Exercícios de Integral Tripla em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas

Prévia do material em texto

Lista de Exercícios: Integral Tripla
1) Calcule as seguintes integrais:
a)
∫ 3
0
∫ 2
0
∫ 1
0
(x2 + y2 + z2)dxdydz b)
∫ 1
−1
∫ 1
−1
∫ 1
−1
x2y2z2dzdydx
c)
∫ 1
0
∫ x
0
∫ xy
0
xdzdydx d)
∫ 4
0
∫ pi
0
∫ 1−x
1
x2sen(y)dzdxdy
e)
∫ pi
2
0
∫ y
0
∫ 1
y
0
sen(y)dzdxdy f)
∫ 1
−2
∫ x
0
∫ y
0
x2z4dzdydx
2) Considere o sólido limitado por x + y + z = 3, x + y − z = 1 e os planos coordenados. Calcule o volume do sólido,
fazendo:
a)
∫ [∫ [∫
dz
]
dy
]
dx b)
∫ [∫ [∫
dx
]
dy
]
dz
c)
∫ [∫ [∫
dy
]
dx
]
dz d)
∫ [∫ [∫
dx
]
dz
]
dy
3) Nos problemas seguintes, esboce o sólido e calcule cada integral tripla.
a)
∫ ∫
S
∫
(3x+ 2y)dxdydz, onde o sólido S é limitado superiormente pelo plano z = 4, inferiormente pelo plano z = 0 e
lateralmente pelo cilindro com geratrizes paralelas ao eixo z, sobre a região quadrada R : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 3.
b)
∫ ∫
S
∫
(3xy)dxdydz, onde S é o sólido no primeiro octante, limitado pelos planos coordenados e o plano x+y+z = 6.
c)
∫ ∫
S
∫ √
x2 + y2dxdydz, onde S é o sólido determinado pelas condições x2 + y2 ≤ 1 e 0 ≤ z ≤
√
x2 + y2.
d)
∫ ∫
S
∫
(x2)dxdydz, onde o sólido S : x2 + y2 ≤ 4 e 0 ≤ z ≤ 5.
e)
∫ 2
0
∫ 4
x2
∫ 6
3
dzdydx.
f)
∫ 1
0
∫ 1−z
0
∫ y
0
dxdydz.
COORDENADAS CILINDRICAS E ESFÉRICAS
4) Nos problemas seguintes, calcule cada integral tripla.
a)
∫ pi
0
∫ 3cosθ
0
∫ 3
0
rsenθdzdrdθ b)
∫ pi/2
0
∫ senθ
0
∫ r2
0
rcosθdzdrdθ
c)
∫ pi/6
0
∫ 2pi
0
∫ 4
0
ρ2senφdρdθdφ d)
∫ pi/2
0
∫ φ
pi/4
∫ 2cscθ
0
ρ3sen2θsenφdρdθdφ
5) Nos problemas seguintes, reescreva as integrais triplas como integrais triplas em coordenadas cilíndricas e calcule as.
a)
∫ 5
0
∫ √25−x2
0
∫ 6
0
dzdydx√
x2 + y2
b)
∫ 2
0
∫ √4−x2
0
∫ x2+y2
2
0
zdzdydx√
x2 + y2
6) Nos problemas seguintes, converta para coordenadas cilíndricas e calcule a integral.
1
a)
∫ ∫
S
∫ √
x2 + y2dxdydz, onde S é o sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, pelos plano z = 4
e pelo cilindro x2 + y2 = 25.
b)
∫ ∫
S
∫
dxdydz√
x2 + y2
, onde S é o sólido limitado superiormente pelo plano z = 4, inferiormente pelo plano z = 1 e
lateralmente pelo cilindro x2 + y2 = 16.
7) Nos problemas seguintes, converta para coordenadas esféricas e calcule a integral.
a)
∫ ∫
S
∫
(
√
x2 + y2 + z2)dxdydz, onde S é o sólido limitado pela esfera de raio 3, com centro na origem.
b)
∫ ∫
S
∫
(x2 + y2 + z2)3/2dxdydz, onde o sólido S é o sólido no primeiro octante limitado pela esfera x2+y2+z2 = 25,
pelo cone z =
√
x2 + y2 e pelo cone z = 2
√
x2 + y2.
8) Nos problemas seguintes, use a integração apropriada em coordenadas cilíndricas para calcular volume V de cada sólido S.
a) S é o sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro x2 + y2 = 9, pelo plano z = y e pelos planos coordenados.
b) S é o sólido limitado pelo plano z = x e pelo parabolóide de revolução z = x2 + y2.
c) S é o sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelas superfícies x2 + y2 = z e x2 + y2 = 2y.
d) S é o sólido limitado superiormente pela esfera x2 + y2 + z2 = 8, e inferiormente pelo parabolóide x2 + y2 = 2z.
9) Nos problemas seguintes, use a integração apropriada em coordenadas esféricas para calcular volume V de cada sólido S.
a) S : 0 ≤ φ ≤ pi/4, pi/6 ≤ θ ≤ pi/3, 2 ≤ φ ≤ 4.
b) S é o sólido limitado superiormente pela esfera x2 + y2 + z2 = 9 e inferiormente pelo cone z = 2
√
x2 + y2
10) Use coordenadas esféricas para calcular o volume V da esfera de raio a.
11) Expresse a integral tripla iterada
∫ 3
0
∫ √9−x2
0
∫ √9−x2−y2
0
(x2 + y2 + z2)dzdydx, como uma integral tripla iterada equiva-
lente em coordenadas esféricas e calcule a integral obtida. (Resposta: 2187pi2 )
12) Calcule o volume V do sólido S, no primeiro octante, limitado pela esfera ρ = 4, pelos planos coordenados, o cone
φ = pi/6 e o cone φ = pi/3. (Resposta: 16pi3 (
√
3− 1))
Bons estudos!!!
2