FUNDAMENTOS DE ANÁLISE

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1a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos axiomas de Peano. 
Esta teoria estabelece a existência de uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero 
s(n)∈N, dito sucessor de n. 
 
(I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais, ou ainda, números naturais diferentes possuem 
sucessores diferentes. 
(II) Existe um único numero natural que não é sucessor de nenhum outro. 
(III) Se um subconjunto de números naturais contém o número 1 e, além disso, contém o sucessor de 
cada um de seus elementos, então esse conjunto coincide com o conjunto dos Naturais N. 
Sobre estes axiomas, sobre esta função e sobre estas afirmativas é correto 
 
 
 
II e III somente. 
 
I somente. 
 
I e II somente. 
 
I e III somente. 
 I, II e III. 
Respondido em 20/04/2023 09:50:48 
 
 
2a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Seja a série ∞∑n=1(k−1k2k)∑�=1∞(�-1�2�). 
Mostre se a serie é convergente ou divergente e determine o método utilizado para 
essa demonstração 
 
 A série converge e podemos demonstrar utilizando a série-p. 
 A série diverge e podemos demonstrar utilizando a série alternada. 
 A série converge e podemos demonstrar utilizando a série alternada. 
 A série converge e podemos demonstrar utilizando a série geométrica. 
 A série não converge e podemos demonstrar utilizando a série 
geométrica. 
Respondido em 20/04/2023 09:51:22 
 
 
3a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Analise a convergência da série ∞∑n=1(1en)∑�=1∞(1��). 
 
 
Pelo teste da integral podemos afirmar que a série é divergente. 
 
Pela Regra de L´Hospital podemos afirmar que diverge. 
 
Pelo teorema do confronto podemos afirmar que a série é divergente. 
 
Pelo teorema do confronto podemos afirmar que é convergente para 10. 
 Pelo teste da integral podemos afirmar que a série é convergente. 
Respondido em 20/04/2023 09:52:22 
 
 
4a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Analisando a série de termos positivos cujo termo geral é 1/√ n� , verifica-
se que a série: 
 
 diverge 
 
converge para 0 
 converge para 1 
 
converge para 1/3 
 
converge para n 
Respondido em 20/04/2023 09:54:45 
 
 
5a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Marque a alternativa que mostra corretamente a demonstração do seguinte 
resultado: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par. 
 
 Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é par. 
Supondo que a é impar, teremos que é da forma a=2n+1, n em Z. 
Seja a2 = (2n + 1)2 = 2(2n2 + 2n) + 1. Como n é um elemento de Z, temos que w = 
2n2 + 2n é um elemento de Z. Ficamos com a2 = 2w + 1, w em Z. Dessa forma, pela 
definição, a2 é um número ímpar. Isso equivale a dizer que: Se a é um número 
inteiro tal que a2 é par, então a é par. 
 Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é impar. 
Supondo que a é impar, teremos que é da forma a=2n+1, n em Z. 
Seja a2 = (2n + 1)2 = 2(2n2 + 2n) + 1. Como n é um elemento de Z, temos que w = 
2n2 + 2n é um elemento de Z. Ficamos com a2 = 2w + 1, w em Z. Dessa forma, pela 
definição, a2 é um número ímpar. Isso equivale a dizer que: Se a é um número 
inteiro tal que a2 é par, então a é par. 
 Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é impar. 
Seja a=2n+1. Seja a2 = (2n + 1)2 = 2(2n2 + 2n) + 1. Como n é um elemento de Z, temos 
que w = 2n2 + 2n é um elemento de Z. Ficamos com a2 = 2w + 1, w em Z. Dessa 
forma, pela definição, a2 é um número ímpar. 
 Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é impar. 
Supondo que a é impar, teremos que é da forma a=2n+1, n em Z. 
Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar. Isso equivale a dizer que: Se a é 
um número inteiro tal que a2 é par, então a é par. 
 Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é impar. 
Supondo que a é impar, teremos que é da forma a=2n+1, n em Z. 
Seja a2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 1. Como n é um elemento de Z, temos que w = 4n2 + 1 é um 
elemento de Z. Ficamos com a2 = 4w2 + 1, w em Z. Dessa forma, pela definição, a2 é 
um número ímpar. Isso equivale a dizer que: Se a é um número inteiro tal que a2 é 
par, então a é par. 
Respondido em 20/04/2023 09:56:23 
 
 
6a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Seja a sequência {n.sen(π�/n)}. Marque a alternativa que indica o limite da 
sequência quando n tende ao infinito. 
 
 3π�/2 
 π�/2 
 3π� 
 2π� 
 π� 
Respondido em 20/04/2023 09:59:07 
 
Explicação: 
Basta calcular o limite da função quando x tende a infinito. Nessa questão usamos o limite trigonométrico 
fundamental. 
 
 
7a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Resolvendo a inequação |2x-5|<3 no conjunto dos números reais, encontramos para conjunto solução: 
 
 
{ 1 , 4 } 
 
[1 , 4 [ 
 
] 1 , 4 ] 
 
[ 1 , 4 ] 
 ] 1 , 4 [ b) ] 1 , 4 ] c)[1,4] d) {1,4} e) [1,4[ 
Respondido em 20/04/2023 09:59:38 
 
 
8a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
O ínfimo do conjunto A = ]-1,0] U [2,3[ é igual a : 
 
 -1 
 
0 
 
-8 
 
2 
 
-6 
Respondido em 20/04/2023 10:00:33 
 
 
 
 
 
 
9a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Verifique se a sequência de intervalos encaixante In = [0,1/n), com n ∈∈N possui um ponto em comum. 
 
 
 
Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 3, ou seja In = {3} 
 
Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 1, ou seja,In = {1} 
 
Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 4, ou seja In = {4} 
 
Há uma interseção entre a sequencia de intervalos, que é o número zero, ou seja, In = {0}. 
 
Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 2, ou seja In = {2} 
Respondido em 20/04/2023 10:01:05 
 
 
10a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Considere o conjunto S={(x,y)∈R2:x≤y}�={(�,�)∈�2:�≤�} da figura e as afirmativas 
 
(I) Conjunto dos pontos interiores de S: int S={(x,y)∈R2:x<y}�={(�,�)∈�2:�<�} 
(II) Conjunto dos pontos de acumulação de S: S´=S�´=� 
(III) Conjunto dos pontos exteriores de S: extS={(x,y)∈R2:x>y}�={(�,�)∈�2:�>�} 
Para este conjunto é correto 
 
 
I apenas. 
 
I e III apenas. 
 I, II e III. 
 
I e II apenas. 
 
II e III apenas. 
Respondido em 20/04/2023 10:03:09