MAT Prova2016

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Universidade Federal de Pernambuco
Centro Acadêmico do Agreste
PPGECON – Programa de Pós-Graduação em Economia
Disciplina: Matemática
Prova 1
Aluno:
1. (1 ponto)Determine o valor de k, para que o sistema admita solução:


−4x3y = 2
5x− 4y = 0
2x− y = k
2. (1,5 pontos) De a definição de subespaço vetorial (0,5 pontos) e em seguida avalie quais dos seguintes subconjuntos
de R3 são subespaços
(a) W = {(x, y, z) ∈ R3|z = 2x− y} (0,5 pontos)
(b) U = {(x, y, z) ∈ R3|xy = 0} (0,5 pontos)
3. (a) (0,5 ponto) Dê a definição de Transformação Linear.
(b) (0,5 ponto) Qual a transformação linear T : R2 → R3 tal que T (−1, 1) = (3, 2, 1) e T (0, 1) = (1, 1, 0)?
(c) (0,5 ponto) Qual a transformação linear S : R3 → R2 tal que S(1,−1, 0) = (1, 1), S(0, 1, 1) = (2, 2) e
S(0, 0, 1) = (3, 3)?
(d) (0,5 ponto) Ache a transformação linear P : R2 → R2 tal que P = S ◦ T
4. (1 ponto) Suponha que os vetores u, v, w sejam linearmente independentes. Mostre que os vetores u + v ,u − v ,
u− 2v + w também são linearmente independentes.
5. (2 pontos) Seja X um subconjunto dos números reais, não vazio e limitado. Defina InfX (o ínfimo de X) (0,5
pontos) e SupX (o supremo de X) (0,5 pontos). Dado c < 0, prove que Inf cX = cSup(X) (1 ponto)
6. (1,5 pontos) Enuncie precisamente o princípio da indução (Terceiro Axioma de Peano) (0,5 pontos) e usando-o prove:
(a) (a− 1)(1 + a+ · · · + an = an+1 − 1 seja quais forem a, n ∈ N (0,5 pontos)
(b) Mostre que a soma dos cubos de três números naturais consecutivos é sempre divisível por 9. (0,5 pontos)
7. (1,5 pontos) Defina formalmente:
(a) Conjunto Limitado (0,5 pontos);
(b) Conjunto Enumerável (0,5 pontos);
(c) Conjunto Aberto (0,5 pontos)
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