Volume

Prévia do material em texto

Módulo 2
327
Aplicações da Integral
%¶NEWNQ�FG�¶TGC�FG�WOC�TGIKºQ�NKOKVCFC�G�HGEJCFC
Nesta seção vamos abordar uma das aplicações 
GD�LQWHJUDO�GHÀQLGD��&RPHoDUHPRV�FRP�D�DSOLFDomR�
TXH�PRWLYRX� D� GHÀQLomR� GHVWH� LPSRUWDQWH� FRQFHLWR�
matemático – a determinação da área de uma região R do plano, que 
estudamos na Unidade 7.
9DPRV�FRQVLGHUDU�VHPSUH�D� UHJLmR�TXH�HVWi�HQWUH�RV�JUiÀFRV�GH�
GXDV�IXQo}HV��6XSRQKDPRV�HQWmR�TXH� f (x) e g(x) sejam funções con-
WtQXDV�QR�LQWHUYDOR�IHFKDGR a, b•– —˜ e que f (x) * g(x) para todo x em
a, b•– —˜ . Então, a área da região limitada acima por y � f (x) , abaixo por 
y � g(x) , à esquerda pela reta x � a e à direita pela retax � b , confor-
PH�LOXVWUD�D�ÀJXUD�DEDL[R��p�
A � f (x) < g(x)� 	 dx
a
b
0 .
A partir deste momento 
passaremos a examinar 
as aplicações do conteúdo 
estudado na Unidade anterior.
Curso de Graduação em Administração a Distância
328
x0 a b
y
f(x)
g(x)
[ ]
A
Figura 8.1
4XDQGR�D�UHJLmR�QmR�IRU�WmR�VLPSOHV�FRPR�D�GD�ÀJXUD������p�QHFHV-
ViULD�XPD�UHÁH[mR�FXLGDGRVD�SDUD�GHWHUPLQDU�R�LQWHJUDQGR�H�RV�OLPLWHV�
de integração. Segue abaixo um procedimento sistemático que podemos 
seguir para estabelecer a fórmula, utilizando os seguintes passos.
Passo 1.�9RFr�ID]�R�JUiÀFR�GD�UHJLmR�SDUD�GHWHUPLQDU�TXDO��FXUYD�OLPLWD�
acima e qual limita abaixo.
Passo 2.�9RFr�GHWHUPLQD�RV�OLPLWHV�GH�LQWHJUDomR��2V�OLPLWHV�a e b serão 
as abscissas x dos dois pontos de interseção das curvas y � f (x)
e y � g(x) . Para tanto iguala-se f (x) e g(x) , ou seja, faz 
f (x) � g(x) e resolve-se a equação resultante em relação a x.
Passo 3.�&DOFXOH�D�LQWHJUDO�GHÀQLGD�SDUD�HQFRQWUDU�D�iUHD�HQWUH�DV�GXDV�
curvas.
Observação &RQVLGHUHPRV�DJRUD�D�iUHD�GD�ÀJXUD�SODQD�OLPLWDGD�SHOR�
JUiÀFR�GH f (x) , pelas retasx � a e x � b e o eixo x, onde f (x) é uma 
função contínua sendo f (x) ) 0 , para todo x em a, b•– —˜ , conforme 
ÀJXUD�D�VHJXLU�
Módulo 2
329
x0
a b
y
f(x)
A
Figura 8.2
O cálculo da área A é dado por:
A � f (x) dx
a
b
0 ,
RX�VHMD��EDVWD�YRFr�FDOFXODU�D�LQWHJUDO�GHÀQLGD�H�FRQVLGHUDU�R�PyGXOR�
RX�YDORU�DEVROXWR�GD�LQWHJUDO�GHÀQLGD�HQFRQWUDGD�
Apresentaremos alguns exemplos de cálculo de área entre duas curvas:
Exemplo 8.1 Determinar a área da região limitada entre as curvas:
y � f (x) � x 
 6 e y � g(x) � x2 .
Resolução: Utilizando o procedimento sistemático apresentado 
acima, temos os seguintes passos:
Passo 1. Esboço da região
y
x0−1 1 2 3−2
2
4
6
8
10
Figura 8.3
Curso de Graduação em Administração a Distância
330
Passo 2. Para encontrar os limites de integração ,fazemos
f (x) � g(x) , isto é, x 
 6 � x2 ou x2 � x 
 6, que fornece
x2 < x < 6 � 0 ��3HOD�IyUPXOD�GH�%KDVNDUD�HQFRQWUDPRV�DV�UDt]HV�
da equação acima, x � <2 e x � 3 , que serão os limites de inte-
gração. Observe, pelo JUiÀFR�DFLPD��TXHx 
 6 * x2 , para todo 
x em <2, 3•– —˜ .
Passo 3. Calculando a área da região limitada por:
y � f (x) � x 
 6 e y � g(x) � x2 em <2, 3•– —˜ temos :
A � f (x) < g(x)� 	 dx
a
b
0
 = x 
 6� 	 < x2•– —˜
<2
3
0 dx � x 
 6 < x2� 	 dx
<2
3
0
 =
x2
2
 6x < x
3
3
£
¤²
¥
¦´
<2
3
 =
32
2
 6 = 3< 3
3
3
£
¤²
¥
¦´
< (<2)
2
2
 6 = (<2) < (<2)
3
3
£
¤²
¥
¦´
 =
9
2
+ 18 < 32
£
¤²
¥
¦´
< 4
2
<12 < <8
3
£
¤²
¥
¦´
 =
9
2
+ 18 < 9
£
¤²
¥
¦´
< 2 <12 + 8
3
£
¤²
¥
¦´
 � 9
2
 9
£
¤²
¥
¦´
< <10 
 8
3
£
¤²
¥
¦´
� 9 
18
2
£
¤²
¥
¦´
< <30 
 8
3
£
¤²
¥
¦´
 =
27
2
< <22
3
� 27
2
 22
3
 = 
81 + 44
6
� 125
6
 u.a.
Portanto, a área limitada por 
y � f (x) � x 
 6 e y � g(x) � x2 em <2, 3•– —˜ é 
125
6
unidades de área.
Exemplo 8.2 Determinar a área da região limitada por 
y � f (x) � 4 e y � g(x) � x2 .
Módulo 2
331
Resolução: Utilizando o procedimento sistemático apresentado 
acima, temos os seguintes passos:
Passo 1. Esboço da região:
y
x0−1 1 2−2
1
2
3
4
5
Figura 8.4
Passo 2. Para encontrar os limites de integração fazendo
f (x) � g(x) ,temos,4 � x2 ou x2 = 4. Logo,x � ( 4 = ( 2 , ou seja,
x
1
� <2 e x
2
� 2. Assim,a � <2 e b � 2 .
Passo 3. A área da região limitada por y � f (x) � 4 e y � g(x) � x2 ,
em <2, 2•– —˜ será:
A � f (x) < g(x)� 	 dx
a
b
0
 = 4 < x2� 	dx � 4x < x
3
3
£
¤²
¥
¦´<2
2
0
<2
2
 = 4 = 2 < 2
3
3
£
¤²
¥
¦´
< 4 = ( < 2) < ( < 2)
3
3
£
¤²
¥
¦´
 = 8 < 8
3
£
¤²
¥
¦´
< <8 < <8
3
£
¤²
¥
¦´
� 8 < 8
3
£
¤²
¥
¦´
< <8 + 8
3
£
¤²
¥
¦´
 = 8 < 8
3
+ 8 < 8
3
= 16 < 2 = 8
3
= 16 < 16
3
 =
48 <16
3
� 32
3
 u.a.
Portanto, a área limitada por y � f (x) � 4 e y � g(x) � x2 em
<2, 2•– —˜ é 
32
3
unidades de área.
Curso de Graduação em Administração a Distância
332
Exemplo 8.3 Determinar a área da região limitada por
y � f (x) � 8 < x2 e g(x) � x2 .
Resolução: Temos os seguintes passos:
Passo 1. Esboço da região:
y
x0−1 1 2−2
1
2
3
4
5
6
7
8
Figura 8.5
Passo 2. Para encontrar os limites de integração, fazemos
f (x) � g(x) , isto é, 8 < x2 � x2
, 
que fornece 8 � 2 x2 e
x
1
� <2 e x
2
� 2 . Assim,a � <2 e b � 2 .
Passo 3. A área da região limitada por y � f (x) � 8 < x2 e g(x) � x2
será:
A � f (x) < g(x)� 	 dx
a
b
0 � 8 < x2 < x2� 	 dx
<2
2
0
 = 8 < 2 x2� 	dx �
<2
2
0 8 x < 2
x3
3
£
¤²
¥
¦´
<2
2
 = 8 = 2 < 2 = 2
3
3
£
¤²
¥
¦´
< 8 = ( < 2) < 2 = ( < 2)
3
3
£
¤²
¥
¦´
 = 16 < 2 = 8
3
£
¤²
¥
¦´
< <16 < 2 = <8
3
£
¤²
¥
¦´
Módulo 2
333
= 16 < 16
3
+ 16 < 16
3
= 32 < 2 = 16
3
 = 32 < 32
3
=
96 < 32
3
� 64
3
 u.a.
Portanto, a área limitada por y � f (x) � 8 < x2 e g(x) � x2 em
<2, 2•– —˜ é 
64
3
unidades de área.
Exemplo 8.4 Determinar a área limitada pela curva y � f (x) � x2 < 5x ,
o eixo x e as retasx � 1 e x � 3.
Resolução: Temos os seguintes passos:
Passo 1. Esboço da região.
y
x0
1 1,5 2,52 3
−1
−6
−5
−4
−3
−2
Figura 8.6
Passo 2. Os limites de integração sãoa � 1 e b � 3 .
Passo 3. A área limitada pela curva y � f (x) � x2 < 5x o eixo x
e as retasx � 1 e x � 3, será:
Curso de Graduação em Administração a Distância
334
A � x2 < 5x� 	dx
1
3
0 �
x3
3
< 5 = x
2
2
£
¤²
¥
¦´
1
3
 =
33
3
< 5= 3
2
2
£
¤²
¥
¦´
< 1
3
3
< 5= 1
2
2
£
¤²
¥
¦´
 =
27
3
< 5= 9
2
£
¤²
¥
¦´
< 1
3
< 5= 1
2
£
¤²
¥
¦´
 = 9 < 45
2
£
¤²
¥
¦´
< 1
3
< 5
2
£
¤²
¥
¦´
� 18 < 45
2
£
¤²
¥
¦´
< 2 <15
6
£
¤²
¥
¦´
 =
<27
2
£
¤²
¥
¦´
< <13
6
£
¤²
¥
¦´
� <27
2
 13
6
 =
<81 + 13
6
� <68
6
� < 34
3
� 34
3
u.a.
Portanto, a área limitada pela curva y � f (x) � x2 < 5x , o eixo x
e as retas x � 1 e x � 3 é 34
3
unidades de área.
Exemplo 8.5 Encontrar a área da região limitada pela curva 
y � f (x) � sen x e pelo eixo x de 0 a 2/ .
Resolução: 9RFr�WHP�RV�VHJXLQWHV�SDVVRV�
Passo 1. Esboço da região:
0
1
�1
y
x� ���
2
��
2
Figura 8.7
Módulo 2
335
Passo 2. Para determinar os limites de integração, temos, pelo 
JUiÀFR�DFLPD��QR�LQWHUYDOR� 0 , /•– —˜ , f (x) � sen x * 0 e no interva-
lo / , 2/•– —˜ , f (x) � sen x ) 0 .
Passo 3. A área da região limitada pela curva f (x) � sen x , e pelo 
eixo x de 0 até 2/ será:
A � sen x dx 
 sen x dx
/
2/
0 � <cosx0
/
 <cosx
/
2/
0
/
0
 = <cos / < ( < cos 0)� 	 + <cos 2/ < ( < cos /� 	
 = <( <1) < ( <1) + <1< <( <1)� 	
 = 1 + 1 + <1<1 = 2 + <2 = 2 + 2 = 4 u.a.
Portanto, a área da região limitada pela curva f (x) � sen x e pelo eixo 
x de 0 até 2/ é 4 unidades de área.
Exercícios propostos – 1 
��� &DOFXODU�D�iUHD�GD�UHJLmR�HVSHFLÀFDGD�HP�FDGD�H[HUFtFLR�
a) y
x0 1 2 3 4
1
2
3
4
5
Figura 8.8
&KHJRX�D�KRUD�GH�SRU�HP�SUiWLFD�
R�TXH�YRFr�DSUHQGHX�QHVWD�VHomR��
5HVSRQGD�RV�H[HUFLFLRV�H�FDVR�WHQKD�
dúvidas, busque orientação junto ao 
6LVWHPD�GH�$FRPSDQKDPHQWR
Curso de Graduação em Administração a Distância
336
Onde y � f (x) � x 
1 . 
b) y
x0 1 2 3 4
1
2
3
4
Figura 8.9
Onde y � f (x) � x .
 
2) Determinar a área da região limitada por:
y � f (x) � x e y � g(x) � x2 < x .
3) Determinar a área da região limitada por y � f (x) � < x 
1, o eixo 
x e as retasx � <2 e x � 0 .
4) D e t e r m i n a r a á r e a d a r e g i ã o l i m i t a d a p o r
y � f (x) � x2 e y � g(x) � < x2 
 4x .
5) Calcular a área da região limitada por y � f (x) � 1
x
 , o eixo x e 
as retasx � 1 e x � 4 .
Volume de sólido de revolução
2�YROXPH�GH�XP�VyOLGR�GHVHPSHQKD�XP�SDSHO�LPSRUWDQWH�HP�PXL-
WRV�SUREOHPDV�QDV�FLrQFLDV�ItVLFDV��WDLV�FRPR��GHWHUPLQDomR�GH�centro de 
massa e de momento de inércia. Como é difícil determinar o volume de 
um sólido de forma irregular, começaremos com objetos que apresentam 
formas simples. Incluídos nesta categoria estão os sólidos de revolução.
Módulo 2
337
Um sólido de revolução é gerado pela rotação de uma região do pla-
QR��HP�WRUQR�GH�XPD�UHWD�FKDPDGD�eixo de revolução, contida no plano.
Seja S o sólido gerado pela rotação da região do plano limitada 
por y � f (x) , o eixox , x � a e x � b em torno do eixox . Então o 
volume V deste sólido é dado por:
V � / f (x)� 	2
a
b
0 dx.
3RGHPRV�SURYDU�D�IyUPXOD�DFLPD�XWLOL]DQGR�DUJXPHQWRV�VHPHOKDQ-
tes aos usados para calcular a área de uma região plana e limitada, mas 
QmR�IDUHPRV�HVWH�HVWXGR��1HVWH�WUDEDOKR�GDUHPRV�DSHQDV�D�IyUPXOD�
*UDÀFDPHQWH�
x0a b
y
y = f(x)
Figura 8.10
Curso de Graduação em Administração a Distância
338
x
y
Figura 8.11
Analogamente, quando o eixo de revolução é o eixo y e a frontei-
ra da região plana é dada pela curva x � g(y) e o eixo y entre y � c e
y � d , então o volume V do sólido de revolução é dado por
V � / g y� 	� 	2 dy.
c
d
0
x0
c
d
y
x = g(y)
Figura 8.12
Módulo 2
339
Sejam f x� 	 e g x� 	 funções contínuas no intervalo a,b•– —˜ e suSRQKD-
mos que f x� 	 * g x� 	 * 0 para todo x D a,b•– —˜. Então o volume do sólido 
de revolução gerado pela rotação em torno do eixox , da região limitada 
pelas curvas y � f x� 	 e y � g x� 	 e as retas x � a e x � b é dado por:
V � / f x� 	� 	2 < g x� 	� 	2•–³
—
˜µa
b
0 dx.
*UDÀFDPHQWH�
x0a b
y
y = f(x)
y = g(x)
Figura 8.13
x
y
Figura 8.14
Curso de Graduação em Administração a Distância
340
Exemplo 8.6 A região limitada pela curva y � x2 , o eixo x e as retas 
x � 1 e x � 2
,
 sofrem uma rotação em torno do eixox . Encontre o 
volume do sólido de revolução gerado.
Resolução: ,QLFLDOPHQWH�� FRQVWUXtPRV�R�JUiÀFR�GD�FXUYD�GDGD�
SHOD�ÀJXUD�
x0 1 2
1
4
y
y = f(x)
Figura 8.15
Temos:
V � / f x� 	� 	2 dx
a
b
0 � / x2� 	21
2
0 dx
� / x
5
5
1
2
� /
5
32 <1� 	
� 31
5
/ , unidades de volume (u.v.).
Exemplo 8.7 Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da 
região limitada por y � x3 , y � 0 e x � 1 em torno do eixo y .
Módulo 2
341
Resolução: ,QLFLDOPHQWH��FRQVWUXtPRV�R�JUiÀFR�GDV�FXUYDV�GDGDV
x0 0,5−0,5−1 1 1,5 2
0,5
−0,5
−1
1,5
2
1
y
y = x3
Figura 8.16
De y � x3 temosx � y1/3 . Logo, o volume do sólido obtido pela 
revolução em torno do eixo y é dado por
V � / g y� 	� 	
c
d
0
2
dy � / y2/3dy
0
1
0
 � 3/
5
y5/3
0
1
� 3/
5
u.v.
Exemplo 8.8 Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da 
região limitada por x2 � y < 2 , 2y < x < 2 � 0 , x � 0 e x � 1em torno 
do eixox .
Curso de Graduação em Administração a Distância
342
Resolução:��9HMD�D�ÀJXUD�DEDL[R��UHSUHVHQWDQGR�D�UHJLmR�
y
x
5
3
1
−1
4
2
0−2 2 4
x² = y−2
2y−x−2 = 0
Figura 8.17
(a) Volume do sólido em torno do eixox . Neste caso, temos
V � / f x� 	� 	2 < g x� 	� 	2•–³
—
˜µa
b
0 dx
 
� / x2 
 2� 	2 < 1
2
x 
1
£
¤²
¥
¦´
2•
–
³
³
—
˜
µ
µ0
1
0 dx
 
� / x4 
 15
4
x2 < x 
 3
£
¤²
¥
¦´0
1
0 dx
 
� / x
5
5
 5x
3
4
< x
2
2
 3x
£
¤²
¥
¦´
0
1
 
� / 1
5
 5
4
< 1
2
 3
£
¤²
¥
¦´
� 79/
20
u.v.
Módulo 2
343
Exercícios propostos – 2
1) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em 
torno do eixox , de região limitada por:
a) y � 2x 
1, x � 0, x � 3 e y � 0.
b) y � x2 
1, x � 1, x � 3 e y � 0.
2) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação 
em torno do eixo y , de região limitada por: y � lnx, y � <1, y � 3
e x � 0.
3) Calcule o volume do sólido obtido girando cada região limitada 
pelas curvas e retas dadas em torno do eixo indicado:
a) y � 2x2 , y � 0, x � 0, x � 5 ; em torno do eixo dosx .
b) y � x2 < 5x 
 6, y � 0 ; em torno do eixo dosx .
c) y2 � 2x , x � 0 , y � 0 e y � 3; em torno do eixo dos y .
d) y � 2x <1, x � 0 , x � 3 e y � 0 ; em torno do eixo dosx .
Curso de Graduação em Administração a Distância
344
Comprimento de arco
A seguir, apresentaremos o comprimento de arco de uma curva 
plana em coordenadas cartesianas. Seja f uma função contínua no in-
WHUYDOR�IHFKDGR[a,b] ��&RQVLGHUHPRV�R�JUiÀFR�GD�IXQomR y � f (x) .
y
xa b
y = ƒ(x)
B = (b,ƒ(b))
A = (a,ƒ(a))
Figura 8.18
Sejam A a, f (a)� 	 e B(b, f (b)) dois pontos na curva y � f (x) .
Seja s o comprimento da curva �ABª �GR�JUiÀFR�GD�GD�IXQomR y � f (x) .
Então, s é dado por
s � 1
 f '(x)� 	2
a
b
0 dx.
A seguir, apresentaremos alguns exemplos.
Exemplo 8.9 Determinar o comprimento de arco da curva y � x
2
1 ,
0 ) x ) 3 .
Resolução: Temos,
y � x
2
1‰ y ' � 1
2
.
Módulo 2
345
Logo,
s � 1
 f '(x)� 	2 dx
a
b
0
� 1
 1
40
3
0 dx
� 5
40
3
0 dx �
5
4
x
0
3
� 3
2
5.
Portanto, o comprimento de f (x) � x
2
1 , para 0 ) x ) 3 é dada 
por s � 3
2
5 u.c.
Exemplo 8.10 Calcule o comprimento do arco da curva 24xy � x4 
 48
de x � 2 a x � 4
Resolução: Temos,
24xy � x4 
 48
‰ y � 1
24
x3 
 2
x
‰ y ' � 3x
2
24
< 2
x2
� x
4 <16
8x2
.
Agora,
s � 1
 y '� 	2 dx
a
b
0 � 1
x4 <16
8x2
£
¤²
¥
¦´
2
2
4
0 dx
� 1
 1
64x4
x8 
 256 < 32x4� 	
2
4
0 dx
� x
8 
 32x4 
 256
64x4
dx
2
4
0
� (x
4 
16)2
(32x2 )2
dx
2
4
0 �
(x4 
16)2
(32x2 )2
dx
2
4
0
� x
4 
16
8x2
£
¤²
¥
¦´2
4
0 dx
� 1
8
x2 
16x<2� 	
2
4
0 dx �
1
8
x3
3
< 16
x
•
–
³
—
˜
µ
2
4
� 1
8
64
3
< 4 < 8
3
 8
•
–
³
—
˜
µ �
1
8
56
3
 4
•
–
³
—
˜
µ �
17
6
u.v.
Curso de Graduação em Administração a Distância
346
Exercícios propostos – 3
%� Determine o comprimento das curvas dadas por:
1) y � x
2
2
< 1
4
lnx, 2 ) x ) 4 .
2) y � ln 1< x2� 	 de x � 1
4
 ax � 3
4
.
3) y � 1
4
x4 
 1
8x2
de x � 1 ax � 2 .
4) y � 1< ln sen x� 	de x � /
6
 ax � /
4
.
5)y � 1
2
ex 
 e<x� 	de x � 0 ax � 1.
Saiba Mais...
Para aprofundar os conteúdos abordados neste capítulo consulte:
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Fun-
ções, Limite, Derivação, Integração, 5ª ed. São Paulo: Makron 
Books, 1992.
LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. 2. ed. 
São Paulo: Harbra, 1994. Vol. 1.
KWWS���SHVVRDO�VHUFRPWHO�FRP�EU�PDWHPDWLFD�VXSHULRU�VXSHULRU�KWP
KWWS���ZZZ�FHSD�LI�XVS�EU�H�FDOFXOR
—
—
—
—
9DPRV�YHULÀFDU�VH�YRFr�
compreendeu estas importantes 
DSOLFDo}HV�GD�LQWHJUDO�GHÀQLGD�
e para isto tente resolver os 
exercícios propostos a seguir. Se 
WLYHU�G~YLGDV��SURFXUH�HVFODUHFr�
las antes de seguir adiante.
Módulo 2
347
RESUMO
1HVWD�8QLGDGH� YRFr� HVWXGRX� DSOLFDo}HV� GD� LQWHJUDO�
GHÀQLGD�HP�FiOFXOR�GD�iUHD�GH�XPD�UHJLmR�SODQD�H�OLPLWDGD���
HVWXGRX�DSOLFDo}HV�GD�LQWHJUDO�GHÀQLGD�HP�FiOFXOR�GH�YROXPH�
do sólido de revolução, e no comprimento de arco de uma curva 
utilizando o sistema de coordenadas cartesianas.
Curso de Graduação em Administração a Distância
348
RESPOSTAS
Exercícios propostos – 1
1) a) 12 unidades de área. b) 16
3
unidades de área.
2) 4
3
unidades de área.
3) 4 unidades de área.
4) 8
3
unidades de área.
5) 2 unidades de área.
Exercícios propostos – 2
1) a) 57/ u.v.; b) 1016
15
/ u.v.
2) /
2
e6 < 1
e2
£
¤²
¥
¦´
u.v.; 
3) a) 2500/ u.v. b) /
30
u.v.
 c) 243
20
/ u.v. d) 21/ u.v.
Exercícios propostos – 3
1) 6+ 1
4
ln2 � 6,173u.c. 
2) ln 21
5
£
¤²
¥
¦´
< 1
2
u.c. 3) 123
32
u.c.
4) 1
2
ln2 < ln 2 
 2 
 ln 2 
 3 u.c.
5) 1
2e
e2 <1� 	u.c.
•
•
•