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1a Questão (Ref.: 201509218462) Pontos: 1,0 / 1,0 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j. 
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
 
 t2 i + 2 j 
 - 3t2 i + 2t j 
 3t2 i + 2t j 
 0 
 
 2t j 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201509218432) Pontos: 1,0 / 1,0 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1+t ; y=2+5t 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1 
 x= t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201509096231) Pontos: 1,0 / 1,0 
Calcule o limite de: 
lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y) 
 
 5 
 - 11 
 12 
 11 
 -12 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201509095069) Pontos: 1,0 / 1,0 
Encontrando Primitivas. 
Seja ∫((cost)i + 3t2)j dt, 
qual a resposta correta? 
 
 (cost)i - 3tj 
 (sent)i + t³j 
 (cost)i - sentj + 3tk 
 (cost)i + 3tj 
 -(sent)i -3tj 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201509097661) Pontos: 1,0 / 1,0 
Substitua a equação cartesiana x216+y225=1 por uma equação polar equivalente. 
 
 9((rcos(θ))2 -16r2=400 
 9((rcos(θ))2+r2=400 
 16((rcos(θ))2+9r2=400 
 9((rcos(θ))2+16r2=400 
 9((rcos(θ))2+16r2=0 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201509218309) Pontos: 1,0 / 1,0 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t2), indicando a única resposta correta. 
Considere a resposta em t=π4 
 
 (-22,- 22,-π4) 
 (22,22,π4) 
 (-22,22,π2) 
 (-2,2,π4) 
 (22,22,π2) 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201509218840) Pontos: 1,0 / 1,0 
Calcule a velocidade de uma partícula com vetor de posição r(t) = (t2, et, tet). Indique a única 
resposta correta. 
 
 (2t,et,(1 - t)et) 
 (2,et,(1+t)et) 
 (t,et,(2+t)et) 
 (2t,et,(1+t)et) 
 (t,et,(1+t)et) 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201509086030) Pontos: 1,0 / 1,0 
Supondo que r(t)é o vetor posição de uma partícula que se move a longo de uma curva 
então,em qualquer instante t , pode-se afirmar: 
 I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado por:v(t)=dr(t)dt 
 II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em relação ao tempo. 
 III) O versor v(t)|v(t)|dá a direção do movimento no instante t. 
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como o produto do módulo de sua 
velocidade pela sua direção. 
Estão corretas apenas as afirmações: 
 
 I,II,III e IV 
 II,III e IV 
 I,III e IV 
 I,II e III 
 I,II e IV 
 
 
 
 9a Questão (Ref.: 201509097591) Pontos: 1,0 / 1,0 
Sendo x=cos(wt), qual é o resultado da soma: d2xdt2+w2x? 
 
 w2sen(wt)cos(wt) 
 cos2(wt) 
 -wsen(wt) 
 w2 
 0 
 
 
 
 10a Questão (Ref.: 201509099764) Pontos: 1,0 / 1,0 
 Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis que tem derivadas 
parciais contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum intervalo e x,ye z são 
funções de outra variável t 
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt. 
Diz - se que dwdt é a derivada total de w com relação a t e representa a 
taxa de variação de w à medida que t varia. 
Supondo w=x2 -3y2 +5z2 onde x=et, y=e-t, z= e2t, 
calcule dwdt sendo t= 0 
 
 18 
 12 
 20 
 10 
 8 
 
 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201509087399) Pontos: 0,0 / 1,0 
Verifique se a função f(x,y,z) = x.cosy + y.senx + z.senx.cosy é harmônica. 
 
 
Resposta: o 
 
 
Gabarito: 
 
Uma função é harmônica se atende à equação de Laplace 
: ∂²f/∂x²+∂²f/∂y²+∂²f/∂z²=0. 
Portanto: 
∂f/∂x= cosy+y.cosx+z.cosx.cosy e ∂²f/∂x²= -y.senx -z.senx.cosy 
∂f/∂y= -x.seny + senx-z.senx.seny e ∂²f/∂y²= -x.cosy-z.senx.cosy 
∂f/∂z= senx.cosy e ∂²f/∂z²=0 
Segue que ∂²f/∂x²+ ∂²f/∂y²+ ∂²f/∂z²= -y.senx -z.senx.cosy-x.cosy-z.senx.cosy+0= -
y.senx-2z.sen.cosy-x.cosy, que é diferente de zero. 
Logo a função f(x,y,z) = x.cosy + y.senx + z.senx.cosy 
 não é harmônica. 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201509099729) Pontos: 0,0 / 1,0 
A Lemniscata de Bernoulli é a curva algébrica do quarto grau de equação cartesiana:(x2+y2)2=2a2(x2-y2). 
 
A Lemniscata é a figura geométrica com a forma de uma hélice, similar ao numeral 8 e ao símbolo de infinito 
oo. Pode ser descrita pelas coordenadas polares 
 r2=a2cos2θ. 
 Calcular a área dentro da lemniscata: 
 sabendo que no primeiro quadrante deve-se considerar 0≤r≤3cos2θ e 0≤θ≤π4 
 
 
 
Resposta: 2 
 
 
Gabarito: 
A=4∫0π4∫03(cos2θ)rdrdθ = 4∫0π4[r22]03⋅(cos2θ)dθ = 4∫0π4(9cos2θ2)dθ= 9∫0π4(cos2θ)2dθ= 9[sen2θ]0π4= 9[sen2⋅π4-
sen0]= 9 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201509218462) Pontos: 1,0 / 1,0 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j. 
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
 
 
 2t j 
 t2 i + 2 j 
 0 
 3t2 i + 2t j 
 - 3t2 i + 2t j 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201509097259) Pontos: 0,0 / 1,0 
Sendo f(x,y,z)=e
xyz 
encontre a soma das derivadas parciais da função em relação a cada variável no 
ponto P(1,0,1). 
 
 
 3e 
 1 
 e 
 0 
 2e 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201509097591) Pontos: 1,0 / 1,0 
Sendo x=cos(wt), qual é o resultado da soma: d2xdt2+w2x? 
 
 -wsen(wt) 
 0 
 w2sen(wt)cos(wt) 
 w2 
 cos2(wt) 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201509297032) Pontos: 0,0 / 1,0 
Seja f(x,y,z) = ( x^(2) * y^(1/3) ) / z. Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em 
relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [8 , 27] e z 
varia no intervalo [1 , e]. 
 
 845/2 
 455/4 
 455/3 
 455/2 
 845/3 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201509297156) Pontos: 0,0 / 1,0 
Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida 
por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1] 
 
 4 
 4 * (2)^(1/2) 
 14 * (2)^(1/2) 
 4 * (14)^(1/2) 
 2 * (14)^(1/2) 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201509297164) Pontos: 0,0 / 1,0 
Considere a função F(x,y,z) = ( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * y^(2) * z 
) (k). Calcular o divergente da função F(x,y,z). 
 
 6*x^(2)*y^(2) + 12*y*z^(2) + 10*y*z 
 6*x*y^(3) + 5*y^(2) + 4*z^(3) + 
 9*x^(2)*y^(2) + 10*y*z + 12*y*z^(2) 
 6*x^(2)*y^(2) + 4*z^(3) + 10*y*z 
 6*x*y^(3) + 12*y*z^(2) + 5*y^(2) 
 
 
 
 9a Questão (Ref.: 201509101569) Pontos: 0,0 / 1,0 
Inverta a ordem da integral, esboce a região de integração se achar necessário e calcule a 
integral ∫0π∫xπsenyydydx 
 
 2 
 e + 1 
 5 
 10 
 1 
 
 
 
 10a Questão (Ref.: 201509101534) Pontos: 1,0 / 1,0 
Seja a função w = ln (2x + 3y), encontre ∂2w∂y∂x 
 
 -6(2x+3y)2 
 -6x-y(2x+3y)2 
 -62x+3y 
 (2x+3y)2 
 -6(2x+3y)3