Dinânica de Sistema de Vibração cap 5

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Dinâmica de Sistemas e Vibrações 
 
 
 
M A T E R I A L T E Ó R I C O 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade: 
 
 
Vibração Forçada com Amortecimento Viscoso 
 
 
 
 
Responsável pelo Conteúdo: 
Prof. Dr. Sergio Turano de Souza 
 
Revisão Textual: 
Profª. Drª. Patrícia Silvestre 
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zzzzzzzzzzzzzzz 
 
 
 
 
Orientação de Estudos 
 
 
Olá caros alunos, 
 
Nesta unidade estudaremos o movimento vibratório com um grau de 
liberdade forçado e com amortecimento viscoso. A avaliação desta unidade será 
feita na Atividade de Sistematização (AC), valendo 0,3 pontos. Na Atividade de 
Aprofundamento, você será direcionado ao Fórum de discussão. Bons estudos. 
 
 
 
 
Contextualização 
 
 
O estudo do sistema com vibração forçada e amortecimento viscoso, que 
inclui os efeitos do movimento forçado e do amortecimento induzido estudados 
nas unidades anteriores é o caso mais geral do estudo dos sistemas com vibração. 
Você verá no Power Point um exemplo prático de aplicação no desenho de um 
sistema de suspensão de um carro. 
 
A T E NÇ Ã O: Para um bom aproveitamento do curso, leia o 
material teórico atentamente antes de realizar as atividades. É 
importante também respeitar os prazos estabelecidos no 
cronograma. 
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Unidade: V ibração Forçada com Amortec imento Viscoso 
Vibração Forçada com Amortecimento Viscoso 
 
Nesta unidade estudaremos o caso mais geral de movimento vibratório com 
um grau de liberdade. O sistema inclui os efeitos do movimento forçado e do 
amortecimento induzido. Por ser o caso mais geral, este apresenta muita utilidade 
prática. 
Na Figura 01 vemos o sistema bloco-mola sofrendo uma força senoidal e 
ligado a um amortecedor. 
F = F sen t0
m
k
c
 
Figura 1 - Sistema de vibração forçada com amortecimento viscoso. 
 
A equação diferencial que descreve o movimento é dada por 
tFkxxcxm ωsin0=++  (1) 
Esta é a equação para um bloco e uma mola sujeitos a deslocamentos 
periódicos de seu suporte, incluindo efeitos de amortecimento. 
Como a equação (1) é não homogênea, sua solução geral é a soma da 
solução complementar, cx , com a solução particular, px . A solução complementar 
é determinada igualando-se a zero o primeiro termo da equação (1), ou seja, 
 
0=++ kxxcxm  
 
 
 
 
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Unidade: V ibração Forçada com Amortec imento Viscoso 
A solução complementar é dada, dependendo dos valores de λ1 e λ2, por 
tt BeAex 21 λλ += ; ( ) tneBtAx ω−+= ; ou ( ) ( )φω += − tDex dtmc sen2 
 
Como neste caso o atrito é sempre presente, a solução é sempre amortecida 
e somente a vibração estacionária do sistema, que é descrita pela solução 
particular, que permanece indefinidamente. 
Como a força aplicada é harmônica, a solução particular tem a forma 
 
tBtAx p ωω cos'sin' += (2) 
 
Para determinarmos as constantes A’ e B’ (obs: utilizamos o indicativo 
“linha” para diferenciarmos das constantes A e B calculadas anteriormente) 
calculamos as derivadas temporais 
tBtAx
tBtAx
p
p
ωωωω
ωωωω
cos'sin'
sin'cos'
22 −−=
−=


 
 
Substituindo as equações de px , px e px na equação (1) e fazendo 
algumas simplificações, obtemos (tente fazer): 
 
( ) ( ) tFtkBcAmBtkAcBmA ωωωωωωω sincos'''sin''' 022 =++−++−− 
 
Esta equação é válida para qualquer tempo, assim podemos simplificá-la 
igualando o termo de tωsin de cada lado da igualdade. Fazemos o mesmo com 
tωcos , que como não há no lado direito da equação, é igual à zero, assim: 
 
( ) 02 ''' FkAcBmA =+−− ωω 
( ) 0''' 2 =++− kBcAmB ωω 
 
Precisamos resolver este sistema algébrico. Isolando B’ da segunda 
equação, substituindo na equação de cima, trocando mkn =
2ω e fazendo algumas 
contas, obtemos 
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Unidade: V ibração Forçada com Amortec imento Viscoso 
( )( )
( ) ( )2222
22
0'
mc
mFA
n
n
ωωω
ωω
+−
−
= 
 
 
 
(nota do professor: Optei por não mostrar estas contas passo-a-passo, mas recomendo que 
o aluno tente chegar nelas, é um ótimo treino de álgebra). 
 
 Relembrando a resolução da equação (2) na Unidade III, temos que a 
equação também pode ser escrita na forma 
 
( )'sin' φω −= tCx p 
 
 Onde a amplitude 'C é: ''' BAC += e a constante 
A
B1tan' −=φ . Calculando-
as e substituindo nc mm
kmc ω22 == , obtemos: 
 
222
0
21
'


















+














−
=
ncn c
c
kFC
ω
ω
ω
ω
 
e 




















−












= − 2
1
1
2
tan'
n
ncc
c
ω
ω
ω
ω
φ 
 
O ângulo 'φ representa a diferença de fase entre a força aplicada e a 
vibração natural do regime amortecido. 
 
( )
( ) ( )2222
2
0'
mc
mcFB
n ωωω
ω
+−
−
=
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Unidade: V ibração Forçada com Amortec imento Viscoso 
O fator de amplificação FA já foi definido anteriormente como a razão entre 
a amplitude causada pela vibração forçada e a amplitude provocada pela força F0. 
Como a amplitude máxima causada pela vibração forçada tem amplitude C’, e 
kF00 =δ , temos 
2220
21
1'


















+














−
==
ncn c
c
kF
CFA
ω
ω
ω
ω
 
 
A Figura 02 mostra o fator de amplificação versus a razão nωω para 
diferentes valores do fator de amortecimento ccc . Notamos que a ressonância 
ocorre quando a razão de freqüência ( nωω ) é igual a um ou ccc é igual à zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 - Fator de amplificação versus a razão nωω para diferentes valores do fator de 
amortecimento ccc . 
 
c/cc = 0 
c/cc = 0,10 
c/cc = 0,25 
FA 
ω / ωn 
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Unidade: V ibração Forçada com Amortec imento Viscoso 
Exemplos 
 
EXEMPLO.1 – A figura mostra um motor elétrico de massa 30 kg, apoiado em 
uma mesa com quatro molas. A rigidez de cada mola é k = 200 N/m. O rotor, 
girando com ω = 10 rad/s, não está balanceado, causando um efeito de uma 
força F0 = 24 N. O sistema é amortecido, com um fator de amortecimento é ccc 
= 0,15. Determine a amplitude de vibração. 
 
 
 
 
 
 
Resolução: O sistema oscila com uma vibração forçada com amortecimento 
viscoso, e a equação que descreve o movimento é 
tFkxxcxm ωsin0=++  
 
A freqüência angular é srad10=ω 
A freqüência angular natural, para as 4 molas, é dada por 
( ) srad
kg
mN
m
k
n 16,530
20044
===ω 
E a amplitude máxima é: 
()
( )
222222
0
16,5
1015,02
16,5
101
80024
21
'












+














−
=


















+














−
=
mNN
c
c
kFC
ncn ω
ω
ω
ω
 
 
mC 0107,0'= 
 
 
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Unidade: V ibração Forçada com Amortec imento Viscoso 
EXEMPLO.2 Um bloco de 217 g é suspenso por uma mola de rigidez 75 N/m. O 
suporte que prende a mola tem um movimento harmônico simples que responde à 
equação ( )t2sen15,0=δ metros, e t é dado em segundos. O fator de 
amortecimento ccc / = 0,8. Determine o ângulo de fase 'φ da vibração forçada. 
Resolução: A frequência angular natural é srad
kg
mN
m
k
n 6,18217,0
75
===ω . 
A equação do deslocamento é ( )t2sen15,0=δ , assim m15,00 =δ e srad2=ω . 
Substituindo na equação do ângulo de fase 
( )
17,0tan
6,18
21
6,18
28,02
tan
1
2
tan' 12
1
2
1 −−− =




















−






=




















−












=
n
ncc
c
ω
ω
ω
ω
φ 
 
064,9'=φ 
 
 
Exercícios 
 
EXERCÍCIO.1 Determine o fator de amplificação FA para o sistema do EXEMPLO.2. 
Resposta: 997,0=AF 
 
EXERCÍCIO.2 Um bloco de massa 20 kg é submetido à ação de uma força 
harmônica ( )tF 6sen90= N, onde t é dado em segundos, e à outros agentes 
mostrados na figura. Determine: 
a) A amplitude da força 0F . 
b) A frequência angular, ω . 
c) A frequência angular natural, nω . 
d) O coeficiente de amortecimento crítico, cc . 
e) A amplitude do deslocamento, 'C . 
f) O ângulo de fase, 'φ . 
g) A equação que descreve o movimento em regime estacionário 
( )'sen' φω −= tCx . 
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Unidade: V ibração Forçada com Amortec imento Viscoso 
m = 20 kg
k = 400 N/m
c = 125 Ns/mk = 400 N/m
F = 90 sen 6t
 
Resposta: NF 900 = ; srad6=ω ; sradn 32,6=ω ; mNscc 0,253= ; mC 119,0'= ; 
09,83'=φ ; ( )09,836sen119,0 −= tx m. 
 
 
Resumo da Unidade 
 
Vibração forçada com amortecimento viscoso. O tipo mais geral de 
vibração de um sistema com um grau de liberdade ocorre quando o sistema é 
amortecido e também é submetido a um movimento periódico forçado. A solução 
da equação do movimento mostra como o fator de amortecimento ccc / e a razão 
nωω influenciam no movimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Unidade: V ibração Forçada com Amortec imento Viscoso 
Material Complementar 
 
 
Como material complementar desta unidade, sugiro que os alunos 
leiam este interessante texto intitulado “Segurança nas Vibrações sobre o 
corpo humano” do Prof. Dr. João Cândido Fernandes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Depois de ler o material e informar-se 
sobre o assunto, vamos pôr em prática 
esses conhecimentos nas atividades! 
 
Bom trabalho! 
 
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Unidade: V ibração Forçada com Amortec imento Viscoso 
 Anotações 
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Unidade: V ibração Forçada com Amortec imento Viscoso 
Referências 
 
 
Hibbeler, R.C. Dinâmica : mecânica para engenharia, vol. 2 / 
R.C. Hibbeler; tradutor técnico Mário Alberto Tenan. – São Paulo : 
Prentice Hall, 2005. 
 
Beer, Ferdinand Pierre. Mecânica vetorial para engenheiros / 
Ferdinand P. Beer, E. Russel l Johston, Jr ; tradução Mário Alberto 
Tenan ; revisão técnica Giorgio E. O. Giacaglia. – 5. ed. – São Paulo 
: Makron, McGraw-Hill , 1991. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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	Resumo da Unidade