AV Cálculo III (Questões Discursivas)

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Discursivas Cálculo III
Considere F(t)=(sen(3t2),ln(t3+5),e-7t). Determine F´(t)
F´(t)=(6tcos(3t2),3t2t3+5,-7e-7t)
Calcule o gradiente da função f(x,y,z)=lnx2+y2 no ponto P(3,4).
∇f=→(xx2+y2,yx2+y2)
∇f=→39+16,49+16
∇f=→(325,425)
A figura abaixo é descrita por um ponto P sobre uma circunferência de raio a que rola sobre o eixo x . Esta curva é chamada cicloide. Determinar uma parametrização da cicloide.
Considere a parametrização da circunferencia C de raio a>0 centrada na origem.
x(t)=acost
y(t)=asent
0≤t≤2π
Desenvolva, a partir da parametrização, a equação geral desta Circunferencia C.
Gabarito: Se P=(x,y) e t é o angulo que o segmento de reta que liga a origem e P forma com o eixo dos x, sabemos da trigonometria que
sent=yae
cost=xa
Logo, x2+y2=a2.
Dada a hipérbole de equação x24-y26=1, verifique algebricamente, que x=2cossec(t) parametrização para sua equação.
Gabarito: x24-y26=1 (x2)2-(y6)2=1 
Como cosec2t-cotg2t=1 
Tomemos cosect=x2 cotgt=y6 
ou seja x=2cosect y=6cotgt, 0≤t≤2π. 
Determine o domínio da função f(x,y)=7x-9y9-x2-y2 e identifique o tipo de curva.
9-x2-y2>0 -x2-y2>-9 
x2+y2<9 
Circulo de raio 3. Os pontos para os quais x=3 não pertencem ao domínio.