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Geometria Euclidiana - Axiomas de incidência e ordem
Geometria Euclidiana (Universidade Federal de São Carlos)
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Geometria Euclidiana
Anotações de aula
Version: 1.0
Last update: 26 de Maio de 2019
1 Axiomas de incidência e ordem
1.1 Axiomas de incidência
Os seguintes axiomas são chamados de axiomas de incidência:
I1 Para toda reta, existem pontos que pertencem a reta e pontos que não pertencem a reta
I2 Dados dois pontos distintos, existe uma única reta que passa por esses pontos.
Definição 1. Se duas retas possuem um ponto em comum, dizemos que elas se intersectam. Caso contrário,
dizemos que elas são paralelas.
Proposição 1. Duas retas distintas ou não se intersectam ou se intersectam em um único ponto.
Demonstração. Sejam m e n duas retas distintas. Se m e n possuem pelo menos dois pontos distintos em
comum, pelo Axioma I1, m e n coincidem, que é um contradição com o fato que m e n são retas distintas.
Logo, m e n possuem no máximo um ponto em comum. �
1.2 Axiomas de ordem
A noção de que um ponto localiza-se entre dois outros pontos é uma relação entre pontos de uma mesma
reta que satisfaz aos seguintes axiomas, referidos como axiomas de ordem. Os axiomas de ordem são os
seguintes:
II1 Dados três pontos de uma reta, um e apenas um deles está entre os outros dois.
II2 Dados dois pontos A e B sempre existem: um ponto C entre A e B e um ponto D tal que B está entre A
e D.
II3 Uma reta m determina exatamente dois semiplanos distintos cuja interseção é a reta m.
Observação. O axioma II1 garante que nenhum círculo é uma reta e o axioma II2 garante que uma reta possui
infinitos pontos.
Notação. Usaremos a notação A ∗ C ∗ B para dizer que C está entre A e B.
Definição 2. O segmento AB é o conjunto formado pelos pontos C tais que A ∗ C ∗ B mais os pontos A e B.
Os pontos A e B são ainda chamados de extremos ou extremidades do segmento.
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Definição 3. Dados dois pontos distintos A e B, o conjunto constituído pelos pontos do segmento AB e por
todos os pontos C tais que A ∗ B ∗ C é chamado de semirreta com origem em A que contém o ponto B, sendo
representado por SAB.
Proposição 2. Sejam A e B dois pontos distintos. Então valem as seguintes afirmações:
a) SAB ∪ SBA é a reta determinada por A e B.
b) SAB ∩ SBA = AB
Demonstração. a) Seja m a reta determinada por A e B. Da definição de semirreta segue que SAB∪SBA ⊂
m. Se c ∈ m, então, pelo axioma II1, existem somente três alternativas:
(a) A ∗ C ∗ B
(b) A ∗ B ∗ C
(c) C ∗ A ∗ B
No caso 1), C pertence ao segmento AB; no caso 2), C pertence à SAB; e no caso 3), C pertence à SBA.
Daí, m ⊂ SAB ∪ SBA.
b) Tome um elemento C ∈ SAB. Se C ∈ AB, então, por definição, C ∈ SBA. Se A ∗ B ∗C, então C < SBA,
já que, pelo axioma II1, não pode ocorrer B ∗ A ∗ C. Logo, SAB ∩ SBA = AB.
�
Definição 4. Sejam m uma reta e A um ponto não pertencente a m. O conjunto formado pelos pontos de m e
pelos pontos B tais que o segmento AB não intersecta com m é chamado de semiplano determinado por m
contendo A e é representado por PmA. Podemos alternativamente dizer que o semiplano PmA é o conjunto de
todos os pontos B tais que A e B estão no mesmo lado da reta.
1.3 Exercícios
1. Sobre uma reta marque quatro pontos A,B,C e D, em ordem, da esquerda para a direita. Determine:
a) AB ∪ BC
b) AB ∩ BC
c) AC ∩ BD
d) AB ∩ CD
e) SAB ∩ SBC
f) SAB ∩ SAD
g) SCB ∩ SBC
h) SAB ∪ SBC
2. Prove a afirmação feita de que existem infinitos pontos em um segmento.
Definição 5. Um subconjunto do plano é convexo se o segmento ligando quaisquer dois de seus pontos
está totalmente contido nele.
3. Prove que a intersecção de dois semiplanos é um convexo.
4. Prove que a intersecçao de n semiplanos é um convexo.
5. Mostre, exibindo um contraexemplo, que a união de convexos pode não ser um convexo.
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6. Podem existir dois intervalos distintos tendo dois pontos em comum? E tendo exatamente dois pontos
em comum?
Bônus Prove que a intersecção de n convexos ainda é um convexo.
1.4 Soluções
1. a) AB ∪ BC = AC
b) AB ∩ BC = {B}
c) AC ∩ BD = BC
d) AB ∩ CD = �
e) SAB ∩ SBC = SBC
f) SAB ∩ SAD = SAD ou SAB
g) SCB ∩ SBC = BC
h) SAB ∪ SBC = SAB
2. Digamos que a reta tenha um conjunto finito de pontos, digamos A1, A2, · · · , An. Suponha, sem perda
de generalidades, que A1 ∗ A2 ∗ A3 ∗ · · · ∗ An. Pelo axioma II2, existe um ponto B tal que A1 ∗ An ∗ B.
Mas B não pode ser A1, A2, · · · , An, pois isso iria contra o axioma II1. Absurdo, pois por hipótese a
reta possui apenas os pontos A1, A2, · · · , An.
3. Sejam C e D dois pontos, r e s duas retas e PrC e PsD dois semiplanos. Sejam A,B ∈ Pr A ∩ PsA.
Repare que se A ∈ PrC , então PrC = Pr A e de forma análoga temos que PsD = PsA. Por definição, o
segmento AB está contido em Pr A, mas também está contido em PsA, ou seja, AB está contido em
Pr A ∩ PsA. Portanto, como A e B são pontos arbitrários, PrC ∩ PsD é um convexo.
4. Sejam A1, A2, · · · , An pontos do plano, r1,r2, · · · ,rn retas, Pri Ai , i = 1,2, · · · ,n, semiplanos e A,B dois
pontos pertencentes a interseção desses semiplanos. Utilizando o mesmo argumento do item anterior,
temos que Pri Ai = Pri A para i = 1, · · · ,n. Logo, por definição, o segmento AB pertence a Pri A para
i = 1, · · · ,n e, portanto, pertence a interseção. Assim, a interseção de n semiplanos é convexa.
5. Tome a união entre duas retas distintas. Suponha que dadas duas retas distintas, r e s, sua união seja
um convexo. Então tomando dois pontos distintos A ∈ r e B ∈ s, com A,B < r ∩ s existe uma reta m
que passa por esses dois pontos. Pelo axioma II2, existe um ponto C tal que A ∗ C ∗ B. Como r ∪ s
é convexa e C ∈ AB, então C ∈ r ou C ∈ s. Suponha, sem perda de generalidade, que C ∈ r. Isso
geraria um absurdo, pois isso implicaria, pelo axioma I2 que m = r e, logo, que B ∈ r , o que contraria
a hipótese. Portanto, a união entre duas retas distintasnão é convexa.
6. Tome três pontos distintos A,B e C sobre uma reta de forma que A ∗ B ∗ C. O segmento AB e AC
possuem dois pontos em comum, os pontos A e B, mas são segmentos distintos. A segunda pergunta
tem resposta negativa já que se dois segmentos tivessem dois pontos em comum, eles teriam infinitos
pontos em comum, pelo axioma II2.
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