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CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2001 Primeira Prova – Data: 18/04/2001 – Duração: 2:30 hs – Sem Consulta 1ª Questão (5,5 pontos) Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. Somente considere deformações por flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 1,0 x 105 kNm2. 2ª Questão (3,5 pontos) Considere as duas estruturas mostradas abaixo. A da esquerda é um quadro isostático e a da direita é um quadro hiperestático. Os dois quadros sofrem a mesma solicitação: uma força horizontal de 50 kN aplicada no apoio da direita e um recalque desse mesmo apoio de 6 mm para baixo. Todas as barras têm um material com módulo de elasticidade E = 1,0 x 108 kN/m2 e seções transversais com momento de inércia I = 1,0 x 10-3 m4. Considere válida a hipótese de pequenos deslocamen- tos. Pede-se: (a) Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura isostática. (b) Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática. Deve-se utilizar o Método das Forças, adotando OBRIGATORIAMENTE como Sistema Principal a estrutura isostática da esquerda. Somente considere deformações por flexão. (b.1) Dê a intepretação física do termo de carga δ10 do sistema de equações de compatibi- dade do Método das Forças para esta solução. (b.2) Mostre a dedução do termo de carga δ10 pelo Princípio das Forças Virtuais. (c) Considere que as colunas dos quadros acima tiveram a seção transversal modificada para uma com momento de inércia I = 2,0 x 10-3 m4 (a viga não se altera). Responda sem fazer nenhum cálculo: (c.1) O diagrama de momentos fletores da estrutura isostática se altera? Por que? (c.2) O diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática se altera? Por que? 3ª Questão (1,0 ponto) Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 1ª Questão X1 X1 X2 Sistema Principal e Hiperestáticos (g=2) M0 Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP X1=1 X1=1 1/6 1/6 1/6 1/6 1/4 1/4 1/4 1/4 M1 . X1 Caso (1) – X1 isolado no SP X2=1 1/4 M2 1/4 . X2 Caso (2) – X2 isolado no SP Equações de Compatibilidade −= += ⇒ = + kNmX kNmX X X 82.45 10.8 0 0 2 1 2 1 2221 1211 20 10 δδ δδ δ δ EIEI 546361 3 1691 3 11 10 −= ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=δ EIEI 3366721 2 14361 6 14721 3 11 20 += ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ EIEI 3 20611 3 12411 3 12111 += ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=δ 01221 == δδ EIEI 3 22611411 3 11 22 += ⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ Diagrama de Momentos Fletores M = M0 + M1·X1 + M2·X2 M (kNm) 2ª Questão Item (a) M (kNm) ρ = 0.006m Como a estrutura é isostática, o “pequeno” recalque de apoio não provoca deformações (só movimento de corpo rígido). Portanto, o recalque não provoca momentos fletores, que só são devidos à carga de 50 kN aplicada. Item (b) Caso (0) – Solicitação eterna isolada no SP Idêntico ao item (a). X1=1 1/3 M1 . X1 Caso (1) – X1 isolado no SP 1/3 Item (b.1): Equação de compatibilidade 011110 =⋅+ Xδδ 10δ é a rotação da seção do apoio da esquerda no caso (0) Item (b.2) – Cálculo de 10δ pelo Princípio das Forças Virtuais (PFV) Sistema Real (Estrutura da qual se quer calcular o desloca- mento.) É o caso (0), que é idêntico ao item (a). Sistema Virtual (Estrutura com força unitária virtual na dire- ção do deslocamento que se quer calcular.) É o caso (1) com 11 =X . PFV: UWE = →EW Trabalho das forças externas do sistema virtual com os correspondentes deslocamentos externos do sistema real. Neste caso, o trabalho externo virtual é igual ao produto de 11 =X por 10δ mais o produto da reação vertical no apoio direito do caso (1) – força de 1/3 para baixo – pelo recalque de a- poio ρ : ρδ ⋅+⋅= )3/1(1 10EW . →U Energia de deformação interna virtual. Esta é a energia de deformação por flexão provocada pelos momentos fletores do sistema virtual 1MM = com as correspondentes rota- ções relativas internas do sistema real dxEIMd )/( 0=θ . Deve ser observado que o recalque de apoio ρ não provoca deforma- ções internas (só provoca movimento de corpo rígido). Portanto, θd é somente devido à car- ga de 50 kN aplicada. Assim: dx EI MMdMdMU estruturaestruturaestrutura ∫∫∫ === 01 1 θθ Assim: ρδ ⋅−⋅= ∫ )3/1()/1( . 0110 dxMMEI estrut 006.0 3 121001 2 131001 2 11 10 ⋅ − ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅= EI δ radx 310 105.4 − −=δ kNmradx EI /103211311 3 11 5 11 −+= ⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ kNmXX 1500 111110 =⇒=⋅+δδ Diagrama de Momentos Fletores M = M0 + M1·X1 M (kNm) Item (c.1) – Na estrutura isostática, o diagrama de momentos fletores só depende dos valores da carga e reações, e da geometria da estrutura. Com a consideração da hipótese de pequenos des- locamentos, as equações de equilíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada (origi- nal) da estrutura. Portanto, o diagrama de momentos fletores não se altera com a modificação do momento de inércia da seção transversal das colunas. Item (c.2) – Na estrutura hiperestática, por ter vínculos excedentes, os esforços internos depen- dem da rigidez relativa entre as barras. Com as colunas mais rígidas do que a viga, as rotações das extremidades da vigas são menores do que no caso com todas as barras com rigidez iguais, se aproximando do caso de uma viga com extremidades engastadas. Portanto, o diagrama de momentos fletores fica alterado com a modificação do momento de inércia da seção transversal das colunas. CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2001 Primeira Prova – Data: 19/09/2001 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 1ª Questão (5,5 pontos) Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. Somente considere deformações por flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 1,0 x 105 kNm2. 2ª Questão (3,5 pontos) Considere os quatro pórticos mostrados abaixo. Os pórticos do lado esquerdo são isostáticos e os do lado direito são hiperestáticos. Os pórticos superiores têm como solicitação uma carga uniformemen- te distribuída aplicada na viga. As duas estruturas inferiores têm como solicitação um aumento uni- forme de temperatura (∆T = 12 °C) na viga. Todas as barras têm um material com módulo de elasti- cidade E = 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 /°C. Todas a barras têm seções transversais com momento de inércia I = 1,0 x 10–3 m4. Pede-se: (a) Indique os aspectos das configurações deformadas (amplificadas) das quatro estruturas. (b) Determine os diagramas de momentos fletores das estruturas isostáticas e os aspectos (não pre- cisa dos valores numéricos) dos diagramas de momentos fletores das estruturas hiperestáticas. (c) Determine o diagrama de momentos fletores (com valores numéricos) da estrutura hiperestática inferior (solicitada pela variação de temperatura). Deve-se utilizar o Método das Forças, ado- tando obrigatoriamente como Sistema Principal a estrutura isostática da esquerda. Somente considere deformações por flexão. Sabe-se que o alongamento relativo interno de um elemento infenitesimal de barra devido a uma variação uniforme de temperatura é du = α ∆T dx. Neste caso não existe rotação relativa interna do elemento infinitesimal. (d) Considere que as colunas dos quadros acima tiveram aseção transversal modificada para uma com momento de inércia I = 2,0 x 10-3 m4 (a viga não se altera). Responda: (d.1) Os diagramas de momentos fletores das estruturas isostáticas se alteram? Por que? (d.2) Os diagramas de momentos fletores das estruturas hiperestáticas se alteram? Por que? 3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 1ª Questão Sistema Principal e Hiperestáticos (g = 2) X1 X1 X2 X2 Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP M0 X1 = 1 X1 = 1 Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP M1 1/6 1/6 1/6 1/6 . X1 X2 = 1 Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP M2 1/6 . X2 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 X2 = 1 Equações de Compatibilidade += −= ⇒ = + kNmX kNmX X X 7.170 3.61 0 0 2 1 2 1 2221 1211 20 10 δδ δδ δ δ EIEI 129662881 3 162881 2 16721 3 11 10 += ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅=δ EIEI 1440 31445.0 3 131445.0 3 1 34325.0 3 134325.0 3 1 62881 3 162881 3 16721 3 1 1 20 −= ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅− ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅− ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅− ⋅=δ EIEI 10611 3 1611611 3 11 11 += ⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ EIEI 4611 3 1611 2 1611 6 11 2112 −= ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅== δδ EIEI 735.05.0 3 14611 3 13122 += ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=δ Momentos Fletores Finais M M = M0 + M1·X1 + M2·X2 [kNm] 2ª Questão Item (a) Item (b) M [kNm] M [kNm] M=0 M [kNm] (veja solução abaixo) Item (c) Caso (0) – Variação de temperatura no SP δ10M0=0 mLT 5510 107261210 −− ⋅+=⋅⋅=⋅∆⋅=αδ Equação de compatibilidade kNXX 10 111110 −=⇒=⋅+δδ Momentos fletores finais (veja acima) 11110 )1(0 MMXMMM −=−⋅+=⋅+= X1 = 1 Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP M1 . X1 X1 = 1 δ11 ( ) ⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅== ∫ 6333333 121 2 1 11 EI dx EI Mδ kNm/1072 511 − ⋅+=δ Item (d.1) – Na estrutura isostática, o diagrama de momentos fletores só depende dos valores da carga e reações, e da geometria da estrutura. Com a consideração da hipótese de pequenos des- locamentos, as equações de equilíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada (origi- nal) da estrutura. Portanto, o diagrama de momentos fletores não se altera com a modificação do momento de inércia da seção transversal das colunas. No caso da carga uniformente distribuída, a estrutura isostática terá sempre o diagrama de momentos fletores indicado no item (a) (diagrama parabólico no viga). No caso da variação de temperatura, a estrutura isostática terá sempre momentos fletores nulos. Item (d.2) – Na estrutura hiperestática, por ter vínculos excedentes, os esforços internos depen- dem da rigidez relativa entre as barras. Com as colunas mais rígidas do que a viga, as rotações das extremidades da vigas são menores do que no caso com todas as barras com rigidez iguais, se aproximando do caso de uma viga com extremidades engastadas. Portanto, o diagrama de momentos fletores fica alterado com a modificação do momento de inércia da seção transversal das colunas. No caso da carga uniformente distribuída, a estrutura isostática terá como o mesmo aspecto do diagrama de momentos fletores indicado no item (a), mas os valores ficam alterados em relação ao diagrama com viga e colunas com mesma seção transversal. A solução da estrutura hiperestática pelo Método das Forças, para a solicitação de variação uni- forme de temperatura na viga, demonstra que a os valores dos momentos fletores finais depen- dem dos valores relativos entre momentos de inércia das seções transversais barras: O caso (0) mostrado no item (c) permanece inalterado, isto é: mLT 5510 107261210 −− ⋅+=⋅⋅=⋅∆⋅=αδ . O diagrama de momentos fletores M1 do item (c) é o mesmo, mas o valor do coeficiente de flexibilidade fica alterado: [ ] ⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= 333 3 121633111 colunaviga EIEI δ kNm/10631091054 55511 −−− ⋅=⋅+⋅=δ Equação de compatibilidade kNXX 7 80 111110 −=⇒=⋅+δδ Momentos fletores finais ( )781110 −⋅=⋅+= MXMMM M [kNm] 8/78/7 24/7 24/7 24/7 24/7 CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2002 Primeira Prova – Data: 27/03/2002 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 1ª Questão (6,0 pontos) Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. Somente considere deformações por fle- xão. Todas as barras têm a mesma inércia à fle- xão EI = 4,0 x 104 kNm2. 2ª Questão (3,0 pontos) Para a viga contínua com dois vãos mostrada abaixo pede-se o diagrama de momentos fletores utili- zando o Método das Forças. As seguintes solicitações atuam na estrutura concomitantemente: · Uma carga concentrada de 40 kN no centro de cada vão. · Aquecimento das fibras superiores da viga de ∆Ts = 50 °C ao longo de toda a sua extensão (as fibras inferiores não sofrem variação de temperatura, isto é, ∆Ti = 0 °C). · Recalque vertical (para baixo) de 3 cm do apoio direito. Sabe-se: (a) A viga tem um material com módulo de elasticidade E = 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 /°C. (b) A viga tem seção transversal com área A = 1,0 x 10–2 m2 e momento de inércia I = 1,0 x 10–3 m4. A altura da seção transversal é h = 0,60 m e o seu centro de gravidade fica posicionado na meta- de da altura. (c) O deslocamento axial relativo interno provocado pela variação de temperatura em um elemento infinitesimal de barra é duT = α ∆TCG dx, sendo ∆TCG a variação de temperatura na fibra do centro de gravidade da seção transversal. (d) O rotação relativa interna provocada pela variação de temperatura em um elemento infinitesimal de barra é ( )dx h TTd siT ∆−∆= αθ . 3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 1ª Questão X1 X1 X2 Sistema Principal e Hiperestáticos (g=2) X2 Momentos Fletores Finais M M = M0 + M1·X1 + M2·X2 [kNm] Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP M0 X1=1 M1 . X1 Caso (1) – X1 isolado no SP 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 X1=1 X2=1 M2 . X2 Caso (2) – X2 isolado no SP 1/3 X2=1 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 Equações de Compatibilidade −= −= ⇒ = + kNmX kNmX X X 1.52 5.20 0 0 2 1 2 1 2221 1211 20 10 δδ δδ δ δ EIEI 3783361 2 13361 2 131801 2 11 10 += ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ EIEI 405 391 3 13361 3 1 3361 3 13361 2 131801 2 1 1 20 += ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ ⋅=δ EIEI 7311 3 1311311111 += ⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=δ EIEI 2 9311 2 131112112 += ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅== δδ EIEI 6311 3 13311122 += ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ 2ª Questão X1 Sistema Principal e Hiperestático (g=1) X1 Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP M0 [kNm] Como o Sistema Principal é isostático, a variação de tempe- ratura e o recalque de apoio só provocam deslocamentos (não provocam esforços internos). Portanto,os momentos fletores só são devidos às cargas de 40 kN aplicadas. X1=1 M1 . X1 Caso (1) – X1 isolado no SP 1/3 X1=1 1/6 1/6 Equação de compatibilidade 011110 =⋅+ Xδδ 10δ é a rotação relativa entre as seções adja- centes à rótula introduzida na criação do Sis- tema Principal no caso (0). 11δ é a rotação relativa entre as seções adja- centes à rótula introduzida na criação do Sis- tema Principal devido a 11 =X no caso (1). Cálculo de 10δ pelo Princípio das Forças Virtuais (PFV) Sistema Real (Estrutura da qual se quer calcular a rotação relativa.) É o caso (0). Sistema Virtual (Estrutura com momentos unitários virtuais na direção da rotação relativa que se quer calcular.) É o caso (1) com 11 =X . PFV: UWE = →EW Trabalho das forças externas do sistema virtual com os correspondentes deslocamentos externos do sis- tema real. Neste caso, o trabalho externo virtual é igual ao produto de 11 =X por 10δ mais o produto da reação vertical no apoio direito do caso (1) – força de 1/6 para baixo – pelo recalque de apoio: )03.0()6/1(1 10 −⋅−+⋅= δEW . ⇒=UWE ∫∫ ⋅− ∆−∆⋅ += 03.0 6 1)( 1 01 10 dxMh TTdx EI MM siαδ EI EI 18003.0 6 10.16 2 12 60.0 )50( 3600.1 6 13605.0 3 13605.0 3 12110 −=⋅− ⋅⋅−⋅⋅ −⋅ + ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅= α δ EIEI 460.10.1 3 12111 += ⋅⋅⋅⋅⋅=δ kNmXX 450 111110 =⇒=⋅+δδ Momentos Fletores Finais M M = M0 + M1·X1 [kNm] →U Energia de deformação interna virtual. (Despreza-se a energia de deformação por cisalhamen- to e, como o esforço normal no caso (1) é nulo, a ener- gia de deformação axial é nula.) Portanto, a energia de deformação é somente devida à flexão, isto é, é a energia (virtual) provocada pelos momentos fletores do sistema virtual 1MM = com as correspondentes rotações relativas internas do sistema real θd . A rotação relativa interna real no caso (0) é devida às cargas de 40 kN aplicadas e devida à variação de tem- peratura: TP ddd θθθ += Onde, dxEIMd P )/( 0=θ e dxhTTd siT ]/)([ ∆−∆⋅= αθ Deve ser observado que o recalque de apoio não pro- voca rotação relativa interna (só provoca movimento de corpo rígido). Assim: ∫∫∫∫ +=== estrutura T estrutura P estruturaestrutura dMdMdMdMU θθθθ 111 ∫∫ ∆−∆⋅⋅ + ⋅ = dx h TTMdx EI MMU si )(101 α CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2002 Primeira Prova – Data: 04/09/2002 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 1ª Questão (6,0 pontos) Considere a estrutura hiperestática abaixo, onde também está indicado o seu diagrama de momentos fletores. Todas as barras têm a mesma inércia a flexão EI e pode-se considerar que não existem de- formações axiais e de cisalhamento nas barras. M [kNm] Pede-se: Item (a) – (0,5 ponto) Determine um possível sistema principal (Método das Forças) para o quadro acima. As incógni- tas (hiperestáticos) também devem ser indicadas. Mostre a decomposição do sistema principal em quadros isostáticos simples (tri-articulados, bi-apoiados ou engastados e em balanço). Item (b) – (4,0 pontos) Considerando o sistema principal encontrado no item anterior, indique o casos básicos – caso (0), caso (1), caso (2), etc. – utilizados para análise da estrutura pelo Método das Forças. De- termine os diagramas de momentos fletores para todos os casos básicos. Item (c) – (1,0 ponto) Escreva literalmente (somente símbolos, sem números) o sistema de equações finais da solução desta estrutura pelo Método das Forças. Escolha uma destas equações e indique as expressões numéricas envolvidas nos cálculos de cada um dos coeficientes da equação escolhida. Não é preciso completar as contas para calcular os coeficientes. Indique que tipo de condição que esta equação está impondo. Indique as interpretações físicas e unidades de todos os coeficientes que aparecem na equação escolhida. Item (d) – (0,5 ponto) Com base no diagrama de momentos fletores fornecido para a estrutura hiperestática e no siste- ma principal escolhido, determine os valores das incógnitas (hiperestáticos) que resultariam da solução da estrutura pelo Método das Forças. Demonstre que a superposição dos casos básicos, considerando os valores dos hiperestáticos encontrados, resulta no diagrama de momentos fleto- res fornecido. 2ª Questão (3,0 pontos) Considere os dois pórticos mostrados abaixo. As duas estruturas têm como solicitação o carregamen- to uniformemente distribuído indicado e um aumento de temperatura ∆Ti = 16 °C nas fibras inferiores da viga. As fibras superiores da viga não sofrem variação de temperatura (∆Ts = 0 °C). Todas as bar- ras têm um material com módulo de elasticidade E = 1,0 x 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmi- ca α = 10–5 /°C. Todas a barras têm seções transversais com momento de inércia I = 1,0 x 10–3 m4, altura h = 0.60 m e centro de gravidade no meio de altura. Somente considere os efeitos axiais para a variação de temperatura. Sabe-se com respeito ao elemento infinitesimal de viga: dx dxTi∆α dxTs∆α Tdu Tdθ h x y Deslocamento axial relativo interno provocado pela variação de temperatura: dxTdu CG T ∆=α ⇒∆ CGT variação de temperatura na fibra do centro de gravidade obtida por interpolação linear de iT∆ e sT∆ . Rotação relativa interna provocada pela variação de temperatura: dx h TT d siT )( ∆−∆ = αθ Pede-se: Item (a) – (0,5 ponto) Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura isostática. Item (b) – (1,5 pontos) Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática. Item (c) – (1,0 ponto) Considere que as colunas dos quadros acima tiveram a seção transversal modificada para uma com momento de inércia I = 2,0 x 10-3 m4 (a viga não se altera). Responda: (c.1) Os diagramas de momentos fletores das estruturas isostáticas se alteram? Por que? (c.2) Os diagramas de momentos fletores das estruturas hiperestáticas se alteram? Por que? 3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 1ª Questão – Item (a) X1 X1 X2 Sistema Principal e Hiperestáticos (g=3) X2 X3 X1 X1 X2 X2 X3 1ª Questão – Item (b) Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP M0 X1=1 M1 . X1 Caso (1) – X1 isolado no SP 1/3 X1=1 1/3 1/3 1/3 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 X2=1 M2 . X2 Caso (2) – X2 isolado no SP X2=1 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 X3=1 M3 . X3 Caso (3) – X3 isolado no SP 1/3 1/3 1ª Questão – Item (c) Equações de Compatibilidade = + 0 0 0 3 2 1 333231 232221 131211 30 20 10 X X X δδδ δδδ δδδ δ δ δ Considere a primeira equação deste sistema: Esta equação impõe uma condição de compatibilidade interna: a rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X1 é nula, isto é, no ponto onde foi introduzida a rótula a rotação da elástica é contínua. Termo de carga δ10 [rad] → rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X1 devida à solicitação externa no caso (0): ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅= 3725.0 3 131325.0 3 13725.0 3 131925.0 3 13601 3 16361 3 11 10 EI δ Coeficiente de flexibilidade δ11 [rad/kNm] →rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X1 devida a X1 = 1: ⋅⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅= 35.05.0 3 14311 3 12611 3 11 11 EI δ Coeficiente de flexibilidade δ12 [rad/kNm] → rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X1 devida a X2 = 1: ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅= 315.0 3 1315.0 3 1315.0 2 1311 6 1311 3 11 12 EI δ Coeficiente de flexibilidade δ13 [rad/kNm] → rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X1 devida a X3 = 1: ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅= 315.0 2 1315.0 3 11 13 EI δ 1ª Questão – Item (d) Os valores dos hiperestáticos podem ser ob- tidos do diagrama de momentos fletores fi- nais da estrutura que foi fornecido: M [kNm] X1 = +35.1 kNm X2 = +28.2 kNm X3 = +89.1 kNm Demonstração de que a superposição dos casos básicos resulta nos momentos finais: M0 + M1·X1 + M2·X2 + M3·X3 = M Considere o momento fletor assinalado no dia- grama. Observa-se que este valor pode ser ob- tido pela superposição dos momentos fletores dos casos básicos nesta seção: +132 + 0.5·35.1 + (-1.0)·28.2 + (-1.0)·89.1 = +32.3 O mesmo pode ser verificado para outras se- ções. 2ª Questão – Item (a) M [kNm] 2ª Questão – Item (b) X1 Sistema Principal e Hiperestático (g=1) Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP M0 δ10 X1=1 M1 . X1 Caso (1) – X1 isolado no SP 1 X1=11 δ11 N1= +1 N1= 0 N1= 0 Equação de compatibilidade 011110 =⋅+ Xδδ Sendo Tq 101010 δδδ += : →q10δ deslocamento horizontal da seção do apoio da direita devido à carga distribuída no caso (0). →T10δ deslocamento horizontal da seção do apoio da direita devido à variação de tem- peratura no caso (0). m EI dx EI MMq 501 10 1086467233 21 − ⋅+= ⋅⋅⋅== ∫δ ∫∫ += viga T viga TT duNdM 1110 θδ ( ) dxdx h TTd siT 3 80⋅ = ∆−∆⋅ = ααθ dxdxTdu GC T ⋅⋅=⋅∆⋅= 8αα ∫∫ ⋅+ ⋅ = vigaviga T dxNdxM 1110 83 80 α αδ mT 510 10528168363 80 − ⋅+=⋅⋅⋅+⋅⋅ ⋅ = α αδ ( ) ⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅== ∫ 6333333 121 2 1 11 EI dx EI Mδ kNm/1072 511 − ⋅+=δ ( ) kNX X X 3 58 0107210528864 0 1 1 55 11110 −=⇒ =⋅⋅+⋅+ →=⋅+ −− δδ Momentos fletores finais 110 XMMM ⋅+= M [kNm] 2ª Questão – Item (c) Item (c.1) – Na estrutura isostática, o diagrama de momentos fletores só depende dos valores da carga e reações, e da geometria da estrutura. Com a consideração da hipótese de pequenos des- locamentos, as equações de equilíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada (origi- nal) da estrutura. Portanto, o diagrama de momentos fletores não se altera com a modificação do momento de inércia da seção transversal das colunas. No caso da carga uniformente distribuída, a estrutura isostática terá sempre o diagrama de momentos fletores indicado no item (a) (diagrama parabólico na viga). Momentos fletores de- vidos à variação de temperatura isolada na estrutura isostática são sempre nulos. Item (c.2) – Na estrutura hiperestática, por ter vínculos excedentes, os esforços internos depen- dem da rigidez relativa entre as barras. Com as colunas mais rígidas do que a viga, as rotações das extremidades da viga são menores do que no caso com todas as barras com mesma rigidez à flexão EI, se aproximando do caso de uma viga com extremidades engastadas. Portanto, o diagrama de momentos fletores fica alterado com a modificação do momento de inércia da seção transversal das colunas. A solução da estrutura hiperestática pelo Método das Forças mostrada no item (b) demonstra que os valores dos momentos fletores finais dependem dos valores relativos entre momentos de inércia das seções transversais das barras. CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2003 Primeira Prova – Data: 09/04/2003 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 1ª Questão (5,5 pontos) Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. Somente considere deformações por flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 2,4 x 104 kNm2. 2ª Questão (2,5 pontos) – Provão de Engenharia Civil, 2002 Em uma construção a meia encosta, a laje de piso foi apoiada em estruturas metálicas compostas de perfis I, colocados de modo a oferecer a maior resistência ao momento fletor atuante. Ao inspecionar a obra para rece- bimento, você verificou a existência de um recalque vertical de 1 cm no engaste A de uma das estruturas metáli- cas, cujo modelo estrutural é apresentado na figura abaixo (na esquerda). A fim de avaliar os esforços adicio- nais nessa estrutura, ocasionados pelo recalque, você utilizou o Método das Forças e, para tanto, escolheu o Sis- tema Principal (no qual foi colocada uma rótula no nó B) e o hiperestático X1 (carga momento em ambos os la- dos da rótula inserida em B), mostrados na figura (no centro). A seção transversal do perfil e a orientação dos eixos x e y estão representadas na figura (na direita). A B C laje encosta X1 X1 x y Módulo de elasticidade do material: E = 2,0 x 108 kN/m2 Momentos de inércia da seção transversal: Jx = 5,1 x 10-5 m4 Jy = 8,4 x 10-6 m4 Com base no exposto, pede-se o diagrama de momentos fletores, causado apenas pelo recalque em A. Despreze deformações axiais das barras. 3ª Questão (1,0 ponto) Considerando que o material da estrutura abaixo tem um comportamento linear (relações lineares entre tensões e deformações), desenhe o aspecto do gráfico que relaciona a carga aplicada P e o deslocamento ∆ do nó inferi- or para duas situações: (a) Deslocamento ∆ pode ser considerado pequeno em relação às dimensões da estrutura. (b) Deslocamento ∆ não pode ser considerado pequeno em relação às dimensões da estrutura. l ∆ l h P ∆ P 4ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 1ª Questão X1 X1 X2 Sistema Principal e Hiperestáticos (g=2) X2 Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP M0 M1 . X1 Caso (1) – X1 isolado no SP 1/6 1/6 1/6 1/4 1/4 1/6 X1=1 X1=1 M2 . X2 Caso (2) – X2 isolado no SP X2=1 X2=1 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 Equações de Compatibilidade += −= ⇒ = + kNmX kNmX X X 6,60 0,13 0 0 2 1 2 1 2221 1211 20 10 δδ δδ δ δ EIEI 280 6451 3 141201 3 1 61201 2 16301 2 16301 3 1 1 10 −= ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅− ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ ⋅=δ EIEI 43041201 3 161201 2 16301 2 11 20 −= ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=δ EIEI 3 38 411 3 12 611611 3 12 1 11 += ⋅⋅⋅⋅+ ⋅⋅+ ⋅⋅⋅⋅ ⋅=δ EIEI 3 22411 3 161112112 += ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅== δδ EIEI 3 26411 3 12611122 += ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ Momentos Fletores Finais M M = M0 + M1·X1 + M2·X2 [kNm] 2ª Questão Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP M0 = 0 01,0=ρ m ρ 4/10 ρδ = 3 10 105,2 − ⋅+=δ rad M1 . X1 Caso (1) – X1 isoladono SP 1/4 =AV 1/4 1 X1=1 X1=1 Equação de compatibilidade 011110 =⋅+ Xδδ 10δ é a rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula do Sistema Principal provocada pelo recalque de apoio no caso (0). 11δ é a rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula do Sistema Principal provocada por 11 =X no caso (1). EIEI 3 10411 3 1211111 += ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ O enunciado diz que os perfis metálicos foram colocados de modo a oferecer a maior resis- tência ao momento fletor atuante. Portanto, o momento de inércia da seção transversal a ser adotado é o maior momento de inércia da barra: I = Jx = 5,1 x 10-5 m4. 65,7 101,51023 10105,20 1158 3 11110 −=⇒ ⋅⋅⋅⋅ +⋅→=⋅+ − − XXXδδ kNm. Cálculo de 10δ pelo Princípio das Forças Virtuais (PFV) Sistema Real (Estrutura da qual se quer calcular a rotação relativa.) É o caso (0). Sistema Virtual (Estrutura com momentos unitários virtuais na direção da rotação relativa que se quer cal- cular.) É o caso (1) com 11 =X . PFV: UWE = →EW Trabalho das forças externas do sistema virtual com os correspondentes deslocamentos externos do sistema real. Neste caso, o trabalho externo virtual é igual ao produto de 11 =X por 10δ mais o produto da reação vertical no apoio esquerdo do caso (1) – força de 1/4 para cima – pelo recalque de apoio: ρδ ⋅+⋅= AE VW 101 )01,0()4/1(1 10 −⋅++⋅= δEW →U Energia de deformação interna virtual. O recalque de apoio não provoca deformações internas (só provoca movimentos de corpo rígido das barras). Portanto: 0=U ⇒=UWE 0)01,0()4/1(10 =−⋅++δ 3 10 105,24/01,0 − ⋅+==∴δ rad Momentos Fletores Finais M M = M0 + M1·X1 [kNm] M0 = 0 X1 = –7,65 3ª Questão Na configuração indeformada o ângulo entre as barras e o eixo vertical é θ, e na configuração deformada o ângulo é α, tal como indicado na figura abaixo: comprimento final: θ θ α α h P ∆ comprimento original: l l Item (a) Considerando que o deslocamento ∆ é pequeno em relação às dimensões da estrutura, as equa- ções de equilíbrio podem ser escritas para a geometria da estrutura na configuração indeforma- da. Nesse caso, o ângulo α é aproximado por θ. Portanto, como o material tem um comporta- mento linear, a relação entre a força P e o deslocamento ∆ é linear. Item (b) Considerando que o deslocamento ∆ não é pequeno em relação às dimensões da estrutura, as equações de equilíbrio têm que ser escritas nas configuração final (deformada) da estrutura. Isso acarreta em um comportamento não-linear para a relação entre P e ∆ . ∆ P (a) (b) Observa-se na figura que o coeficiente angular da resposta linear do item (a) é igual à inclinação da curva carga-deslocamento não-linear para ∆ = 0. Isso mostra que a resposta linear é uma aproximação da resposta não-linear para pequenos deslocamentos. CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2003 Primeira Prova – Data: 17/09/2003 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 1ª Questão (5,5 pontos) Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. Somente considere deformações por flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 1,0 x 104 kNm2. 2ª Questão (2,5 pontos) Utilizando o Método das Forças, determine o dia- grama de esforços normais para a treliça hiperestáti- ca ao lado submetida ao carregamento indicado e a um aumento uniforme de temperatura de 50 °C em todas as barras. Todas as barras têm o mesmo valor para a inércia axial EA = 1,0 x 105 kN e para o coefi- ciente de dilatação térmica α = 1,0 x 10-5 /°C. Sabe- se que o deslocamento axial relativo interno para uma variação uniforme de temperatura T é igual a: duT = αTdx. 3ª Questão (1,0 ponto) Uma estrutura situada em uma encosta sofre um recalque em um de seus apoios. O modelo estrutu- ral é mostrado ao lado, onde é indicado que o apoio A tem um recalque vertical de 1 cm para baixo. Cal- cule o deslocamento horizontal do apoio C utilizan- do o Princípio das Forças Virtuais (PFV). Todos os passos devem ser mostrados e justificados. A B C encosta 4ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 1ª Questão X1 X1 X2 Sistema Principal e Hiperestáticos (g=2) X2 Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP M0 M1 . X1 Caso (1) – X1 isolado no SP 1/3 1/6 X1=1 X1=1 1/3 1/3 1/3 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 . X2 Caso (2) – X2 isolado no SP M2 1/3 X2=1 X2=1 1/3 1/3 1/3 1/6 1/6 1/6 1/6 Equações de Compatibilidade −= += ⇒ = + kNm5,21 kNm8,6 0 0 2 1 2 1 2221 1211 20 10 X X X X δδ δδ δ δ EIEI 147 361 3 1361 2 1 6601 3 13181 3 13601 3 1 1 10 −= ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅− ⋅=δ EIEI 156361 3 16601 3 13181 3 13601 3 11 20 += ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=δ EIEI 9 311311 3 12 611 3 12 1 11 += ⋅⋅+ ⋅⋅⋅⋅ + ⋅⋅⋅⋅ ⋅=δ EIEI 4611 3 1311 3 1212112 −= ⋅⋅⋅− ⋅⋅⋅−⋅⋅== δδ EIEI 6311 3 12611 3 12122 += ⋅⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅⋅⋅=δ Momentos Fletores Finais M = M0 + M1·X1 + M2·X2 M [kNm] 2ª Questão X1 Sistema Principal e Hiperestáticos (g=1) Caso (0) – Solicitação externa isolada N0 (N0 só é devido à carga de 50 kN pois a variação de temperatura não provoca esforços no SP isostático ) +25 225- +25 225-0 no SP N1 . X1 Caso (1) – X1 isolado no SP X1=1 1 +1 +1 0 0 0 Equação de Compatibilidade 011110 =+ Xδδ Termo de carga: TP 101010 δδδ += →P10δ deslocamento horizontal no apoio da direita devido à carga P = 50 kN no caso (0). →P10δ deslocamento horizontal no apoio da direita devido à variação uniforme de temperatura T = 50 °C no caso (0). ( )[ ] EAEA dx EA NN estrutura P 2004251210110 +=⋅⋅⋅⋅== ∫δ ( )[ ] ααααδ 4004125050 11110 +=⋅⋅⋅=⋅=== ∫∫ ∫ dxNTdxNduN estrutura TT ( )[ ] EAEA dx EA N estrutura 841121 2 1 11 +=⋅⋅⋅⋅== ∫δ kN75 010810)400200( /101kN101 1 1 55 55 −=∴ =⋅+⋅+⇒ ⋅=⋅= −− − X X CEA �α Esforços Normais Finais N = N0 + N1·X1 N [kN] –50 225- –50 225- 0 3ª Questão Cálculo do deslocamento horizontal HC∆ do apoio C pelo Princípio das Forças Virtuais (PFV) Sistema Real (Estrutura da qual se quer calcular o desloca- mento.) ρ H C∆ Sistema Virtual (Estrutura com carga virtual na direção do deslocamento que se quer calcular.) 1/2 =AV 1/2 1 =P 1 PFV: UWE = →EW Trabalho das forças externas do sistema virtual com os correspondentes deslocamentos externos do sistema real. Neste caso, o trabalho externo virtual é igual ao produto de 1=P por HC∆ mais o produto da reação vertical no apoio esquerdo – reação 2/1=AV para baixo – pelo recalque de apoio: ρ∆ ⋅+⋅= AHCE VW 1 )01,0()2/1(1 −⋅−+⋅= HCEW ∆ →U Energia de deformação interna virtual. O recalque de apoio não provoca deformações internas (só provoca movimentos de corporígido da estrutura). Portanto: 0=U ⇒=UWE 0)01,0()2/1( =−⋅−+ H C∆ )(m1052/01,0 3 ←⋅−==∴ −HC∆ CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2004 Primeira Prova – Data: 31/03/2004 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 1ª Questão (5,5 pontos) Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. Somente considere deformações por flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 105 kNm2. 2ª Questão (3,5 pontos) Considere os pórticos planos mostrados abaixo sobre os quais atuam concomitantemente as seguintes solicitações: ● Uma carga concentrada vertical de 48 kN no centro viga (barra horizontal). ● Resfriamento das fibras superiores da viga de ∆Ts = –24 °C ao longo de toda a sua extensão (as fibras inferio- res não sofrem variação de temperatura, isto é, ∆Ti = 0 °C). ● Recalque horizontal (para a direita) de 1,8 mm (1,8 x 10–3 m) do apoio esquerdo. Sabe-se: (1) O material tem módulo de elasticidade E = 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 /°C. (2) As barras da estrutura têm seção transversal com área A = 10–1 m2 e momento de inércia I = 10–3 m4. A altura da seção transversal é h = 0,60 m e o seu centro de gravidade fica posicionado na metade da altura. (3) O deslocamento axial relativo interno provocado pela variação de temperatura em um elemento infinitesimal de barra é duT = α ∆TCG dx, sendo ∆TCG a variação de temperatura na fibra do centro de gravidade da seção transversal. (4) O rotação relativa interna provocada pela variação de temperatura em um elemento infinitesimal de barra é ( ) dx h TTd siT ∆∆αθ −= . Pede-se: (a) (0,5 ponto) Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura isostática da esquerda para as três soli- citações concomitantes. (b) (2,5 pontos) Utilizando o Método das Forças, determine o diagrama de momentos fletores da estrutura hipe- restática da direita para as três solicitações concomitantes. Utilize obrigatoriamente como Sistema Principal o pórtico isostático mostrado na figura da esquerda. No cálculo do termo de carga devido à carga aplicada e no cálculo do coeficiente de flexibilidade, considere apenas deformações por flexão. (c) (0,5 ponto) Considere que a viga (barra horizontal) da estrutura teve a seção transversal modificada para uma com momento de inércia I = 2,0 x 10–3 m4 (as outras barras não se alteram). Responda (não precisa fa- zem nenhum cálculo): (c.1) O diagrama de momentos fletores da estrutura isostática se altera? Por que? (c.2) O diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática se altera? Por que? 3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 1ª Questão Sistema Principal (SP) e Hiperestáticos Equações de compatibilidade: =++ =++ 0 0 22212120 21211110 XX XX δδδ δδδ −= −= ⇒ = + ⇒ kNm1,20 kNm9,36 0 0 2 1 2 1 2221 1211 20 10 X X X X δδ δδ δ δ EIEI 51061201 3 16301 2 161201 2 11 10 += ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅=δ EIEI 10611 3 12611111 += ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=δ EIEI 540 6451 3 16301 3 1 61201 3 16301 2 161201 2 1 1 20 += ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅− ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+ ⋅=δ EIEI 14611 3 14611122 += ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=δ EIEI 7611 6 1611 3 161112112 += ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅== δδ Momentos Fletores Finais: 22110 XMXMMM ⋅+⋅+= Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP x X2x X1M1 M2 [kNm] M EI = 105 kNm2 X1 X1 X2 X2 [kNm]M0 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 X1 = 1 X1 = 1 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 X2 = 1 X2 = 1 2ª Questão – Item (a) M [kNm] Como a estrutura é isostática, o diagrama de momentos fletores só é devido à carga concentrada de 48 kN. Variação de temperatura e recalques de apoio não provocam esforços em estruturas isostáticas. EI = 105 kNm2 α = 10–5 /°C 2ª Questão – Item (b) X1 Sistema Principal e Hiperestático (g=1) M0 [kNm] Igual ao diagrama do item (a): O diagrama de momentos fletores só depende da carga aplicada. O termo de carga δ10 tem influência da carga concentrada, da variação de temperatura e do recalque de apoio. ρ = 1,8 x 10–3 m δ10 ρ Caso (0) – Solicitações externas isoladas no SP X1=1 M1 Caso (1) – X1 isolado no SP 1 X1 = 1 δ11 N1 = +1 N1 = 0 N1 = 0 x X1 HA = 1 Equação de compatibilidade 011110 =⋅+ Xδδ Sendo ρδδδδ 10101010 ++= TP : →P10δ deslocamento horizontal da seção do apoio da direita devido à carga concentrada no caso (0). →T10δ deslocamento horizontal da seção do apoio da direita devido à variação de temperatura no caso (0). →ρδ10 deslocamento horizontal da seção do apoio da direita devido ao recalque de apoio no caso (0). m106483723 2 121 50110 − ⋅+= ⋅⋅⋅⋅== ∫ EIdxEI MMPδ (considerando apenas deformação por flexão) ∫∫ += viga T viga TT duNdM 1110 θδ ( ) ( ) dxdxdx h TTd siT ⋅⋅=⋅=−⋅= 40 60,0 24 α α∆∆αθ ( ) dxdxTdu GCT ⋅−⋅=⋅⋅= 12α∆α ∫∫ ⋅⋅−⋅⋅= vigaviga T dxNdxM 1110 1240 ααδ m1064816123640 510 − ⋅+=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅= ααδ T 01 10 =⋅−⋅ ρδ ρ AH m10180108,1 5310 −− ⋅+=⋅+=ρδ ( ) ⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅== ∫ 6333333 121 2 1 11 EI dx EI Mδ (considerando apenas deformação por flexão) m/kN1072 511 − ⋅+=δ ( ) kN5,20 0107210180648648 0 1 1 55 11110 −=⇒ =⋅⋅+⋅++ →=⋅+ −− X X Xδδ Momentos fletores finais 110 XMMM ⋅+= M [kNm] 2ª Questão – Item (c) Item (c.1) – Na estrutura isostática, o diagrama de momentos fletores só depende dos valores da carga e reações, e da geometria da estrutura. Com a consideração da hipótese de pequenos deslocamentos, as equações de equilíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada (original) da estrutura. No caso da carga concentrada aplicada, a estrutura isostática terá sempre o diagrama de momentos fletores indicado no item (a) (diagrama triangular na viga). Momentos fletores devidos à variação de temperatura e ao recalque de apoio na estrutura isostática são sempre nulos. Portanto, o diagrama de momentos fletores não se altera com a modificação do momento de inércia da seção transversal da viga. Item (c.2) – Na estrutura hiperestática, por ter vínculos excedentes, os esforços internos dependem da rigidez relativa entre as barras. A solução da estrutura hiperestática pelo Método das Forças mostrada no item (b) demonstra que os valores dos momentos fletores finais dependem dos valores relativos entre momentos de inércia das seções transversais das barras. Por exemplo, o valor do coeficiente de flexibilidade m/kN1072 511 − ⋅+=δ corresponde ao caso de todas barras com mesma seção transversal. Esse valor seria diferente caso a viga tivesse uma seção transversal com o dobro do momento de inércia, alterando assim a resposta da estrutura. Portanto, o diagrama de momentos fletores fica alterado com a modificação do momento de inércia da seção transversal da viga. CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2004 Primeira Prova – Data: 13/09/2004 – Duração: 2:45 hs– Sem Consulta 1ª Questão (5,5 pontos) Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. Somente considere deformações por flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 105 kNm2. 2ª Questão (3,5 pontos) O pórtico ao lado sofreu um aquecimento interno de 20 °C (a temperatura externa não variou). Pede-se o diagrama de mo- mentos fletores provocado por esta variação de temperatura. Considere que as barras do pórtico podem se deformar axial- mente, isto é, não despreze a energia de deformação axial. Sabe-se: (1) O material tem módulo de elasticidade E = 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 /°C. (2) As barras da estrutura têm a seção transversal retangular indicada abaixo, que foi posicionada de modo a oferecer a maior resistência ao momento fletor atuante: h = 0.50 m b = 0.20 m hbA ⋅= 12 3hbI ⋅= (3) O deslocamento axial relativo interno provocado pela variação de temperatura em um elemento infinitesimal de barra é duT = α ∆TCG dx, sendo ∆TCG a variação de temperatura na fibra do centro de gravidade da seção transversal. (4) O rotação relativa interna provocada pela variação de temperatura em um elemento infinitesimal de barra é ( ) dx h TTd eiT ∆∆αθ −= sendo ∆Ti = +20 °C a variação de temperatura das fibras interiores e ∆Te = 0 °C a variação de temperatura das fi- bras exteriores. Considere que dθT é positivo quando a- longa as fibras interiores. (5) Considere que os momentos fletores são positivos quan- do tracionam as fibras interiores. 3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 1ª Questão Equações de compatibilidade: =++ =++ 0 0 22212120 21211110 XX XX δδδ δδδ += += ⇒ = ++ ++ + − − ⇒ kNm2.74 kNm8.78 0 0 2014 1432 3 1 864 11881 2 1 2 1 X X X X EIEI EIEI 1188 62161 3 141081 3 1 42161 3 141081 2 16541 3 1 1 10 −= ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅− ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅− ⋅=δ EIEI 3 14 611 3 1 411 3 12 1 2112 += ⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅⋅+ ⋅== δδ EIEI 86462161 3 141081 3 142161 3 11 20 −= ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅=δ EIEI 3 32411 3 12411611 3 12111 += ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+ ⋅⋅⋅⋅+⋅=δ EIEI 3 20411 3 12611 3 12122 += ⋅⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅⋅+⋅=δ Momentos Fletores Finais: 22110 XMXMMM ⋅+⋅+= Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP EI = 105 kNm2 Sistema Principal (SP) e Hiperestáticos X1 X1 X2 X2 [kNm] M0 M1 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 X1 = 1 X1 = 1 1/4 1/4 1/4 1/4 x X1 M2 1/6 1/4 1/4 1/4 1/4 1/6 1/6 1/6 X2 = 1 X2 = 1 x X2 [kNm] M 2ª Questão X1 Sistema Principal e Hiperestático (g=1) Caso (0) – Variação de temperatura isolada no SP M0 = 0 δ10 Caso (1) – X1 isolado no SP δ11 N1 = –1/4 x X1 X1=1 M1 N1 = +1/4 N1 = 0 1/4 1/4 Equação de compatibilidade 011110 =⋅+ Xδδ ∫∫ += estrutura T estrutura T duNdM 1110 θδ ( ) ( ) dx EA Ndx EI M ∫∫ += 2 1 2 1 11δ (considerando também deformação axial) ( ) ( ) dxdxdx h TTd eiT ⋅⋅+=+⋅=−⋅= 40 50.0 20 α α∆∆αθ dxdxTdu GC T ⋅⋅+=⋅⋅= 10α∆α ∫∫ ⋅⋅+⋅⋅= estruturaestrutura dxNdxM 1110 1040 ααδ rad102003 4 1403 4 1104)1( 2 13)1(40 510 − ⋅−= ⋅ ++⋅+⋅ −⋅⋅+ ⋅−⋅+⋅−⋅⋅= ααδ ( ) ( ) dxN EA dxM EI ∫∫ += 2 1 2 111 11δ ⋅ +⋅ ++⋅ −⋅ −⋅+ ⋅−⋅−⋅+−⋅−⋅= 3 4 1 4 13 4 1 4 114)1()1( 3 13).1()1(111 EAEI δ 4 33 m 6 0125.0 12 50.020.0 12 = ⋅ = ⋅ = hbI 2m10.0=⋅= hbA 28 kN/m10=E rad/kNm1008375.2 511 − ⋅+=δ kNm0.9601008375.2102000 11 55 11110 +=⇒=⋅⋅+⋅−→=⋅+ −− XXXδδ Momentos fletores finais 110 XMMM ⋅+= (sendo 00 =M ) M [kNm] CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2005 Primeira Prova – Data: 04/04/2005 – Duração: 2:30 hs – Sem Consulta 1ª Questão (5,5 pontos) Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. Somente considere deformações por flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 105 kNm2. 2ª Questão (3,5 pontos) A viga do pórtico ao lado sofreu um aquecimento na face superior de 12 °C e o engaste da direita sofreu um recalque rotacional de 0.001 rad no sentido horário. Pede-se o diagrama de momentos fletores provocado por estas duas solicitações atuando concomitantemente. Considere que as barras do pórtico podem se deformar axialmente, isto é, não despreze a energia de deforma- ção axial. Obrigatoriamente utilize o seguinte Sistema Principal: Sabe-se: (a) O material tem módulo de elasticidade E = 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 /°C. (b) As barras da estrutura têm a seção transversal retangular indicada abaixo, que foi posicionada de modo a oferecer a maior resistência ao mo- mento fletor atuante: h = 0.60 m b = 0.20 m hbA ⋅= 12 3hbI ⋅= (c) O deslocamento axial relativo interno provocado pela variação de temperatura em um elemento infinitesimal de barra é duT = α ∆TCG dx sendo ∆TCG a variação de temperatura na fibra do centro de gravidade da seção transversal. (d) O rotação relativa interna provocada pela varia- ção de temperatura em um elemento infinitesimal de barra é ( ) dx h TTd siT ∆−∆= αθ sendo ∆Ti a variação de temperatura das fibras inferiores da viga e ∆Ts a variação de temperatu- ra das fibras superiores. 3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: − − = − − = ⇒ = + bcad afce X bcad debf X X X dc ba f e 2 1 2 1 0 0 1ª Questão Equações de compatibilidade: =++ =++ 0 0 22212120 21211110 XX XX δδδ δδδ += −= ⇒ = +− −+ + − + ⇒ kNm7.29 kNm8.23 0 0 72/9 2/981 315 3241 2 1 2 1 X X X X EIEI EIEI 324 31081 2 13901 2 1 3901 2 16541 3 1 1 10 += ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅− ⋅=δ EIEI 315 31081 2 13901 2 1 3901 3 16361 3 1 1 20 −= ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅− ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+ ⋅=δ ( ) EIEI 83112611 3 11 11 += ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅=δ EIEI 2 9 311 311 2 1 1 2112−= ⋅⋅− ⋅⋅⋅− ⋅== δδ EIEI 7311611 3 1311 3 12122 += ⋅⋅+⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅⋅+⋅=δ Momentos Fletores Finais: 22110 XMXMMM ⋅+⋅+= Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP Sistema Principal (SP) e Hiperestáticos EI = 105 kNm2 X1 X1X2 X2 [kNm] M0 M1 1/6 X1 = 1 X1 = 1 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 x X1 M2 1/3 1/6 X2 = 1 X2 = 1 x X2 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/6 1/6 1/6 1 [kNm] M 2ª Questão X1 Sistema Principal e Hiperestático (g=1) Caso (0) – Variação de temperatura isolada no SP M0 = 0 δ10 ρB0 = –0.001 rad B A Caso (1) – X1 isolado no SP N1 = –1 x X1 X1=1 M1 N1 = +1 N1 = 0 1 6 δ11 MB1 = +6 kNm/kN Equação de compatibilidade 011110 =⋅+ Xδδ T 101010 δδδ ρ += 0110 BBM ρδ ρ ⋅−= ∫∫ += viga T viga TT duNdM 1110 θδ ( ) ( ) dx EA Ndx EI M ∫∫ += 2 1 2 1 11δ (considerando também deformação axial) ( ) ( )[ ] m10600001.06 50110 −⋅+=−⋅+−=⋅−= BBM ρδ ρ ( ) ( ) dxdxdx h TTd siT ⋅⋅−=−⋅=∆−∆⋅= 20 60.0 12 α ααθ dxdxTdu GC T ⋅⋅+=⋅∆⋅= 6αα ∫∫ ⋅⋅+⋅⋅−= vigaviga T dxNdxM 1110 620 ααδ [ ] m103606066)6( 2 120 510 − ⋅−=⋅⋅⋅+ ⋅+⋅⋅⋅−= ααδ T m10240 5101010 − ⋅+=+= Tδδδ ρ ( ) ( ) dxN EA dxM EI ∫∫ += 2 1 2 111 11δ ( ) ( ) ( ) ( )[ ]31131113).6()6(6)6()6( 3 11 11 ⋅+⋅++⋅−⋅−⋅+ +⋅++⋅+⋅+⋅⋅= EAEI δ 4 33 m0036.0 12 60.020.0 12 = ⋅ = ⋅ = hbI 2m12.0=⋅= hbA 28 kN/m10=E m/kN1005.501005.01050 55511 −−− ⋅+=⋅+⋅+=δ kN8.401005.50102400 11 55 11110 −=⇒=⋅⋅+⋅+→=⋅+ −− XXXδδ Momentos fletores finais 110 XMMM ⋅+= (sendo 00 =M ) M [kNm] CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2006 Primeira Prova – Data: 05/04/2006 – Duração: 2:30 hs – Sem Consulta 1ª Questão (5,5 pontos) Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. Somente considere deformações por flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 105 kNm2. 2ª Questão (3,5 pontos) O pórtico ao lado sofreu um aquecimento no seu interi- or de 16 °C e o apoio da esquerda sofreu um recalque vertical de 8.4 mm para baixo. Pede-se o diagrama de momentos fletores provocado por estas duas solicita- ções atuando concomitantemente. Considere que as barras do pórtico podem se deformar axialmente, isto é, não despreze a energia de deformação axial. Sabe-se: (a) O material tem módulo de elasticidade E = 107 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 /°C. (b) As barras da estrutura têm a seção transversal retangular indicada abaixo, que foi posicionada de modo a oferecer a maior resistência ao mo- mento fletor atuante: h = 0.60 m b = 0.20 m hbA ⋅= 12 3hb I ⋅ = (c) O deslocamento axial relativo interno provocado pela variação de temperatura em um elemento infinitesimal de barra é duT = α ∆TCG dx sendo ∆TCG a variação de temperatura na fibra do centro de gravidade da seção transversal. (d) O rotação relativa interna provocada pela varia- ção de temperatura em um elemento infinitesimal de barra é ( ) dx h TT d siT ∆−∆ = αθ sendo ∆Ti a variação de temperatura das fibras inferiores da viga e ∆Ts a variação de temperatu- ra das fibras superiores. 3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: − − = − − = ⇒ = + bcad afce X bcad debf X X X dc ba f e 2 1 2 1 0 0 1ª Questão Equações de compatibilidade: =++ =++ 0 0 22212120 21211110 XX XX δδδ δδδ += += ⇒ = +− −+ + − − ⇒ kNm8.103 kNm9.111 0 0 3/323/29 3/29191 26 11221 2 1 2 1 X X X X EIEI EIEI 1122 3362 2 1 31262 2 1 31861 3 1 3601 3 1 31861 3 1 32161 2 1 1 10 −= ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅− ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅− ⋅=δ EIEI 26 336 3 4 2 1 3126 3 4 2 1 3186 3 1 3 1 3601 3 1 3186 3 1 3 1 3216 3 1 3 1 91621 3 1 1 20 −= ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅− ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅− ⋅=δ EIEI 19 322311 3 1 3311 1 11 += ⋅⋅+ ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=δ EIEI 3 29 3 3 4 23 3 1 1 3 1 311 3 1 3 3 1 1 3 1 3 3 1 1 2 1 311 6 1 1 2112 −= ⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅− ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+ ⋅== δδ EIEI 3 32 3 3 4 3 4 3 3 1 3 1 3 1 3311 3 1 2911 3 11 22 += ⋅⋅+ ⋅⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP Sistema Principal (SP) e Hiperestáticos EI = 105 kNm2 X2 X2 X1 X1 Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP [kNm] M0 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 2 M1 X1 = 1 X1 = 1 x X1 X2 = 1 X2 = 1 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/3 2/9 2/9 4/3 M2 x X2 Momentos Fletores Finais: 22110 XMXMMM ⋅+⋅+= [kNm] M 2ª Questão X1 Sistema Principal e Hiperestático (g=1) Caso (0) – Solicitações externas isoladas no SP M0 = 0 δ10 ρA0 = –0.0084 m B A Caso (1) – X1 isolado no SP VA1 = –0.5 N1 = +1 N1 = +0.5 X1=1 δ11 x X1 M1 Equação de compatibilidade 011110 =⋅+ Xδδ T 101010 δδδ ρ += 01100110 01 AAAA VV ρδρδ ρρ ⋅−=⇒=⋅+⋅ ∫∫ += estrutura T estrutura TT duNdM 1110 θδ ( ) ( ) dx EA N dx EI M ∫∫ += 2 1 2 1 11δ (considerando também deformação axial) ( ) ( )[ ] m104200084.05.0 50110 −⋅−=−⋅−−=⋅−= AAV ρδ ρ ( ) ( ) dxdxdx h TT d siT ⋅⋅+= +⋅ = −⋅ = 3 80 60.0 16 α α∆∆αθ dxdxTdu GC T ⋅⋅+=⋅⋅= 8α∆α ∫∫ ⋅⋅+⋅⋅+= estruturaestrutura T dxNdxM 1110 8 3 80 ααδ [ ] m1042035.06183)3( 2 1 6)3( 2 1 3 80 5 10 − ⋅+=⋅+⋅⋅⋅+ ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+= ααδ T 0101010 =+= Tδδδ ρ ( ) ( ) dxN EA dxM EI ∫∫ += 212111 11δ ( ) ( ) ( ) ( )[ ]35.05.061113).3()3( 3 1 6)3()3( 3 11 11 ⋅+⋅++⋅+⋅+⋅+ +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅= EAEI δ 4 33 m0036.0 12 60.020.0 12 = ⋅ = ⋅ = hb I 2m12.0=⋅= hbA 27 kN/m10=E m/kN105625.75105625.01075 55511 −−− ⋅+=⋅+⋅+=δ 00105625.7500 11 5 11110 =⇒=⋅⋅+→=⋅+ − XXXδδ Momentosfletores finais 110 XMMM ⋅+= (sendo 00 =M ) M CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2006 Primeira Prova – Data: 06/09/2006 – Duração: 2:30 hs – Sem Consulta 1ª Questão (5,5 pontos) Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. Somente considere deformações por flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 105 kNm2. 2ª Questão (3,5 pontos) Considere o pórtico mostrado abaixo sobre o qual atuam concomitantemente as seguintes solicitações: ● Carga uniformemente distribuída de 9 kN/m na viga (barra horizontal). ● Aquecimento das fibras inferiores da viga de ∆Ti = +16 °C ao longo de toda a sua extensão (as fibras superio- res não sofrem variação de temperatura, isto é, ∆Ts = 0 °C). ● Recalque vertical (para baixo) de 3.2 mm (3.2 x 10–3 m) do apoio simples na esquerda. Pede-se o diagrama de momentos fletores do pórtico utilizando o Método das Forças. Considere deformações por flexão e deformações axiais. Adote o Sistema Principal e o Hiperestático indicados na figura da direita. X1 X1 Sistema Principal (SP) e Hiperestático Sabe-se: (a) O material tem módulo de elasticidade E = 107 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 /°C. (b) As barras da estrutura têm a seção transversal retangular indicada abaixo: h = 0.40 m b = 0.15 m hbA ⋅= 12 3hb I ⋅ = (c) O deslocamento axial relativo interno provocado pela variação de temperatura em um elemento infinitesimal de barra é duT = α ∆TCG dx sendo ∆TCG a variação de temperatura na fibra do centro de gravidade da seção transversal. (d) O rotação relativa interna provocada pela varia- ção de temperatura em um elemento infinitesimal de barra é ( ) dx h TT d siT ∆−∆ = αθ sendo ∆Ti a variação de temperatura das fibras inferiores da viga e ∆Ts a variação de temperatu- ra das fibras superiores. 3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: − − = − − = ⇒ = + bcad afce X bcad debf X X X dc ba f e 2 1 2 1 0 0 1ª Questão Equações de compatibilidade: =++ =++ 0 0 22212120 21211110 XX XX δδδ δδδ −= += ⇒ = +− −+ + + − ⇒ kNm9.53 kNm3.43 0 0 3/323/20 3/203/321 864 3/24641 2 1 2 1 X X X X EIEI EIEI 3 2464 4161 3 1 61201 3 1 4161 3 2 41201 2 1 41281 2 1 4161 3 1 41281 3 11 10 −= ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅=δ EIEI 864 4161 3 1 61201 3 1 4161 3 2 41201 2 1 41281 2 1 4161 3 1 41281 3 11 20 += ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅=δ EIEI 3 32 611 3 1 2 411411 3 1 2 1 11 += ⋅⋅⋅⋅+ ⋅⋅+ ⋅⋅⋅⋅+ ⋅=δ EIEI 3 32 611 3 1 2 411411 3 1 2 1 22 += ⋅⋅⋅⋅+ ⋅⋅+ ⋅⋅⋅⋅+ ⋅=δ EIEI 3 20 411 6 1 611 3 1 411411 3 11 2112 −= ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅== δδ Sistema Principal (SP) e Hiperestáticos Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP Momentos Fletores Finais: 22110 XMXMMM ⋅+⋅+= [kNm] M EI = 105 kNm2 X2 X2 X1 X1 [kNm] M0 1/6 X1 = 1 X1 = 1 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/6 1/6 X2 = 1 X2 = 1 M1 M2 Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP x X1 x X2 2ª Questão X1 Sistema Principal e Hiperestático (g=1) X1 Caso (0) – Solicitações externas isoladas no SP M0 δ10 ρA0 = –0.0032 m B A [kNm] (provocado somente pela carga) N0 = 0 N 0 = – 18 kN Caso (1) – X1 isolado no SP VA1 = +0.25 N1 = 0 X1=1 x X1 M1 X1=1 N 1 = + 0. 25 ( ) ( ) ∫∫ += estruturaestrutura dx EA N dx EI M 21 2 1 11δ (considerando também deformação axial) Equação de compatibilidade 011110 =⋅+ Xδδ Tq 10101010 δδδδ ρ ++= ∫∫ += estruturaestrutura q dx EA NN dx EI MM 0101 10δ (considerando também deformação axial) 01100110 01 AAAA VV ρδρδ ρρ ⋅−=⇒=⋅+⋅ ∫∫ += viga T viga TT duNdM 1110 θδ 27 kN/m10=E C/10-5 o=α 4 33 m0008.0 12 40.015.0 12 = ⋅ = ⋅ = hb I 2m06.040.015.0 =⋅=⋅= hbA ( ) rad105.298218 4 11 4)18()1( 3 11 5 10 − ⋅+= ⋅−⋅ +⋅+ ⋅+⋅+⋅⋅= EAEI qδ ( ) ( )[ ] rad10800032.025.0 50110 −⋅+=−⋅+−=⋅−= AAV ρδ ρ ( ) ( ) dxdxdx h TT d siT ⋅⋅+= ⋅ = ∆−∆⋅ = 40 40.0 16 α ααθ dxdxTdu GC T ⋅⋅+=⋅⋅= 8α∆α ∫∫ ⋅⋅+⋅⋅+= vigaviga T dxNdxM 1110 840 ααδ ( )[ ] rad10804084)1( 2 1 40 510 − ⋅+=⋅⋅⋅+ ⋅+⋅⋅⋅+= ααδ T rad105.458 510101010 − ⋅+=++= Tq δδδδ ρ ( ) ( )[ ]225.025.012)1()1(4)1()1( 3 11 11 ⋅+⋅+⋅+ ⋅+⋅++⋅+⋅+⋅⋅= EAEI δ rad/kNm106875.41 511 − ⋅+=δ 0106875.41105.4580 1 55 11110 =⋅⋅+⋅+→=⋅+ −− XXδδ kNm111 −=⇒ X Momentos fletores finais 110 XMMM ⋅+= M [kNm] CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2007 Primeira Prova – Data: 04/04/2007 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 1ª Questão (5,5 pontos) Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. Somente considere deformações por flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 105 kNm2. 2ª Questão (3,5 pontos) Considere os dois pórticos mostrados abaixo. O pórtico do lado esquerdo é isostático e o do lado direito é hiperes- tático. As duas estruturas têm como solicitação o carregamento uniformemente distribuído indicado e um aumento de temperatura ∆Ti = +16 °C nas fibras inferiores da viga. As fibras superiores da viga não sofrem variação de temperatura (∆Ts = 0 °C). As colunas (barras verticais) não sofrem nenhuma solicitação. Todas as barras têm um material com módulo de elasticidade E = 1 x 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica α = 1 x 10–5 /°C. Todas a barras têm seções transversais com área A = 0.012 m2, momento de inércia I = 0.001 m4, altura h = 0.60 m e centro de gravidade no meio de altura. Pede-se: (a) Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura isostática. (0,5 ponto) (b) Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática. Deve-se utilizar o Método das For- ças, adotando obrigatoriamente como Sistema Principal a estrutura isostática da esquerda. Considere os efei- tos de deformação axial no cálculo dos termos de carga e dos coeficientes de flexibilidade. (1,5 pontos) (c) Dê a interpretação física do termo de carga δ10 do sistema de equações de compatibilidade do Método das Forças para esta solução. (0,5 ponto) (d) Considere que as colunas (barras verticais) dos pórticosacima tiveram a seção transversal modificada para uma com momento de inércia I = 0.002 m4 (a viga não se altera). Responda sem fazer nenhum cálculo: (d.1) O diagrama de momentos fletores da estrutura isostática se altera? Por que? (0,5 ponto) (d.2) O diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática se altera? Por que? (0,5 ponto) Sabe-se: (i) O deslocamento axial relativo interno provocado pela variação de temperatura em um elemento infinitesimal de barra é duT = α ∆TCG dx sendo ∆TCG a variação de temperatura na fibra do centro de gravidade da seção transversal. (ii) O rotação relativa interna provocada pela varia- ção de temperatura em um elemento infinitesimal de barra é ( ) dx h TT d siT ∆−∆ = αθ sendo ∆Ti a variação de temperatura das fibras inferiores da viga e ∆Ts a variação de temperatu- ra das fibras superiores. 3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: − − = − − = ⇒ = + bcad afce X bcad debf X X X dc ba f e 2 1 2 1 0 0 1ª Questão Equações de compatibilidade: =++ =++ 0 0 22212120 21211110 XX XX δδδ δδδ −= += ⇒ = ++ ++ + + − ⇒ kNm0.30 kNm5.22 0 0 62 241 135 301 2 1 2 1 X X X X EIEI EIEI 30 65.221 3 1 6601 6 1 65.221 3 1 6601 3 11 10 −= ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅=δ EIEI 135 3601 3 1 65.221 3 1 6601 3 11 20 += ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅=δ EIEI 4 611 3 1 2 1 11 += ⋅⋅⋅⋅+⋅=δ EIEI 2 611 3 11 2112 += ⋅⋅⋅+⋅== δδ EIEI 6 311 3 1 2611 3 1 2 1 22 += ⋅⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅⋅+⋅=δ EI = 105 kNm2 X2 X2 X1 X1 Sistema Principal (SP) e Hiperestáticos [kNm] M0 Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 1/6 X1 = 1 X1 = 1 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/3 1/3 1/3 M1 x X1 Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP 1/3 1/3 1/3 1/6 1/6 X2 = 1 X2 = 1 M2 x X2 1/3 1/6 1/6 Momentos Fletores Finais: 22110 XMXMMM ⋅+⋅+= [kNm] M 2ª Questão – Item (a) M [kNm] O diagrama de momentos fletores da estrutura isostática só depende do carregamento (cargas aplicadas) e de suas reações de apoio. Isto é, a variação de temperatura, embora deforme a estrutura isostática, não provoca esforços internos e reações de apoio. 2ª Questão – Item (b) Sistema Principal e Hiperestático (g=1) X1 X1 Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP M0 N0= –48 N0= 0 N0= –48 N0 Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP M1 x X1 1/3 1/3 N1= –1/3 N1= 0 N1= 0 X1=1 X1=1 N1 M1= –1 Equação de compatibilidade 011110 =⋅+ Xδδ Sendo T q 101010 δδδ += : ∫∫ += estruturaestrutura q dx EA NN dx EI MM 0101 10δ ∫∫ += viga T viga TT duNdM 1110 θδ [ ] rad1028801672)1( 3 21 5 10 − ⋅−=+ ⋅⋅−⋅= EAEI qδ ( ) ( ) dxdxdx h TT d siT 3 80 60.0 016 ⋅+= −⋅ = −⋅ = α α∆∆αθ dxdxTdu GC T ⋅⋅+=⋅⋅= 8α∆α ∫∫ ⋅+ ⋅ = vigaviga T dxNdxM 1110 8 3 80 α αδ rad10176)3/1(68)1(6 3 80 5 10 − ⋅−=−⋅⋅⋅+−⋅⋅ ⋅ = α αδ T ∫∫ += estruturaestrutura dx EA NN dx EI MM 1111 11δ ⋅ −⋅ −⋅ + ⋅⋅+ ⋅⋅⋅⋅⋅= 6 3 1 3 11 611311 3 1 2 1 11 EA EI δ rad/kNm10 18 145 10 18 1 108 55511 −−− ⋅+=⋅+⋅+=δ ( ) kNm6.57 010 18 145 10176288 0 1 1 55 11110 +=⇒ =⋅⋅+⋅−− →=⋅+ −− X X Xδδ Momentos fletores finais 110 XMMM ⋅+= M [kNm] 2ª Questão – Item (c) →+= Tq 101010 δδδ rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula introduzida no SP provocada pelas solicitações externas no caso (0). →q10δ rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula introduzida no SP provocada pela carga distribuída da viga no caso (0). →T10δ rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula introduzida no SP provocada pela variação de temperatura da viga no caso (0). 2ª Questão – Item (d) Item (d.1) – Na estrutura isostática, o diagrama de momentos fletores só depende do carregamento (cargas aplicadas) e de suas reações de apoio. Com a consideração da hipótese de pequenos deslocamentos, as equações de equilíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada (original) da estrutura. Portanto, o diagrama de momentos fletores não se altera com a modificação do momento de inércia da seção transversal das colunas. No caso da carga uniformente distribuída atuando na viga, a estrutura isostática terá sempre o diagrama de momentos fletores indicado no item (a) (diagrama parabólico na viga). Momentos fletores devidos à variação de temperatura isolada na estrutura isostática são sempre nulos. Item (d.2) – Na estrutura hiperestática, por ter vínculos excedentes, os esforços internos dependem da rigidez relativa entre as barras. Com as colunas mais rígidas do que a viga, as rotações das extremidades da viga são menores do que no caso com todas as barras com mesma rigidez à flexão EI, se aproximando do caso de uma viga com extremidades engastadas. Portanto, o diagrama de momentos fletores fica alterado com a modificação do momento de inércia da seção transversal das colunas. A solução da estrutura hiperestática pelo Método das Forças mostrada no item (b) demonstra que os valores dos momentos fletores finais dependem dos valores relativos entre momentos de inércia das seções transversais das barras. CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2008 Primeira Prova – Data: 08/09/2008 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 1ª Questão (5,5 pontos) Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. Somente considere deformações por flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 105 kNm2. Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: − − = − − = ⇒ = + bcad afce X bcad debf X X X dc ba f e 2 1 2 1 0 0 2ª Questão (3,5 pontos) Para o pórtico plano mostrado abaixo pede-se o diagrama de momentos fletores utilizando o Método das Forças. O pórtico tem um material com módulo de elasticidade E = 107 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 /°C. As barras do pórtico têm uma seção transversal com área A = 0.18 m2, momento de inércia I = 0.0054 m4, altura h = 0.60 m e centro de gravidade no meio de altura. As seguintes solicitações atuam no pórtico concomitantemente: • Carga concentrada horizontal de 30 kN atuando no ponto do apoio da direita. • Aquecimento da face inferior da viga do pórtico de ∆Ti = +30 °C. A face superior
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