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CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2001 
Primeira Prova – Data: 18/04/2001 – Duração: 2:30 hs – Sem Consulta 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama 
de momentos fletores do quadro hiperestático 
ao lado. Somente considere deformações por 
flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à 
flexão EI = 1,0 x 105 kNm2. 
 
 
 
 
2ª Questão (3,5 pontos) 
Considere as duas estruturas mostradas abaixo. A da esquerda é um quadro isostático e a da direita 
é um quadro hiperestático. Os dois quadros sofrem a mesma solicitação: uma força horizontal de 
50 kN aplicada no apoio da direita e um recalque desse mesmo apoio de 6 mm para baixo. Todas 
as barras têm um material com módulo de elasticidade E = 1,0 x 108 kN/m2 e seções transversais 
com momento de inércia I = 1,0 x 10-3 m4. Considere válida a hipótese de pequenos deslocamen-
tos. 
 
 
 
Pede-se: 
(a) Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura isostática. 
(b) Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática. Deve-se utilizar o 
Método das Forças, adotando OBRIGATORIAMENTE como Sistema Principal a estrutura 
isostática da esquerda. Somente considere deformações por flexão. 
 (b.1) Dê a intepretação física do termo de carga δ10 do sistema de equações de compatibi- 
 dade do Método das Forças para esta solução. 
 (b.2) Mostre a dedução do termo de carga δ10 pelo Princípio das Forças Virtuais. 
(c) Considere que as colunas dos quadros acima tiveram a seção transversal modificada para 
uma com momento de inércia I = 2,0 x 10-3 m4 (a viga não se altera). Responda sem fazer 
nenhum cálculo: 
 (c.1) O diagrama de momentos fletores da estrutura isostática se altera? Por que? 
 (c.2) O diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática se altera? Por que? 
 
3ª Questão (1,0 ponto) 
Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
 
 
1ª Questão 
X1 X1 
X2 
Sistema Principal e Hiperestáticos 
(g=2) 
 
M0
Caso (0) – Solicitação externa isolada 
 no SP 
 
X1=1
X1=1 
1/6 
1/6
1/6
1/6 
1/4 
1/4 
1/4 
1/4 
M1 
. X1
Caso (1) – X1 isolado no SP 
 
X2=1 
1/4 
M2 
1/4
. X2
Caso (2) – X2 isolado no SP 
 
 
Equações de Compatibilidade 



−=
+=
⇒






=












+






kNmX
kNmX
X
X
82.45
10.8
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
δδ
δδ
δ
δ
 
EIEI
546361
3
1691
3
11
10 −=



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=δ 
EIEI
3366721
2
14361
6
14721
3
11
20 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ
EIEI 3
20611
3
12411
3
12111 +=



⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=δ 
01221 == δδ 
EIEI 3
22611411
3
11
22 +=



⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ 
Diagrama de Momentos Fletores 
M = M0 + M1·X1 + M2·X2 
M 
(kNm) 
 
2ª Questão 
Item (a) 
M 
(kNm) 
ρ = 0.006m
 
Como a estrutura é isostática, o “pequeno” 
recalque de apoio não provoca deformações 
(só movimento de corpo rígido). Portanto, o 
recalque não provoca momentos fletores, que 
só são devidos à carga de 50 kN aplicada. 
Item (b) 
Caso (0) – Solicitação eterna isolada no SP 
 Idêntico ao item (a). 
X1=1
1/3
M1
. X1 
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1/3 
 
Item (b.1): Equação de compatibilidade 
011110 =⋅+ Xδδ 10δ é a rotação da seção do apoio da esquerda no caso (0) 
 
Item (b.2) – Cálculo de 10δ pelo Princípio das Forças Virtuais (PFV) 
Sistema Real 
(Estrutura da qual se quer calcular o desloca-
mento.) 
É o caso (0), que é idêntico ao item (a). 
Sistema Virtual 
(Estrutura com força unitária virtual na dire-
ção do deslocamento que se quer calcular.) 
É o caso (1) com 11 =X . 
PFV: UWE = 
→EW Trabalho das forças externas do sistema 
virtual com os correspondentes deslocamentos 
externos do sistema real. 
Neste caso, o trabalho externo virtual é igual 
ao produto de 11 =X por 10δ mais o produto 
da reação vertical no apoio direito do caso (1) – 
força de 1/3 para baixo – pelo recalque de a-
poio ρ : 
ρδ ⋅+⋅= )3/1(1 10EW . 
→U Energia de deformação interna virtual. 
Esta é a energia de deformação por flexão 
provocada pelos momentos fletores do sistema 
virtual 1MM = com as correspondentes rota-
ções relativas internas do sistema real 
dxEIMd )/( 0=θ . Deve ser observado que o 
recalque de apoio ρ não provoca deforma-
ções internas (só provoca movimento de corpo 
rígido). Portanto, θd é somente devido à car-
ga de 50 kN aplicada. Assim: 
dx
EI
MMdMdMU
estruturaestruturaestrutura
∫∫∫ ===
01
1 θθ 
 
Assim: 
ρδ ⋅−⋅= ∫ )3/1()/1(
.
0110 dxMMEI
estrut
 
006.0
3
121001
2
131001
2
11
10 ⋅





−



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅=
EI
δ
radx 310 105.4
−
−=δ 
kNmradx
EI
/103211311
3
11 5
11
−+=



⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ 
kNmXX 1500 111110 =⇒=⋅+δδ 
Diagrama de Momentos Fletores 
M = M0 + M1·X1 
M 
(kNm) 
 
 
Item (c.1) – Na estrutura isostática, o diagrama de momentos fletores só depende dos valores da 
carga e reações, e da geometria da estrutura. Com a consideração da hipótese de pequenos des-
locamentos, as equações de equilíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada (origi-
nal) da estrutura. Portanto, o diagrama de momentos fletores não se altera com a modificação 
do momento de inércia da seção transversal das colunas. 
Item (c.2) – Na estrutura hiperestática, por ter vínculos excedentes, os esforços internos depen-
dem da rigidez relativa entre as barras. Com as colunas mais rígidas do que a viga, as rotações 
das extremidades da vigas são menores do que no caso com todas as barras com rigidez iguais, 
se aproximando do caso de uma viga com extremidades engastadas. Portanto, o diagrama de 
momentos fletores fica alterado com a modificação do momento de inércia da seção transversal 
das colunas. 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2001 
Primeira Prova – Data: 19/09/2001 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama 
de momentos fletores do quadro hiperestático 
ao lado. Somente considere deformações por 
flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à 
flexão EI = 1,0 x 105 kNm2. 
 
 
 
 
2ª Questão (3,5 pontos) 
Considere os quatro pórticos mostrados abaixo. Os pórticos do lado esquerdo são isostáticos e os do 
lado direito são hiperestáticos. Os pórticos superiores têm como solicitação uma carga uniformemen-
te distribuída aplicada na viga. As duas estruturas inferiores têm como solicitação um aumento uni-
forme de temperatura (∆T = 12 °C) na viga. Todas as barras têm um material com módulo de elasti-
cidade E = 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 /°C. Todas a barras têm seções 
transversais com momento de inércia I = 1,0 x 10–3 m4. 
 
 
Pede-se: 
(a) Indique os aspectos das configurações deformadas (amplificadas) das quatro estruturas. 
(b) Determine os diagramas de momentos fletores das estruturas isostáticas e os aspectos (não pre-
cisa dos valores numéricos) dos diagramas de momentos fletores das estruturas hiperestáticas. 
(c) Determine o diagrama de momentos fletores (com valores numéricos) da estrutura hiperestática 
inferior (solicitada pela variação de temperatura). Deve-se utilizar o Método das Forças, ado-
tando obrigatoriamente como Sistema Principal a estrutura isostática da esquerda. Somente 
considere deformações por flexão. Sabe-se que o alongamento relativo interno de um elemento 
infenitesimal de barra devido a uma variação uniforme de temperatura é du = α ∆T dx. Neste 
caso não existe rotação relativa interna do elemento infinitesimal. 
(d) Considere que as colunas dos quadros acima tiveram aseção transversal modificada para uma 
com momento de inércia I = 2,0 x 10-3 m4 (a viga não se altera). Responda: 
 (d.1) Os diagramas de momentos fletores das estruturas isostáticas se alteram? Por que? 
 (d.2) Os diagramas de momentos fletores das estruturas hiperestáticas se alteram? Por que? 
 
3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
 
 
1ª Questão 
 Sistema Principal e Hiperestáticos 
(g = 2) 
X1 
X1 X2 X2 
 Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
M0
 
X1 = 1 
X1 = 1 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP
M1 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
. X1
 
X2 = 1
Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP 
M2
1/6 
. X2
1/6 
1/6 1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
X2 = 1 
 
Equações de Compatibilidade 



+=
−=
⇒






=












+






kNmX
kNmX
X
X
7.170
3.61
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
δδ
δδ
δ
δ
 
EIEI
129662881
3
162881
2
16721
3
11
10 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅=δ
EIEI
1440
31445.0
3
131445.0
3
1
34325.0
3
134325.0
3
1
62881
3
162881
3
16721
3
1
1
20 −=


















⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅=δ
EIEI
10611
3
1611611
3
11
11 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ 
EIEI
4611
3
1611
2
1611
6
11
2112 −=



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅== δδ 
EIEI
735.05.0
3
14611
3
13122 +=



⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=δ 
Momentos Fletores Finais 
M
M = M0 + M1·X1 + M2·X2 
[kNm] 
 
 
 
 
2ª Questão 
Item (a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Item (b) 
M 
[kNm] 
 
 
M
[kNm]
 
M=0 
 
 
M
[kNm]
(veja solução abaixo) 
 
 
Item (c) 
Caso (0) – Variação de temperatura no SP
δ10M0=0
 
 
mLT 5510 107261210
−−
⋅+=⋅⋅=⋅∆⋅=αδ 
 
Equação de compatibilidade 
kNXX 10 111110 −=⇒=⋅+δδ 
 
Momentos fletores finais (veja acima) 
11110 )1(0 MMXMMM −=−⋅+=⋅+= 
 
X1 = 1 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
M1
. X1
X1 = 1 
δ11 
( )




⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅== ∫ 6333333
121
2
1
11 EI
dx
EI
Mδ 
kNm/1072 511
−
⋅+=δ 
 
 
 
 
Item (d.1) – Na estrutura isostática, o diagrama de momentos fletores só depende dos valores da 
carga e reações, e da geometria da estrutura. Com a consideração da hipótese de pequenos des-
locamentos, as equações de equilíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada (origi-
nal) da estrutura. 
Portanto, o diagrama de momentos fletores não se altera com a modificação do momento de 
inércia da seção transversal das colunas. 
No caso da carga uniformente distribuída, a estrutura isostática terá sempre o diagrama de 
momentos fletores indicado no item (a) (diagrama parabólico no viga). No caso da variação de 
temperatura, a estrutura isostática terá sempre momentos fletores nulos. 
 
Item (d.2) – Na estrutura hiperestática, por ter vínculos excedentes, os esforços internos depen-
dem da rigidez relativa entre as barras. Com as colunas mais rígidas do que a viga, as rotações 
das extremidades da vigas são menores do que no caso com todas as barras com rigidez iguais, 
se aproximando do caso de uma viga com extremidades engastadas. 
Portanto, o diagrama de momentos fletores fica alterado com a modificação do momento de 
inércia da seção transversal das colunas. 
No caso da carga uniformente distribuída, a estrutura isostática terá como o mesmo aspecto do 
diagrama de momentos fletores indicado no item (a), mas os valores ficam alterados em relação 
ao diagrama com viga e colunas com mesma seção transversal. 
A solução da estrutura hiperestática pelo Método das Forças, para a solicitação de variação uni-
forme de temperatura na viga, demonstra que a os valores dos momentos fletores finais depen-
dem dos valores relativos entre momentos de inércia das seções transversais barras: 
O caso (0) mostrado no item (c) permanece inalterado, 
isto é: 
mLT 5510 107261210
−−
⋅+=⋅⋅=⋅∆⋅=αδ . 
O diagrama de momentos fletores M1 do item (c) é o 
mesmo, mas o valor do coeficiente de flexibilidade fica 
alterado: 
[ ] 



⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= 333
3
121633111
colunaviga EIEI
δ 
kNm/10631091054 55511
−−−
⋅=⋅+⋅=δ 
Equação de compatibilidade 
kNXX 7
80 111110 −=⇒=⋅+δδ 
Momentos fletores finais ( )781110 −⋅=⋅+= MXMMM 
 
 
 
 
 
 
 
 
M 
[kNm] 
8/78/7 
24/7
24/7 24/7 
24/7
 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2002 
Primeira Prova – Data: 27/03/2002 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
 
1ª Questão (6,0 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama 
de momentos fletores do quadro hiperestático ao 
lado. Somente considere deformações por fle-
xão. Todas as barras têm a mesma inércia à fle-
xão EI = 4,0 x 104 kNm2. 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (3,0 pontos) 
Para a viga contínua com dois vãos mostrada abaixo pede-se o diagrama de momentos fletores utili-
zando o Método das Forças. As seguintes solicitações atuam na estrutura concomitantemente: 
· Uma carga concentrada de 40 kN no centro de cada vão. 
· Aquecimento das fibras superiores da viga de ∆Ts = 50 °C ao longo de toda a sua extensão (as 
fibras inferiores não sofrem variação de temperatura, isto é, ∆Ti = 0 °C). 
· Recalque vertical (para baixo) de 3 cm do apoio direito. 
 
 
Sabe-se: 
(a) A viga tem um material com módulo de elasticidade E = 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação 
térmica α = 10–5 /°C. 
(b) A viga tem seção transversal com área A = 1,0 x 10–2 m2 e momento de inércia I = 1,0 x 10–3 m4. 
A altura da seção transversal é h = 0,60 m e o seu centro de gravidade fica posicionado na meta-
de da altura. 
(c) O deslocamento axial relativo interno provocado pela variação de temperatura em um elemento 
infinitesimal de barra é 
duT = α ∆TCG dx, 
sendo ∆TCG a variação de temperatura na fibra do centro de gravidade da seção transversal. 
(d) O rotação relativa interna provocada pela variação de temperatura em um elemento infinitesimal 
de barra é 
( )dx
h
TTd siT ∆−∆= αθ . 
 
 
 
3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
1ª Questão 
X1 
X1 
X2 
Sistema Principal e Hiperestáticos 
 (g=2) 
X2 
Momentos Fletores Finais 
M
M = M0 + M1·X1 + M2·X2 
[kNm]
 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
 
M0 
 
 
X1=1 
M1 
. X1
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1/3 
1/3 
1/3 
1/3 
1/3 1/3 
X1=1
X2=1 
M2 
. X2
Caso (2) – X2 isolado no SP 
1/3
X2=1 
1/3 1/3 1/3
1/3 1/3
1/3
1/3 
1/3 
1/3
 
 
Equações de Compatibilidade 



−=
−=
⇒






=












+






kNmX
kNmX
X
X
1.52
5.20
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
δδ
δδ
δ
δ
 
EIEI
3783361
2
13361
2
131801
2
11
10 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ 
EIEI
405
391
3
13361
3
1
3361
3
13361
2
131801
2
1
1
20 +=












⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
⋅=δ 
 
 
 
EIEI
7311
3
1311311111 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=δ 
EIEI 2
9311
2
131112112 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅== δδ 
EIEI
6311
3
13311122 +=



⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ 
2ª Questão 
X1 
Sistema Principal e Hiperestático
 (g=1) X1
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
M0 
[kNm] 
Como o Sistema Principal é isostático, a variação de tempe-
ratura e o recalque de apoio só provocam deslocamentos 
(não provocam esforços internos). Portanto,os momentos 
fletores só são devidos às cargas de 40 kN aplicadas. 
 
X1=1 
M1
. X1
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1/3 
X1=1 
1/6 1/6
Equação de compatibilidade 
011110 =⋅+ Xδδ 
10δ é a rotação relativa entre as seções adja-
centes à rótula introduzida na criação do Sis-
tema Principal no caso (0). 
11δ é a rotação relativa entre as seções adja-
centes à rótula introduzida na criação do Sis-
tema Principal devido a 11 =X no caso (1). 
 
Cálculo de 10δ pelo Princípio das Forças Virtuais (PFV) 
Sistema Real 
(Estrutura da qual se quer calcular a rotação relativa.) 
É o caso (0). 
Sistema Virtual 
(Estrutura com momentos unitários virtuais na direção 
da rotação relativa que se quer calcular.) 
É o caso (1) com 11 =X . 
PFV: UWE = 
→EW Trabalho das forças externas do sistema virtual 
com os correspondentes deslocamentos externos do sis-
tema real. 
Neste caso, o trabalho externo virtual é igual ao produto 
de 11 =X por 10δ mais o produto da reação vertical no 
apoio direito do caso (1) – força de 1/6 para baixo – pelo 
recalque de apoio: 
)03.0()6/1(1 10 −⋅−+⋅= δEW . 
 
⇒=UWE 
∫∫ ⋅−
∆−∆⋅
+= 03.0
6
1)(
1
01
10 dxMh
TTdx
EI
MM siαδ 
EI
EI
18003.0
6
10.16
2
12
60.0
)50(
3600.1
6
13605.0
3
13605.0
3
12110
−=⋅−











⋅⋅−⋅⋅
−⋅
+












⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅=
α
δ
 
EIEI
460.10.1
3
12111 +=











⋅⋅⋅⋅⋅=δ 
kNmXX 450 111110 =⇒=⋅+δδ 
 
 Momentos Fletores Finais 
M M = M0 + M1·X1 
[kNm] 
 
→U Energia de deformação interna virtual. 
(Despreza-se a energia de deformação por cisalhamen-
to e, como o esforço normal no caso (1) é nulo, a ener-
gia de deformação axial é nula.) 
Portanto, a energia de deformação é somente devida à 
flexão, isto é, é a energia (virtual) provocada pelos 
momentos fletores do sistema virtual 1MM = com as 
correspondentes rotações relativas internas do sistema 
real θd . 
A rotação relativa interna real no caso (0) é devida às 
cargas de 40 kN aplicadas e devida à variação de tem-
peratura: 
TP ddd θθθ += 
Onde, dxEIMd P )/( 0=θ e dxhTTd siT ]/)([ ∆−∆⋅= αθ 
Deve ser observado que o recalque de apoio não pro-
voca rotação relativa interna (só provoca movimento 
de corpo rígido). 
Assim: 
∫∫∫∫ +===
estrutura
T
estrutura
P
estruturaestrutura
dMdMdMdMU θθθθ 111 
∫∫
∆−∆⋅⋅
+
⋅
= dx
h
TTMdx
EI
MMU si )(101 α 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2002 
Primeira Prova – Data: 04/09/2002 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
1ª Questão (6,0 pontos) 
Considere a estrutura hiperestática abaixo, onde também está indicado o seu diagrama de momentos 
fletores. Todas as barras têm a mesma inércia a flexão EI e pode-se considerar que não existem de-
formações axiais e de cisalhamento nas barras. 
 
 
M [kNm] 
 
 
Pede-se: 
Item (a) – (0,5 ponto) 
 Determine um possível sistema principal (Método das Forças) para o quadro acima. As incógni-
tas (hiperestáticos) também devem ser indicadas. Mostre a decomposição do sistema principal 
em quadros isostáticos simples (tri-articulados, bi-apoiados ou engastados e em balanço). 
Item (b) – (4,0 pontos) 
 Considerando o sistema principal encontrado no item anterior, indique o casos básicos – caso 
(0), caso (1), caso (2), etc. – utilizados para análise da estrutura pelo Método das Forças. De-
termine os diagramas de momentos fletores para todos os casos básicos. 
Item (c) – (1,0 ponto) 
 Escreva literalmente (somente símbolos, sem números) o sistema de equações finais da solução 
desta estrutura pelo Método das Forças. Escolha uma destas equações e indique as expressões 
numéricas envolvidas nos cálculos de cada um dos coeficientes da equação escolhida. Não é 
preciso completar as contas para calcular os coeficientes. Indique que tipo de condição que esta 
equação está impondo. Indique as interpretações físicas e unidades de todos os coeficientes que 
aparecem na equação escolhida. 
Item (d) – (0,5 ponto) 
 Com base no diagrama de momentos fletores fornecido para a estrutura hiperestática e no siste-
ma principal escolhido, determine os valores das incógnitas (hiperestáticos) que resultariam da 
solução da estrutura pelo Método das Forças. Demonstre que a superposição dos casos básicos, 
considerando os valores dos hiperestáticos encontrados, resulta no diagrama de momentos fleto-
res fornecido. 
 
 
2ª Questão (3,0 pontos) 
Considere os dois pórticos mostrados abaixo. As duas estruturas têm como solicitação o carregamen-
to uniformemente distribuído indicado e um aumento de temperatura ∆Ti = 16 °C nas fibras inferiores 
da viga. As fibras superiores da viga não sofrem variação de temperatura (∆Ts = 0 °C). Todas as bar-
ras têm um material com módulo de elasticidade E = 1,0 x 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmi-
ca α = 10–5 /°C. Todas a barras têm seções transversais com momento de inércia I = 1,0 x 10–3 m4, 
altura h = 0.60 m e centro de gravidade no meio de altura. Somente considere os efeitos axiais para a 
variação de temperatura. 
 
 
 
Sabe-se com respeito ao elemento infinitesimal de viga: 
dx 
dxTi∆α
dxTs∆α 
Tdu 
Tdθ 
h 
x 
y 
 
Deslocamento axial relativo interno provocado pela 
variação de temperatura: 
dxTdu CG
T ∆=α 
⇒∆ CGT variação de temperatura na fibra do centro 
de gravidade obtida por interpolação linear de iT∆ e 
sT∆ . 
 
Rotação relativa interna provocada pela variação de 
temperatura: 
dx
h
TT
d siT
)( ∆−∆
=
αθ 
 
 
Pede-se: 
Item (a) – (0,5 ponto) 
 Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura isostática. 
Item (b) – (1,5 pontos) 
 Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática. 
Item (c) – (1,0 ponto) 
 Considere que as colunas dos quadros acima tiveram a seção transversal modificada para uma 
com momento de inércia I = 2,0 x 10-3 m4 (a viga não se altera). Responda: 
 (c.1) Os diagramas de momentos fletores das estruturas isostáticas se alteram? Por que? 
 (c.2) Os diagramas de momentos fletores das estruturas hiperestáticas se alteram? Por que? 
 
 
 
3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
 
1ª Questão – Item (a) 
 
X1 
X1
X2 
Sistema Principal e Hiperestáticos 
 (g=3) 
X2
X3 
 
X1 
X1 
X2 
X2 
X3
 
 
 
1ª Questão – Item (b) 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
M0 
 
X1=1 
M1 
. X1
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1/3
X1=1 
1/3 
1/3 
1/3
1/6
1/6
1/6 
1/6 
1/6 1/6
 
X2=1 
M2
. X2
Caso (2) – X2 isolado no SP 
X2=1 
1/3 
1/3 
1/3 1/3 
1/3
1/3 
 
X3=1
M3 
. X3
Caso (3) – X3 isolado no SP 
1/3 1/3
 
 
1ª Questão – Item (c) 
 
Equações de Compatibilidade 










=




















+










0
0
0
3
2
1
333231
232221
131211
30
20
10
X
X
X
δδδ
δδδ
δδδ
δ
δ
δ
 
 
Considere a primeira equação deste sistema: 
Esta equação impõe uma condição de compatibilidade interna: a rotação relativa entre as 
seções adjacentes à rótula associada a X1 é nula, isto é, no ponto onde foi introduzida a 
rótula a rotação da elástica é contínua. 
 
Termo de carga δ10 [rad] → rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a 
X1 devida à solicitação externa no caso (0): 




⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅= 3725.0
3
131325.0
3
13725.0
3
131925.0
3
13601
3
16361
3
11
10 EI
δ 
 
Coeficiente de flexibilidade δ11 [rad/kNm] →rotação relativa entre as seções adjacentes à 
rótula associada a X1 devida a X1 = 1: 












⋅⋅⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅= 35.05.0
3
14311
3
12611
3
11
11 EI
δ 
 
Coeficiente de flexibilidade δ12 [rad/kNm] → rotação relativa entre as seções adjacentes à 
rótula associada a X1 devida a X2 = 1: 




⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅= 315.0
3
1315.0
3
1315.0
2
1311
6
1311
3
11
12 EI
δ 
 
Coeficiente de flexibilidade δ13 [rad/kNm] → rotação relativa entre as seções adjacentes à 
rótula associada a X1 devida a X3 = 1: 




⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅= 315.0
2
1315.0
3
11
13 EI
δ 
 
 
 
1ª Questão – Item (d) 
 
Os valores dos hiperestáticos podem ser ob-
tidos do diagrama de momentos fletores fi-
nais da estrutura que foi fornecido: 
 
M [kNm] 
X1 = +35.1 kNm 
X2 = +28.2 kNm
X3 = +89.1 kNm 
Demonstração de que a superposição dos casos 
básicos resulta nos momentos finais: 
 
M0 + M1·X1 + M2·X2 + M3·X3 = M 
 
Considere o momento fletor assinalado no dia-
grama. Observa-se que este valor pode ser ob-
tido pela superposição dos momentos fletores 
dos casos básicos nesta seção: 
 
+132 + 0.5·35.1 + (-1.0)·28.2 + (-1.0)·89.1 = +32.3 
 
O mesmo pode ser verificado para outras se-
ções. 
 
 
 
2ª Questão – Item (a) 
 
M [kNm] 
 
 
 
2ª Questão – Item (b) 
 
X1 
Sistema Principal e 
Hiperestático (g=1) 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
M0 
δ10 
 
 
X1=1 
M1
. X1
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1 X1=11 
δ11 
N1= +1 
N1= 0 
N1= 0 
 
Equação de compatibilidade 
011110 =⋅+ Xδδ 
 
Sendo Tq 101010 δδδ += : 
→q10δ deslocamento horizontal da seção do 
apoio da direita devido à carga distribuída 
no caso (0). 
→T10δ deslocamento horizontal da seção do 
apoio da direita devido à variação de tem-
peratura no caso (0). 
m
EI
dx
EI
MMq 501
10 1086467233
21
−
⋅+=



⋅⋅⋅== ∫δ
 
∫∫ +=
viga
T
viga
TT duNdM 1110 θδ 
( ) dxdx
h
TTd siT
3
80⋅
=
∆−∆⋅
=
ααθ 
dxdxTdu GC
T
⋅⋅=⋅∆⋅= 8αα 
 
∫∫ ⋅+
⋅
=
vigaviga
T dxNdxM 1110 83
80
α
αδ 
mT 510 10528168363
80
−
⋅+=⋅⋅⋅+⋅⋅
⋅
= α
αδ 
 
 
 
( )




⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅== ∫ 6333333
121
2
1
11 EI
dx
EI
Mδ 
kNm/1072 511
−
⋅+=δ 
 
 
 
( )
kNX
X
X
3
58
0107210528864
0
1
1
55
11110
−=⇒
=⋅⋅+⋅+
→=⋅+
−−
δδ
 
 
Momentos fletores finais 
110 XMMM ⋅+= 
M [kNm] 
 
 
 
 
2ª Questão – Item (c) 
 
Item (c.1) – Na estrutura isostática, o diagrama de momentos fletores só depende dos valores da 
carga e reações, e da geometria da estrutura. Com a consideração da hipótese de pequenos des-
locamentos, as equações de equilíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada (origi-
nal) da estrutura. 
Portanto, o diagrama de momentos fletores não se altera com a modificação do momento de 
inércia da seção transversal das colunas. 
No caso da carga uniformente distribuída, a estrutura isostática terá sempre o diagrama de 
momentos fletores indicado no item (a) (diagrama parabólico na viga). Momentos fletores de-
vidos à variação de temperatura isolada na estrutura isostática são sempre nulos. 
 
Item (c.2) – Na estrutura hiperestática, por ter vínculos excedentes, os esforços internos depen-
dem da rigidez relativa entre as barras. Com as colunas mais rígidas do que a viga, as rotações 
das extremidades da viga são menores do que no caso com todas as barras com mesma rigidez 
à flexão EI, se aproximando do caso de uma viga com extremidades engastadas. 
Portanto, o diagrama de momentos fletores fica alterado com a modificação do momento de 
inércia da seção transversal das colunas. 
A solução da estrutura hiperestática pelo Método das Forças mostrada no item (b) demonstra 
que os valores dos momentos fletores finais dependem dos valores relativos entre momentos de 
inércia das seções transversais das barras. 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2003 
Primeira Prova – Data: 09/04/2003 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Somente considere deformações por flexão. Todas 
as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 2,4 x 104 
kNm2. 
 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (2,5 pontos) – Provão de Engenharia Civil, 2002 
Em uma construção a meia encosta, a laje de piso foi apoiada em estruturas metálicas compostas de perfis I, 
colocados de modo a oferecer a maior resistência ao momento fletor atuante. Ao inspecionar a obra para rece-
bimento, você verificou a existência de um recalque vertical de 1 cm no engaste A de uma das estruturas metáli-
cas, cujo modelo estrutural é apresentado na figura abaixo (na esquerda). A fim de avaliar os esforços adicio-
nais nessa estrutura, ocasionados pelo recalque, você utilizou o Método das Forças e, para tanto, escolheu o Sis-
tema Principal (no qual foi colocada uma rótula no nó B) e o hiperestático X1 (carga momento em ambos os la-
dos da rótula inserida em B), mostrados na figura (no centro). A seção transversal do perfil e a orientação dos 
eixos x e y estão representadas na figura (na direita). 
 
 
A 
B C
laje 
encosta 
 
 
X1
X1
 
 
 
x 
y Módulo de elasticidade 
do material: 
 E = 2,0 x 108 kN/m2 
Momentos de inércia da 
seção transversal: 
 Jx = 5,1 x 10-5 m4 
 Jy = 8,4 x 10-6 m4 
 
Com base no exposto, pede-se o diagrama de momentos fletores, causado apenas pelo recalque em A. 
Despreze deformações axiais das barras. 
 
 
3ª Questão (1,0 ponto) 
Considerando que o material da estrutura abaixo tem um comportamento linear (relações lineares entre tensões 
e deformações), desenhe o aspecto do gráfico que relaciona a carga aplicada P e o deslocamento ∆ do nó inferi-
or para duas situações: 
(a) Deslocamento ∆ pode ser considerado pequeno em relação às dimensões da estrutura. 
(b) Deslocamento ∆ não pode ser considerado pequeno em relação às dimensões da estrutura. 
 
l 
∆ 
l 
h
P ∆
P
 
 
 
4ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
 
1ª Questão 
 
X1 
X1 
X2 
Sistema Principal e Hiperestáticos 
 (g=2) 
X2 
 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
M0 
 
 
M1
. X1
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1/6 
1/6 
1/6 
1/4
1/4 
1/6 
X1=1 
X1=1 
M2
. X2
Caso (2) – X2 isolado no SP 
X2=1 
X2=1 
1/4
1/4
1/4
1/4
1/4
1/4 
 
Equações de Compatibilidade 



+=
−=
⇒






=












+






kNmX
kNmX
X
X
6,60
0,13
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
δδ
δδ
δ
δ
 
EIEI
280
6451
3
141201
3
1
61201
2
16301
2
16301
3
1
1
10 −=












⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
⋅=δ 
EIEI
43041201
3
161201
2
16301
2
11
20 −=



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=δ
EIEI 3
38
411
3
12
611611
3
12
1
11 +=


















⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅
⋅=δ 
EIEI 3
22411
3
161112112 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅== δδ 
EIEI 3
26411
3
12611122 +=











⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ 
 
 Momentos Fletores Finais 
M 
M = M0 + M1·X1 + M2·X2 
[kNm] 
 
 
2ª Questão 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
M0 = 0
01,0=ρ m
ρ
4/10 ρδ =
3
10 105,2
−
⋅+=δ rad 
 
 
M1 . X1 
Caso (1) – X1 isoladono SP 
1/4 
=AV 1/4
1
X1=1
X1=1
 
 
Equação de compatibilidade 
011110 =⋅+ Xδδ 
10δ é a rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula do Sistema Principal provocada 
pelo recalque de apoio no caso (0). 
11δ é a rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula do Sistema Principal provocada 
por 11 =X no caso (1). 
EIEI 3
10411
3
1211111 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ 
O enunciado diz que os perfis metálicos foram colocados de modo a oferecer a maior resis-
tência ao momento fletor atuante. Portanto, o momento de inércia da seção transversal a ser 
adotado é o maior momento de inércia da barra: I = Jx = 5,1 x 10-5 m4. 
 
65,7
101,51023
10105,20 1158
3
11110 −=⇒
⋅⋅⋅⋅
+⋅→=⋅+
−
− XXXδδ kNm. 
 
 
Cálculo de 10δ pelo Princípio das Forças Virtuais (PFV) 
Sistema Real 
(Estrutura da qual se quer calcular a rotação 
relativa.) 
 
É o caso (0). 
Sistema Virtual 
(Estrutura com momentos unitários virtuais 
na direção da rotação relativa que se quer cal-
cular.) 
É o caso (1) com 11 =X . 
 
PFV: UWE = 
→EW Trabalho das forças externas do sistema 
virtual com os correspondentes deslocamentos 
externos do sistema real. 
Neste caso, o trabalho externo virtual é igual 
ao produto de 11 =X por 10δ mais o produto 
da reação vertical no apoio esquerdo do caso 
(1) – força de 1/4 para cima – pelo recalque de 
apoio: 
ρδ ⋅+⋅= AE VW 101 
)01,0()4/1(1 10 −⋅++⋅= δEW 
→U Energia de deformação interna virtual. 
O recalque de apoio não provoca deformações 
internas (só provoca movimentos de corpo 
rígido das barras). Portanto: 
0=U 
 
 
 
⇒=UWE 0)01,0()4/1(10 =−⋅++δ 
3
10 105,24/01,0
−
⋅+==∴δ rad 
 
 Momentos Fletores Finais 
M
M = M0 + M1·X1 
[kNm] M0 = 0 X1 = –7,65 
 
 
 
 
 
3ª Questão 
 
Na configuração indeformada o ângulo entre as barras e o eixo vertical é θ, e na configuração 
deformada o ângulo é α, tal como indicado na figura abaixo: 
 
 
comprimento final: 
θ θ 
α α
h 
P
∆ 
comprimento original:
l l
 
 
Item (a) 
Considerando que o deslocamento ∆ é pequeno em relação às dimensões da estrutura, as equa-
ções de equilíbrio podem ser escritas para a geometria da estrutura na configuração indeforma-
da. Nesse caso, o ângulo α é aproximado por θ. Portanto, como o material tem um comporta-
mento linear, a relação entre a força P e o deslocamento ∆ é linear. 
 
Item (b) 
Considerando que o deslocamento ∆ não é pequeno em relação às dimensões da estrutura, as 
equações de equilíbrio têm que ser escritas nas configuração final (deformada) da estrutura. 
Isso acarreta em um comportamento não-linear para a relação entre P e ∆ . 
 
∆
P 
(a)
(b)
 
 
Observa-se na figura que o coeficiente angular da resposta linear do item (a) é igual à inclinação 
da curva carga-deslocamento não-linear para ∆ = 0. Isso mostra que a resposta linear é uma 
aproximação da resposta não-linear para pequenos deslocamentos. 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2003 
Primeira Prova – Data: 17/09/2003 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Somente considere deformações por flexão. Todas 
as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 1,0 x 104 
kNm2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (2,5 pontos) 
Utilizando o Método das Forças, determine o dia-
grama de esforços normais para a treliça hiperestáti-
ca ao lado submetida ao carregamento indicado e a 
um aumento uniforme de temperatura de 50 °C em 
todas as barras. Todas as barras têm o mesmo valor 
para a inércia axial EA = 1,0 x 105 kN e para o coefi-
ciente de dilatação térmica α = 1,0 x 10-5 /°C. Sabe-
se que o deslocamento axial relativo interno para 
uma variação uniforme de temperatura T é igual a: 
duT = αTdx. 
 
 
 
 
 
 
 
3ª Questão (1,0 ponto) 
Uma estrutura situada em uma encosta sofre um 
recalque em um de seus apoios. O modelo estrutu-
ral é mostrado ao lado, onde é indicado que o apoio 
A tem um recalque vertical de 1 cm para baixo. Cal-
cule o deslocamento horizontal do apoio C utilizan-
do o Princípio das Forças Virtuais (PFV). Todos os 
passos devem ser mostrados e justificados. 
 
 
 
A
B C 
encosta 
 
 
 
 
 
4ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
1ª Questão 
 
 
X1 
X1 
X2 
Sistema Principal e Hiperestáticos 
 (g=2) 
X2 
 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
M0
 
 
M1 
. X1
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1/3 
1/6 
X1=1 
X1=1 1/3 1/3 1/3 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 1/6 
 
. X2 
Caso (2) – X2 isolado no SP 
M2
1/3 
X2=1 
X2=1
1/3 1/3 
1/3 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
 
 
Equações de Compatibilidade 



−=
+=
⇒






=












+






kNm5,21
kNm8,6
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
X
X
X
X
δδ
δδ
δ
δ
 
EIEI
147
361
3
1361
2
1
6601
3
13181
3
13601
3
1
1
10 −=












⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
⋅=δ 
EIEI
156361
3
16601
3
13181
3
13601
3
11
20 +=



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=δ
EIEI
9
311311
3
12
611
3
12
1
11 +=












⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅
+





⋅⋅⋅⋅
⋅=δ 
EIEI
4611
3
1311
3
1212112 −=





⋅⋅⋅−





⋅⋅⋅−⋅⋅== δδ
EIEI
6311
3
12611
3
12122 +=











⋅⋅⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅⋅=δ 
 
 Momentos Fletores Finais 
M = M0 + M1·X1 + M2·X2 
M 
[kNm] 
 
 
2ª Questão 
 
X1
Sistema Principal e Hiperestáticos 
 (g=1) 
 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada
N0
(N0 só é devido à carga de 
50 kN pois a variação de 
temperatura não provoca 
esforços no SP isostático ) 
+25
225-
+25
225-0 
no SP
 
N1
. X1
Caso (1) – X1 isolado no SP 
X1=1
1 
+1 +1 
0 0 
0 
 
Equação de Compatibilidade 
011110 =+ Xδδ 
Termo de carga: TP 101010 δδδ += 
→P10δ deslocamento horizontal no 
apoio da direita devido à carga P = 
50 kN no caso (0). 
→P10δ deslocamento horizontal no 
apoio da direita devido à variação 
uniforme de temperatura T = 50 °C 
no caso (0). 
( )[ ]
EAEA
dx
EA
NN
estrutura
P 2004251210110 +=⋅⋅⋅⋅== ∫δ 
( )[ ] ααααδ 4004125050 11110 +=⋅⋅⋅=⋅=== ∫∫ ∫ dxNTdxNduN
estrutura
TT 
( )[ ]
EAEA
dx
EA
N
estrutura
841121
2
1
11 +=⋅⋅⋅⋅== ∫δ 
kN75
010810)400200(
/101kN101
1
1
55
55
−=∴
=⋅+⋅+⇒
⋅=⋅=
−−
−
X
X
CEA �α
 
 Esforços Normais Finais 
N = N0 + N1·X1 
N 
[kN] 
–50 
225- 
–50 
225- 
0 
 
 
 
3ª Questão Cálculo do deslocamento horizontal HC∆ do apoio C pelo Princípio das Forças Virtuais (PFV) 
Sistema Real 
(Estrutura da qual se quer calcular o desloca-
mento.) 
ρ 
H
C∆ 
 
Sistema Virtual 
(Estrutura com carga virtual na direção do 
deslocamento que se quer calcular.) 
1/2 
=AV 1/2 
1 
=P 1 
 
PFV: UWE = 
→EW Trabalho das forças externas do sistema 
virtual com os correspondentes deslocamentos 
externos do sistema real. 
Neste caso, o trabalho externo virtual é igual 
ao produto de 1=P por HC∆ mais o produto 
da reação vertical no apoio esquerdo – reação 
2/1=AV para baixo – pelo recalque de apoio:
ρ∆ ⋅+⋅= AHCE VW 1 
)01,0()2/1(1 −⋅−+⋅= HCEW ∆ 
→U Energia de deformação interna virtual. 
O recalque de apoio não provoca deformações 
internas (só provoca movimentos de corporígido da estrutura). Portanto: 
0=U 
 
 
 
⇒=UWE 0)01,0()2/1( =−⋅−+
H
C∆ 
)(m1052/01,0 3 ←⋅−==∴ −HC∆ 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2004 
Primeira Prova – Data: 31/03/2004 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Somente considere deformações por flexão. Todas as 
barras têm a mesma inércia à flexão EI = 105 kNm2. 
 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (3,5 pontos) 
Considere os pórticos planos mostrados abaixo sobre os quais atuam concomitantemente as seguintes solicitações: 
● Uma carga concentrada vertical de 48 kN no centro viga (barra horizontal). 
● Resfriamento das fibras superiores da viga de ∆Ts = –24 °C ao longo de toda a sua extensão (as fibras inferio-
res não sofrem variação de temperatura, isto é, ∆Ti = 0 °C). 
● Recalque horizontal (para a direita) de 1,8 mm (1,8 x 10–3 m) do apoio esquerdo. 
 
Sabe-se: 
(1) O material tem módulo de elasticidade E = 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 /°C. 
(2) As barras da estrutura têm seção transversal com área A = 10–1 m2 e momento de inércia I = 10–3 m4. A altura 
da seção transversal é h = 0,60 m e o seu centro de gravidade fica posicionado na metade da altura. 
(3) O deslocamento axial relativo interno provocado pela variação de temperatura em um elemento infinitesimal 
de barra é 
duT = α ∆TCG dx, 
sendo ∆TCG a variação de temperatura na fibra do centro de gravidade da seção transversal. 
(4) O rotação relativa interna provocada pela variação de temperatura em um elemento infinitesimal de barra é 
( ) dx
h
TTd siT ∆∆αθ −= . 
 
Pede-se: 
(a) (0,5 ponto) Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura isostática da esquerda para as três soli-
citações concomitantes. 
(b) (2,5 pontos) Utilizando o Método das Forças, determine o diagrama de momentos fletores da estrutura hipe-
restática da direita para as três solicitações concomitantes. Utilize obrigatoriamente como Sistema Principal 
o pórtico isostático mostrado na figura da esquerda. No cálculo do termo de carga devido à carga aplicada e 
no cálculo do coeficiente de flexibilidade, considere apenas deformações por flexão. 
(c) (0,5 ponto) Considere que a viga (barra horizontal) da estrutura teve a seção transversal modificada para 
uma com momento de inércia I = 2,0 x 10–3 m4 (as outras barras não se alteram). Responda (não precisa fa-
zem nenhum cálculo): 
 (c.1) O diagrama de momentos fletores da estrutura isostática se altera? Por que? 
 (c.2) O diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática se altera? Por que? 
 
 
3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
1ª Questão 
 Sistema Principal (SP) e 
Hiperestáticos 
Equações de compatibilidade: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
XX
XX
δδδ
δδδ
 



−=
−=
⇒






=












+






⇒
kNm1,20
kNm9,36
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
X
X
X
X
δδ
δδ
δ
δ
 
EIEI
51061201
3
16301
2
161201
2
11
10 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅=δ 
EIEI
10611
3
12611111 +=











⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=δ 
EIEI
540
6451
3
16301
3
1
61201
3
16301
2
161201
2
1
1
20 +=












⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+
⋅=δ 
EIEI
14611
3
14611122 +=











⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=δ
 
EIEI
7611
6
1611
3
161112112 +=



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅== δδ 
Momentos Fletores Finais: 
22110 XMXMMM ⋅+⋅+= 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP 
x X2x X1M1 M2 
[kNm]
M
EI = 105 kNm2 
X1
X1
X2
X2
[kNm]M0 
1/6 
1/6 
1/6 1/6 
1/6 
1/6 X1 = 1 
X1 = 1 
1/6 
1/6 1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
X2 = 1
X2 = 1
 
 
2ª Questão – Item (a) 
 
M [kNm]
Como a estrutura é isostática, o 
diagrama de momentos fletores só 
é devido à carga concentrada de 48 
kN. Variação de temperatura e 
recalques de apoio não provocam 
esforços em estruturas isostáticas. 
EI = 105 kNm2 
α = 10–5 /°C 
 
 
 
2ª Questão – Item (b) 
 
X1 
Sistema Principal e 
Hiperestático (g=1) 
 
 
M0 [kNm] 
Igual ao diagrama do item (a):
O diagrama de momentos fletores 
só depende da carga aplicada. 
O termo de carga δ10 tem influência 
da carga concentrada, da variação 
de temperatura e do recalque de 
apoio. 
ρ = 1,8 x 10–3 m
δ10 ρ 
Caso (0) – Solicitações externas isoladas no SP
 
 
X1=1 
M1
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1 X1 = 1
δ11 
N1 = +1 
N1 = 0 
N1 = 0 
x X1 
HA = 1 
 
 
 
Equação de compatibilidade 
011110 =⋅+ Xδδ 
 
Sendo ρδδδδ 10101010 ++= TP : 
→P10δ deslocamento horizontal da seção do 
apoio da direita devido à carga concentrada 
no caso (0). 
→T10δ deslocamento horizontal da seção do 
apoio da direita devido à variação de 
temperatura no caso (0). 
→ρδ10 deslocamento horizontal da seção do 
apoio da direita devido ao recalque de apoio 
no caso (0). 
m106483723
2
121 50110
−
⋅+=











⋅⋅⋅⋅== ∫ EIdxEI
MMPδ
(considerando apenas deformação por flexão) 
 
∫∫ += viga
T
viga
TT duNdM 1110 θδ 
( ) ( ) dxdxdx
h
TTd siT ⋅⋅=⋅=−⋅= 40
60,0
24
α
α∆∆αθ 
( ) dxdxTdu GCT ⋅−⋅=⋅⋅= 12α∆α 
∫∫ ⋅⋅−⋅⋅= vigaviga
T dxNdxM 1110 1240 ααδ 
m1064816123640 510
−
⋅+=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅= ααδ T 
 
01 10 =⋅−⋅ ρδ ρ AH 
m10180108,1 5310
−−
⋅+=⋅+=ρδ 
 
 
 
( )




⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅== ∫ 6333333
121
2
1
11 EI
dx
EI
Mδ 
(considerando apenas deformação por flexão) 
 
m/kN1072 511
−
⋅+=δ 
 
 
( )
kN5,20
0107210180648648
0
1
1
55
11110
−=⇒
=⋅⋅+⋅++
→=⋅+
−−
X
X
Xδδ
 
 
 
Momentos fletores finais 
110 XMMM ⋅+= 
M [kNm]
 
 
 
2ª Questão – Item (c) 
 
Item (c.1) – Na estrutura isostática, o diagrama de momentos fletores só depende dos valores da carga e 
reações, e da geometria da estrutura. Com a consideração da hipótese de pequenos deslocamentos, as 
equações de equilíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada (original) da estrutura. 
No caso da carga concentrada aplicada, a estrutura isostática terá sempre o diagrama de momentos fletores 
indicado no item (a) (diagrama triangular na viga). Momentos fletores devidos à variação de temperatura e 
ao recalque de apoio na estrutura isostática são sempre nulos. 
Portanto, o diagrama de momentos fletores não se altera com a modificação do momento de inércia da seção 
transversal da viga. 
 
Item (c.2) – Na estrutura hiperestática, por ter vínculos excedentes, os esforços internos dependem da rigidez 
relativa entre as barras. A solução da estrutura hiperestática pelo Método das Forças mostrada no item (b) 
demonstra que os valores dos momentos fletores finais dependem dos valores relativos entre momentos de 
inércia das seções transversais das barras. Por exemplo, o valor do coeficiente de flexibilidade 
m/kN1072 511
−
⋅+=δ corresponde ao caso de todas barras com mesma seção transversal. Esse valor seria 
diferente caso a viga tivesse uma seção transversal com o dobro do momento de inércia, alterando assim a 
resposta da estrutura. 
Portanto, o diagrama de momentos fletores fica alterado com a modificação do momento de inércia da seção 
transversal da viga. 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2004 
Primeira Prova – Data: 13/09/2004 – Duração: 2:45 hs– Sem Consulta 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Somente considere deformações por flexão. Todas as 
barras têm a mesma inércia à flexão EI = 105 kNm2. 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (3,5 pontos) 
O pórtico ao lado sofreu um aquecimento interno de 20 °C (a 
temperatura externa não variou). Pede-se o diagrama de mo-
mentos fletores provocado por esta variação de temperatura. 
Considere que as barras do pórtico podem se deformar axial-
mente, isto é, não despreze a energia de deformação axial. 
 
Sabe-se: 
(1) O material tem módulo de elasticidade E = 108 kN/m2 e 
coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 /°C. 
(2) As barras da estrutura têm a seção transversal retangular 
indicada abaixo, que foi posicionada de modo a oferecer 
a maior resistência ao momento fletor atuante: 
 
h = 0.50 m 
b = 0.20 m hbA ⋅= 12
3hbI ⋅= 
(3) O deslocamento axial relativo interno provocado pela 
variação de temperatura em um elemento infinitesimal 
de barra é 
duT = α ∆TCG dx, 
sendo ∆TCG a variação de temperatura na fibra do centro 
de gravidade da seção transversal. 
(4) O rotação relativa interna provocada pela variação de 
temperatura em um elemento infinitesimal de barra é 
( ) dx
h
TTd eiT ∆∆αθ −= 
sendo ∆Ti = +20 °C a variação de temperatura das fibras 
interiores e ∆Te = 0 °C a variação de temperatura das fi-
bras exteriores. Considere que dθT é positivo quando a-
longa as fibras interiores. 
(5) Considere que os momentos fletores são positivos quan-
do tracionam as fibras interiores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
1ª Questão 
 
Equações de compatibilidade: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
XX
XX
δδδ
δδδ
 



+=
+=
⇒






=












++
++
+






−
−
⇒
kNm2.74
kNm8.78
0
0
2014
1432
3
1
864
11881
2
1
2
1
X
X
X
X
EIEI
 
EIEI
1188
62161
3
141081
3
1
42161
3
141081
2
16541
3
1
1
10 −=












⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅=δ 
EIEI 3
14
611
3
1
411
3
12
1
2112 +=












⋅⋅⋅+






⋅⋅⋅⋅+
⋅== δδ 
EIEI
86462161
3
141081
3
142161
3
11
20 −=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅=δ 
EIEI 3
32411
3
12411611
3
12111 +=











⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅+⋅=δ 
EIEI 3
20411
3
12611
3
12122 +=











⋅⋅⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅+⋅=δ
Momentos Fletores Finais: 
22110 XMXMMM ⋅+⋅+= 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP 
EI = 105 kNm2 
Sistema Principal (SP) e 
Hiperestáticos 
X1
X1
X2 X2
[kNm] M0
M1 1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 X1 = 1 
X1 = 1 
1/4 
1/4 
1/4 
1/4 
x X1
M2
1/6 
1/4 
1/4 
1/4 
1/4 
1/6 
1/6 
1/6 
X2 = 1 X2 = 1 
x X2
[kNm]
M 
 
 
2ª Questão 
 
 
 
X1
Sistema Principal e 
Hiperestático (g=1) 
 
Caso (0) – Variação de temperatura isolada no SP
M0 = 0
δ10 
 
 
 
Caso (1) – X1 isolado no SP 
δ11 
N1 = –1/4 x X1
X1=1 M1
N1 = +1/4 
N1 = 0 
1/4 1/4 
 
Equação de compatibilidade 
011110 =⋅+ Xδδ 
 
∫∫ += estrutura
T
estrutura
T duNdM 1110 θδ 
 
( ) ( ) dx
EA
Ndx
EI
M
∫∫ +=
2
1
2
1
11δ 
(considerando também deformação axial) 
 
( ) ( ) dxdxdx
h
TTd eiT ⋅⋅+=+⋅=−⋅= 40
50.0
20
α
α∆∆αθ 
dxdxTdu GC
T
⋅⋅+=⋅⋅= 10α∆α 
∫∫ ⋅⋅+⋅⋅= estruturaestrutura dxNdxM 1110 1040 ααδ 
rad102003
4
1403
4
1104)1(
2
13)1(40 510
−
⋅−=





⋅





++⋅+⋅





−⋅⋅+



⋅−⋅+⋅−⋅⋅= ααδ 
 
( ) ( ) dxN
EA
dxM
EI ∫∫ +=
2
1
2
111
11δ 






⋅





+⋅





++⋅





−⋅





−⋅+



⋅−⋅−⋅+−⋅−⋅= 3
4
1
4
13
4
1
4
114)1()1(
3
13).1()1(111 EAEI
δ 
 
4
33
m
6
0125.0
12
50.020.0
12
=
⋅
=
⋅
=
hbI 2m10.0=⋅= hbA 28 kN/m10=E 
 
rad/kNm1008375.2 511
−
⋅+=δ 
 
kNm0.9601008375.2102000 11
55
11110 +=⇒=⋅⋅+⋅−→=⋅+
−− XXXδδ 
 
 
 
 
Momentos fletores finais 
110 XMMM ⋅+= 
 
(sendo 00 =M ) 
 
 
M [kNm]
 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2005 
Primeira Prova – Data: 04/04/2005 – Duração: 2:30 hs – Sem Consulta 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Somente considere deformações por flexão. Todas as 
barras têm a mesma inércia à flexão EI = 105 kNm2. 
 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (3,5 pontos) 
A viga do pórtico ao lado sofreu um aquecimento na 
face superior de 12 °C e o engaste da direita sofreu um 
recalque rotacional de 0.001 rad no sentido horário. 
Pede-se o diagrama de momentos fletores provocado 
por estas duas solicitações atuando concomitantemente. 
Considere que as barras do pórtico podem se deformar 
axialmente, isto é, não despreze a energia de deforma-
ção axial. 
 
 
Obrigatoriamente utilize o seguinte Sistema Principal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabe-se: 
(a) O material tem módulo de elasticidade 
E = 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica 
α = 10–5 /°C. 
(b) As barras da estrutura têm a seção transversal 
retangular indicada abaixo, que foi posicionada 
de modo a oferecer a maior resistência ao mo-
mento fletor atuante: 
 
h = 0.60 m 
b = 0.20 m hbA ⋅= 12
3hbI ⋅= 
 
 
(c) O deslocamento axial relativo interno provocado 
pela variação de temperatura em um elemento 
infinitesimal de barra é 
duT = α ∆TCG dx 
sendo ∆TCG a variação de temperatura na fibra 
do centro de gravidade da seção transversal. 
(d) O rotação relativa interna provocada pela varia-
ção de temperatura em um elemento infinitesimal 
de barra é 
( ) dx
h
TTd siT ∆−∆= αθ 
sendo ∆Ti a variação de temperatura das fibras 
inferiores da viga e ∆Ts a variação de temperatu-
ra das fibras superiores. 
 
 
3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: 







−
−
=
−
−
=
⇒






=












+






bcad
afce
X
bcad
debf
X
X
X
dc
ba
f
e
2
1
2
1
0
0
 
 
1ª Questão 
 
Equações de compatibilidade: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
XX
XX
δδδ
δδδ
 



+=
−=
⇒






=












+−
−+
+






−
+
⇒
kNm7.29
kNm8.23
0
0
72/9
2/981
315
3241
2
1
2
1
X
X
X
X
EIEI
 
EIEI
324
31081
2
13901
2
1
3901
2
16541
3
1
1
10 +=












⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
⋅=δ 
EIEI
315
31081
2
13901
2
1
3901
3
16361
3
1
1
20 −=












⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+
⋅=δ 
( )
EIEI
83112611
3
11
11 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅=δ 
EIEI 2
9
311
311
2
1
1
2112−=







⋅⋅−
⋅⋅⋅−
⋅== δδ 
EIEI
7311611
3
1311
3
12122 +=





⋅⋅+⋅⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅+⋅=δ 
Momentos Fletores Finais: 
22110 XMXMMM ⋅+⋅+= 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP 
Sistema Principal (SP) e 
Hiperestáticos 
EI = 105 kNm2 
X1
X1X2
X2 [kNm] M0
M1 
1/6 
X1 = 1 
X1 = 1 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 1/6 
1 
x X1
M2
1/3 
1/6 
X2 = 1
X2 = 1
x X2
1/3 
1/3 
1/3 
1/3 
1/3 
1/6 
1/6 
1/6 
1 
[kNm]
M 
 
 
2ª Questão 
 
 
 
 
X1 
Sistema Principal e 
Hiperestático (g=1) 
 
Caso (0) – Variação de temperatura 
 isolada no SP 
M0 = 0 
δ10 
ρB0 = –0.001 rad
B A
 
 
 
Caso (1) – X1 isolado no SP 
N1 = –1 x X1
X1=1 
M1 N1 = +1 
N1 = 0 
1 
6 
δ11 
MB1 = +6 kNm/kN 
 
Equação de compatibilidade 
011110 =⋅+ Xδδ 
 
T
101010 δδδ ρ += 0110 BBM ρδ ρ ⋅−= 
 
∫∫ += viga
T
viga
TT duNdM 1110 θδ 
 
( ) ( ) dx
EA
Ndx
EI
M
∫∫ +=
2
1
2
1
11δ 
(considerando também deformação axial) 
 
( ) ( )[ ] m10600001.06 50110 −⋅+=−⋅+−=⋅−= BBM ρδ ρ 
 
( ) ( ) dxdxdx
h
TTd siT ⋅⋅−=−⋅=∆−∆⋅= 20
60.0
12
α
ααθ 
dxdxTdu GC
T
⋅⋅+=⋅∆⋅= 6αα 
∫∫ ⋅⋅+⋅⋅−= vigaviga
T dxNdxM 1110 620 ααδ 
[ ] m103606066)6(
2
120 510
−
⋅−=⋅⋅⋅+



⋅+⋅⋅⋅−= ααδ T 
 
m10240 5101010
−
⋅+=+= Tδδδ ρ 
 
( ) ( ) dxN
EA
dxM
EI ∫∫ +=
2
1
2
111
11δ 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]31131113).6()6(6)6()6(
3
11
11 ⋅+⋅++⋅−⋅−⋅+



+⋅++⋅+⋅+⋅⋅=
EAEI
δ 
 
4
33
m0036.0
12
60.020.0
12
=
⋅
=
⋅
=
hbI 2m12.0=⋅= hbA 28 kN/m10=E 
 
m/kN1005.501005.01050 55511
−−−
⋅+=⋅+⋅+=δ 
 
kN8.401005.50102400 11
55
11110 −=⇒=⋅⋅+⋅+→=⋅+
−− XXXδδ 
 
 
 
 
Momentos fletores finais 
110 XMMM ⋅+= 
 
(sendo 00 =M ) 
 
 
M [kNm]
 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2006 
Primeira Prova – Data: 05/04/2006 – Duração: 2:30 hs – Sem Consulta 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Somente considere deformações por flexão. Todas as 
barras têm a mesma inércia à flexão EI = 105 kNm2. 
 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (3,5 pontos) 
O pórtico ao lado sofreu um aquecimento no seu interi-
or de 16 °C e o apoio da esquerda sofreu um recalque 
vertical de 8.4 mm para baixo. Pede-se o diagrama de 
momentos fletores provocado por estas duas solicita-
ções atuando concomitantemente. Considere que as 
barras do pórtico podem se deformar axialmente, isto é, 
não despreze a energia de deformação axial. 
 
 
 
 
 
 
Sabe-se: 
(a) O material tem módulo de elasticidade 
E = 107 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica 
α = 10–5 /°C. 
(b) As barras da estrutura têm a seção transversal 
retangular indicada abaixo, que foi posicionada 
de modo a oferecer a maior resistência ao mo-
mento fletor atuante: 
 
h = 0.60 m 
b = 0.20 m hbA ⋅= 12
3hb
I
⋅
= 
 
 
(c) O deslocamento axial relativo interno provocado 
pela variação de temperatura em um elemento 
infinitesimal de barra é 
duT = α ∆TCG dx 
sendo ∆TCG a variação de temperatura na fibra 
do centro de gravidade da seção transversal. 
(d) O rotação relativa interna provocada pela varia-
ção de temperatura em um elemento infinitesimal 
de barra é 
( )
dx
h
TT
d siT
∆−∆
=
αθ 
sendo ∆Ti a variação de temperatura das fibras 
inferiores da viga e ∆Ts a variação de temperatu-
ra das fibras superiores. 
 
 
3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: 







−
−
=
−
−
=
⇒






=












+






bcad
afce
X
bcad
debf
X
X
X
dc
ba
f
e
2
1
2
1
0
0
 
 
1ª Questão 
 
Equações de compatibilidade: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
XX
XX
δδδ
δδδ
 



+=
+=
⇒






=












+−
−+
+






−
−
⇒
kNm8.103
kNm9.111
0
0
3/323/29
3/29191
26
11221
2
1
2
1
X
X
X
X
EIEI
 
EIEI
1122
3362
2
1
31262
2
1
31861
3
1
3601
3
1
31861
3
1
32161
2
1
1
10 −=


















⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅=δ 
EIEI
26
336
3
4
2
1
3126
3
4
2
1
3186
3
1
3
1
3601
3
1
3186
3
1
3
1
3216
3
1
3
1
91621
3
1
1
20 −=


















⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
⋅=δ 
EIEI
19
322311
3
1
3311
1
11 +=





⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=δ 
EIEI 3
29
3
3
4
23
3
1
1
3
1
311
3
1
3
3
1
1
3
1
3
3
1
1
2
1
311
6
1
1
2112 −=












⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+
⋅== δδ 
EIEI 3
32
3
3
4
3
4
3
3
1
3
1
3
1
3311
3
1
2911
3
11
22 +=





⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP 
Sistema Principal (SP) e 
Hiperestáticos 
EI = 105 kNm2 
X2 
X2 
X1 
X1 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
[kNm] M0 
1/3 
1/3 
1/3 
1/3 
1/3 
1/3 1/3 
1/3 
1/3 
1/3 
2 
M1 
X1 = 1 
X1 = 1 
x X1 
X2 = 1 
X2 = 1 
1/3 1/3 
1/3 1/3 
1/3 1/9 
1/9 
1/9 
1/9 
1/9 
1/9 
1/3 
2/9 
2/9 
4/3 
M2 
x X2 
Momentos Fletores Finais: 
22110 XMXMMM ⋅+⋅+= 
[kNm] 
M 
 
 
2ª Questão 
 
 
 
 
X1 
Sistema Principal e 
Hiperestático (g=1) 
 
 
Caso (0) – Solicitações externas 
 isoladas no SP 
M0 = 0 
δ10 
ρA0 = –0.0084 m 
B 
A 
 
 
 
Caso (1) – X1 isolado no SP 
VA1 = –0.5 
N1 = +1 
N1 = +0.5 
X1=1 
δ11 
x X1 M1 
 
Equação de compatibilidade 
011110 =⋅+ Xδδ 
 
T
101010 δδδ ρ += 
 
01100110 01 AAAA VV ρδρδ ρρ ⋅−=⇒=⋅+⋅ 
 
∫∫ += estrutura
T
estrutura
TT duNdM 1110 θδ 
 
( ) ( )
dx
EA
N
dx
EI
M
∫∫ +=
2
1
2
1
11δ 
(considerando também deformação axial) 
 
( ) ( )[ ] m104200084.05.0 50110 −⋅−=−⋅−−=⋅−= AAV ρδ ρ 
 
( ) ( )
dxdxdx
h
TT
d siT ⋅⋅+=
+⋅
=
−⋅
=
3
80
60.0
16
α
α∆∆αθ 
dxdxTdu GC
T
⋅⋅+=⋅⋅= 8α∆α 
∫∫ ⋅⋅+⋅⋅+= estruturaestrutura
T dxNdxM 1110 8
3
80
ααδ 
[ ] m1042035.06183)3(
2
1
6)3(
2
1
3
80 5
10
−
⋅+=⋅+⋅⋅⋅+



⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+= ααδ T 
 
0101010 =+=
Tδδδ ρ 
 
( ) ( ) dxN
EA
dxM
EI ∫∫ += 212111
11δ 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]35.05.061113).3()3(
3
1
6)3()3(
3
11
11 ⋅+⋅++⋅+⋅+⋅+



+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅=
EAEI
δ 
 
4
33
m0036.0
12
60.020.0
12
=
⋅
=
⋅
=
hb
I 2m12.0=⋅= hbA 27 kN/m10=E 
 
m/kN105625.75105625.01075 55511
−−−
⋅+=⋅+⋅+=δ 
 
00105625.7500 11
5
11110 =⇒=⋅⋅+→=⋅+
− XXXδδ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momentosfletores finais 
110 XMMM ⋅+= 
 
(sendo 00 =M ) 
 
 
M 
 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2006 
Primeira Prova – Data: 06/09/2006 – Duração: 2:30 hs – Sem Consulta 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Somente considere deformações por flexão. Todas as 
barras têm a mesma inércia à flexão EI = 105 kNm2. 
 
 
 
 
2ª Questão (3,5 pontos) 
Considere o pórtico mostrado abaixo sobre o qual atuam concomitantemente as seguintes solicitações: 
● Carga uniformemente distribuída de 9 kN/m na viga (barra horizontal). 
● Aquecimento das fibras inferiores da viga de ∆Ti = +16 °C ao longo de toda a sua extensão (as fibras superio-
res não sofrem variação de temperatura, isto é, ∆Ts = 0 °C). 
● Recalque vertical (para baixo) de 3.2 mm (3.2 x 10–3 m) do apoio simples na esquerda. 
Pede-se o diagrama de momentos fletores do pórtico utilizando o Método das Forças. Considere deformações por 
flexão e deformações axiais. Adote o Sistema Principal e o Hiperestático indicados na figura da direita. 
 
 
 
 
X1 
X1 
Sistema Principal (SP) e 
Hiperestático 
 
 
Sabe-se: 
(a) O material tem módulo de elasticidade 
E = 107 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica 
α = 10–5 /°C. 
(b) As barras da estrutura têm a seção transversal 
retangular indicada abaixo: 
 
h = 0.40 m 
b = 0.15 m hbA ⋅= 12
3hb
I
⋅
= 
 
(c) O deslocamento axial relativo interno provocado 
pela variação de temperatura em um elemento 
infinitesimal de barra é 
duT = α ∆TCG dx 
 
 
sendo ∆TCG a variação de temperatura na fibra 
do centro de gravidade da seção transversal. 
 
 (d) O rotação relativa interna provocada pela varia-
ção de temperatura em um elemento infinitesimal 
de barra é 
( )
dx
h
TT
d siT
∆−∆
=
αθ 
sendo ∆Ti a variação de temperatura das fibras 
inferiores da viga e ∆Ts a variação de temperatu-
ra das fibras superiores. 
 
 
3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: 







−
−
=
−
−
=
⇒






=












+






bcad
afce
X
bcad
debf
X
X
X
dc
ba
f
e
2
1
2
1
0
0
 
 
1ª Questão 
 
 
Equações de compatibilidade: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
XX
XX
δδδ
δδδ
 



−=
+=
⇒






=












+−
−+
+






+
−
⇒
kNm9.53
kNm3.43
0
0
3/323/20
3/203/321
864
3/24641
2
1
2
1
X
X
X
X
EIEI
 
EIEI 3
2464
4161
3
1
61201
3
1
4161
3
2
41201
2
1
41281
2
1
4161
3
1
41281
3
11
10 −=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅=δ 
EIEI
864
4161
3
1
61201
3
1
4161
3
2
41201
2
1
41281
2
1
4161
3
1
41281
3
11
20 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅=δ 
EIEI 3
32
611
3
1
2
411411
3
1
2
1
11 +=


















⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅+
⋅=δ 
EIEI 3
32
611
3
1
2
411411
3
1
2
1
22 +=


















⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅+
⋅=δ 
EIEI 3
20
411
6
1
611
3
1
411411
3
11
2112 −=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅== δδ 
Sistema Principal (SP) e 
Hiperestáticos 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
Momentos Fletores Finais: 
22110 XMXMMM ⋅+⋅+= [kNm] 
M 
EI = 105 kNm2 
X2 
X2 
X1 
X1 [kNm] 
M0 
1/6 
X1 = 1 
X1 = 1 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/4 1/4 
1/4 
1/4 
1/4 
1/4 
1/4 
1/4 
1/6 1/6 
X2 = 1 
X2 = 1 
M1 M2 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP 
x X1 x X2 
 
 
2ª Questão 
 
 
 
 
X1 
Sistema Principal e 
Hiperestático (g=1) 
X1 
 
 
Caso (0) – Solicitações externas isoladas no SP 
M0 
δ10 
ρA0 = –0.0032 m 
B 
A 
[kNm] 
(provocado somente 
pela carga) 
N0 = 0 
N
0 
=
 
–
18
 
kN
 
 
 
 
Caso (1) – X1 isolado no SP 
VA1 = +0.25 
N1 = 0 
X1=1 
x X1 
M1 
X1=1 
N
1 
=
 
+
0.
25
 
 ( ) ( )
∫∫ +=
estruturaestrutura
dx
EA
N
dx
EI
M 21
2
1
11δ 
(considerando também deformação axial) 
Equação de compatibilidade 
011110 =⋅+ Xδδ 
 
Tq
10101010 δδδδ ρ ++= 
 
∫∫ +=
estruturaestrutura
q dx
EA
NN
dx
EI
MM 0101
10δ 
(considerando também deformação axial) 
 
01100110 01 AAAA VV ρδρδ ρρ ⋅−=⇒=⋅+⋅ 
 
∫∫ += viga
T
viga
TT duNdM 1110 θδ 
 
 
27 kN/m10=E C/10-5 o=α 
4
33
m0008.0
12
40.015.0
12
=
⋅
=
⋅
=
hb
I 2m06.040.015.0 =⋅=⋅= hbA 
( ) rad105.298218
4
11
4)18()1(
3
11 5
10
−
⋅+=





⋅−⋅





+⋅+



⋅+⋅+⋅⋅=
EAEI
qδ 
( ) ( )[ ] rad10800032.025.0 50110 −⋅+=−⋅+−=⋅−= AAV ρδ ρ ( ) ( )
dxdxdx
h
TT
d siT ⋅⋅+=
⋅
=
∆−∆⋅
= 40
40.0
16
α
ααθ 
dxdxTdu GC
T
⋅⋅+=⋅⋅= 8α∆α 
∫∫ ⋅⋅+⋅⋅+= vigaviga
T dxNdxM 1110 840 ααδ 
( )[ ] rad10804084)1(
2
1
40 510
−
⋅+=⋅⋅⋅+



⋅+⋅⋅⋅+= ααδ T 
rad105.458 510101010
−
⋅+=++= Tq δδδδ ρ 
 
( ) ( )[ ]225.025.012)1()1(4)1()1(
3
11
11 ⋅+⋅+⋅+



⋅+⋅++⋅+⋅+⋅⋅=
EAEI
δ 
rad/kNm106875.41 511
−
⋅+=δ 
 
0106875.41105.4580 1
55
11110 =⋅⋅+⋅+→=⋅+
−− XXδδ 
kNm111 −=⇒ X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momentos fletores finais 
110 XMMM ⋅+= 
 
 
M 
[kNm] 
 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2007 
Primeira Prova – Data: 04/04/2007 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Somente considere deformações por flexão. Todas as 
barras têm a mesma inércia à flexão EI = 105 kNm2. 
 
 
 
 
2ª Questão (3,5 pontos) 
Considere os dois pórticos mostrados abaixo. O pórtico do lado esquerdo é isostático e o do lado direito é hiperes-
tático. As duas estruturas têm como solicitação o carregamento uniformemente distribuído indicado e um aumento 
de temperatura ∆Ti = +16 °C nas fibras inferiores da viga. As fibras superiores da viga não sofrem variação de 
temperatura (∆Ts = 0 °C). As colunas (barras verticais) não sofrem nenhuma solicitação. Todas as barras têm um 
material com módulo de elasticidade E = 1 x 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica α = 1 x 10–5 /°C. Todas a 
barras têm seções transversais com área A = 0.012 m2, momento de inércia I = 0.001 m4, altura h = 0.60 m e centro de 
gravidade no meio de altura. 
 
 
Pede-se: 
(a) Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura isostática. (0,5 ponto) 
(b) Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática. Deve-se utilizar o Método das For-
ças, adotando obrigatoriamente como Sistema Principal a estrutura isostática da esquerda. Considere os efei-
tos de deformação axial no cálculo dos termos de carga e dos coeficientes de flexibilidade. (1,5 pontos) 
(c) Dê a interpretação física do termo de carga δ10 do sistema de equações de compatibilidade do Método das 
Forças para esta solução. (0,5 ponto) 
(d) Considere que as colunas (barras verticais) dos pórticosacima tiveram a seção transversal modificada para 
uma com momento de inércia I = 0.002 m4 (a viga não se altera). Responda sem fazer nenhum cálculo: 
 (d.1) O diagrama de momentos fletores da estrutura isostática se altera? Por que? (0,5 ponto) 
 (d.2) O diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática se altera? Por que? (0,5 ponto) 
 
Sabe-se: 
(i) O deslocamento axial relativo interno provocado 
pela variação de temperatura em um elemento 
infinitesimal de barra é 
duT = α ∆TCG dx 
sendo ∆TCG a variação de temperatura na fibra 
do centro de gravidade da seção transversal. 
 
 (ii) O rotação relativa interna provocada pela varia-
ção de temperatura em um elemento infinitesimal 
de barra é 
( )
dx
h
TT
d siT
∆−∆
=
αθ 
sendo ∆Ti a variação de temperatura das fibras 
inferiores da viga e ∆Ts a variação de temperatu-
ra das fibras superiores. 
 
 
3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: 







−
−
=
−
−
=
⇒






=












+






bcad
afce
X
bcad
debf
X
X
X
dc
ba
f
e
2
1
2
1
0
0
 
 
1ª Questão 
 
 
Equações de compatibilidade: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
XX
XX
δδδ
δδδ
 



−=
+=
⇒






=












++
++
+






+
−
⇒
kNm0.30
kNm5.22
0
0
62
241
135
301
2
1
2
1
X
X
X
X
EIEI
 
EIEI
30
65.221
3
1
6601
6
1
65.221
3
1
6601
3
11
10 −=



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅=δ 
EIEI
135
3601
3
1
65.221
3
1
6601
3
11
20 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅=δ 
EIEI
4
611
3
1
2
1
11 +=











⋅⋅⋅⋅+⋅=δ 
EIEI
2
611
3
11
2112 +=



⋅⋅⋅+⋅== δδ 
EIEI
6
311
3
1
2611
3
1
2
1
22 +=











⋅⋅⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅+⋅=δ 
EI = 105 kNm2 
X2 
X2 
X1 X1 
Sistema Principal (SP) e Hiperestáticos 
[kNm] 
M0 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
1/6 
X1 = 1 
X1 = 1 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/3 
1/3 
1/3 
M1 
x X1 
Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP 
1/3 
1/3 
1/3 
1/6 
1/6 
X2 = 1 
X2 = 1 M2 
x X2 
1/3 1/6 
1/6 
Momentos Fletores Finais: 22110 XMXMMM ⋅+⋅+= 
[kNm] 
M 
 
 
2ª Questão – Item (a) 
 
M [kNm] 
 
O diagrama de momentos fletores da 
estrutura isostática só depende do 
carregamento (cargas aplicadas) e de 
suas reações de apoio. Isto é, a 
variação de temperatura, embora 
deforme a estrutura isostática, não 
provoca esforços internos e reações 
de apoio. 
 
2ª Questão – Item (b) 
 
Sistema Principal e 
Hiperestático (g=1) 
X1 
X1 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
 
 
M0 
N0= –48 
N0= 0 
N0= –48 
N0 
 
 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
 
 
M1 
x X1 
1/3 1/3 
N1= –1/3 
N1= 0 N1= 0 
X1=1 
X1=1 
N1 
M1= –1 
 
 
Equação de compatibilidade 
011110 =⋅+ Xδδ 
 
Sendo T
q
101010 δδδ += : 
 
∫∫ +=
estruturaestrutura
q dx
EA
NN
dx
EI
MM 0101
10δ 
∫∫ +=
viga
T
viga
TT duNdM 1110 θδ 
 
[ ] rad1028801672)1(
3
21 5
10
−
⋅−=+



⋅⋅−⋅=
EAEI
qδ 
 
( ) ( )
dxdxdx
h
TT
d siT
3
80
60.0
016
⋅+=
−⋅
=
−⋅
= α
α∆∆αθ 
dxdxTdu GC
T
⋅⋅+=⋅⋅= 8α∆α 
∫∫ ⋅+
⋅
=
vigaviga
T dxNdxM 1110 8
3
80
α
αδ 
rad10176)3/1(68)1(6
3
80 5
10
−
⋅−=−⋅⋅⋅+−⋅⋅
⋅
= α
αδ T 
 
 
 
 
 
 
∫∫ +=
estruturaestrutura
dx
EA
NN
dx
EI
MM 1111
11δ 
 






⋅





−⋅





−⋅
+





⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅⋅=
6
3
1
3
11
611311
3
1
2
1
11
EA
EI
δ
 
rad/kNm10
18
145
10
18
1
108 55511
−−−
⋅+=⋅+⋅+=δ 
 
 
( )
kNm6.57
010
18
145
10176288
0
1
1
55
11110
+=⇒
=⋅⋅+⋅−−
→=⋅+
−−
X
X
Xδδ
 
 
 
 
Momentos fletores finais 
110 XMMM ⋅+= 
 
 
M [kNm] 
 
 
2ª Questão – Item (c) 
→+= Tq 101010 δδδ rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula introduzida no SP provocada pelas 
solicitações externas no caso (0). 
→q10δ rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula introduzida no SP provocada pela carga 
distribuída da viga no caso (0). 
→T10δ rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula introduzida no SP provocada pela variação de 
temperatura da viga no caso (0). 
 
 
2ª Questão – Item (d) 
 
Item (d.1) – Na estrutura isostática, o diagrama de momentos fletores só depende do carregamento (cargas 
aplicadas) e de suas reações de apoio. Com a consideração da hipótese de pequenos deslocamentos, as 
equações de equilíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada (original) da estrutura. 
Portanto, o diagrama de momentos fletores não se altera com a modificação do momento de inércia da seção 
transversal das colunas. 
No caso da carga uniformente distribuída atuando na viga, a estrutura isostática terá sempre o diagrama de 
momentos fletores indicado no item (a) (diagrama parabólico na viga). Momentos fletores devidos à 
variação de temperatura isolada na estrutura isostática são sempre nulos. 
 
Item (d.2) – Na estrutura hiperestática, por ter vínculos excedentes, os esforços internos dependem da rigidez 
relativa entre as barras. Com as colunas mais rígidas do que a viga, as rotações das extremidades da viga 
são menores do que no caso com todas as barras com mesma rigidez à flexão EI, se aproximando do caso de 
uma viga com extremidades engastadas. 
Portanto, o diagrama de momentos fletores fica alterado com a modificação do momento de inércia da seção 
transversal das colunas. 
A solução da estrutura hiperestática pelo Método das Forças mostrada no item (b) demonstra que os valores 
dos momentos fletores finais dependem dos valores relativos entre momentos de inércia das seções 
transversais das barras. 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2008 
Primeira Prova – Data: 08/09/2008 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Somente considere deformações por flexão. Todas as 
barras têm a mesma inércia à flexão EI = 105 kNm2. 
 
Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: 







−
−
=
−
−
=
⇒






=












+






bcad
afce
X
bcad
debf
X
X
X
dc
ba
f
e
2
1
2
1
0
0
 
 
 
 
 
2ª Questão (3,5 pontos) 
Para o pórtico plano mostrado abaixo pede-se o diagrama de momentos fletores utilizando o Método das Forças. O 
pórtico tem um material com módulo de elasticidade E = 107 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 /°C. 
As barras do pórtico têm uma seção transversal com área A = 0.18 m2, momento de inércia I = 0.0054 m4, altura h = 
0.60 m e centro de gravidade no meio de altura. As seguintes solicitações atuam no pórtico concomitantemente: 
 
• Carga concentrada horizontal de 30 kN atuando no ponto do apoio da direita. 
• Aquecimento da face inferior da viga do pórtico de ∆Ti = +30 °C. A face superior