiro para os mes-
mos argumentos, ou seja, subsumir os
mesmos objetos. Assim, dizer que dois
conceitos têm o mesmo percurso de valor
é apenas outra maneira de exprimir o
que a lógica tradicional exprimia como
"ter a mesma extensão". A extensão de
um conceito pode também ser entendida
como o conjunto de objetos que caem
sob o conceito. Desse modo, Frege incor-
184	 OS PENSADORES
gora a teoria dos conjuntos à lógica, isto
e, à teoria que trata de conceitos
enquanto elementos possíveis de propo-
sições. Para Frege, uma extensão de
conceito (conjunto) distingue-se de um
mero agregado fisico de coisas, pelo fato
de comportar uma mediação lógica: ser
determinada por um conceito.
Que é o número?
Assentadas as bases da nova lógica,
Frege dedicou-se à tarefa de mostrar que
as leis aritméticas fundamentam-se nas
leis lógicas. O núcleo desse trabalho
encontra-se em sua teoria do número. O
exame dessa teoria vincula-se estreita-
mente à segunda tese exposta em Os
Fundamentos da Aritmética, segundo a
qual uma expressão só chega a signifi-
car alguma coisa .i3uando no contexto de
uma proposição.' Nesse sentido, para
definir o número é necessário examinar
a espécie fundamental de proposição
onde aparecem . numerais, ou seja, a
equação. Para Frege, equações da forma
"o número que convém ao conceito F =
número clue contém o conceito G" podem
ser consideradas como equivalentes a
proposições da forma "o conceito F é
eqüinumérico ao conceito G'', ou ainda a
proposições da forma "F e G podem ser
postos em correspondência blunívoca".
Frege pretende, assim, uma vez que a
unidade da análise lógica, para ele, não
é o conceito mas a proposição, chegar à
definição de número através da análise
dessas proposições.
Conforme a lógica de Frege, a todo
conceito está associado um objeto lógi-
co: sua extensão. Assim, uma vez que é
possível demonstrar que dois conceitos F
e G são eqiiinuméricos se, e somente se,
a extensão do conceito "eqiiinumérico
ao conceito F" é igual à extensão do con-
ceito "eqüinumérico ao conceito C"; e
uma vez aceito que a proposição "o nú-
mero que convém ao conceito F = o nú-
mero que convém ao conceito G" equi-
vale à proposição "F e G são
eqiiinuméricos", pode-se facilmente con-
cluir que a proposição "o número que
convém ao conceito F = o número que
convém ao conceito G" equivale à propo-
sição "a extensão do conceito 'eqüinu-
mérico ao conceito F' = a- extensão do
conceito 'eqüinumérico do conceito G—;
sendo assim uma igualdade entre núme-
ros reduzida a uma igualdade entre
extensões de conceito. O último passo
consiste em identificar números e certas
extensões de conceito. Em suma, os nú-
meros são definidos por Frege como
extensões de conceito. Dizer que algo é
um número é dizer que existe pelo
menos um conceito F tal que este algo
seja extensão do conceito"eqüinumérico
a F". Na medida em que uma equação
numérica é assim reduzida a uma igual-
dade entre extensões de conceito, e na
medida em que esta igualdade pode ser
regulada por critérios lógicos, toda
equação numérica é pois reduzida a uma
igualdade lógica, definida como propo-
sição da lógica.
Estabelecida essa nova concepção do
número em geral, Frege define os núme-
ros singulares de maneira recursiva, isto
é, define o número zero como o primeiro
da série dos números naturais e, em
seguida, indica como obter a definição
do número n+ 1 a partir da definição do
número n. Define ainda os números
infinitos.
Frege pretende também que as leis
aritmeticas sejam logicamente demons-
tráveis a partir de leis lógicas. Em As
Leis Fundamentais da Aritmética, Frege
iridica um sistema lógico axiomático,
constituído por pequeno número de axio-
mas e regras de inferência lógica, de
modo que toda lei aritmética, transcrita
logicamente pelas regras de definição,
poderia ser demonstrada.
Esse sistema lógico axiomático, con-
tudo, revelou-se fragil, quando Bertrand
Russell apontou a Frege uma inconsis-
tência fundamental que poderia ser
encontrada no axioma lógico referente
às extensões de conceito. Segundo Ber-
trand Russell, a partir desse axioma
(conceitos F e G subsumem os mesmos
objetos se, e somente se. têm a mesma
extensão) pode-se deduzir que (1) para
todo conceito F e todo objeto X. F subsu-
me X se, e somente se. X pertence à
extensão de F. Pode-se deduzir também
que a todo conceito corresponde uma
extensão. Tomando-se, então, o conceito
"extensão de conceito que não pertence
a si próprio", como F em (1), e tomando
com X a extensão desse conceito, ob-
As obras do matemático inglês George Boole (1815-1864) marcaram época na
história da filosofia e da ciência. Boole desenvolveu, sobretudo, uma álgebra
da lógica e o cálculo de classes, habitualmente conhecido como álgebra
booleana de classes. Para muitos historiadores, a lógica simbólica moderna
somente ganhou consistência e consciência de sua novidade a partir de Boole.
FREGE	 185
ico do conceito
iaiciade entre mime-
m :::,-ualdade entre
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Z : = = ,
186	 OS PENSADORES
O filósofo Gottlob Frege nasceu e
passou a infinda em Wismar, no
litoral do mar Báltico. Afofo mostra
o centro de Wismar, com edifícios
em estilo holandês renascentista.
tém-se o seguinte resultado (2): o con-
ceito "extensão de conceito que não per-
tence a si próprio" subsume sua
extensão se, e somente se, essa extensão
pertence a si própria. Mas dizer que F
subsume X é dizer que X é F, o que con-
verte (2) na contradição: a extensão do
conceito "extensão de conceito que não
pertence,a si própria" não pertence a si
própria se, e somente se, pertence a si
própria.
O axioma que Frege julgava tão evi-
dente revelava-se, portanto, falso. Não
apenas ruía o fundamento de sua crença
no caráter lógico dos números, como
também tornava-se dubitável a própria
possibilidade de se falar coerentemente
em extensões de conceito. O próprio
Frege ainda tentou salvar o sistema com
alguns leves arranhões, mas não se con-
tentou com o resultado e sentiu compro-
metido seu projeto de redução da arit-
mética à lógica. Em vista disso, passou a
procurar os fundamentos da aritmética
na geometria. Não abandonou a idéia de
que a indicação numérica é enunciado
sobre conceito, mas acreditava que as
relações entre números deviam ser redu-
zidas a relações entre segmentos de
retas e que toda lei aritmética reduzida
pode ser derivada dos axiomas da geo-
metria. Tudo isso, porém, não passou do
nível de projeto, pois a morte inter-
rompeu suas pesquisas.
Sentido e significado
Especialmente importante dentro dos
trabalhos de Frege é a distinção entre
sentido e significado, surgida quando o
filósofo se defrontou com o problema da
identidade. Em seu escrito Sentido e
Significado, Frege indaga se a identi-
dade seria uma relação entre objetos ou
entre os sinais dos objetos. Tomando-se
a primeira hipótese como verdadeira,
Frege mostra que nesse caso a afirmação
"a= b" deveria significar o mesmo que
"a= a", se "a= b ' é verdadeira. Isso
porque se "a = b" é uma proposição
verdadeira, então "a" e "b' são dois
nomes para o mesmo objeto, e "a = 13"
não é capaz de informar nada além de
"a = a". A identidade seria uma relação
que uma coisa manteria consigo própria
e com nenhuma outra. Assim, essa inter-
pretação das afirmações de identidade
apresenta grandes dificuldades, pois
afirmações do tipo "a = b" são algumas
vezes sumamente informativas, e "a = a"
jamais o é. Foi muito importante, por
exemplo, a descoberta astronômica de
que a estrela da manhã e a estrela da
tarde são apenas o mesmo planeta.
Frege também não aceita a segunda
hipótese, ou seja, a de que a identidade é
uma relação entre nomes ou entre sinais
de objetos. Em tal caso, "a = h" afirma-
ria que o nome "a" e o nome "b" são
nomes da mesma coisa. Essa análise não
pode estar correta, segundo Frege, pois
o fato de que "a" é um nome para a e "h"
é também um nome para a resulta de um
acordo puramente arbitrário acerca des-
sas marcas ou sons, nada tendo a ver
com as propriedades das coisas designa-
quase	 -
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tara diferentes de
mesmo ponto e
1-ponto de interse
de intersecç
Quase nada se sabe sobre a vida pessoal de Frege, apesar do papel decisivo
que ele desempenhou na histón.tz da ciência. Sua vida foi inteiramente voltada
para a reflexão e elaboração de trabalhos filos('fico., além de dedicar-se ao
ensino de lógica e matemática na Universidade de Jena..-1 foto mostra o
edifício da Faculdade dos Operários e Camponeses da Universidade de .Icno.
FREC, E	 187
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L. nada tendo a ver
das coisas designa-
das. Também neste caso não se poderia
explicar que "a = b" tenha valor de
conhecimento, transmita informação
sobre a coisa nomeada por "a" e "b".
Ern virtude de tais dificuldades, Frege
estabeleceu a distinção entre sentido e
significado dos sinais. O significado
seria o objeto denominado ou denotado
pela expressão; já o sentido conteria o
modo de apresentação pelo qual o sinal
fornece seu significado. Por exemplo:
sejam a, b e c as linhas que ligam os vér-
tices de um triângulo com os pontos mé-
dios dos respectivos lados opostos;
nesse caso, o ponto de intersecção de a e
b é o mesmo que o de b e c. Disso resul-
tam diferentes designações para o
mesmo ponto e essas designações
("ponto de intersecção de a e b" e "ponto
de intersecção de b e c") indicam dife-
rentes modos de apresentação e, conse-
qüentemente. a afirmação contém conhe-
cimento efetivo. Desse modo, pode-se
dizer que as duas expressões ("ponto de
intersecção de a e b' e "ponto de inter-
secção de b e c") têm o mesmo signifi-
cado, mas diferem quanto ao sentido.
Analogamente, "estrela da manhã" e
"Vênus" têm o mesmo significado, mas
diferem quanto ao sentido. Devido a essa
diferença, a afirmação "Vênus é a estre-
la da manhã" transmite conhecimento
verdadeiro, ao passo que "Vênus é
Vênus" não o faz, a saber, o conheci-
mento de que a estrela que aparece pela
manhã é a mesma que aparece à tarde.
Em determinadas construções de fra-
ses, segundo Frege, o significado das
palavras refere-se, não ao significado
habitual das mesmas, mas ao seu senti-
188
	
OS PENSADORES
do habitual. Ao se supor, na afirmação
"Paulo sabe que Vênus é a estrela da
manhã", que a expressão "Vênus" tem
seu significado habitual, deveria ser
possível substituí-la por qualquer outra
que se referisse a Vênus. Mas se a
expressão "estrela da manhã" for subs-
tituída por "estrela vespertina', a afir-
mação pode se tornar falsa, pois não há
qualquer indicação de que Paulo saiba
que a estrela da manhã e a vespertina
são a mesma coisa, ou seja, Vênus.
Assim, conclui Frege, é necessário dis-
tinguir entre o significado costumeiro de
uma expressão e seu significado indire-
to; da mesma forma, é necessário distin-
guir entre o sentido costumeiro e o senti-
do indireto. O significado indireto de
uma palavra corresponde, para Frege,
ao seu sentido costumeiro.
Todas essas distinções estabelecidas
por Frege foram extremamente impor-
tantes para o desenvolvimento da aná-
lise semântica da linguagem, embora
seu objetivo não tivesse sido esse. Frege,
na verdade, tinha como alvo a solução de
um problema de filosofia da matemá-
tica. A distinção entre sentido e signifi-
cado permitiu-lhe sustentar, contra
Kant, que a lógica não é estéril por ser
analítica, o mesmo ocorrendo com a
matemática.
CRONOLOGIA
SOBR
UMA
1848	 Em Wismar,
manha, nasce Gottlob Fre-
ge.
1850 — Herman von
l-lelmholtz postula os funda-
mentos da termodinâmica.
1851 — O poeta alemão
Heinrich Heine publica o
Romanceiro. Publica se a
Teoria sobre as Funções de
uma Variável Complexa, de
Georg Riemann.
1860 - O matemático in-
glês George Boole publica
seu tratado acerca do Cál-
culo das Diferenças Finitas.
1874 --- Frege torna-se li-
vre-docente em Jena. Publi-
ca a Conccitografia. Franz
Brentano publica A Psicolo-
gia do Ponto de Vista Empí-
rico.
1879 — Nasce	 Albert
Einstein.
1884 -- Frege publica Os
Fundamentos da Aritméti-
ca. Edita se Assim Falou
Zaratustra, de Nietzsche.
1891 Morre o matemá-
tico alemão Lcopold Kro-
necker.
1892 — Poincaré inicia a
publicação do tratado Méto-
dos Novos da Mecânica Ce
leste.
1896 — Frege	 torna-se
professor titular em Jena.
1899	 Hilbert	 publica
Os Fundamentos dit Geo-
metria.
1900 — Morre Nietzsche.
1901 — Thomas Mann
publica Os Buddenhrooks:
Decadência de uma Famí-
lia.
1903 -- Publicam se As
Leis Fundamentais da Arit-
mética, de Frege.
1925 — Morre em Bad
Kleinen.
1969 — São publicados
alguns de seus mais impor-
tantes escritos, até então
inéditos.
1
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