P3 2012 2º Gabaritos (1)

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MA2311 CÁLCULO NUMÉRICO 2º Semestre de 2012 Prova P3 A Nº de ordem: _________ 
Nome: ____ GABARITO __________________ Ass.: _______________________________ Nº: ��������-� 
Tempo de Prova: 80 minutos Fazer a prova legível e em ordem É permitido usar calculadora NOTA: ____________ 
 
 
QUESTÃO 1: Dado o sistema não linear, pede-se: 



=−−
=−+
01ey
04xy
x
2
 
(a) Mostrar graficamente que o sistema tem solução real. 
(b) Calcular uma solução (x,y) com x > 0 , aproximada do sistema, usando o método iterativo 
de Newton-Raphson, com aritmética arredondada para duas casas decimais. 
 
Solução: 
(a) Localização gráfica da solução 
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1
0
1
2
3
4
5
x
y
 
(b) Substituindo-se 24 xy −= na segunda equação temos que 032 =−+ xex 
xx
exxfeexxf +=−+= 2)('3)( 2 
Calculo da raiz por Newton-Raphson: 0xcom
ex2
3ex
xx
x
x2
k1k >+
−+
−=+
 
 x0= 0.5 x1=0,92 x2=0,84 x3=0,84 
32,3129,384,04 84,02 =+==−= eyouy 
 
Resposta: A solução do sistema é (x, y)=(0.84 , 3.29) 
QUESTÃO 2: Fazer a análise harmônica dos dados tabelados, se possível 
 
 
 
 
Solução: Mudança de Variável 
),(
,.,
,
11x5t
55b
5a
ba21
2
ba110
baxt
−pi=⇒



pi−=
pi=
⇒




+=
pi
+=
+=
 
1 cos(t) sem(t) cos(2t) F(t) 
1 1 0 1 -−3 
1 0 1 −1 5 
1 −1 0 1 −1 
1 0 −1 −1 2 
4 0 0 0 3 
0 2 0 0 − 2 
0 0 2 0 3 
0 0 0 4 -−11 
 
),(,)cos(.,)(.,)cos(,
,
,
,
11x5tsendot2752tsen51t750y
752a11a4
51b3b2
1a2a2
750a3a4
22
11
11
00
−pi=−+−=
−=⇒−=
=⇒=
−=⇒−=
=⇒=
 
x 1,1 1,2 1,3 1,4 
f(x) −3 5 −1 2 
 A
 
QUESTÃO 3: Seja P2(x) o polinômio interpolador para os dados (0 , 0) , (1.5 , y) e (2 , 2). 
Encontre y para o caso em que o coeficiente de x2 em P2(x) é 6. 
 
Solução: 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) 2502
51xx
y
5051
2xx
xP2 .
,.
,.
.
,.,
.)( −+
−
−
=
 
x
50
51
y
750
2
x
50
1
750
y
50
x51x
y
750
x2x
xP 2
22
2 .
,
,
,
.
,,,
,
.
,
.)( 





−+





+
−
=
−
+
−
−
=
 
Impondo que 3y6
50
1
750
y
−=⇒=+
− ,,
 
QUESTÃO 4: Um aluno ao resolver o Problema abaixo cometeu 5 erros na digitação da Codifica-
ção em Matlab. Pede-se encontrar e especificar os 5 erros cometidos na digitação. 
Problema: Ao fazer um estudo prévio na construção de um trecho de linha para distribuição de 
energia, julgou-se conveniente que seu traçado se aproximasse de uma curva dada por um 
polinômio P do 2º grau. Os dados constam na tabela ao estabelecer um sistema de coordenadas 
num mapa do local. Determinar a equação dessa curva e fazer o seu gráfico. 
x 1 2 3 4 
y 1,9 2,8 3,1 2,7 
 
 
Codificação em Matlab: 
x=[1 , 2 , 3 , 4] 
y=[1.9 , 2 .8 , 3 .1 , 2 ,7] 
n=size(m) 
g0=ones(n) , g1=x , g2=x^2, 
g=[ g0 ; g1 ; g2 ] ' 
G=g'*g 
b=g'*y' 
c=inv(G)*b 
Syms z 
P=c(1)+c(2)*z+c(3)*z^2 
figure (1) 
m=0;0.1;5 
fm=c(1)+c(2)*m+c(3)*m.^2 ; 
p lot(x, y, '*r ' , m, fm , 'b ' ) 
Erros Digitados: (destacados em negrito) 
Erro 1: 2 ,7 
 
Erro 2: n=size(m) 
 
Erro 3: g2=x.^2 
 
Erro 4: Syms z 
 
 
Erro 5: m=0;0.1;5 
 
 
A 
 
 
 
 MA2311 CÁLCULO NUMÉRICO 2º Semestre de 2012 Prova P3 B Nº de ordem: _________ 
Nome: __ GABARITO____________________ Ass.: _______________________________ Nº: ��������-� 
Tempo de Prova: 80 minutos Fazer a prova legível e em ordem É permitido usar calculadora NOTA: ____________ 
 
 
QUESTÃO 1: Dado o sistema não linear, pede-se: 



=−−
=−+
01ey
04xy
x
2
 
(a) Mostrar graficamente que o sistema tem solução real. 
(b) Calcular uma solução (x,y) com x < 0 , aproximada do sistema, usando o método iterativo 
de Newton-Raphson, com aritmética arredondada para duas casas decimais. 
 
Solução: 
(a) Localização gráfica da solução 
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1
0
1
2
3
4
5
x
y
 
(b) Substituindo-se 24 xy −= na segunda equação temos que 032 =−+ xex 
xx
exxfeexxf +=−+= 2)('3)( 2 
Calculo da raiz por Newton-Raphson: 0xcom
ex2
3ex
xx
x
x2
k1k <
+
−+
−=+
 
681x681x691x51x 3210 ,,,, −=−=−=−= 
( ) 1911eyou1816814y 6812 ,,, , =+==−−= 
 
Resposta: A solução do sistema é (x, y)=(−1.68 , 1.18) 
QUESTÃO 2: Fazer a análise harmônica dos dados tabelados, se possível 
 
 
 
 
Solução: Mudança de Variável 
),(
,.,
,
11x5t
55b
5a
ba21
2
ba110
baxt
−pi=⇒



pi−=
pi=
⇒




+=
pi
+=
+=
 
1 cos(t) sem(t) cos(2t) F(t) 
1 1 0 1 −3 
1 0 1 −1 4 
1 −1 0 1 −3 
1 0 −1 −1 1 
4 0 0 0 −1 
0 2 0 0 0 
0 0 2 0 3 
0 0 0 4 −11 
 
),(,)cos(.,)(.,,
,
,
,
11x5tsendot2752tsen51250y
752a11a4
51b3b2
0a0a2
250a1a4
22
11
11
00
−pi=−+−=
−=⇒−=
=⇒=
=⇒=
−=⇒−=
 
x 1,0 1,1 1,2 1,3 
f(x) −3 4 −3 1 
 B
 
QUESTÃO 3: Seja P2(x) o polinômio interpolador para os dados (0, 0) , (0.5 , y) e (2,2). 
Encontre y para o caso em que o coeficiente de x2 em P2(x) é 6. 
 
Solução: 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) 2512
50xx
y
5150
2xx
xP2 .
,.
,.
.
,.,
.)( −+
−
−
=
 
x
51
50
y
750
2
x
51
1
750
y
51
x50x
y
750
x2x
xP 2
22
2 .
,
,
,
.
,,,
,
.
,
.)( 





−+





+
−
=
−
+
−
−
=
 
 Impondo que 4y6
51
1
750
y
−=⇒=+
− ,,
 
QUESTÃO 4: Um aluno ao resolver o Problema abaixo cometeu 5 erros na digitação da Codificação 
em Matlab. Pede-se encontrar e especificar os 5 erros cometidos na digitação. 
Problema: Ao fazer um estudo prévio na construção de um trecho de linha para distribuição de energia, 
julgou-se conveniente que seu traçado se aproximasse de uma curva dada por um polinômio P do 2º 
grau. Os dados constam na tabela ao estabelecer um sistema de coordenadas num mapa do local. 
Determinar a equação dessa curva e fazer o seu gráfico. 
x 1 2 3 4 
y 1,3 2,5 3,4 2,9 
 
 
Codificação em Matlab: 
x=[1 , 2 , 3 , 4] 
y=[1,3 , 2 .5 , 3 .4 , 2 .9] 
m=size(x) 
g0=ones(m) , g1=x , g2=x^2, 
g=[ g0 ; g1 ; g2 ] ' 
G=g'*g 
b=g'*y' 
c=inv(G)*b 
syms t 
P=c(1)+c(2)*t+c(3)*t^2 
Figure (1) 
n=0;0.1;5 
fn=c(1)+c(2)*n+c(3)*n.^2 ; 
p lot(y, x, '*b ' , n, fn , ' r ' ) 
Erros Digitados: (destacados em negrito) 
Erro 1: 1 ,3 
 
Erro 2: g2=x.^2 
 
Erro 3: Figure (1) 
 
 
Erro 4: n=0;0.1;5 
 
Erro 5: plot(y , x , '*b ' , n, fn , ' r ' ) 
 
 
 
 
 
 
B