Erros de Funções - Cálculo Numérico

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13/03/2014
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Cálculo Numérico
Erros
Definição
• Cálculo Numérico
– consiste na obtenção de soluções 
aproximadas de problemas de Álgebra Linear 
e Não Linear, Estatística e Análise de Dados, 
Cálculo Diferencial e Integral e outros 
métodos matemáticos, utilizando métodos 
numéricos.
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Conceitos Básicos
Interação entre o usuário e o 
computador
• Os dados de entrada são enviados ao 
computador pelo usuário no sistema 
decimal; toda esta informação é 
convertida para o sistema binário, e 
todas as operações serão efetuadas 
neste sistema.
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Representação dos Números
• Decimal (0,...9)
• Binário (0, 1)
• Octal (0,...,7)
• Hexadecimal (0, ..., 9, A, B, C, D, E, F)
Representação dos Números
• Podemos representar qualquer número 
por:
N = an-1b
n-1 + an-2b
n-2 + ... + a2b
2 + a1b
1 + a0b
0, 
onde:
• b: base
• N: é um dado número na base b
• an-1, an-2, etc.: representam os coeficientes que 
multiplicam as correspondentes potências de b.
• 0  an  (b-1)
• k = 1,..., n
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Sistema de Numeração
• Decimal
23.457 = 2x104 + 3x103 + 4x102 + 5x101 + 7x100
456,78 = 4x102 + 5x101 + 6x100 + 7x10-1 + 8x10-2
• Binário
110101 = 1x25 + 1x24 + 0x23 + 1x22 + 0x21 +1x20 = 53 decimal
101,101 = 1x22 + 0x21 + 1x20 + 1x2-1 +0x2-2 + 1x2-3 = 5,625 decimal
Operações em Binário
Adição Subtração Multiplicação Divisão
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10 (vai um)
0 – 0 = 0
0 – 1 = 1
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0
(empresta um)
0 x 0 = 0
0 x 1 = 0
1 x 0 = 0
1 x 1 = 1
0 / 0 = indeterminação
0 / 1 = 0
1 / 0 = indeterminação
1 / 1 = 1
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Conversão Decimal - Binário
• Parte Inteira
– Para transformar um número inteiro na base 10 para 
base 2 utiliza-se o método das divisões sucessivas, 
que consiste em dividir o número por 2, a seguir 
divide-se por 2 o quociente encontrado e assim o 
processo é repetido até que o último quociente seja 
igual a 1. 
– O número binário será, então, formado pela 
concatenação do último quociente com os restos das 
divisões lidos em sentido inverso ao que foram 
obtidos.
– Caso o número decimal seja ímpar o número binário 
termina em 1, caso contrário terminará em 0.
Conversão Decimal - Binário
23 = 10111(ímpar)
15 = 1111 (ímpar)
10 = 1010 (par)
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Conversão Decimal - Binário
• Parte Fracionária
– Para transformar um número fracionário na 
base 10 para base 2, utiliza-se o método das 
multiplicações sucessivas, que consiste em:
• multiplicar o número fracionário por 2;
• deste resultado, a parte inteira será o primeiro 
dígito do número na base 2 e a parte fracionária é 
novamente multiplicada por 2. 
• O processo é repetido até que a parte fracionária 
do último produto seja igual a zero ou atingir a 
precisão desejada.
Conversão Decimal - Binário
• 0,187510 = 0,00112
• 0,110 = 0,00011001100112
• 0,62510 = 0,1012
• 5,810 = 101,110011002
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Conversão Binário - Decimal
• Parte Inteira
– Multiplique, da esquerda para direita, cada 
número por dois (2) elevado a potência de 
sua posição, lembrando que a potência 
começa em n menos um (n–1) e some ao 
próximo número. 
– Repita o processo até que o dígito mais à 
direita tenha sido adicionado.
Conversão Binário - Decimal
• Ex.: 11001 = 
1x2(5-1=4) + 
1x2(4-1=3) + 
0x2(3-1=2) + 
0x2(2-1=1) + 
1x2(1-1=0)
= 16 + 8 + 1 = 25
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Conversão Binário - Decimal
• Parte Fracionária
– Multiplique, da esquerda para direita, cada 
número por dois (2) elevado a potência de 
sua posição, lembrando que a potência 
começa em menos um (–1) e some ao 
próximo número. 
– Repita o processo até que o dígito mais à 
direita tenha sido adicionado.
Conversão Binário - Decimal
• Ex.: 0,11012 = 
1x2-1 + 
1x2-2 + 
0x2-3 + 
1x2-4
= 0,5 + 0,25 + 0,0625 = 0,812510
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Ponto Fixo e 
Ponto Flutuante
Ponto Fixo e Ponto Flutuante
• Os números são classificados no 
computador através da sua representação 
em ponto fixo ou ponto flutuante.
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Ponto Fixo e Ponto Flutuante
• Ponto Fixo: números inteiros limitados pelo 
tamanho da palavra do computador.
310 = 112
• Ponto Flutuante: números fracionários. 
Flutua-se a posição da vírgula e corrige-se 
com a potência.
45,31 corresponde a 4x101 + 5x100 + 3x10-1 +1x10-2
Representação em Sinal e 
Magnitude
• Quando um número esta representado em 
Sinal-Magnitude o bit mais a esquerda é o 
Bit de Sinal e os outros bits representam a 
Magnitude do número.
• Exemplo:
+2510 = 000110012
-2510 = 100110012
• Note que para representar os números +25 e -25 apenas o primeiro 
bit foi alterado. Existem 2 representações para o zero.
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Representação em Sinal e 
Magnitude
• Amplitude ou faixa de representação de 
um determinado método ou sistema é o 
conjunto de números que podem ser neles 
representados. 
• A amplitude para o sistema de Sinal 
Magnitude é –2N-1 + 1  X  2N-1 -1 
– Para N = 8, -127  X  127. 
– Para N = 16, -32767  X  32767.
Ponto Flutuante
• Um computador ou calculadora representa 
um número real no sistema denominado 
Aritmética de Ponto Flutuante. 
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Ponto Flutuante
• Neste sistema, o número r será 
representado na forma:
 (.d1d2...dt) x 
e
– onde:
•  é a base em que a máquina opera;
• t é o número de dígitos na mantissa; 0  dj  (-1), 
j = 1, ..., t, d1  0;
• e é o expoente no intervalo [l, u].
Ponto Flutuante
• Exemplo:
 = 10; t = 3; e  [-5, 5]
Os números serão representados por:
0.d1d2d3 x 10
e, 
0  dj  9, d1  0, e  [-5, 5]
• Menor número, em valor absoluto:
m = 0.100 x 10-5 = 10-6
• Maior número, em valor absoluto:
M = 0.999 x 105 = 99900
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Ponto Flutuante
• Considere o conjunto dos números reais R 
e o seguinte conjunto:
G = {x  R | m  |x|  M}
Ponto Flutuante
• Dado um número real x várias situações 
poderão ocorrer:
– Caso 1) x  G: x = 235.89 = 0.23598 x 103
• Truncamento: 0.235 x 103
• Arredondamento: 0.236 x 103
– Caso 2) |x| < m: x = 0.345 x 10-7
• underflow
– Caso 3) |x| > M: x = 0.875 x 109
• overflow
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Ponto Flutuante
B=2; t=3; e  [-1, 2]
Ponto Flutuante
• Forma Normalizada
– Chama-se forma normalizada aquela que 
apresenta um único dígito, diferente de zero, 
depois da vírgula.
– O “1” antes da vírgula, na representação 
normalizada, se esta for adotada, também 
pode ficar implícito, economizando um bit (“bit 
escondido”).
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Ponto Flutuante
• Conversão direta para a base:
N = 407,37510
= 110010111,0112
= 110010111,011 x 20. 
• Mantissa normalizada:
N = 0,110010111011 x 29. 
Ponto Flutuante
• N = 0,110010111011 x 29
• N = 0,110010111011 x 21001
• Determinação dos valores:
S = 0 (número positivo). 
E = 0001001. 
M = 11001011101100000000000. 
Sinal Expoente Sinal Mantissa
0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
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Ponto Flutuante
• O conjunto dos números representáveis 
no sistema de Ponto Flutuante é um 
subconjunto dos números reais, dentro do 
intervalo.
• O número de elementos é dado por:
2(-1) (S-I+1) t-1 + 1
Ponto Flutuante
2(-1) (S-I+1) t-1 + 1
• Exemplo:
=2, t=10, I=-15, S=15
2(-1) (S-I+1) t-1 + 1
2(2-1) (15 - (-15) + 1) 210-1 + 1 
2 (1) (31) 512 + 1 = 31745
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Ponto Flutuante
• Exemplo:
=2, t=23, I=-127, S=127
2(2-1)(127 - (-127) + 1) 223-1 + 1 
= 2 (254+1) 4194304+1
= 2139095040+1
= 2.139.095.041
Ponto Flutuante
• A norma IEEE 754, publicada em 1985, 
procurou uniformizar a maneira como as 
diferentes máquinas representam os 
números em ponto flutuante, bem como 
devem operá-los. 
• Essa norma define dois formatos básicos 
para os números em ponto flutuante:
Formato Sinal Expoente Mantissa “Bias”
Simples 1 bit (31) 8 bits (30-23) 23 bits (22-0) 127
Duplo 1 bit (63) 11 bits (62-52) 52 bits (51-0) 1023
*Bias ou expoentes compensados
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Ponto Flutuante
• No padrão IEEE-754 o expoente de um 
número (na base dois) é representado por 
oito bits, ou seja são 28−1
• números possíveis de zero 
[00000000]2=[0]10 até [11111111]2=[255]10. 
Ponto Flutuante
• Estes números são todos positivos! Como 
representar também os expoentes 
negativos? 
• Basta pegar cada um destes números e 
subtrair a compensação (bias). 
• A compensação neste caso será o número 
b=[127]10=[01111111]2
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Ponto Flutuante
• Então para descobrirmos o verdadeiro 
expoente de um número devemos pegar o 
que está representado e subtrair o número 
de compensação b.
Ponto Flutuante
• Exemplo: Se na posição do expoente está 
representado o número 
[10101011]2 = [171]10, 
• Para obter o real expoente devemos fazer 
[10101011]2−[01111111]2 = [00101100]2 
= [44]10. 
• Neste caso os expoentes de verdade vão de
−127 = [00000000]2−[01111111]2 até 
128 = [11111111]2−[01111111] 2.
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Erro Absoluto 
Erro Relativo
Erros
• Erro Absoluto
– diferença entre o valor de um número x e de 
seu valor aproximado
xxEAx 
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Erros
• Erro Relativo
– Como dependendo das grandezas envolvidas 
o erro absoluto pode não ser muito 
significativo, emprega-se o erro relativo que é 
o erro absoluto dividido pelo valor aproximado 
x
xx
x
EAx 
Erros por Precisão
• Arredondamento
• Truncamento
Para o Número de máquina mais próximo
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Exercícios
x = 0,7237 x 104, y = 0,2145 x 10-3 e z = 0,2585 x 101
0,72370000000x104 + 
0,00000002145x104 + 
0,00025850000x104 +
0,72395852145x104
Truncamento 0,7239x104
Arredondamento 0,7240x104