Zeros de Funções

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13/03/2014
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Zeros de Funções
Definição
• Zeros de Equações são os pontos que 
anulam o valor de uma equação. Um caso 
clássico é o do cálculo das raízes de uma 
equação do segundo grau, colocada sob a 
forma 
• As duas raízes são, como se sabe, 
facilmente obtidas pela expressão:
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Zeros Reais
A
Raízes positivas
1 2
f(x)
x
B
1 2
f(x)
x3
Raízes positivasRaiz negativa
C
1 2
f(x)
x3
Raízes positivas
Raiz negativa
Raiz nula
Definição
• Entretanto, se colocarmos uma expressão 
em que apareça uma equação 
transcendente, a solução já não é tão 
simples:
ex + x = 0
cos(x) – x = 0
ln(x) + x – 2 = 0
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Números Algébricos e 
Transcendentes
• Desde a antiguidade sabia-se que 
existem números que não podem ser 
escritos como quocientes de dois 
inteiros, isto é, não são números 
racionais. é o exemplo clássico; 
embora irracional, é solução da equação 
x2-2=0. 
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Métodos Numéricos 
• Os métodos numéricos a serem 
apresentados, partindo de valores 
inicialmente propostos, buscam aprimorar 
os zeros, diminuindo os erros, 
aproximando-se, assim, dos valores das 
raízes procuradas, até que os erros sejam 
aceitáveis, podendo-se garantir que sejam 
erros inferiores a valores pré-definidos.
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Métodos Numéricos 
• Os métodos constam de duas fases:
Localização ou 
isolamento das 
raízes, que consiste 
em obter um 
intervalo que 
contém a raiz
Fase 
I Refinamento: 
escolhidas 
aproximações 
iniciais no intervalo 
encontrado na Fase 
I, melhorá-las 
sucessivamente até 
se obter uma 
aproximação para a 
raiz dentro de uma 
precisão  prefixada
Fase 
II
Teorema 1
• Seja f(x) uma função contínua num
intervalo [a, b]. Se f(a)f(b) < 0 então existe
pelo menos um ponto x =  entre a e b
que é zero de f(x).
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Teorema 1
 b
f(x)
x
a
f’(x) > 0, x  [a,b]

f(x)
xa
b
f’(x) < 0, x  [a,b]
Obs.:
Sob as hipóteses do teorema anterior, se f’(x) existir e
preservar sinal em (a, b), então este intervalo contém um
único zero de f(x).
Fase I – Isolamento das Raízes 
(Método Gráfico)
• Ex.1: f(x) = x3 – 9x + 3
• Construindo uma tabela de valores para 
f(x) e considerando apenas os sinais, 
temos:
• I1 = [-5, -3], I2 = [0, 1] e I3 = [2, 3] 
X - -100 -10 -5 -3 -1 0 1 2 3 4 5
f(x) - - - - + + + - - + + +
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Fase I – Isolamento das Raízes 
(Método Gráfico)
• A análise gráfica da função f(x) ou da 
equação f(x)=0 é fundamental para se 
obter boas aproximações para a raiz.
Fase I – Isolamento das Raízes 
(Método Gráfico)
• Para tanto, é suficiente utilizar um dos 
seguintes processos:
 i)esboçar o gráfico da função f(x) e localizar as abscissas 
dos pontos onde a curva intercepta o eixo x;
 ii) a partir da equação f(x)=0, obter a equação equivalente 
g(x)-h(x)=0, esboçar os gráficos das funções g(x) e h(x) no 
mesmo eixo cartesiano e localizar os pontos x onde as 
duas curvas se interceptam, pois neste caso f()=0 
g()=h();
 iii) usar os programas que traçam gráficos de funções, 
disponíveis em algumas calculadoras ou softwares 
matemáticos.
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Fase II – Isolamento das Raízes 
(Método Gráfico)
Fase II - Refinamento 
(Métodos Iterativos)
• Um método iterativo consiste em uma 
seqüência de instruções que são 
executadas passo a passo, algumas das 
quais são repetidas em ciclos.
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Fase II -
Refinamento 
(Métodos Iterativos)
Início
Dados iniciais
Cálculos iniciais
k =1
Calcular a nova
aproximação
Essa aproximação está
próximao suficiente da raiz
exata?
Cálculos finais
Cálculos
intermediários
k = k + 1
Fim
Fase II - Refinamento 
(Métodos Iterativos)
Início
Dados iniciais
Cálculos iniciais
k =1
Calcular a nova
aproximação
Essa aproximação está
próximao suficiente da raiz
exata?
Cálculos finais
Cálculos
intermediários
k = k + 1
Fim
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Fase II - Refinamento 
(Métodos Iterativos)
Início
Dados iniciais
Cálculos iniciais
k =1
Calcular a nova
aproximação
Essa aproximação está
próximao suficiente da raiz
exata?
Cálculos finais
Cálculos
intermediários
k = k + 1
Fim
Critérios de Parada
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Critérios de Parada
Método da Bisseção
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Método da Bissecção
• Seja a função f(x) contínua no intervalo [a, b] tal 
que f(a)f(b) < 0.
• Vamos supor, para simplificar, que o intervalo 
(a, b) contenha uma única raiz da equação 
f(x)=0.
• O objetivo deste método é reduzir a amplitude 
do intervalo que contém a raiz até se atingir a 
precisão requerida: 
 (b - a) < , 
 usando para isto a sucessiva divisão de [a, b] ao 
meio.
Método da Bissecção
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Algoritmo - Método da Bissecção
Seja f(x) contínua em [a, b] e tal que f(a).f(b) < 0.
1) Dados iniciais:
intervalo inicial [a, b]
precisão 
2) Se (b – a) < , então escolha para qualquer x  [a, b]. Fim.
3) k = 1
4) M = f(a)
5) x = (a + b) / 2
6) Se Mf(x) > 0
faça a = x. 
senão b = x
7) Se (b - a) < , escolha para qualquer x  [a, b]. Fim
8) k = k + 1. Volte para o passo 5. 
Método da Bissecção
• O método da Bissecção trata de aperfeiçoar a 
aproximação obtida a partir, por exemplo, do 
método gráfico ou do uso de tabela. 
• Tendo dois valores entre os quais se situa a 
raiz, isto é, dois pontos em que a função troca 
de sinais, sendo a função contínua, haverá 
entre esses pontos, necessariamente, uma raiz, 
isto, no mínimo uma raiz, pois pode haver mais 
de uma.
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Método da Bissecção
• Acha-se o ponto médio desse intervalo e busca-
se o sinal da função nesse ponto. Se a função, 
surpreendentemente, for zero, chega-se à raiz. 
• O mais provável é que isso não ocorra, caso em 
que se busca o sinal da função nesse ponto 
médio, reduzindo-se à metade o intervalo em 
que a função muda de sinal, aproximando-nos, 
portanto, do valor da raiz.
Método da Bissecção
• Esse processo de divisão do intervalo ao 
meio é chamado de bipartição e permite 
chegar tão próximo da raiz quanto se 
queira, pela simples repetição do que foi 
descrito. 
• Em cada iteração o intervalo é dividido por 
dois. Assim, em n iterações, o intervalo 
será dividido por 2n.
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Método da Bissecção
• Esquematicamente, seja o intervalo (a, b) 
com f(a).f(b) < 0, o que garante que f(a) 
tem sinal contrário a f(b). 
• Sendo f uma função contínua, haverá, no 
mínimo, uma raiz real entre a e b. 
• Acha-se o ponto médio x = (a+b)/2. 
Calcula-se f(x).
Método da Bissecção
• Se f(x) = 0, teremos chegado à raiz.
• Se f(x).f(a) < 0, a raiz estará entre a e x, 
caso contrário a raiz estará entre x e b.
• No primeiro caso a raiz estará no intervalo 
(a, x). 
• Dando a b o valor de x, isto é, alterando o 
valor de b, a raiz estará no novo intervalo 
(a, b).
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Método da Bissecção
• Na segunda hipótese, a raiz estará no 
intervalo (x, b). Dando a a o valor de x, 
isto é, alterando o valor de a, a raiz estará 
no novo intervalo (a, b).
• Em qualquer caso, depois da nova 
iteração, a raiz estará no novo intervalo (a, 
b), com amplitude a metade do anterior, 
diminuindo, portanto, a margem de erro 
pela metade. 
Método da Bissecção
• Exemplo 1
 calcular a raiz de: 
f(x)=cos(x) – x = 0.
a = 0 e b = 1
• Exemplo 2
f(x) = x2 - 3 
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Estimativa do Número de Iterações
• Dada uma precisão  e um intervalo inicial 
[a, b], é possível saber, a priori, quantas 
iteraçõesserão efetuadas pelo método da 
bissecção até que se obtenha b - a < , 
usando o Algoritmo 1.
Estimativa do Número de Iterações
• Ex.: Se desejarmos encontrar , o zero da 
função f(x) = x log(x) - 1
que está no intervalo [2, 3] com precisão 
 = 10-2, quantas iterações, no mínimo, 
devemos efetuar?
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Observações Finais
• Satisfeitas as hipóteses de continuidade 
de f(x) em [a, b] e de troca de sinal em a e 
b, o método da bissecção gera uma 
seqüência convergente, ou seja, é sempre 
possível obter um intervalo que contém a 
raiz da equação em estudo, sendo que o 
comprimento deste intervalo final satisfaz 
a precisão requerida;
Observações Finais
• As iterações não envolvem cálculos laboriosos;
• A convergência é muito lenta, pois se o intervalo 
inicial é tal que b0 – a0 >>  e se  for muito 
pequeno, o número de iterações tende a ser 
muito grande, como por exemplo:
 b0 – a0 = 3
  = 10-7
 k  24,8  k = 25.
• O Algoritmo da Bissecção pode incluir também o 
teste de parada com o módulo da função e o 
número máximo de iterações.
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Método de Newton Raphson
Método Newton-Raphson
• No método de Iteração Linear que, dado f(x) = 
0, esta equação poderia ser transformada em x 
= g(x) e, daí, ser desenvolvido um processo 
iterativo onde, dado x0, seriam calculados x1 = 
g(x0), x2 = g(x1) ... xi+1= g(xi), na expectativa de 
que a seqüência convirja para a raiz r.
• Vimos, também, que há diferentes maneiras de 
se construir g(x), sendo que para alguns haverá 
convergência para a raiz e para outros não 
convergirá.
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Método Newton-Raphson
• Além disso, a convergência dependerá do 
valor da derivada de g na região em torno 
da raiz, precisando ser, em módulo, 
menor que 1, para se ter convergência 
garantida para a raiz. 
• Quanto mais próximo de zero, mais rápida 
será a convergência, pois cada novo erro 
será aproximadamente o valor do erro 
anterior multiplicado pela derivada de g na 
raiz.
Método Newton-Raphson
• O que o método de Newton faz, na 
tentativa de garantir e acelerar a 
convergência do MPF, é escolher para 
função de iteração a função (x) tal que 
’() = 0.
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Método Newton-Raphson
• Estudo da Convergência
- Método Newton-Raphson
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Método Newton-Raphson
Método da Secante
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Secante
• O método da secante funciona sobre o 
mesmo princípio que a Bissecção e 
necessita da mesma condição inicial: 
continuidade da função.
Secante
• Com esse método, 
determinamos um ponto 
a partir da assimilação da 
curva com um segmento 
passando pelos pontos 
(XE, f(XE)) e (XD, f(YD)). 
• O candidato para ser raiz 
é o ponto de interseção 
desse segmento com o 
eixo x.
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• Determinação de XN
Temos a relação:
De onde podemos extrair 
XN:
( )
( )
D ND
E E N
X Xf X
f X X X



( ) ( )
( ) ( )
D E E D
N
D E
f X X f X X
X
f X f X



Secante
• O segmento 
(XN,f(XN)); (XD,f(XD)) 
é usado para 
determinar o valor do 
passo seguinte.
Secante
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• Um grande inconveniente no método de 
Newton-Raphson é a necessidade da 
obtenção de f’(x) e o cálculo de seu valor
numérico a cada iteração.
• Forma de desvio do inconveniente
 Substituição da derivada f’(xk) pelo quociente
das diferenças
• f’(xk) ≈ [f(xk) - f(xk-1)]/(xk - xk-1) 
• onde xk-1 e xk são duas aproximações para a raiz
Secante
Secante
• Considerações
 A função de iteração será:
g(x) = xk - f(xk)/[(f(xk) - f(xk-1))/(xk - xk-1)]
= (xk - xk-1) . f(xk)/[f(xk) - f(xk-1)]
= [xk-1 .f(xk) - xk .f(xk-1)]/[f(xk) - f(xk-1)]
)]x()x([
)]x(.x)x(.[x
=g(x)
1 - kk
1 - kkk1 - k
ff
ff
 -
 - 
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Interpretação Geométrica
• A partir de duas aproximações xk-1 e xk
 Obtém-se o ponto xk+1 como sendo a abscissa 
do ponto de intersecção do eixo ox e da reta que
passa pelos pontos
(xk-1, f(xk-1)) e (xk, f(xk)), secante à curva da 
função
Secante
x
f(x)‏
x1x0 x2
x3 x4
x5
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Secante
• Testes de Parada
 A cada iteração, testa-se se a aproximação
encontrada poderá ser considerada como a 
solução do problema.
|f(xk)|  
|((xk+1 – xk)/xk+1 )|  
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Secante
• Algoritmo
k=0; x0=x0; x1=x1
Enquanto critério de interrupção não satisfeito e k  L
k = k +1;
xk+1 = (xk-1*f(xk) - xk*f(xk-1)) / (f(xk) - f(xk-1))
Fim
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Secante
• Vantagens:
 Rapidez processo de convergência;
 Cálculos mais convenientes que do método 
de Newton;
 Desempenho elevado.
Secante
• Desvantagens:
 Se o cálculo f’(x) não for difícil, então o 
método logo será substituído pelo de Newton-
Raphson;
 Se o gráfico da função for paralela a um dos 
eixos e/ou tangencia o eixo das abscissas em 
um ou mais pontos, logo não se deve usar o 
método da Secante;
 Difícil implementação.
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Secante
• Exemplo:
 f(x)=x2+x-6
 x0=1,6 e x1=1,7
 =0,01