FA Exercícios

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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE. 
AULA 01. 
Atividade proposta 
1. Fixado x > 0, para todo n ∈ N, mostre que (1 + x)n ≥ 1 + xn. 
GABARITO 
1) P(1) é verdadeira. De fato: (1 + x)1 = 1 + x = 1 + x1 ≥ 1 + x1 
 
2) Hipótese de Indução: (1 + x)k ≥ 1 + xk 
 
3) Etapa Indutiva: (1 + x)k + 1 = (1 + x)k (1 + x) 
 
Pela Hipótese de Indução, temos (1 + x)k + 1 = (1 + x)k (1 + x) ≥ (1 + x)k (1 + x) 
 
Desenvolvendo a multiplicação, 
 
(1 + x)k+ 1 = (1 + x)k (1 + x) ≥ (1 + x)k (1 + x) = 1 + x + xk + xk+1 
Como x, k > 0, (1 + x)k + 1 ≥ 1 + x + xk + xk + 1 ≥ 1 + xk + 1 
 
Assim, o resultado é valido para todo n ∈ N 
2. Para todo n ∈ N, n3 - n é divisível por 3. 
GABARITO 
1) P(1) é verdadeira. 
De fato: 
13 − 1 = 1 − 1 = 0 = 3 ∙ 0 
2) Hipótese de Indução ∃q ∈ N, k3 - k = 3q 
3) Etapa Indutiva: 
 
Utilizando produtos notáveis 
(k + 1)3 - (k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 - k -1 
Evidenciando, 
(k + 1)3 - (k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 - k -1 = (k3 - k) + 3(k2 + k) 
Utilizando a hipótese de indução, 
(k + 1)3 - (k + 1) = (k3 - k) + 3(k2 + k) = 3q + 3(k2 + k) 
Colocando o 3 em evidência: 
(k + 1)3 - (k + 1) = 3q + 3(k2 + k) = 3(q + k2 + k) 
Temos que w = (q + k2 + k) ∈ N. 
(k + 1)3 = (k + 1) = 3w 
Assim, o resultado é valido para todo n ∈ N. 
 
 
 
3. Mostre que 1 + 3 + 5 + ... (2n - 1) = n2 
GABARITO 
Seja P (n): 1+3+5+... (2n - 1) = n2 
1) P (1) é verdadeira: P (1): 1=12. Portanto, P (1) vale. 
 
2) Hipótese de Indução. Suponhamos que P (k) vale, ou seja: 1 + 3 + 5 + ... 
(2k -1) = k2 
 
3) Etapa Indutiva. Vamos mostrar que, valendo P (k), vale P (k+1), ou seja: 1 + 
3 + 5 + ... (2k - 1) + (2k - 1 + 2) = n2, ou ainda, 1 + 3 + 5 + ... (2k -1) + (2k + 
1) = n2 
 
Assim, ficamos com: 1 + 3 + 5 + ... (2k - 1) + (2k - 1 + 2) = 1 + 3 + 5 + ... (2k -
1) + (2k + 1) 
Usando a Hipótese de Indução: 1 + 3 + 5 + ... (2k - 1) + (2k + 1) = k2 + (2k + 1) 
Usando os produtos notáveis, 1 + 3 + 5 + ... (2k - 1) + (2k + 1) = k2 + (2k + 1) = 
(k + 1)2 
Portanto P (k+1) vale. Logo, P (n) vale para todo n ≥ 1 
4. Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos axiomas de Peano. Essa 
teoria estabelece a existência de uma função s: N → N que a cada 
número n ∈ N associa a um número s(n) ∈ N, dito sucessor de n. Sobre esses 
axiomas e sobre essa função é SOMENTE correto afirmar que. 
(I). Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais, ou ainda, números 
naturais diferentes possuem sucessores diferentes. 
 
(II). Existe um único número natural que não é sucessor de nenhum outro. 
 
(III). Se um subconjunto de números naturais contém o número 1 e, além disso, 
contém o sucessor de cada um de seus elementos, então esse conjunto coincide 
com o conjunto dos Naturais N. 
 
(I) 
(II) 
(I) e (II) 
(I), (II) e (III) 
(I) e (III) 
 
5. Identificando cada propriedade formal da adição de números naturais com seu 
nome, obtemos respectivamente: 
 
(I). m + (n + p) = (m + n) + p 
(II). n + m = m + n 
(III). Dados m, n ∈ N somente uma das três alternativas pode ocorrer: m = n ou ∃ 
p ∈ N tal que m = n + p ou ∃ p ∈ N tal que n = m + p. 
(IV). m + n = m + p ⇒ n = p 
 
(I) Associativa, (II) Comutativa, (III) Tricotomia e (IV) Lei do Corte. 
(I) Comutativa, (II) Associativa, (III) Tricotomia e (IV) Lei do Corte. 
(I) Tricotomia, (II) Comutativa, (III) Associativa e (IV) Lei do Corte. 
(I) Associativa, (II) Lei do Corte, (III) Tricotomia e (IV) Comutativa. 
(I) Lei do Corte, (II) Tricotomia, (III) Comutativa e (IV) Associativa. 
 
6. Identificando cada propriedade formal da relação de ordem com seu nome, 
obtemos respectivamente: 
 
(I) se m < n e n < p então m < p 
 
(II) dados m, n ∈ N somente uma das três alternativas pode ocorrer: 
ou m = n ou m < n ou m > n 
 
(III) se m < n então ∀p ∈ N∗ tem-se m + p < n + p 
 
(I) Monotonicidade da Adição, (II) Comutativa e (III) Tricotomia. 
(I) Transitividade, (II) Tricotomia e (III) Monotonicidade da Adição. 
(I) Tricotomia, (II) Transitividade e (III) Associativa. 
(I) Associativa, (II) Lei do Corte e (III) Tricotomia. 
(I) Monotonicidade da Adição, (II) Tricotomia e (III) Transitividade. 
 
AV. AP. 
1. 
 
 
Seja a sequência {(3n3+1)/(2n2+n)}. Marque a alternativa que indica o 
limite da sequência quando n tende ao infinito. 
 
 2/3 
 
3/2 
 3 
 2 
 4 
 
 2. 
 
Considere o conjunto dos números naturais: N = {1, 2, 3, 4, 5...}. Podemos 
deduzir a teoria dos números naturais dos 4 axiomas de Peano. 
Considere o terceiro axioma de Peano abaixo. 
P3: N-s(N) consta de um só elemento. 
É somente correto afirmar que: 
(I). Existe um único número natural que não é sucessor de nenhum outro. 
 
 
(II). Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1≠s(n) para todo n ∈
N. 
 
(III). Todo elemento pertencente a N possui um único sucessor em N. 
 
 
(I) e (III) 
 
(III) 
 
(I) e (II) 
 
(II) 
 
(II) e (III) 
 
 3. 
 
 
Seja a sequência {5n/e2n}. Marque a alternativa que indica o limite da 
sequência quando n tende ao infinito. 
 5/2 
 5 
 
0 
 5/e 
 e 
 
 4. 
 
 
Seja a sequência an=(1-n)/n2. Dentre as opções abaixo, assinale aquela que 
representa os quatro primeiros termos da sequência. 
 
 
0, -3/16, -2/9, -1/4 
 
0, 1/4, 2/9, 3/16 
 
1, 2/3, 5/6, 3/16 
 0, -1/4, -2/9, -3/16 
 
-3/16, 0, -2/9, -1/4 
 
 5. 
 
 
Seja a sequência {4n2/(2n2+1)}. Marque a alternativa que indica o limite da 
sequência quando n tende ao infinito. 
 
 
5 
 
3 
 
4 
 
1 
 
2 
 
 6. 
 
Seja a sequência {n.sen(π/n)}. Marque a alternativa que indica o limite da 
 
sequência quando n tende ao infinito. 
 
 
3π 
 
π 
 
3π/2 
 
2π 
 
π/2 
 
 7. 
 
 
Identifique os 5 primeiros termos da sequencia n/(2n+1) . 
 
 
 
 
-1/3; 2/5; 3/7; -4/9; ... 
 
1/4; 2/5; 3/7; 4/9; ... 
 
1/3; 2/5; 3/7; 4/9; ... 
 
1/2; 2/4; 3/7; 4/9; ... 
 
1/2; 2/4; 3/7; -4/9; ... 
 
 
 8. 
 
 
Considere o conjunto dos números naturais: N = {1, 2, 3, 4, 5...}. Podemos 
deduzir a teoria dos números naturais dos 4 axiomas de Peano. Considere o 
terceiro axioma de Peano abaixo. 
P3: N-s(N) consta de um só elemento. 
É somente correto afirmar que: 
(I) Existe um único número natural que não é sucessor de nenhum outro. 
(II) Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1≠s(n) para todo 
n∈N. 
(III) Todo elemento pertencente a N possui um único sucessor em N. 
 
 (I) e (II) 
 
(II) 
 
(III) 
 
(II) e (III) 
 (I) e (III) 
 
AULA 02. 
Atividade proposta 
1. Considere as afirmativas a seguir. Com relação a elas, é somente correto afirmar 
que: 
 
 
 
(I). Se X é um conjunto finito então todo subconjunto Y ⊂ X é finito. 
(II). Não pode existir uma bijeção ƒ: X → Y de um conjunto finito X em uma parte 
própria Y ⊂ X. 
(III). Seja A ⊂ In. Se existir uma bijeção ƒ: In → A, então A = In. 
 
(I) 
(II) 
(II) e (III) 
(I) e (II) 
(I), (II) e (III) 
2. Considere as afirmativas a seguir. Com relação a elas, é somente correto afirmar 
que: 
 
(I). Dizemos que um conjunto A é enumerável quando é finito ou quando existe 
uma bijeção ƒ: ℵ → A. 
(II). Quando existe uma bijeção ƒ: ℵ → A, dizemos que A é um conjunto infinito 
enumerável. 
(III). Todo conjunto finito A contém um subconjunto infinito enumerável. 
 
(I) 
(II) 
(I) e (II) 
(II) e (III) 
(I), (II) e (III) 
AV. AP. 
 1a Questão (Ref.: 201309829248) 
 Marque a alternativa que enuncia corretamente o Teorema (Princípio da Boa 
Ordenação) 
 
 Todo subconjunto não-vazio A contido em N possui um menor elemento. 
 Alguns conjuntos possuem um menor elemento. 
 Todo conjunto possui um menor elemento. 
 Nenhum subconjunto não-vazio A contido emN possui um menor 
elemento. 
 Todo subconjunto não-vazio A contido em N possui um maior elemento. 
 
 2a Questão (Ref.: 201309657651) 
 Assinale a opção onde o conjunto correspondente é infinito. 
 
 {x : x ∈ R e x2 -7x=0} 
 As pessoas que habitam o planeta Terra. 
 Os meses do ano. 
 {x : x é par} 
 {1,2,3,.........,1999} 
 
 3a Questão (Ref.: 201309657667) 
 Considere a sequência infinita f:N*→ Q onde f (n) = 1/n. Podemos afirmar que: 
 
 O conjunto imagem da função é não enumerável. 
 f(n+1) / f(n) pode ser positivo. 
 O menor valor que a função assume é igual a 0,001. 
 O maior valor que a função assume é igual a 2. 
 O conjunto imagem da função é enumerável. 
 
 4a Questão (Ref.: 201309829234) 
 Marque a alternativa que prova corretamente por indução que ∀ a ∈ N, a > 
0, temos que Lnan = nLna. 
 
 
 Seja P(n): Lnan = nLna. P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, 
vale P(1). Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna. 
Mostramos que a propriedade foi verificada. 
 
 Seja P(n): Lnan = nLna. P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, 
vale P(1). Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna. 
Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = 
Ln(aka). Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k+1)Lna. 
Mostramos que a propriedade foi verificada. 
 
 Seja P(n): Lnan = nLna. Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). 
Temos que Lnak+1 = Ln(aka). Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna 
= (k + 1)Lna. Mostramos que a propriedade foi verificada. 
 Seja P(n): Lnan = nLna . P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, 
vale P(1). Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos 
que Lnak+1 = Ln(aka). Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 
1)Lna. Mostramos que a propriedade foi verificada. 
 
 Seja P(n): Lnan = nLna. Hipótese de Indução: Supondo que vale 
P(k): Lnak = kLna. Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). 
Temos que Lnak+1 = Ln(aka). Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna 
= (k + 1)Lna 
 
 5a Questão (Ref.: 201309829236) 
 
Marque a alternativa que apresenta corretamente a demonstração do Teorema: 
Se p é elemento mínimo de X, então esse elemento é único. 
 
 Como p ∈ X por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X. 
q ∈ X é elemento máximo de X, por definição, ele é menor do que 
qualquer elemento de X, e já que p ∈ X, temos que q ≤ p. Portanto, 
como temos p ≤ q e q ≤ p, ficamos com p = q. 
 Dado X contido em N, suponhamos por absurdo que existirem dois 
elementos mínimos para X: p ∈ X e q ∈X. Como p ∈ X é elemento 
mínimo de X, por definição, ele é maior do que qualquer elemento de X, 
e já que q ∈ X, temos que p ≤ q. Da mesma forma, q ∈X é elemento 
mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, 
e já que p ∈ X, temos que q ≤ p. Portanto, como temos p ≤ q e q ≤ p, 
ficamos com p = q. 
 Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: 
p ∈ X e q ∈ X. Como p ∈ X é elemento mínimo de X, por definição, ele é 
menor do que qualquer elemento de X, e já que q ∈ X, temos que p ≤ q. 
Da mesma forma, q ∈ X é elemento mínimo de X, por definição, ele é 
menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X, temos que q ≤ p. 
Portanto, como temos p ≤ q e q ≤ p, ficamos com p = 
q. 
 Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: 
p ∈ X e q ∈ X. Como p ∈ X é elemento mínimo de X, por definição, ele é 
menor do que qualquer elemento de X, e já que q ∈ X temos que p = q. 
Da mesma forma, q ∈ X é elemento mínimo de X, por definição, ele é 
menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X, temos então esse 
elemento é único. 
 
 Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: 
p ∈ X e q ∈ X. Como p ∈ X é elemento mínimo de X, por definição, ele é 
menor do que qualquer elemento de X, e já que q ∈X, temos que p > q. 
Da mesma forma, q ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é 
menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X, temos que q ≤ p. 
Portanto, p = q. 
 
 6a Questão (Ref.: 201309829363) 
 Analise a convergência da ∑n=1∞(1/n3) e informe se ela é convergente ou 
divergente, e o método utilizado para demonstrar. 
 
 É uma p-série como p = -2 < 1, então afirmamos que a série é 
divergente. 
 É uma p-série como p = 2 > 1, então afirmamos que a série converge. 
 É uma p-série como p = 3 > 1, então afirmamos que a série converge. 
 É uma p-série como p = 1/2 < 1, então afirmamos que a série converge. 
 É uma p-série como p = -3 < 1, então afirmamos que a série é 
divergente. 
 
 7a Questão (Ref.: 201309829233) 
 Para provarmos propriedades dos números naturais, podemos também 
formular o Princípio da Indução como: 
 
Se P é uma propriedade dos números naturais tal que: 
i) P é válida para um número natural n0 ∈ N. 
ii) A validade de P para n ∈ N implica na validade de P para o sucessor n + 
1 ∈ N. 
 
Então, a propriedade P vale para todos os números naturais n ∈ N tais que: 
 
 n ≠ n0 
 n ≥ n0 
 n ≤ n0 
 n < n0 
 n > n0 
 
 8a Questão (Ref.: 201309657665) 
 Dentre os conjuntos abaixo relacionados, assinale o único que é finito: 
 
 {x ∈ R : 3 < x < 5} 
 {x ∈ Z : 2 < x < 7} 
 {x ∈ Z : x > -3 } 
 {x ∈ R : x > 3} 
 {x ∈ N : x > 7} 
 
AULA 03. 
Exercício 1 - Mostre que a soma de dois números ímpares é par. 
Temos os ímpares a = 2n+1 e b = 2m+1. 
Somando temos a + b = 2n+1+2m+1 = 2n+2m+2 = 2(n+m+1). 
Como (n+m+1) é inteiro temos (n+m+1) = k e assim a + b = 2k. 
Logo a + b é par. 
Exercício 2 - Mostre que se a é racional e b é irracional então a + b é irracional. 
Temos que a é racional, a = p/q e b é irracional. 
Por absurdo vamos supor que a + b seja racional, a + b = m/n. 
Temos: a + b = m/n => p/q + b = m/n => b = m/n – p/q => b = (mq – pn)/qn 
Como (mq – pn) e qn são inteiros, podemos dizer que (mq – pn) = r e qn = s. 
Assim, b = r/s, b é racional. 
Logo se a é racional e b é irracional então a + b é irracional. 
Exercício 3 - Mostre que é um número irracional. 
Se √
 é racional temos que √
 = �
. 
Logo temos √
 = �
 ⇒ 
 = ��
�� ⇒ 
� = ��. 
Temos que p² é divisível por 3, p é divisível por 3 e então p = 3r. 
Assim temos 
� = �� ⇒ 
² = ��² ⇒ 
² = 
�² . Mas isto implica em dizer que q 
também é que q² é divisível por 3 e q é divisível por 3. 
Logo p/q não seriam primos entre si. Logo √
 é irracional. 
Exercício 4 - Dados a, b, c ∈ ℜ, c > 0, vale a equivalência a < b ⇔ ac < bc. 
Supondo a > b e c > 0. 
a – b ∈ P e c – 0 ∈ P , a - b é positivo e c é positivo 
(a – b)c é positivo, ac – bc é positivo, ac > bc. 
Supondo ac < bc e c > 0. 
Se c > 0, 1/c > 0. 
ac.(1/c) < bc(1/c) 
a < b. 
Exercício 5 - Dados a, b, c ∈ ℜ vale a equivalência a < b ⇔ a + c < b + c 
Supondo a > b. 
(a – b) ∈ P, (a – b) é positivo 
a + c – c – b => (a + c) – (b + c) => a + c > b + c. 
Para a + c < a + b, temos; 
a + c – c > b + c – c 
a > b. 
AV. AP. 
1a Questão (Ref.: 201309657646) 
 Sejam a e b números irracionais. Das afirmações, pode-se concluir que: 
(I) a.b é um número irracional, 
(II) a+b é um número irracional, 
(III) a-b pode ser um número racional, 
 
 Somente I e II são falsas. 
 As três são verdadeiras. 
 Somente I e III são verdadeiras. 
 Somente I é verdadeira. 
 As três são falsas. 
 
2a Questão (Ref.: 201309657668) 
 Considere a sequência infinita f:N*→Q onde f (n) = 2n. Podemos afirmar que: 
 
 O maior valor que a função assume é 1024. 
 O conjunto imagem da função é enumerável 
 Existe uma imagem que é negativa. 
 O menor valor que a função assume é igual a 1. 
 O conjunto imagem da função é não enumerável. 
 
3a Questão(Ref.: 201309657652) 
 Qual é a afirmação verdadeira? 
 
 O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional. 
 O quadrado de um número irracional é um número racional. 
 A diferença entre um número racional e um número irracional é um 
número irracional. 
 A raiz quadrada de um número racional é um número irracional. 
 A soma de dois números irracionais positivos é um número irracional. 
 
4a Questão (Ref.: 201309829392) 
 Analise a convergência da série ∑n=1∞(3n/n!) 
 
 Como o resultado do limite é 2 podemos concluir que a série é divergente. 
 Como o resultado do limite é 0 podemos concluir que a série é 
convergente. 
 Como o resultado do limite é 2 podemos concluir que a série é 
convergente. 
 Como o resultado do limite é 0 podemos concluir que a série é divergente. 
 Como o resultado do limite é 3 podemos concluir que a série é 
convergente. 
 
5a Questão (Ref.: 201309829215) 
 Assinale a opção onde o conjunto correspondente é infinito. 
 
 { 1,2,3,.........,1999} 
 { x : x ∈ R e x2 -7x=0} 
 {x : x é par} 
 As pessoas que habitam o planeta Terra. 
 Os meses do ano. 
 
6a Questão (Ref.: 201309657655) 
 Se a e b são números naturais diferentes de zero, quantos são maiores que ab 
e menores que a(b+1)? 
 
 a-1 
 Um 
 b-1 
 Nenhum 
 a + b -1 
 
Dados dois números x e y, y>x , os números naturais maiores que x e 
menores que y são y-x-1 (Basta ver um exemplo: x = 4 , y = 10 
números maiores que a e menores que 10 = 5,6,7,8,9 = 5 = 10-4-1 = y-
x-1 
 
Note que a(b+1)= ab + a é maior que ab. 
Logo fazendo x =a*b e y =a(b+1) temos : 
 
Números naturais maiores que x e menores que y = 
y-x-1 = 
a(b+1) - a*b]-1 = 
a*b + a - a*b -1 = a-1 números 
 
Portanto a quantidade de números maiores que a*b e menores que 
a*(b+1) é de a-1. 
 
Vamos ver um exemplo: 
 
a = 4 e b = 5 => a*b=20 e a*(b+1) = 4*6 = 24 
números maiores que 20 e menores que 24 = 21,22,23 = 3 = a-1 
 
 
7a Questão (Ref.: 201309829391) 
 Utilizando o teste da integral, determine se a série infinita ∑n=1∞(lnn/n) é 
convergente ou divergente. 
 
 Pelo teste da integral encontramos como resultado 3, logo a série é 
convergente. 
 Pelo teste da integral encontramos como resultado ∞, logo a série é 
divergente. 
 Pelo teste da integral encontramos como resultado 1, logo a série é 
convergente. 
 Pelo teste da integral encontramos como resultado -3, logo a série é 
divergente. 
 Pelo teste da integral encontramos como resultado 0, logo a série é 
convergente. 
 
8a Questão (Ref.: 201309829369) 
 Analise a convergência da série ∑n=1∞(1/en). 
 
 Pelo teorema do confronto podemos afirmar que é convergente para 10. 
 Pela Regra de L´Hospital podemos afirmar que diverge. 
 Pelo teste da integral podemos afirmar que a série é divergente. 
 Pelo teorema do confronto podemos afirmar que a série é divergente. 
 Pelo teste da integral podemos afirmar que a série é convergente. 
 
AULA 04. 
Exercício 1 - Determine o Ínfimo e o Supremo do conjunto A= {x ∈ ℜ tal 
que x= , n ∈ N}. 
Temos que 0 ≤ ���� < 1 e que: 
n=0, x=0 n=1, x=1/2 n=2, x=2/3 n=3, x=3/4 
Assim, temos: 
lim�→" ## + 1 = lim�→" 11 + 1#
= 1. 
lim�→% ## + 1 = 0 
Assim temos que SupA = 1 e o InfA=0. 
Exercício 2: Determine o Ínfimo e o Supremo do conjunto Y ⊂ Q, Y sendo o 
conjunto das frações do tipo , com n ∈ N*. 
Temos que: 
Para n=1, temos 1/2 
Para n=2, temos 1/4 
Para n=3, temos 1/8 
Para n=4, temos 1/16 
Assim podemos observar que SupY = ½. 
Como lim�→" �&' = 0 , temos que o InfY = 0. 
Exercício 3: Considerando o intervalo aberto A = (a, b) prove que SupA = b. 
Temos que b é limite superior de A, pois para todo elemento x de A, temos que a < 
x < b. 
Mostraremos agora que nenhum outro limite superior de A é maior do que b. 
Suponhamos, por absurdo, que c seja limite superior de A e a<c<b. Temos que 
existe x ∈ A, tal que ( = )�*& . 
Temos então que a<c<)�*& <b, ou ainda, a<c<x<b, o que seria um absurdo, pois 
dessa forma, c não seria limite superior de A. Portanto, temos que c ≤ b, ou ainda, 
b=SupA. 
Exercício 4: Considerando o intervalo aberto A = (a, b), prove que que InfA = a. 
Temos que a é limite inferior de A, pois para todo elemento x de A, temos que a < 
x < b. 
Mostraremos agora que nenhum outro limite inferior de A é menor do que a. 
Suponhamos, por absurdo, que c seja limite inferior de A e a<c<b. Temos que 
existe x ∈ A, tal que ( = +�,& . 
Temos então que a<+�,& <c<b, ou ainda, a<x<c<b, o que seria um absurdo, pois 
dessa forma, c não seria limite inferior de A. Portanto, temos que a ≤ c, ou ainda, 
a=InfA. 
Exercício 5: Mostre, utilizando a noção de distância de a até a origem, que |a| ≥ 0, ∀a ∈ ℜ. 
Queremos provar que |a| ≥ 0, ∀a ∈ ℜ e ainda |a| = 0 <=> a = 0. 
Dado o ponto a ∈ ℜ, pelo axioma de ordem, temos dois casos (excludentes): 
Caso 1: a = 0 <=> a coincide com a origem <=> a distância de a até a origem é 
nula <=> |a| = 0. 
Caso 2: a = 0 <=> a está a direta ou à esquerda da origem 0 <=> a distância de a 
até a origem é positiva <=> |a| > 0. 
Exercício 6: Mostre que |a| = |-a|, ∀a ∈ ℜ. 
Queremos provar que |a| = |-a|, ∀a ∈ ℜ. 
 |−/| = 0 −/ 12 − / ≥ 0−4−/5 12 − / < 0 ⟺ |−/| = 7
−/ 12 − / > 0−/ 12 − / = 0−4−/5 12 − / < 0 ⟺ |−/| = 7
−/ 12 / < 0/ 12 / = 0/ 12 / > 0 ⟺ |−/| =
 9−/ 12 / < 0/ 12 / ≥ 0. 
Exercício 7: Mostre que = , ∀a, b ∈ ℜ, b = 0. 
 
Vamos mostrar primeiro que ∀ b ∈ ℜ - {0}, >�*> = �|*|. Se b>0 então 1/b >0 e |?| = ?. 
Portanto, >�*> = �|*|. Se b<0 então 1/b <0 e |?| = −?. 
Assim, >�*> = �|*| = − �* = �4@*5. 
Além disso, temos: >+*> = >/. �*> = |/|. >�*> = |/| �|*| = |+||*| 
 
Atividade proposta 
Atividade 1: Encontre o Supremo e o Ínfimo do conjunto S = {x = n2 + 2, tal 
que n ∈ N e n < 4}. 
Para n=0 temos x= 2 Para n=1 temos x= 3 
Para n=2 temos x= 6 Para n=3 temos x= 11 
Então temos que SupS = 11 e InfS =2. 
Atividade 2: Encontre o Supremo e o Ínfimo do conjunto 
 
Considerando que (² < AB → ( < CAB → ( < ± E&. Temos que − E& < ( < E&. Logo InfS = -3/2 e 
SupS=3/2. 
 
Atividade 3: Seja F = 9( ∈ ℝ H/I JK2 ( = E��&� L. Encontre o supremo e o ínfimo de S. 
Para n = 1 temos x = 5 Para n = 2 temos x = 4 
Para n = 3 temos x = 3,66 Para n = 4 temos x = 3,5 
SupS = 5, pois os valores estão decrescendo. Como lim�→" E��&� = E� = 3. 
AV. AP. 
1a Questão (Ref.: 201309657662) 
 A soma dos valores reais de x que são raízes da equação |2x+2| = 6x-18 é: 
 9 
 7 
 8 
 6 
 5 
 
2a Questão (Ref.: 201309829239) 
 
 Considere o resultado: Se w, b ∈ R, b ≠ 0, tais que w ∙ b = b, então w = 1. 
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta dele. 
 
 
Seja w ∙ b = b (*). Usando a propriedade do fechamento podemos 
multiplicar os dois lados da igualdade (*) por 1/b. Obtemos w ∙ b(1/b) = 
b(1/b). Usando propriedade associativa, temos: w.(b.1/b) = b.1/b. Com a 
propriedade do elemento neutro obtemos w = 1. 
 
Por hipótese temos w, b ∈ R, tais que w ∙ b = b (*). Usando a 
propriedade do fechamento podemos multiplicar os dois lados da 
igualdade (*) por b. Obtemos w ∙ b(b) = b(1/b). Usando propriedade 
associativa, temos: w.(b.1/b) = b.1/b. Com a propriedade do elemento 
neutro obtemos w = 1. 
 
Por hipótese temos w, b ∈ R, b ≠ 0, tais que w ∙ b = b (*). Usando a 
propriedade do fechamento podemos multiplicar os dois lados da 
igualdade (*) por 1/b. Obtemos w ∙ b(1/b) = b(1/b). Temos: w.(b.1/b) = 
b.1/b. Com a propriedade do elemento neutro obtemos w = 1. 
 
Por hipótese temos w, b ∈ R, b ≠ 0, tais que w ∙ b = b (*). Obtemos w ∙ 
b(1/b) = b(1/b). Usando propriedade associativa, temos: w.(b.1/b) = 
b.1/b. Com a propriedade do elemento neutro obtemos w = 1. 
 
Por hipótese temos w, b∈ R, b ≠ 0, tais que w ∙ b = b (*). Usando a 
propriedade do fechamento podemos multiplicar os dois lados da 
igualdade (*) por 1/b. Obtemos w ∙ b(1/b) = b(1/b). Usando propriedade 
associativa, temos: w.(b.1/b) = b.1/b. Com a propriedade do elemento 
neutro obtemos w = 1. 
 
3a Questão (Ref.: 201309829235) 
 Considere o resultado: Se z, a em R, tais que z + a = a, então z = 0. Marque a 
alternativa que apresenta a demonstração correta dele. 
 
 1. Hip z + a = a 
2. fech (z + a) + (-a) = a + (-a) 
3. elem neutro z = 0 
 1. Hip z + a = a 
2. fech z + a = a + (-a) 
3. assoc z + (a + (-a)) = a + (-a) 
4. elem neutro z = 0 
 1. Hip z + a = a 
2. fech (z + a) + (-a) = a + (-a) 
3. assoc z + (a + (-a)) = a + (-a) 
4. elem neutro z = 0 
 1. Hip z + a = a 
2. assoc z + (a + (-a)) = a + (-a) 
3. elem neutro z = 0 
 1. fech (z + a) + (-a) = a + (-a) 
2. assoc z + (a + (-a)) = a + (-a) 
3. elem neutro z = 0 
 
 
4a Questão (Ref.: 201309829238) 
 Considere o resultado: 
Seja um elemento arbitrário a ∈ R, então −(−a) = a. 
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do resultado. 
 
 Seja um elemento arbitrário a ∈ R, então (−a) = a. 
Seja (-a) + a = 0. Usando o teorema (*), temos: a = -(-a), logo 
podemos concluir que -(-a) = a 
(*) Se a + b = 0, então b = -a 
 Seja um elemento arbitrário a ∈ R, então −(a) = a. 
Seja (-a) + a = 0. Usando o teorema, temos: a = -(-a), logo podemos 
concluir que -(-a) = - a 
(*) Se a + b = 0, então b = -a 
 Seja um elemento arbitrário a ∈ R, então (−a) = a. 
Seja (-a) + a = 0. Usando o teorema (*), temos: a = -(-a), logo 
podemos concluir que -(-a) = a 
(*) Se a + b = 0, então b = -a 
 Seja um elemento arbitrário a ∈ R, então −(−a) = a. 
Seja (-a) + a = 0. Usando o teorema (*), temos: a = -(-a), logo 
podemos concluir que -(-a) = a 
(*) Se a + b = 0, então b = -a 
 Seja um elemento arbitrário a ∈ R, então −(−a) = a. 
Seja (-a) + a = 0. Usando o teorema (*), temos: a = -(-a), logo 
podemos concluir que -(-a) = a 
(*) Se a - b = 0, então b = a 
 
5a Questão (Ref.: 201309829399) 
 Dentre as séries abaixo, assinale na única que é definida divergente, utilizando 
o recurso da comparação com limites. 
 
 2/(2n - 1) 
 n+1/n3 
 1/(1+3n) 
 1/(n2+2) 
 1/n4 + n2 + 2 
 
6a Questão (Ref.: 201309829372) 
 Sabendo que a série 1/(n2) é convergente, então, por comparação podemos 
afirmar que a série convergente, dentre as opções será: 
 
 |sen n|/n² 
 1/n 
 1/x-2 
 2n 
 1/n³ 
 
7a Questão (Ref.: 201309829371) 
 Teste da Comparação Dadas as séries an e bn, an > 0; bn > 0 e an < bn , n, 
temos que se a série bn converge então a série an converge. Se série an 
diverge então Série bn diverge. Analise o critério exposto acima e avalie entre 
as opções abaixo, a que não se enquadra nesse critério de convergência: 
 
 O teste também se aplica se temos an < bn para todo n > no 
 Se an < bn e a série an converge nada podemos afirmar sobre 
a série bn. 
 Este teste é chamado teste do confronto ou comparação 
simples 
 Nunca utilizar séries geométricas e p-séries para servirem de 
comparação. 
 Se an < bn e a série bn diverge nada podemos afirmar sobre a 
série an. 
 
8a Questão (Ref.: 201309657644) 
 A equação |x-1| = |x| +1 
 
 Tem uma infinidade de soluções 
 Não tem solução 
 Tem uma única solução 
 Tem somente duas soluções 
 Tem exatamente 4 soluções 
 
AULA 05. 
Atividade Proposta 
1. Leia com atenção e avalie cada uma das afirmativas a seguir que dizem 
respeito à noção de vizinhança no espaço métrico R. Com relação a estas 
afirmativas, é SOMENTE CORRETO afirmar que: 
I- Uma vizinhança aberta de um ponto x = c em R é um intervalo aberto da 
forma Vc = (c - r1, c + r2) onde r1 > 0 e r2 > 0 são números reais pequenos. 
II- Uma boa forma para construir uma vizinhança aberta para um ponto x = c é 
construir um intervalo simétrico centrado em x = c e com raio r, denotado por Vc = 
(c - r, c + r) onde r > 0 é pequeno, dependendo da forma como as distâncias são 
medidas. 
III- A distância entre os números reais x e y pode ser notada por d (x, y) = |x - y|. 
(I) e (II) 
(I), (II) e (III) 
(II) e (III) 
(I) 
(III) 
2. Com relação a pontos interiores, exteriores e fronteira, considere as afirmativas 
a seguir é SOMENTE CORRETO afirmar que: 
I- Um ponto x ∈ ℜp é dito ponto interior de um conjunto A ⊂ ℜp se existe uma 
vizinhança de x totalmente contida em A. 
II- Um ponto x ∈ ℜp é dito ponto exterior de um conjunto A ⊂ ℜp se existe uma 
vizinhança de x inteiramente contida no complementar de A -C (A) 
III- Se toda vizinhança N (x, r) de centro x e raio r contém um ponto de G e um 
ponto do complementar de G (ℜp - G), diz-se que x é um ponto fronteira de G. 
(I) 
(I) e (II) 
(II) e (III) 
(I), (II) e (III) 
(III) 
3. A noção de bola é fundamental no estudo de espaços métricos. Considerando x 
um ponto no espaço métrico E e dado um número Real r>0, e analisando as 
afirmativas a seguir, é SOMENTE CORRETO afirmar que 
I. Uma bola aberta de centro x e raio r é também chamada uma vizinhança de x. 
II. Uma boa aberta pode ser indicada por N (x, r) = {y ∈ ℜp, ||x - y||}. 
III. Uma boa aberta pode ser indicada por N (x, r) = {y ∈ ℜp, d(x, y)}. 
(I) e (II) 
(II) e (III) 
(I), (II) e (III) 
(I) e (III) 
(II) 
4. Dizemos que um conjunto G em ℜp é um aberto em ℜp se, Ax ∈ G, existe r > 
0, r ∈ R, tal que Ay ∈ ℜp, ||x - y||G, em outras palavras, um conjunto Gé aberto se 
todo ponto de G é centro de alguma bola aberta inteiramente contida em G. Com 
relação às propriedades dos conjuntos abertos, avaliando as afirmativas a seguir, é 
SOMENTE CORRETO afirmar que: 
I- O vazio e todo o espaço ℜp são abertos em ℜp. 
II- A interseção de dois abertos quaisquer é um aberto em ℜp. 
III- A união de qualquer coleção de abertos é um aberto em ℜp. 
(I) 
(II) e (III) 
(II) 
(I) e (III) 
(I), (II) e (III) 
AV. AP. 
1a Questão (Ref.: 201309829224) 
 Dentre as opções abaixo a única que representa um número racional é: 
 
 √64 
 ∛9 
 √7 
 Log 256 
 Log 3 
2a Questão (Ref.: 201309829243) 
 Marque a alternativa que mostra corretamente a demonstração do seguinte 
resultado: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par. 
 
 Vamos provar então, que se a é ímpar, então a2 é ímpar. 
Supondo que a é ímpar, teremos que é da forma a=2n+1, n em Z. 
Seja a2 = (2n + 1)2 = 2(2n2 + 2n) + 1. Como n é um elemento de Z, 
temos que w = 2n2 + 2n é um elemento de Z. Ficamos com a2 = 2w + 
1, w em Z. Dessa forma, pela definição, a2 é um número 
ímpar. Isso equivale a dizer que: Se a é um número inteiro tal 
que a2 é par, então a é par. 
 Vamos provar então, que se a é ímpar, então a2 é ímpar. 
Supondo que a é ímpar, teremos que é da forma a=2n+1, n em Z. 
Seja a2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 1. Como n é um elemento de Z, temos 
que w = 4n2 + 1 é um elemento de Z. Ficamos com a2 = 4w2 + 1, w 
em Z. Dessa forma, pela definição, a2 é um número 
ímpar. Isso equivale a dizer que: Se a é um número inteiro tal 
que a2 é par, então a é par. 
 Vamos provar então, que se a é ímpar, então a2 é ímpar. 
Supondo que a é ímpar, teremos que é da forma a=2n+1, n em Z. 
Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar. Isso equivale a 
dizer que: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par. 
 Vamos provar então, que se a é ímpar, então a2 é par. 
Supondo que a é ímpar, teremos que é da forma a=2n+1, n em Z. 
Seja a2 = (2n +1)2 = 2(2n2 + 2n) + 1. Como n é um elemento de Z, 
temos que w = 2n2 + 2n é um elemento de Z. Ficamos com a2 = 2w + 
1, w em Z. Dessa forma, pela definição, a2 é um número 
ímpar. Isso equivale a dizer que: Se a é um número inteiro tal 
que a2 é par, então a é par. 
 Vamos provar então, que se a é ímpar, então a2 é ímpar. 
Seja a=2n+1. Seja a2 = (2n + 1)2 = 2(2n2 + 2n) + 1. Como n é um 
elemento de Z, temos que w = 2n2 + 2n é um elemento de Z. Ficamos 
com a2 = 2w + 1, w em Z. Dessa forma, pela definição, a2 é um 
número ímpar. 
3a Questão (Ref.: 201309829211) 
 Seja x um número real tal que -3 < 2x + 5 < 7 , podemos afirmar que x 
pertence ao intervalo. 
 
 [ - 5 , 0 ] 
 ] - 4 , 0 [ 
 ] - 4 , 1 [ 
 [ - 4 , 1 [ 
 [ - 4 , 1 ] 
4a Questão (Ref.: 201309829378) 
 Analise a convergência da série ∑n=1∞(2n/n!). 
 
 Como o valor do limite encontrado é 0, podemos concluir a série converge. 
 Como o valor do limite encontrado é 0, podemos concluir a série diverge. 
 Como o valor do limite encontrado é 0, podemos afirmar nada. 
 Como o valor do limite encontrado é 2, podemos concluir que a série 
converge. 
 Como o valor do limite encontrado é 2, podemos concluir a série diverge. 
5a Questão (Ref.: 201309829345) 
 Analisando a série de cujo termo geral é n!/(2n+1)!, conclui-se que a mesma : 
 
 Converge, pois o lim an+1/an vale 0. 
 Converge, pois o lim an+1/an vale 0,2. 
 Converge, pois o lim an+1/an vale 1/3. 
 Diverge, pois o lim an+1/an vale 3/2. 
 Converge, pois o lim an+1/an vale 9/10. 
6a Questão (Ref.: 201309829353) 
 Analise a convergência da série ∑n=1∞2n/7n.(n+1). 
 
 A série converge absolutamente para 2/7, portanto a série é dita 
divergente. 
 A série divergente para 2/7, portanto a série é dita convergente. 
 A série divergente absolutamente para 5/7, portanto a série é dita 
convergente. 
 A série converge absolutamente para 5/7, portanto a série é dita 
convergente. 
 A série converge absolutamente para 2/7, portanto a série é dita 
convergente. 
7a Questão (Ref.: 201309829342) 
 Verificando a série de termos positivos cujo termo geral é n/ln(n)n/2 concluimos 
que a série: 
 
 Diverge, pois o limite vale 7/2. 
 Converge, pois o limite vale 0. 
 Nada se pode declarar, pois o limite vale 1. 
 Converge, pois o limite vale 1/10. 
 Converge, pois o limite vale 0,9. 
8a Questão (Ref.: 201309829341) 
 Analisando a série de termos positivos cujo o termo geral é n3/en conclui-se que 
a mesma: 
 
 Converge, pois o lim an+1/an vale 1/3 
 Diverge, pois o lim an+1/an vale 2,5 
 Converge, pois o lim an+1/an vale 1/2 
 Converge, pois o lim an+1/an vale 1/e 
 Diverge, pois o lim an+1/an vale 5/3 
 
AVALIAÇÃO PARCIAL – I. 
1a Questão (Ref.: 201309657684) Acerto: 0,0 / 1,0 
Decida se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas: 
 
(1) Se limn→∞an=∞ e bn=n2+3 então limn→∞anbn= ∞ 
(2) Se an→0 e bn→∞ então anbn→0 
(3) Se an e bn são ambas sequências não convergentes, então a 
sequência an+bn não converge. 
(4) Se limn→∞an=-∞ e limn→∞bn=∞ então limn→∞anbn= -1. 
(5) Se an converge então ∑an também converge. 
 
 As proposições (2) e (3) são verdadeiras e as proposições (1), (4) e (5) 
são falsas. 
 Todas são verdadeiras. 
 As proposições (1), (2) e (3) são verdadeiras e as proposições (4) e (5) 
são falsas. 
 Todas são falsas. 
 As proposições (1), (4) e (5) são verdadeiras e as proposições (2) e (3) 
são falsas. 
2a Questão (Ref.: 201309829362) Acerto: 1,0 / 1,0 
Seja a sequência {n.sen(π/n)}. Marque a alternativa que indica o limite da 
sequência quando n tende ao infinito. 
 
 3π/2 
 2π 
 3π 
 π 
 π/2 
3a Questão (Ref.: 201309657672) Acerto: 1,0 / 1,0 
Seja a sequência an=1-nn2. Dentre as opções abaixo, assinale aquela que 
representa os quatro primeiros termos da sequência. 
 
 -3/16, 0, -2/9, -1/4 
 0, -1/4, -2/9, -3/16 
 0, 1/4, 2/9, 3/16 
 0, -3/16, -2/9, -1/4 
 1, 2/3, 5/6, 3/16 
4a Questão (Ref.: 201309657651) Acerto: 1,0 / 1,0 
Assinale a opção onde o conjunto correspondente é infinito. 
 
 { x : x ∈ R e x2 -7x=0} 
 Os meses do ano. 
 As pessoas que habitam o planeta Terra. 
 {x : x é par} 
 { 1,2,3,.........,1999} 
 
5a Questão (Ref.: 201309657668) Acerto: 1,0 / 1,0 
Considere a sequência infinita f : N*→Q onde f (n ) = 2n. Podemos afirmar que 
: 
 
 O maior valor que a função assume é 1024. 
 O menor valor que a função assume é igual a 1. 
 Existe uma imagem que é negativa. 
 O conjunto imagem da função é enumerável 
 O conjunto imagem da função é não enumerável. 
6a Questão (Ref.: 201309829391) Acerto: 1,0 / 1,0 
Utilizando o teste da integral, determine se a série infinita ∑n=1∞(lnn/n) é 
convergente ou divergente. 
 
 Pelo teste da integral temos resultado -3, logo a série é divergente. 
 Pelo teste da integral temos resultado ∞, logo a série é divergente. 
 Pelo teste da integral temos resultado 0, logo a série é convergente. 
 Pelo teste da integral temos resultado 3, logo a série é convergente. 
 Pelo teste da integral temos resultado 1, logo a série é convergente. 
7a Questão (Ref.: 201309829372) Acerto: 1,0 / 1,0 
Sabendo que a série 1/(n2) é convergente, então , por comparação podemos 
afirmar que a série convergente , dentre as opções será: 
 
 Série 1/n 
 Série |sen n|/n2 
 1/x-2 
 1/n3 
 2n 
8a Questão (Ref.: 201309829399) Acerto: 0,0 / 1,0 
Dentre as séries abaixo, assinale na única que é definida divegente, utilizando 
o recurso da comparação com limites. 
 
 1/(n2+2) 
 2/(2n - 1) 
 1/n4 + n2 + 2 
 1/(1+3n) 
 n+1/n3 
9a Questão (Ref.: 201309829353) Acerto: 1,0 / 1,0 
Analise a convergência da série ∑n=1∞2n/7n.(n+1). 
 
 A série divergente para 2/7, portanto a série é dita convergente. 
 A série converge absolutamente para 2/7 portanto a série é dita 
convergente. 
 A série converge absolutamente para 2/7, portanto a série é dita 
divergente. 
 A série divergente absolutamente para 5/7, portanto a série é dita 
convergente. 
 A série converge absolutamente para 5/7, portanto a série é dita 
convergente. 
 
 
 
10a Questão (Ref.: 201309829364) Acerto: 0,0 / 1,0 
Analise a convergência da série ∑n=1∞((2n+3)/(3n+2))n. Determine o limite 
de an quando n tende ao infinito e se a série converge ou diverge. 
 
 O limite de an quando n tende a infinito será -2, portanto a série diverge. 
 O limite de an quando n tende a infinito será 2/3, portanto a série 
converge. 
 O limite de an quando n tende a infinito será ∞, portanto a série diverge. 
 O limite de an quando n tende a infinito será 2, portanto a série 
converge. 
 O limite de an quando n tende a infinito será 3/2, portanto a série 
diverge. 
 
AVALIAÇÃO PARCIAL – II. 
1a Questão (Ref.: 201309829361) Acerto: 1,0 / 1,0 
Seja a sequência {4n2/(2n2+1)}. 
Marque a alternativa que indica o limite da sequência quando n tende ao 
infinito. 
 
 3 
 4 
 5 
 2 
 1 
2a Questão (Ref.: 201309829383) Acerto: 1,0 / 1,0 
Seja a sequência {5n/e2n}. Marque a alternativa que indica o limite da 
sequência quando n tende ao infinito. 
 
 5/2 
 5/e 
 e 
 5 
 0 
3a Questão (Ref.: 201309829248) Acerto: 1,0 / 1,0 
Marque a alternativa que enuncia corretamente o Princípio da Boa Ordenação. 
 
 Nenhum subconjunto não-vazio A contido em N possui um menor 
elemento. 
 Alguns conjuntos possuem um menor elemento. 
 Todo subconjunto não vazio A contido em N possui um menor elemento. 
 Todo subconjunto não vazio A contido em N possui um maior elemento. 
 Todo conjunto possui um menor elemento. 
4a Questão (Ref.: 201309657665) Acerto: 1,0 / 1,0 
Dentre os conjuntos abaixo relacionados, assinale o único que é finito: 
 
 { x ∈ Z : x > -3 } 
 { x ∈ R : 3 < x < 5} 
 { x ∈ N : x > 7} 
 { x∈R : x > 3} 
 { x ∈ Z : 2 < x < 7} 
5a Questão (Ref.: 201309657655) Acerto: 1,0 / 1,0 
Se a e b são números naturais diferentes de zero, quantos são maiores que ab 
e menores que a(b+1): 
 
 Nenhum 
 a-1 
 a + b -1 
 Um 
 b-1 
6a Questão (Ref.: 201309657656) Acerto: 1,0 / 1,0 
Se 0 < x < 1 , qual dos números abaixo é maior que x ? 
 
 x . x 
 -x 
 √x 
 x . x . x 
 0,9 x 
7a Questão (Ref.: 201309877566) Acerto: 0,0 / 1,0 
Para quaisquer x, y ,z ∈ R, vale: 
 
 |x-z|≤|x-y|+|y-z| 
 |x-z|≤|z-y| 
 |x-z|≥|x-y|+|y-z| 
 |x-z|≤|y-z| 
 |x-z|≤|x-y| 
 
8a Questão (Ref.: 201309657648) Acerto: 1,0 / 1,0 
Resolvendo a inequação |2x-5|<3 no conjunto dos números reais, encontramos 
para conjunto solução: 
 
 [ 1 , 4 ] 
 { 1 , 4 } 
 [1 , 4 [ 
 ] 1 , 4 [ b) ] 1 , 4 ] c)[1,4] d) {1,4} e) [1,4[ 
 ] 1 , 4 ] 
 
9a Questão (Ref.: 201309829345) Acerto: 1,0 / 1,0 
Analisando a série de termos positivos cujo o termo geral é n!/(2n+1)! conclui-
se que a mesma : 
 
 Diverge, pois o lim an+1/an vale 3/2 
 Converge, pois o lim an+1/an vale 0 
 Converge, pois o lim an+1/an vale 1/3 
 Converge, pois o lim an+1/an vale 0,2 
 Converge, pois o lim an+1/an vale 9/10 
 
 
10a Questão (Ref.: 201309657763) Acerto: 1,0 / 1,0 
Analisando a série de termos positivos cujo o termo geral é n!/(2n+1)! conclui-
se que a mesma : 
 
 Converge, pois o lim an+1/an vale 0,2 
 Converge, pois o lim an+1/an vale 0 
 Converge, pois o lim an+1/an vale 9/10 
 Diverge, pois o lim an+1/an vale 3/2 
 Converge, pois o lim an+1/an vale 1/3 
 
AULA 06. 
Atividade. 
1. Seja a sequência . Defina o limite desta sequência quando n tende ao 
infinito. 
Solução: lim�→" �&��� = 
''O'PQ'
= �&�Q' =
�
& RK SRT U´WR1SXH/I lim�→" �&��� = �& 
2. Mostre que a sequência converge e determine o seu limite. 
Solução: YRT U´WR1SXH/I lim�→" Z��� = 
Q'� = �� = 0 
3. Utilize as propriedades de limite para definir o limite da sequência . 
Solução: 
lim�→" 3#² + #8#² − 5# = 
3#² + ##²8#² − 5##²
= 3 +
1#
8 − 5#
= 38 
 
4. Verifique que . 
 
Atividade proposta 
1. Podemos provar que a sequência an é: 
Decrescente 
Crescente 
1/2 
3/5 
Podemos usar a regra de L´Hospital 
2. Se o lim x n = a e o lim y n = b então o lim (xn + yn) será: 
a- b 
b/a 
a+b 
a/b 
ab 
3. Sabendo que podemos afirmar que com base em: 
�
&' < �� conforme o Teorema do Confronto. 
AV. AP. 
1a Questão (Ref.: 201309829337) 
 As séries 1-1/2+1/2-1/3+1/3 - 1/4 +1/4 - 1/5+1/5 -... e 1/1.2 + 1/2.3 + 
1/3.4 + 1/4.5 +.... convergem? 
 
 Sim, convergirão, tendo como o mesmo limite 1 
 Sim, convergirão, tendo como o mesmo limite 0,4 
 Sim, convergirão, tendo as séries como o limite 1 e limite 0, 
respectivamente. 
 Sim, convergirão, tendo como o mesmo limite 1,5 
 Não convergirá 
2a Questão (Ref.: 201309829221) 
 A desigualdade 1/(x+1) ≥ 0 é satisfeita se : 
 
 x > 0 
 x > -1 
 x < 0 
 x = -1 
 x< -1 
3a Questão (Ref.: 201309829220) 
 Se 0 < x < 1 , qual dos números abaixo é maior que x ? 
 
 -x 
 √x 
 x . x 
 x . x . x 
 0,9 x 
 
4a Questão (Ref.: 201309829207) 
 Sendo a e b reais quaisquer e m um número real diferente de zero, então: 
 
 a > b e a m > b m → m = 1 
 a < b e a m < b m → m < 0 
 a < b , m >0 → a m < b m 
 a ≥ b e a m ≤ b m → m < 0 
 a≥ b e a m ≥ b m → m≥ 1 
 
 
5a Questão (Ref.: 201309829344) 
 A série (-1)n+1 convergirá pelo teste de Leibnitz se: 
 
 an forem negativos , an > an+1 para todo n>N para N inteiro e lim an =0 
 an positivos para alguns n , an > an+1 para todo n>N para N inteiro e lim 
an =1 
 an forem positivos , an > an+1 para todo n>N para N inteiro e lim an =0 
 an forem positivos , an+1 > an para todo n>N para N inteiro e lim an =0 
 an forem positivos , an > an+1 para todo n>N para N inteiro e lim an = 
infinito 
6a Questão (Ref.: 201309829349) 
 Considerando o teorema para teste de séries alternadas (-1)n.an, (Teste de 
Leibniz), em qual das opções abaixo não apresenta a característica para definir 
a convergência: 
 
 lim an = 0 
 Termos alternadamente com sinais trocados. 
 Termos da série decrescendo 
 an+1 > an para todo n inteiro positivo 
 an >0 para todo n. 
 
 7a Questão (Ref.: 201309829222) 
 Se a e b são números inteiros, 1 ≤ a < b ≤ 9 , o menor valor que a+b/ab pode 
assumir é : 
 
 9 / 20 
 15/56 
 17 / 72 
 1 
 2/ 9 
 
8a Questão (Ref.: 201309657755) 
 As séries 1-1/2+1/2-1/3+1/3 - 1/4 +1/4 - 1/5+1/5 -..... e 1/1.2 + 1/2.3 + 
1/3.4 + 1/4.5 +.... convergem ? 
 
 Sim , convergirão, tendo as séries como o limite 1 e limite 0 
respectivamente. 
 Sim , convergirão, tendo como o mesmo limite 1 
 Sim , convergirão, tendo como o mesmo limite 1,5 
 Não convergirá 
 Sim , convergirão, tendo como o mesmo limite 0,4 
 
AULA 07. 
AV. AP. 
1. 
 
 
Analise a convergência da série ∑n=1∞((-1)^(n+1).((n+1)/(n+2)) 
 
 
Limn→∞ (-1)n+1(n+1n+2) = 0, portanto a série dada é divergente. 
 
Limn→∞ (-1)n+1(n+1n+2) não existe, portanto a série dada é 
divergente. 
 
Limn→∞ (-1)n+1(n+1n+2) =1, portanto a série dada é convergente. 
 
Limn→∞ (-1)n+1(n+1n+2) =1, portanto a série dada é divergente. 
 
Limn→∞ (-1)n+1(n+1n+2) = 0, portanto a série dada é convergente. 
 
 2. 
 
 
Analise a convergência da série ∑n=1∞(-1)n/(n2+1). 
 
 
Usando o teste da comparação com a série p, notamos que ela é 
convergente, segue então que a série dada é divergente. 
 
Usando o teste da comparação com a série p, concluímos que esta 
é convergente, segue então que a série dada é absolutamente 
convergente. 
 
Usando o teste da comparação com a série p, segue que a série 
dada é absolutamente convergente. 
 
Usando o teste da comparação com a série p, segue que a série 
dada é divergente. 
 
Usando o teste da comparação com a série p concluímos que esta é 
convergente, segue então que a série dada é absolutamente 
convergente. 
 
 3. 
 
 
Verificando a convergência da série somatório (-1)n+1.n/2n, concluímos que : 
 
 
A série é divergente 
 
Pelo teste da razão, a série é absolutamente convergente e portanto 
convergente. 
 
Pelo teste da razão é inconcludente. 
 
Pelo teste da razão, a série converge para o limite 3/7 
 
Pelo teste da razão, a série converge para o limite 0,2 
 
 4. 
 
 
A equação |x-1| = |x| +1 
 
 
Tem uma única solução 
 
Tem somente duas soluções 
 
Tem exatamente 4 soluções 
 
Não tem solução 
 
Tem uma infinidade de soluções 
 
 5. 
 
 
Analise a convergência da série ∑n=1∞|cos n|(3n/n!). 
 
 
É convergente, pelo critério da razão, pelo que a série dada é 
absolutamente convergente. 
 
Não podemos afirmar nada. 
 
É divergente, pelo critério da razão, pelo que a série dada é 
absolutamente convergente. 
 
É divergente, pelo critério da razão, pelo que a série dada é 
absolutamente divergente. 
 
É divergente, pelo critério da razão, pelo que a série dada é 
absolutamente convergente. 
 
 6. 
 
 
Analisando a série somatório de 1/n3/2 verificamos que a mesma: 
 
 Converge para todos os casos 
 
Converge absolutamente 
 Converge condicionalmente 
 Não é possível concluir 
 Diverge 
 
 7. 
 
 
Analisando a convergência da série (-1)n+1[n+2/n(n+1)] a forma mais 
correta de concluir a classificação dessa série, quanto a convergência, é: 
 
 
Absolutamente convergente 
 
Divergente 
 
Convergente 
 Condicionalmente convergente 
 
Análise inconcludente. 
 
 
 8. 
 
 
Se |x| = |y| então é correto afirmar que 
 
 
x = y e x = -y 
 
x > 0 
 
x = y 
 
y < 0 
 
x =-y 
 
AULA 08. 
Atividade proposta. 
1. Dada a série , determine: 
 
a) Os quatro primeiros termos da série. 
 
b) A sequência das somas parciais. 
 
c) Se a série é convergente. 
2. Calcule a soma da série 
3. Analise a convergência da série 
Pelo teorema do confronto podemos afirmar que a série é divergente. 
Pelo teste da integral podemos afirmar que a série é divergente. 
Pelo teste da integral podemos afirmar que a série é convergente. 
Pelo teorema do confronto podemos afirmar que é convergente para 10. 
Pela Regra de L´Hospital podemos afirmar que diverge. 
4. Analise a convergência da série 
Pelo teorema do confronto podemos afirmar que a série é divergente. 
Pelo teste da integral podemos afirmar que a série é divergente. 
Pelo teste da integral podemos afirmar que a série é convergente. 
Pelo teorema do confronto podemos afirmar que é convergente para 10. 
Pela Regra de L´Hospital podemos afirmar que diverge. 
 
 
5. Analise a convergência da série 
Pelo teorema do confronto podemos afirmar que a série é divergente. 
Pelo teste da integral podemos afirmar que a série é divergente. 
Pelo teste da integral podemos afirmar que a série é convergente. 
Pelo teorema do confronto podemos afirmar que é convergente para 10. 
Pela Regra de L’Hospital podemos afirmar que diverge. 
 
AV. AP. 
 1a Questão (Ref.: 201309829366) 
 
 Seja a função f(x) = root 3x determine a aproximação por um polinômio de 
Taylor de grau 3 em a = 8. 
 
 a aproximação será T2x 
 a aproximação será x3 ≈ T2x 
 a aproximação será x3 ≈ T3x 
 a aproximação será T3x 
 a aproximação será x3 ≈ T1x 
 2a Questão (Ref.: 201309829213) 
 Achar o supremo, caso exista, do conjunto A ={x ∈ R : 3x2 - 10x + 3 < 0}. 
 
 1/3 
 3 
 4 
 - 5 
 - 2 
 3a Questão (Ref.: 201309657757) 
 A série infinita de termos positivos cujo termo geral é 1/n! é: 
 
 Convergente de limite e 
 Convergente de limite 3 
 Convergente de limite 0 
 Convergente de limite n! 
 Divergente 
 
 4a Questão (Ref.: 201309829195) 
 
 Seja A = {x ∈ Q:x = ((-1)^n).(n^(-1)),n ∈ N}. O supremo e o ínfimo do 
conjunto dado A são respectivamente: 
 
 1 e 0 
 1/2 e 0 
 0 e -1 
 1 e -1 
 1/2 e -1 
 
 5a Questão (Ref.: 201309657635) 
 
 Considere os dois conjuntos A = {y ∈ Q tal que 0<y}. Com relação a estes dois 
conjuntos e a teoria de cotas superiores, inferiores, supremos e ínfimos é 
somente correto afirmar que: 
 
(I) SupA=1 e 1 ∈ A (II) SupA= SupB.(III) InfB=-1 e 1/2 ∈ B. 
 (I) e (III) 
 (II) 
 (II) e (III) 
 (I) 
 (III) 
 
 6a Questão (Ref.: 201309657759) 
 Analisando a série de termos positivos cujo o termo geral é n^3/e^n conclui-se 
que a mesma: 
 
 Converge, pois o lim an+1/an vale 1/3 
 Diverge, pois o lim an+1/an vale 2,5 
 Diverge, pois o lim an+1/an vale 5/3 
 Converge, pois o lim an+1/an vale 1/e 
 Converge, pois o lim an+1/an vale 1/2 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201309829205) 
 Determine o supremo do conjunto E = {x∈R;3x2-10x+3<0}. 
 
 Sup E = 3 
 Sup E = 1/2 
 Sup E = 1/3 
 Sup E = 0 
 Sup E = 2 
 
 8a Questão (Ref.: 201309829382) 
 
 Encontre Dx (1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ...). 
 
 ∑n=1∞n(n+1)xn-1, |x|> 1 
 ∑n=1∞xn-1, |x|< 1 
 ∑n=1∞(n+1)xn-1, |x|< 1 
 ∑n=1∞n xn-1, |x|< 1 
 ∑n=1∞n(n+1)xn-1, |x|< 1 
 
AULA 09. 
Atividade Proposta 
1. Analise a convergência da série 
 
2. Analise a convergência 
3. Analise a convergência da série 
Podemos mostrar que converge pelo teste de Leibniz. 
Podemos mostrar que diverge pelo teste de Leibniz. 
Não podemos mostrar que converge pelo teste de Leibniz. 
O teste de Leibniz não permite concluirmos se a série converge. 
Podemos usar a regra de L´Hospital para mostrar que converge. 
 
 
4. Analise a convergência da série 
Podemos mostrar que converge pelo teste de Leibniz. 
Podemos mostrar que diverge pelo teste de Leibniz. 
Não podemos mostrar que converge pelo teste de Leibniz. 
O teste de Leibniz não permite concluirmos se a série converge. 
Podemos usar a regra de L´Hospital para mostrar que converge. 
AV. AP. 
1a Questão (Ref.: 201309657629) 
 Considere as afirmações sobre cortes: 
 
(I). Todo corte em R é determinado por um número real. 
(II). Se (A, B) é um corte em R então existe um só número c pertencente ao 
conjunto dos números reais tal que a< c, para qualquer a ∈ A e c < b, para 
qualquer b ∈ B. 
(III). Considere um elemento fixo c pertencente ao conjunto dos reais. O par 
ordenado (A, B), onde A= {x ∈ R: x<=c} e B= {x ∈ R: x>c} é um corte para R. 
É somente correto afirmar que: 
 
 (I) e (III) 
 (II) e (III) 
 (I) e (II) 
 (I) 
 (III) 
 
 2a Questão (Ref.: 201309829331) 
Dada a seguinte função periódica: f (t) = t, se - 3 < t < 3, e f (t + 6) = f (t), 
para t real, determine os coeficientes a0, a3 e b5 da série de Fourier. 
 
 a0 =4, a3 = -3/3π2 e b5 = 0 
 a0 =3, a3 = -3/3π2 e b5 =5 
 a0 =6, a3 = -2/3π2 e b5 =1 
 a0 = 3, a3 = -4/3π2 e b5 = 0 
 a0 =4, a3 = -4/3π2 e b5 =7 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201309657632) 
 Com relação a celas, é somente correto afirmar que: 
 
 No conjunto {x ∈ R: x>4}, não há uma extremidade definida. 
 O conjunto {x ∈ R: -2<x< 
 O conjunto {x ∈ R: 3<x<=7} é uma cela semiaberta. 
 O conjunto {x ∈ R : x<3} é um raio aberto definido por +oo. 
 O conjunto {x ∈ R : -5<x< 
 
 4a Questão (Ref.: 201309657748) 
 Desenvolva f(x)= cos x, se 0 < x < pi, numa série de Fourier Seno. Como 
deverá ser definida a função f(x) em x = 0 e x = p para que a série convirja 
para f(x) em 0 < x < p? 
 
 f(x)= 5/pi somatório de (sen nx)/(2n¿2 - 1) ; f (0) = f(pi) = 0 . 
 f(x)= 4/pi somatório de (nsen2nx)/(4n - 1) ; f(pi) = 0 . 
 f(x)= 10/pi somatório de (nsen nx)/(4n¿2 - 1) ; f (0) = f(pi) = 0 
 f(x)= 8/pi somatório de (nsen2nx)/(4n2 - 1) ; f (0) = f(pi) = 0 . 
 f(x)= 8/pi somatório de (sen2n)/(n-1) ; f (0) = f(pi) = 0 . 
 
 5a Questão (Ref.: 201309657750) 
 Indique, entre as opções abaixo, a série de Fourier de f(t) = t no intervalo [- 
3,3]. Esboce o gráfico da função gerada pela série no conjunto dos números 
reais. 
 
 f(x)= 3/pi somatório de sen( n.t/3) [(-1)¿n+1]/n 
 f(x)= 7/pi somatório de sen( n.pi.t) [(-1)¿n+1]/n 
 f(x)= 8/pi somatório de sen( n.pi.t/3) [(-1)¿n]/n 
 f(x)= 4/pi somatório de sen( n.pi.t/3) [(-1)¿n+1]/n 
 f(x)= 6/pi somatório de sen( n.pi.t/3) [(-1)¿n+1]/n 
 
 6a Questão (Ref.: 201309657751) 
 Desenvolva f (x) = cos(kx) , onde k é um inteiro, em série de Fourier, no 
intervalo (-pi,+pi) . 
 
 f (x) = cos(kx) 
 f (x) = cos(kx/2) . 
 f (x) = cos(x) . 
 f (x) = ncos(kx) . 
 f (x) = cos(2x) . 
 
 7a Questão (Ref.: 201309829333) 
 Desenvolva f (x) = cos(kx) , onde k é um inteiro, em série de Fourier, no 
intervalo (-pi,+pi) . 
 f (x) = ncos(kx) . 
 f (x) = cos(2x) . 
 f (x) = cos(kx/2) . 
 f (x) = cos(x) . 
 f (x) = cos(kx) 
 
 8a Questão (Ref.: 201309829198) 
 Observe a sequencia de intervalos a seguir: 
 
Com relação a estes intervalos é somente correto afirmar que 
(I) Trata-se da sequência de intervalos In=[n,+oo[, com n pertencente a N. 
(II) Esta sequência de intervalos é encaixante. 
(III) a sequência de intervalos não possui ponto em comum. 
 
 (I) 
 (II) e (III) 
 (I) e (II) 
 (I), (II) e (III) 
 (I) e (III) 
 
AULA 10. 
1. 
 
 
Seja L{4t2 - 3 cos t + 5 e- t}. Determine a Transformação de Laplace. 
 
 
[8/s3] - [s/(s2 + 1)] + [1/(s+1)], s > 0 
 
[8/s3] - [5/(s+1)], s > 0 
 
[1/s3] - [3s/(s2 + 1)], s > 0 
 
[8/s3] - [3s/(s2 + 1)] + [5/(s+1)], s > 0 
 
- [3s/(s2+ 1)] + [5/(s+1)], s > 0 
 
 2. 
 
 
Considere cada uma das afirmativas abaixo que dizem respeito à noção de 
vizinhança no espaço métricoR. 
 
(I) Uma vizinhança aberta de um ponto x=c em R é um intervalo aberto da 
forma Vc = (c-r1,c+r2) onde r1>0 e r2>0 são números reais pequenos. 
 
(II) Uma boa forma para construir uma vizinhança aberta para um ponto 
x=c, é construir um intervalo simétrico centrado em x=c e com raio r, 
denotado por Vc = (c-r, c+r) onde r>0 é pequeno, dependendo da forma 
como as distâncias são medidas. 
 
(III) A distância entre os números reais x e y é denotada por d(x, y)=|x-y|. 
 
Com relação às afirmativas e a teoria de vizinhança no espaço métrico R, é 
CORRETO afirmar: 
 
 
I e III somente. 
 
III somente. 
 
I e II somente. 
 
I, II e III. 
 
II e III somente. 
 
 3. 
 
 
Considere as afirmativas que são relacionadas ao conjunto S1=[2,4[U{5}⊆R.
 
(I) Conjunto dos pontos exteriores de S: ext(S1)=]-∞,2] U ]4,5[ U ]5,+∞[ 
(II) Conjunto de pontos aderentes a S (fecho) de S: S¯1=[2,4]U{5} 
(III) Conjunto dos pontos de acumulação de S: S´1=[2,4] 
Com relação ao conjunto em questão e as afirmativas, é correto 
 
 
I, II e III . 
 
I e III somente. 
 
II somente. 
 
II e III somente. 
 
I e II somente. 
 
 4. 
 
 
Considere o conjunto S1=[2,4[ U [5} ⊆ R e as afirmativas abaixo. 
(I) Conjunto dos pontos interiores de S: int S1=]2,4[ 
(II) Conjunto dos pontos fronteiros de S: fr(S1)={2,4,5} 
(III) Conjunto dos pontos de acumulação de S: S´1=[2,4] 
Com relação ao conjunto em questão e as afirmativas, é correto 
 
 
I, II e III. 
 
I e II somente. 
 
I e III somente. 
 
I somente. 
 
II e III somente. 
 
 5. 
 
 
Considere o conjunto S={(x, y) ∈ R²:x ≤ y} da figura e as afirmativas 
 
(I) Conjunto dos pontos interiores de S: int S={(x, y) ∈ R² : x < y} 
(II) Conjunto dos pontos de acumulação de S:S´=S 
(III) Conjunto dos pontos exteriores de S: ext S={(x, y) ∈ R² : x > y} 
Para este conjunto é correto 
 
 I apenas. 
 I, II e III. 
 II e III apenas. 
 I e II apenas. 
 I e III apenas. 
 
 6. 
 
Dizemos que um conjunto G em Rp é um aberto em Rp se, Ax ∈ G, 
existe r>0, r ∈ R, tal que Ay ∈ Rp, ||x-y||G, em outras palavras, um conjunto 
G é aberto se todo ponto de G é centro de alguma bola aberta inteiramente 
contida em G. Com relação às propriedades dos conjuntos abertos, considere 
 
as afirmativas. 
 
(I) O vazio e todo o espaço Rp são abertos em Rp. 
(II) A interseção de dois abertos quaisquer é um aberto em Rp. 
(III) A união de qualquer coleção de abertos é um aberto em Rp. 
 
Com relação às afirmativas e as propriedades dos conjuntos abertos, é 
CORRETO: 
 
 
I, II e III. 
 
II somente. 
 
II e III somente. 
 
I e II somente. 
 
I e III somente. 
 
 7. 
 
 
No espaço métrico R, um ponto x=c é denominado ponto interior de um 
conjunto S, se existe uma vizinhança aberta do ponto x=c, inteiramente 
contida no conjunto S. Além disso, o interior de um conjunto S é a coleção 
de todos os pontos de S para os quais podemos construir vizinhanças 
abertas contidas inteiramente no conjunto S. No espaço métrico R, considere 
as afirmativas. 
 
(I) x=5 é um ponto interior dos conjuntos: A=[0,10) e B=(-6,8). 
(II) x=5 não é ponto interior do conjunto C=[5,7) pois é uma extremidade 
de C. 
(III) (a, b) é o interior dos conjuntos [a, b], [a, b), (a, b] e de (a, b). 
 
Com relação a estas afirmativas e o espaço métrico R, é CORRETO: 
 
 
III somente. 
 
I e III somente. 
 
I e II somente. 
 
I, II e III. 
 
II e III somente. 
 
 8. 
 
As afirmativas abaixo são relacionadas à noção de vizinhança no espaço 
métrico R. 
 
(I) Um ponto x ∈ Rp é dito ponto interior de um conjunto A ⊂ Rp se existe 
uma vizinhança de x totalmente contida em A. 
 
(II) Um ponto x ∈ Rp é dito ponto exterior de um conjunto A ⊂ Rp se existe 
uma vizinhança de x inteiramente contida em no complementar de A - C(A) 
 
(III) Se toda vizinhança N(x, r) de centro x e raio r contém um ponto de G e 
um ponto do complementar de G (Rp - G) diz-se que x é um ponto fronteira 
de G. 
 
 
Com relação às afirmativas e a teoria de vizinhança no espaço métrico R, é 
CORRETO: 
 
 
I e III somente. 
 
I, somente. 
 
I e II somente. 
 
I, II e III. 
 
II e III somente. 
 
AV. 
1a Questão (Ref.: 815576) Pontos: 1,0 / 1,0 
Determine se a sequencia {1n} é crescente, decrescente ou não monótona. 
 
Resposta: Sequência é decrescente e monótona. 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... 
Gabarito: 
Quando n=1, temos 1/1 Quando n=2, temos 1/2 
Quando n=3, temos 1/3 Quando n=4, temos 1/4 
É decrescente. 
 
2a Questão (Ref.: 815432) Pontos: 0,0 / 1,0 
Mostre a Unicidade do Supremo, ou seja, que "Só pode haver um único 
supremo para S ⊂R". 
Resposta: 
Gabarito: 
Supor u1 e u2 supremos de S. Então, ambos são cotas superiores de S. Como u1 é 
supremo de S e u2 é cota superior de S, temos que u1≤u2Como u2 é supremo 
de S e u1 é cota superior de S, temos que u2≤u1. Logo, temos 
simultaneamente u1≤u2 e u2≤u1, assim, u1=u2. 
 
3a Questão (Ref.: 815650) Pontos: 1,0 / 1,0 
Seja a sequência {n.sen(π/n)}. Marque a alternativa que indica o limite da 
sequência quando n tende ao infinito. 
 
 3π/2 
 3π 
 2π 
 π 
 π/2 
4a Questão (Ref.: 643903) Pontos: 1,0 / 1,0 
Considere as afirmativas a seguir. 
(I) Se X é um conjunto finito então todo subconjunto Y de X é finito. 
(II) Não pode existir uma bijeção f: X-> Y de um conjunto finito X em uma 
parte própria Y C X. 
(III) Seja A C In. Se existir uma bijeção f: In-> A, então A=In . 
Com relação a elas, é correto afirmar 
 
 I e III somente. 
 II e III somente. 
 II somente. 
 I e II somente. 
 I, II e III. 
5a Questão (Ref.: 815676) Pontos: 1,0 / 1,0 
Analise a convergência da série ∑n=1∞n2/2n. Determine o limite de an quando 
n tende ao infinito e se a série converge ou diverge. 
 
 O limite de an quando n tende a infinito será 2, portanto a série converge 
absolutamente pelo teste da razão e consequentemente podemos dizer 
que a série converge. 
 O limite de an quando n tende a infinito será 1/3, portanto a série 
converge absolutamente pelo teste da razão e consequentemente 
podemos dizer que a série converge. 
 O limite de an quando n tende a infinito será 1/2, portanto a série 
converge absolutamente pelo teste da razão e consequentemente 
podemos dizer que a série converge. 
 O limite de an quando n tende a infinito será 1, portanto a série converge 
absolutamente pelo teste da razão e consequentemente podemos dizer 
que a série converge. 
 O limite de an quando n tende a infinito será 1/2, portanto a série diverge 
absolutamente pelo teste da razão e consequentemente podemos dizer 
que a série diverge. 
6a Questão (Ref.: 644054) Pontos: 0,0 / 1,0 
Qual das opções abaixo retrata uma característica que NÃO corresponde ao 
teorema da convergência para séries de potências: 
 
 Se a série converge para um valor x=c então ela convergirá 
absolutamente para todo x, com abs(x)>abs(c) 
 Se a série converge para um valor x=c então ela convergirá 
absolutamente para todo x, com abs(x)<abs(c) 
 Se a série diverge para um valor x=d então ela divergirá para todo x, com 
abs(x)>abs(d) 
 Se a série converge para um valor x=c então ela convergirá 
absolutamente para todo x, 
 Se a série converge para um valor x=c então ela convergirá 
condicionalmente para todo x, com abs(x)<abs(c) 
7a Questão (Ref.: 644047) Pontos: 1,0 / 1,0 
Analisando a série de termos positivos cujo termo geral é n3/en conclui-se que 
a mesma: 
 
 Converge, pois o lim an+1/an vale 1/2 
 Diverge, pois o lim an+1/an vale 2,5 
 Converge, pois o lim an+1/an vale 1/3 
 Diverge, pois o lim an+1/an vale 5/3 
 Converge, pois o lim an+1/an vale 1/e8a Questão (Ref.: 815448) Pontos: 1,0 / 1,0 
No espaço métrico R, um ponto x=c é denominado ponto interior de um 
conjunto S, se existe uma vizinhança aberta do ponto x=c, inteiramente 
contida no conjunto S. Além disso, o interior de um conjunto S é a coleção de 
todos os pontos de S para os quais podemos construir vizinhanças abertas 
contidas inteiramente no conjunto S. No espaço métrico R, considere as 
afirmativas. 
(I) x=5 é um ponto interior dos conjuntos: A=[0,10) e B=(-6,8). 
(II) x=5 não é ponto interior do conjunto C=[5,7), pois é uma extremidade de 
C. 
(III) (a, b) é o interior dos conjuntos [a, b], [a, b), (a, b] e de (a, b). 
Com relação a estas afirmativas e o espaço métrico R, são CORRETAS: 
 
 I e II somente. 
 II e III somente. 
 III somente. 
 I e III somente. 
 I, II e III.