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TEORIA DOS CONJUNTOS NO ENSINO FUNDAMENTAL: ABORDAGEM HISTÓRICA Delson Silva Souza1 RESUMO Numa abordagem histórica, entrelaçando o ensino da teoria dos conjuntos em três diferentes etapas da Matemática, este artigo contém além do significado da expressão Matemática Moderna, uma análise, discussões, relevância e comparações de aspectos relacionados com a Teoria dos Conjuntos. Aborda a época precisa das mudanças ocorridas sobre o estudo dos conjuntos. Situa fatos com datas entre autores e professores de matemática sobre a questão do ensino de conjuntos, seja com artigos publicados, seja com cursos ministrados ou declarações em livros. Traz também uma biografia de Georg Cantor, considerado o “pai” da Teoria dos Conjuntos. Destaca a influência da Teoria dos Conjuntos em outros ramos da matemática. São realçados alguns paradoxos e antinomias que filósofos do século XIX criaram em detrimento com a criação da Teoria dos Conjuntos. Uma entre,vista feita com professor Cristiano Muniz, Doutor em Educação Matemática, da Universidade de Brasília foi envolvida neste trabalho. Isso contribuiu bastante, uma vez que o mesmo já orientou alunos que desenvolveram trabalhos nessa área. PALAVRAS CHAVES: Teoria dos Conjuntos, Matemática Moderna, Educação Matemática. 1. INTRODUÇÃO Na década de 60, ensinava-se nas escolas do mundo todo uma matemática denominada tradicional. Particularmente, dava-se grande ênfase nas quatro primeiras séries aos mecanismos de operações com naturais, frações, decimais e aplicavam-se esses mecanismos em problemas e cálculos com medidas. Segundo Bertoni (1985), na época, do departamento de matemática da Universidade de Brasília - UNB, o ensino era tedioso, rígido, decorativo; os tópicos matemáticos apareciam sem interligações. Com isso, a escola desenvolvia como resultado certa habilidade nos cálculos com números e na resolução em que esses cálculos eram introduzidos. No decorrer dos anos 60, percebia-se uma vontade geral por parte dos educadores de matemática de superar esse ensino tido como tradicional. Com o lançamento do 1o satélite artificial, Sputnik, pela antiga União Soviética, era colocada em pauta a capacidade científica pelos EUA, e, sobretudo a partir disso, a eficácia de sua educação para a ciência. É fundada assim, nos Estados Unidos, a National Science, interligada diretamente à presidência da república, para comandar a nova ordem do conhecimento tecnológico e científico. Portanto, estava sendo proposto aos estudantes, principalmente do 2o grau, uma matemática mais teórica e moderna: “Teoria dos Conjuntos, Álgebra Moderna, Topologia, pretendiam com isso, que se desse uma visão mais geral ao ensino dessa ciência, dando-lhe um suporte de forte estruturação lógica”, ressalta Nilza Eigenheer Bertoni. 1 1 Licenciando em Matemática pela Universidade Católica de Brasília - UCB delsonsouza@pop.com.br 2 De certa maneira as iniciativas norte-americanas por uma melhoria do ensino das ciências básicas são envolvidas pelas propostas de um grupo francês, que aderiu à introdução de tópicos de matemática moderna nos currículos escolares. Nessa linha de raciocínio, acredita- se na eficácia de uma solução para os problemas existentes e para alcançar o objetivo de se formar cientistas matemáticos. Este movimento pegou os professores de surpresa, programas e livros mudaram rapidamente, tendo como resultados um aumento sensível de terminologia e simbolismo, a introdução da Teoria dos Conjuntos e grande ênfase nas propriedades dos conjuntos numéricos. Trouxe também por outro lado, certa desvalorização dos algoritmos básicos, bem como da resolução de problemas e da geometria euclidiana. 2. HISTÓRIA DA TEORIA DOS CONJUNTOS As noções que deram origem à Teoria dos Conjuntos estão diretamente ligadas aos estudos dos matemáticos ingleses Augustus De Morgan (1806-1871) e Georg Boole (1815-1864), considerados fundadores da lógica moderna. Boole publicou em 1854 uma obra onde eram apresentados os fundamentos de uma álgebra específica para o estudo da lógica. Em seus trabalhos, ele utilizou freqüentemente relações entre “conjuntos” de objetos. Entretanto, não chegou a desenvolver o conceito de modo adequado. Somente em 1890, o matemático russo Georg Cantor (1845-1918), que desenvolvia estudos sobre a teoria dos números, publicou na Alemanha uma série de proposições e definições que vieram a se constituir numa linguagem simbólica para a lógica, para a teoria dos números e outros ramos da matemática. Em função disso, Cantor é conhecido como o criador da Teoria dos Conjuntos. Georg Ferdinand Ludwing Phillip Cantor nasceu em São Petersburgo, Rússia, mas viveu a maior parte de sua vida na Alemanha. Tendo estudado filosofia, física e matemática, Cantor se dedicou à última, sendo seus primeiros trabalhos desenvolvidos na área da teoria dos números. Muito interessado pela análise, em particular pela idéia do infinito, Cantor trabalhou com as propriedades dos conjuntos infinitos. Seus estudos na área levaram ao aparecimento de uma disciplina totalmente estruturada e com método próprio dentro da matemática - a Teoria dos Conjuntos, que até hoje tem influência tanto nos ensinos fundamental e médio, como universitários. A Teoria dos Conjuntos teve início com a publicação em 1874 de um trabalho de Cantor que tratava sobre a comparação de coleções infinitas. O trabalho apresentava uma forma de comparar conjuntos infinitos pelo “casamento” um a um entre os elementos desses conjuntos. Desde 1638, com Galileu Galilei, sabe-se que se pode obter uma correspondência um a um entre os números e seus quadrados, o que viola a concepção euclidiana de que o todo é sempre maior que qualquer uma de suas partes. Esta aplicação da correspondência permitiu a Cantor introduzir um método de diagonalização, que por contradição, permitia provar que o conjunto dos números reais não tinha correspondência um a um com o conjuntos dos números inteiros. Isto mais tarde levou ao desenvolvimento do conceito de contínuos por Richard Dedekind. Iniciando com estas descobertas, Cantor acabou desenvolvendo uma Teoria dos Conjuntos Abstratos, que se constituiu em uma generalização do conceito de conjunto. Na Teoria dos Conjuntos, um conjunto é descrito como uma coleção de objetos bem definidos. Estes objetos são chamados de elementos ou membros do conjunto. Os objetos 3 podem ser qualquer coisa: números, pessoas, outros conjuntos, etc. Por exemplo, o 4 é um número do conjunto dos inteiros. Como podem ser visto por este exemplo, os conjuntos podem ter um número infinito de elementos. Além da sua influência no desenvolvimento da lógica, a teoria dos conjuntos também exerceu influência profunda no desenvolvimento da matemática do século XX, servindo de base para a Teoria das Funções de Variável, Álgebra, Topologia, Teoria dos Grupos e Análise Funcional. Sua influência se estendeu também para a forma moderna como se ensinava matemática para crianças (chamada, no Brasil, de Matemática Moderna), toda baseada na idéia de números como conjuntos. Questionamentos de grandes matemáticos e filósofos ao longo do processo da formação conceitual da teoria dos conjuntos resultaram em alguns paradoxos e antinômias. Destaquei um desses paradoxos que foi publicado no site www.somatamematica.com.br, em 09/07/2001, que se refere a seguinte história: Quando surgiu a Teoria dos Conjuntos de Cantor, chamada de Teoria Intuitiva dos Conjuntos, havia a idéia de que “qualquer propriedade” poderia ser considerada para que os objetos que a satisfizessem formassem um conjunto. Assim, sempre existiria o conjunto de conjuntos que satisfizessem a propriedade A , qualquer que fosse a propriedade. Então o matemático e filósofoBertrand Russel fez o seguinte raciocínio: considere o conjunto dos conjuntos X que não pertence a si mesmos. Para Russell a propriedade A era “ x não pertence a x ”. Parecia claro que esse conjunto existia, pois, por exemplo, o conjunto dos números naturais não pertence a si mesmo. Muitos objetos matemáticos formam conjuntos que não são um desses objetos. Um exemplo fora da matemática, só para ilustrar um pouco mais, poderia ser: o conjunto de cavalos que não é um cavalo, assim como o conjunto de homens que não é um homem. Agora, chamando de M o conjunto de todos os conjuntos. Consideremos o subconjunto de M formado pelos conjuntos que não pertencem a si próprios. Russell perguntou se M pertence a M . Caso seja verdade que M pertence a M , então M satisfaz a propriedade que determina os conjuntos de M , ou seja, M não pertence a M ! Chegamos a uma contradição, pois um conjunto M não pode pertencer a si próprio e, ao mesmo tempo, não pertencer a si próprio. Bem, como assumiram os antigos filósofos gregos, não podemos ter uma afirmação verdadeira e falsa ao mesmo tempo, pelo menos na lógica que eles imaginavam ser correta. Dessa forma, somos forçados a concluir que M não pertence a M . Mas, então, M satisfaz a propriedade que determina os conjuntos de M . Logo, M pertence a M ! Contradição de novo. Essa dicotomia, isto é, essa afirmação que é verdadeira se, somente se, é falsa, causou um escândalo na Teoria dos Conjuntos de Cantor. Essa foi a razão para que o matemático Ernst Zermelo (1871-1956) “criasse” a segunda verdade da Teoria dos Conjuntos, que é o axioma ZF (2). O axioma ZF (2), isto é, a segunda verdade da Teoria dos conjuntos de Zermelo- Fraenkel, evita que possamos construir a antinômia descoberta por Russell. Assumindo esse axioma como verdade, o raciocínio de Russell que apresentamos acima não é mais possível. A razão é que não podemos mais construir o conjunto M de todos os conjuntos. Simplesmente porque uma propriedade sozinha não determina mais um conjunto. É necessário que tenhamos um conjunto prévio B, isto é, que já exista um conjunto B, para consideramos um subconjunto seu de conjuntos que satisfaçam certa propriedade. Portanto, não podemos mais simplesmente considerar o conjunto dos conjuntos que não pertence a si próprio. É que o “o conjunto dos X que não pertencem a si mesmos” não é conjunto. Como disse o matemático Paul Halmos, “nada contém tudo”. É interessante notarmos que, embora ainda não tenhamos razões para 4 que existam conjuntos, no entanto já podemos demonstrar que não existe o conjunto de todos os conjuntos. Pela teoria que temos até agora, ainda não sabemos se é verdade que existe algum conjunto, mas já é verdade que o conjunto de todos os conjuntos não existe! 3. ANÁLISE DO ENSINO DA TEORIA DOS CONJUNTOS ANTES, DURANTE E APÓS A MATEMÁTICA MODERNA: ABORDAGEM HISTÓRICA. 3.1 MATEMÁTICA MODERNA A reforma no currículo escolar da matemática no início da década de 50 nos EUA tinha como uma das preocupações eliminar a referência que este currículo tinha com o criado em 1700. Os conteúdos abordados eram tidos como antiquados, e isso fazia com que o estudante achasse obsoleto e desinteressante o estudo dessa matéria. Essa reforma estava oferecendo à disciplina da matemática, tanto tópicos do antigo currículo como também novos conteúdos que seriam abordados em diferentes graus de ensino. O fato é que as notas dos estudantes dessa área estavam em um nível muito baixo em relação a qualquer outra disciplina. Isso aglomerou estudantes de todas as partes dos EUA, levando-os ao desinteresse total pela matemática. Assim, em 1952, a Comissão de Matemática Escolar da Universidade de illinois, liderada pelo professor Max Beberman iniciou o grande processo de reformulação no currículo. Essa comissão tinha como propósito inicial idéias para modificações que afetaria somente a escola elementar. Porém mais tarde estendeu-se também para a escola secundária. Até o ano de 1956, o presidente dos EUA não havia manifestado importância ao ponto de alguma intervenção federal. Mas, quando em 1957 os russos lançaram o primeiro satélite artificial, o Sputnik, o governo norte americano ficou convencido que seu país estava atrás dos russos em termos de ciências e matemática. Começava então uma aliança de outros grupos com os já existentes com a finalidade de alcançar um currículo moderno, o que significou para os americanos e todos os estudantes de matemática uma nova etapa denominada Matemática Moderna. 3.2 ABORDAGEM HISTÓRICA NA ETAPA PRÉ-MODERNA “Não podemos falar de teoria dos conjuntos sem considerar o quadro maior no desenvolvimento matemático nas escolas e a importância do papel da matemática na formação do cidadão e a matemática como elemento cultural”, Muniz (2005). No final da década de 40, tínhamos um ensino de matemática apoiado séculos a séculos no mesmo conteúdo, envolvendo o mesmo enfoque com os mesmos antiquados procedimentos metodológicos. Os conteúdos essenciais eram voltados para a resolução de problemas. Nos anos 50 havia uma matemática centralizada em três aspectos considerados fundamentais, voltados para o dia-a-dia do cidadão: aritmética, geometria métrica e as medidas de proporção. Isso era justificado porque o ensino até a 4o série já correspondia às necessidades básicas quanto cidadania ou campo de trabalho. Que ensino matemático era esse? Era um ensino que não tinha conjuntos, que não tinha equações. Era uma geometria que não se falava em poligonal, não se precisavam definir os vértices DCBA ,,, e, no entanto se estudava geometria. “Não tinha teoria dos conjuntos, mas se resolvia problemas”. Relato feito pelo 5 Doutor em educação, Cristiano Muniz, numa entrevista gravada concedida em sua residência em 09/11/2005. Ainda nos anos 50, havia uma preocupação por parte da escola em envolver problemas do carpinteiro, do pedreiro, do jardineiro, da costureira, enfim problemas relacionados com o micro mundo da criança, uma vez que esta tinha algum parente com uma dessas profissões, o que era comum naquela época. Isso era importante porque havia um significado para elas (crianças). O objetivo da escola nesse projeto didático-pedagógico era se apropriar desses problemas para transmitir com mais clareza os conhecimentos aritméticos e algébricos. E isso supria a construção da cidadania, levando em consideração que não havia a complexidade tecnológica de hoje. Segundo Muniz, o ensino no colegial dava base para a formação de um bom mecânico ou de um bom datilógrafo, por exemplo, e isso era prazeroso para o cidadão, visto que ele se apoderava das instruções obtidas no colegial para garantir a sua inserção cultural e profissional na sociedade. Livros como os dos autores: Ary Quintella (1950), Nelson Benjamin Monção (1929) e livros também elaborados em 1967 pelo NEDEM (Núcleo de Estudos e Difusão do Ensino da Matemática) do curso ginasial que tinha como coordenador geral o professor Osny Antônio Dacol, trazem indicações que na fase da matemática pré-moderna não havia o estudo de conjuntos no currículo da matemática nas séries em pauta (ensino fundamental, antigo ginasial). Relato feito, numa conversa informal no campus da Universidade Católica de Brasília, pela professora Maria Auxiliadora, que vivenciou como aluna e também como professora esta etapa (Pré-moderna) da matemática, veio ratificar que o estudo dos conjuntos começou a ser ensinado, juntamente com suas teorias, somente a partir da matemática moderna (início dos anos 70, aqui no Brasil). A professora também realça que cursos foram ministrados por volta de 1968 para que os professores pudessem compreender melhor a nova linguagem que iria aderir aos conteúdos aplicados à matemática: a teoria dos conjuntos. 3.3 ABORDAGEM HISTÓRICA NA ETAPAMODERNA Nessa fase vivenciada pela matemática ocorreu uma grande modificação na linguagem, no pensamento, nas tendências de ensino e, sobretudo no objetivo que se pretendia alcançar com o ensino da matemática. A modificação ocorreu, porque paralelamente a isso existe todo um contexto ideológico e político, fora da matemática, ressalta Muniz (2005). No pós-guerra houve um grande choque ideológico, social e político entre os blocos hegemônico capitalista e socialista que se concretizou na guerra fria: de um lado os americanos e do outro os russos. Estava em disputa o domínio espacial, uma vez que já havia acontecido o desastre de Hiroxima e Nagasaki, não só pelo poder de destruição em massa, mas pela possibilidade do desenvolvimento da aeronáutica poder lançar uma bomba a grande distância. Esse era o grande medo dos EUA em relação a Cuba. Mas poderíamos perguntar o que tem a ver essa disputa espacial com a matemática? No início é que há um investimento do desenvolvimento do programa espacial. Depois, os americanos são surpreendidos com o Sputnik, que 6 representa a primeira vez que o homem se liberta da força gravitacional. Esse paradigma foi bastante relevante, pois isso significava uma diferença enorme em termos de conhecimentos científicos e tecnológicos dos americanos em relação aos russos. Isso gerou uma crise enorme no bloco capitalista e na sociedade americana. A partir daí, os americanos não admitiam que se tivesse um filho que não passasse pela Universidade, pois o governo passava a pensar na contribuição que esse cidadão iria dar para o desenvolvimento de seu país. Mas pra quê? Pra vencer a Guerra Fria. Há duas lógicas essenciais: a primeira, que se produz ciência e tecnologia na universidade, isto é, a população universitária deveria se ampliar, obtendo com isso mais conhecimentos científicos o que diminuiria o atraso em relação bloco socialista. E a segunda, é que a criança deveria desenvolver e compreender as lógicas formais. E a ciência que fornece ferramentas básicas para tais desenvolvimentos é a matemática, ou seja, a proposta era procurar um estudo mais científico dentro da matemática. No início da década de 60 havia um projeto piloto que estava em teste na Escola Normal Superior Francesa que abordava conteúdos como: Estruturas Algébricas, Polinômios, Equações e esse projeto estava sendo introduzido na escola secundária, uma vez que estes tópicos eram restritos ao ensino superior. Aderindo à esta proposta a linguagem se formalizou e jovem não poderia mais dizer “que duas balas mais três balas são cinco balas”, primeiro tinham que pensar no conjunto que representava a quantidades de balas, logo depois, se o resultado pertenceria a este conjunto. A idéia era dar uma base científica para colher pensamentos formais. A partir deste momento histórico de reformulações curriculares, o estudante não podia pensar matemática que não fosse da linguagem de conjuntos. O Brasil participou dessa fase, pois alguns matemáticos como Castrucci e Giovanni foram fazer doutorado nos EUA e publicaram livros didáticos com esta nova linguagem. O problema era que os professores brasileiros não estavam preparados para receber esse novo conhecimento. Diz Muniz: “era ensinada toda a teoria de conjuntos no ensino fundamental nessa fase da matemática e acrescenta que não se admitia em absoluto fazer nenhum trabalho do conteúdo de matemática sem trabalhar os conceitos, as representações, relações de pertinência, relações de inclusão e operações”. A idéia que surgiu nessa perspectiva de educação matemática era não conceber, por exemplo, a possibilidade de o aluno não entender uma adição sem entender a união. Com isso o aluno começou a se achar incapaz de contribuir para o desenvolvimento do estudo da matemática. Mais do que o significado de conjuntos, é proposto aos alunos do ensino elementar e secundário que aprendam a teoria dos conjuntos, para que possam entender as propriedades que viriam em conseqüência de tal teoria. Logo, a união e intersecção de conjuntos, subconjuntos, conjunto vazio, conjuntos infinitos, conjuntos infinitos maiores ou menores e outros conceitos passam a fazer parte do dia-a-dia de estudos dos alunos das escolas elementar e secundária. Com toda essa mudança e novas características agregadas ao currículo da matemática, a linguagem dos mestres se modifica, acarretando quase total substituição da linguagem corrente para a simbólica e axiomática. O simples ensino de conjuntos como uma coleção de 7 objetos, deu lugar ao estudo de teoria de conjuntos, onde parecia claro que esse avanço foi implantado para dar à nova matemática elementar, mais expressão de sofisticada do que de ser útil. Introduzir Teoria dos Conjuntos no ensino elementar nos anos 70 significava o desenvolvimento lógico como estrada para a compreensão, o rigor, a precisão através da terminologia e do simbolismo e a ênfase à matemática moderna ao currículo. Todo mundo foi envolvido pela nova linguagem que passou a reger grande parte do conteúdo da matemática. A simbologia e os axiomas fizeram os professores acreditarem que o concreto estava sendo substituído pelo abstrato. Os defensores da nova matemática, justificando o uso demasiado de abstrações, citaram o psicólogo de Harvard, Jerome S. Bruner (1976) que dissera: pode-se ensinar qualquer matéria em certa forma intelectualmente honesta a qualquer criança em qualquer estágio de desenvolvimento. “A característica salvadora dessa teoria está em seu caráter vago, diz o psicólogo”. A questão é se qualquer abstração particular que qualquer determinado grupo possa estar interessado em promover justifica a prioridade. No livro: Conjuntos, números e potências, do também renomado autor Edvard Willian Golding é dito que “em nosso mundo moderno é necessário ajudar os jovens a compreender como as coisas se encaixam uma nas outras, porque o mundo aumenta bem rápido em complexidade e precisa ajustar, entre elas, situações mais e mais complicadas. O número é um conceito muito complexo; para aprender a harmonizar entre si os elementos conceituais que o constitui, é indispensável, antes de tudo, conhecer esses elementos, pois os números são propriedades dos conjuntos”. De acordo com os livros do autor Ary Quintella, em 1969, a fase introduzida a teoria dos conjuntos era a primeira série ginasial e que um conjunto é determinado quando sabemos dizer se um elemento pertence ou não a ele. Nesse mesmo livro era considerado que um conjunto poderia ser reconhecido de três maneiras: a) Por uma propriedade comum aos seus elementos. Exemplo: conjunto dos números inteiros de um algarismo; conjunto dos alunos de cabelos pretos de sua turma. b) Por descrição. Exemplos: conjuntos das vogais do alfabeto português; conjuntos dos dias da semana. c) Por enumeração de seus elementos, um a um. Já a linguagem empregada em relação a introdução à teoria dos conjuntos, em quase toda a fase moderna, de acordo com o professor Cristiano Muniz e confirmados no livro como do autor Quintella na primeira série ginasial: conjunto unitário; conjunto vazio; número concreto; número abstrato; número cardinal e ordinal; propriedade da igualdade; relação de igualdade: reflexiva, simétrica e transitiva. A simbologia nessa mesma etapa da matemática era refletida pelos sinais: igualdade; diferente; maior; menor; implica; maior ou igual; menor ou igual; não é menor; não é maior. Na década de 80, provavelmente até o ano de 1989 o conteúdo que se referia ao estudo dos conjuntos era listado, no índice, desta forma e ordem: • Conjuntos; 8 • Operações com Conjuntos; • Conjuntos dos Números Naturais. O cronograma citado acima era empregado na 5a série do primeiro grau, hoje atual ensino fundamental. Essas informações foram retiradasde vários livros, dentro os quais se destacam os seguintes autores: • Álvaro Andrini; • José Ruy Giovanni; • José Roberto Bonjorno. Vejamos o que era levado em consideração: • Notação: os conjuntos são igualmente indicados por letras maiúsculas e se os elementos de um conjunto forem letras, eles são representados por letras minúsculas; • Representação de um conjunto: por enumeração; por uma propriedade comum de seus elementos e por descrição; • Tipos de conjuntos: vazio; unitário; iguais; subconjuntos; Conteúdos abordados no tópico que corresponde ao conjunto dos números naturais: • Correspondência biunívoca; • Propriedade de igualdade; • Propriedade de desigualdade. 3.4 ABORDAGEM HISTÓRICA NA ETAPA PÓS-MODERNA As grandes mudanças ocorridas ao longo do tempo no ensino da teoria dos conjuntos fizeram os tópicos Conjuntos e Operações com Conjuntos serem retirados do Ensino Fundamental. Passou-se então, a maior parte da teoria outrora ensinada com bastante ênfase na Matemática Moderna, para o ensino médio, antigo 2o grau. Portanto, hoje não encontramos nos livros de matemática do ensino fundamental, o ensino de Teoria dos Conjuntos. Os estudos de conjuntos passaram por grandes reformulações da matemática moderna para a pós-moderna. O que se percebe no ensino pós-moderno é o estudo dos conjuntos numéricos distribuídos nas séries de 5ª a 8ª séries. O ensino médio é que aborda com ênfase, propriedades, teorias, axiomas e demonstrações, ou seja, a teoria dos conjuntos ficou restrita a outro grau de instrução. “Hoje o que acontece é uma miscelânea, onde você tem diversos currículos e diversas formações de professores, que na verdade cada professor acaba levando para a sala de aula aquele currículo que faz parte da sua formação e também professores que não sabem ensinar matemática sem a teoria dos conjuntos” Muniz (2005). Nessa etapa da matemática a essência 9 é a estrutura do número e é no Ensino Médio que vamos estudar de uma maneira mais complexa e formal tal estrutura, visto que, a complexidade dos problemas vai necessitar de uma expansão maior de conceitos de números. Junto a isso se criam novos conjuntos. Hoje não há tendências de ensino no diz respeito à Teoria dos Conjuntos. Na continuidade dos estudos, por exemplo, o aluno que vai estudar uma área de exatas, no tópico que envolve função, precisará de uma base de conjuntos, mas isto não justifica que a universidade deverá cobrar dele conhecimentos do ensino básico onde o que seria mais interessante era a universidade se ocupar dessa construção, garantindo assim uma base mais adequada. Nos anos 70 foi feito um levantamento nos EUA e em outros países sobre a relevância que o movimento da matemática moderna trouxe para o ensino de 1o primeiro grau. Os resultados foram delicados, uma vez que se notava a defasagem do aprendizado da matemática. Os alunos não tinham base se quer dos conhecimentos elementares dessa ciência. Diminuiu-se então a ênfase no estruturalismo e retornaram-se, principalmente no 1o grau, métodos mais naturais adequados ao desenvolvimento mental do aluno, tendo sido valorizado com uma abordagem mais voltada para a realidade. CONSIDERAÇÕES FINAIS A história do ensino da Teoria dos Conjuntos não ficou restrita somente a uma nova tendência de ensino devido a uma reformulação curricular, como muitos professores e alunos de matemática imaginam, más há também toda uma história de choques ideológicos, políticos e culturais. Estão relacionados também tópicos como a guerra fria, a competição em busca de um desenvolvimento espacial cada vez e a disputa entre potências mundiais em termos de ciências e tecnologia. Foi abandonado de importante ao longo da história da matemática a idéia do conjunto denso e não denso, discreto, limitado, onde é trabalhado os intervalos. Esses conjuntos que hoje foram eliminados do currículo tinham um papel fundamental para fazer o aluno entender, por exemplo, o salto que acontece do conjuntos dos números inteiros para os racionais. Mesmo reformulando o ensino da matemática por meio dos mesmos objetivos é necessário que exista um consenso de professores, pais e profissionais sobre as mudanças que se fazem necessárias. “É preciso que identifique e valorizem os processos que são naturais para o desenvolvimento da criança e rejeitem os inadequados, que agridem a lógica e os sentimentos do aluno” Bertoni (1985). Encontramos, às vezes, na escola Básica um ensino inadequado da teoria dos conjuntos que, em vez de contribuir com a educação matemática, cria conceitos errados e obstáculos. Seria apropriado estender essa pesquisa para o Ensino Médio, analisando as críticas e propondo soluções. 10 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANDRINI, Álvaro. Praticando a matemática. São Paulo: Brasil. 1989. BERTONI, Nilza Eigenheer. 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Entrevista gravada; Muniz, Cristiano. Perguntas sobre a história do ensino da teoria dos conjuntos. 09/11/2005, Brasília.
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