Vibraçoes_Trabalho_Final 2012-1

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ARTHUR DE PAULA FERREIRA
ARTHUR EDUARDO DE FREITAS LAROCCA
CAMILA BEATRIZ RIBAS
MAURICIO SEIJI KATO
VIBRAÇÕES MECÂNICAS – TRABALHO FINAL
Trabalho apresentado como requisito parcial para aprovação na disciplina de Vibrações Mecânicas, do Departamento de Engenharia Mecânica, Setor de Tecnologia, da Universidade Federal do Paraná.
CURITIBA
2012
 
1. INTRODUÇÃO
O presente documento apresenta o estudo referente às frequências naturais, modos de vibrar e vibrações transitórias de uma estrutura de edifício em escala reduzida. Com base na teoria de vibrações, o objetivo deste trabalho é de apresentar, discutir e comparar os resultados obtidos pelas vias numérica e experimental de tal estrutura. O modelo físico da estrutura em estudo, apresentado na figura 1, indica que o objeto de estudo se trata de um edifício, com 4 lajes, em vibração horizontal. Nesta modelagem, representa-se cada laje por uma massa concentrada e os pilares por molas, que respondem pela rigidez horizontal. Assumindo tais hipóteses, a estrutura a ser estudada apresenta 4 graus de liberdade. 
Figura 1 - Modelo físico da estrutura de edifício em escala reduzida
Com o intuito de abordar de forma abrangente e didática o estudo de tal caso, apresentaremos uma revisão bibliográfica da teoria referente ao caso de vibração em estudo, os detalhes sobre o experimento realizado em laboratório, os resultados numéricos e experimentais, assim como suas respectivas interpretações e comparações. 
2. TEORIA
A análise de vibrações de sistemas mecânicos com múltiplos graus de liberdade tem sua importância destacada devido ao fato de que a maioria dos sistemas mecânicos necessita de mais de uma variável independente para sua modelagem e posterior descrição de seu comportamento dinâmico. Nesta seção abordaremos a teoria envolvida focada em nosso objeto de estudo (estrutura de edifício em escala reduzida), porém vale aqui ressaltar, que tais conceitos podem ser facilmente expandidos a demais sistemas mecânicos, como por exemplo, automóveis, aviões e grupos hidrogeradores.
Como já mencionado, a estrutura em questão apresenta quatro graus de liberdade, referentes ao movimento horizontal de cada uma das lajes, as quais são representadas por massas concentradas na figura 1. Fazendo o diagrama de corpo livre, de cada uma dessas lajes e aplicando a segunda lei de Newton, obtemos o seguinte conjunto de equações:
Figura 2 - Diagramas de corpo livre das lajes da estrutura
 (1)
 (2)
 (3)
 (4)
Em forma matricial, podemos escrever:
 (5)
Onde:
 {x} = 
 {f} = 
Partindo desse modelo, devemos ser capazes de calcular numericamente as frequências naturais e os modos de vibrar da estrutura, bem como suas respostas temporais a uma excitação impulsiva e suas receptâncias.
Para tal, definimos uma matriz L, tal que:
 (6)
E um vetor de coordenadas :
 (7)
A matriz de rigidez normalizada pela massa é definida como sendo: 
 (8)
Derivando em relação ao tempo a equação 7 e substituindo em 5:
(9)
Multiplicando a equação acima por e usando a equação 8 , obtém-se:
 (10)
(11)
Assumindo e sabendo que ,tem-se:
 (12)
 (13)
A equação 13 representa um problema de autovalores simétrico. No caso do nosso estudo, é uma matriz simétrica, de ordem 4x4, composta somente por números reais e é um vetor 4x1. Os quatro valores de são chamados de autovalores de e os quatro vetores correspondentes são chamados autovetores de .
Sendo assim, podemos obter numericamente os autovalores e autovetores da matriz , e desta forma obter as frequências naturais do sistema (uma vez que os autovalores representam estas ao quadrado).
A partir dos autovetores obtido da equação 13, monta-se uma matriz formada pelos autovetores ortonormais , tal que:
 (14)
Assim, para o sistema em análise:
 (15)
Como as colunas de são compostas por vetores ortonormais, essa é uma matriz ortogonal, portanto, não singular e a sua transposta é igual a sua inversa.
A partir da matriz é possível encontrar a matriz , denominada matriz modal, na qual cada coluna representa um modo de vibrar do sistema:
 (16)
Para o caso da estrutura em estudo, a vibração livre não amortecida é uma combinação linear de quatro configurações físicas específicas e distintas (modos de vibrar), cada qual oscilando em uma frequência específica e distinta (frequência natural).
Dando sequência à análise modal, desta vez com amortecimento, para determinarmos a vibração resultante em cada uma das quatro lajes da estrutura, face à ação de uma força impulsiva f(t) = δ(t) na quarta laje, devemos obter a matriz espectral , que é dada por:
 (17)
Deve-se também conhecer os valores iniciais, que, em coordenadas modais são obtidos da seguinte maneira:
 (18)
 (19)
Para o caso particular em estudo, consideraremos que tanto o deslocamento e a velocidade iniciais são nulos. De qualquer maneira, de posse das equações anteriores podemos montar as equações modais do nosso sistema:
Onde,
{f} = δ(t) (21)
Resolvida as equações modais acima, uma a uma, pode-se obter as vibrações do sistema em coordenadas físicas através da seguinte equação:
 (21)
De posse de toda teoria aqui abordada e do conceito de receptância, podemos determinar a matriz de receptância () do nosso sistema, a qual será um somatório de 4 matrizes. 
 (22)
Onde é o produto externo de dois vetores modais (modos de vibrar), gerando uma matriz quadrado de ordem 4.
Cada elemento da matriz de receptância (, localizado na s-ésima linha e na r-ésima coluna, é calculado usando o produto externo dos vetores modais correspondentes a essa linha e coluna, de modo a fornecer a relação entre o deslocamento (vibração) em tal ponto s (), e a excitação aplicada no ponto r ().
3. EXPERIMENTO
Em experimento realizado no dia 20/06/2012 no laboratório de vibrações da Universidade Federal do Paraná, foram obtidas algumas funções respostas em frequência (FRFs) referentes ao estudo em questão. Para tal, contamos com o seguinte aparato experimental:
Estrutura em escala reduzida: representando um edifício de 4 andares.
Acelerômetro piezoelétrico: responsável por captar as vibrações da estrutura.
Figura 3 - Acelerômetro piezoelétrico
Figura 4 - Estrutura em escala reduzida
Martelo piezelétrico de impacto: responsável por captar a força transmitida à estrutura. 
Analisador digital de sinais: responsável por processar as vibrações e força e computar as FRFs.
 
Figura 5 - Martelo piezoelétrico de impacto
A montagem do experimento é ilustrada na figura 5 abaixo:
Figura 6 - Montagem experimentalvia excitação impulsiva
Para realização do experimento e obtenção dos resultados de interesse, procedeu-se da seguinte maneira: com o martelo piezoelétrico de impacto, entrou-se com uma excitação na estrutura, de modo que o sensor de força (localizado próximo a ponta do instrumento) capturou o valor deste impacto e transmitiu tal informação ao analisador de sinais. Simultaneamente, ocorreu a aquisição do sinal de aceleração, o qual também foi enviado ao analisador de sinais. Dali, as informações foram processadas para posteriormente serem visualizadas no computador. O procedimento descrito foi repetido três vezes para cada equipe.
 A ideia da excitação impulsiva neste experimento é de conseguir transmitir uma excitação de curta duração, mas com energia suficiente para colocar a estrutura para vibrar.
As funções respostas em frequência nesse caso foram inertâncias. A fim de estimar as frequências naturais de nosso objeto de estudo, tais inertâncias foram convertidas em receptâncias, de modo que os picos de seus valores (em módulo) nos forneceram uma estimativa das frequências naturais da estrutura. Ainda com os valores das receptâncias, com a aplicação localizada da banda de -3 dB no entorno dos picos, pudemos estimar as razões de amortecimento modal associadas.
4. RESULTADOS
4.1 Resultados numéricos
Os resultados numéricos que serão aqui apresentados foram obtidos com base na teoria apresentada na seção 2 e com o auxílio de rotinas preparadas no software MatLab, cujos códigos implementados se encontram na seção de anexos deste documento. Em um primeiro momento nos restringiremos a apresentar as soluções obtidas, a análise e interpretação de tais resultados serão apresentadas no final desta seção.
Com relação à estrutura em estudo, ilustrada na figura 1, conhecemos os seguintes valores:
 = = = =1,09 kg
 = = = = 20620N/m
De posse de tais valores e seguindo a metodologia explicada no capítulo referente à teoria, fomos capazes de obter os resultados numéricos apresentados na sequência.
4.1.1 Frequências naturais e modos de vibrar 
De acordo com a abordagem de análise modal, as frequências naturais teóricas e os modos de vibrar da estrutura são apresentados nas tabelas 1 e 2, respectivamente.
	Frequências naturais teóricas
	Frequência natural 1:
	47,7674 rad/s
	Frequência natural 2:
	137,5407 rad/s
	Frequência natural 3:
	210,7245 rad/s
	Frequência natural 4:
	258,4919 rad/s
Tabela 1 - Frequências naturais teóricas da estrutura
	Modos de vibrar da estrutura
	Modo 1
	Modo 2
	Modo 3
	Modo 4
	-0,2184
	0,553
	0,6288
	-0,4105
	-0,4105
	0,553
	-0,2184
	0,6288
	-0,5530
	0,000
	-0,553
	-0,553
	-0,6288
	-0,553
	0,4105
	0,2184
Tabela 2 - Modos de vibrar da estrutura
4.1.2 Representação gráfica dos modos de vibrar
Referente aos resultados apresentados na tabela 2, podemos representar graficamente tais modos de vibrar calculados, como mostra o gráfico abaixo (figura 7):
Figura 7- Representação gráfica dos modos de vibrar da estrutura
4.1.3 Vibração resultante em cada laje 
Para determinarmos a vibração resultante em cada uma das quatro lajes da estrutura, com ação de uma força impulsiva (δ(t)) na quarta laje, admitiremos a aceleração e deslocamento iniciais como sendo nulos e as seguintes razões de amortecimento modais: = 0,017; = 0,013; = 0,009 e = 0,005.
Com essas considerações e utilizando as equações 20 e 21, somos capazes de determinar as vibrações em coordenadas modais e em coordenadas físicas referentes a cada uma das quatro lajes da estrutura.
Figura 8 - Vibrações modais resultantes na primeira e segunda laje
Figura 9 - Vibrações modais resultantes na terceira e quarta laje
Figura 10 - Vibrações em coordenadas físicas na primeira e segunda laje
Figura 11 - Vibrações em coordenadas físicas na terceira e quarta laje
4.1.4 Receptâncias da estrutura 
As receptâncias aqui apresentadas foram calculadas com base na equação 22 e com auxílio computacional. Para o objeto de nosso estudo, será aqui apresentada a forma gráfica e os resultados referentes ao H_44, de tal forma que possamos comparar tais valores teóricos com os que foram obtidos experimentalmente.
	Módulo de H_{44} 
	Na frequência natural 1:
	-45.853 dB
	Na frequência natural 2:
	-64.1277 dB
	Na frequência natural 3:
	-73.5235 dB
	Na frequência natural 4:
	-82.928 dB
Tabela 3 - Módulo da receptância para H_{44}
Figura 12- Gráficos do módulo e fase de H_{44} em função da frequência
4.2 Resultados experimentais
Os resultados experimentais aqui apresentados são frutos do experimento realizado em laboratório. Embasados na teoria de vibrações, de posse dos resultados processados pelo analisador de sinais e utilizando de uma ferramenta computacional, fora possível determinar as inertâncias levantadas experimentalmente e as receptâncias correspondentes, assim como as frequências naturais e razões de amortecimento experimentais da estrutura em estudo. A análise dos resultados será apresentada ao termino desta seção, enquanto que o código computacional implementado para os cálculos é apresentado nos anexos deste documento.
4.2.1 Inertâncias e receptâncias experimentais
Realizando algumas simples manipulações nos resultados de um dos arquivos de saída, foi possível plotar o módulo da inertância experimental em função da frequência, como mostra o gráfico abaixo:
Figura 13 - Gráfico do módulo da inertância experimental em função da frequência
Dividindo o módulo da inertância experimental pelo negativo da frequência ao quadrado, obtemos o módulo da receptância experimental, cujo gráfico em função da frequência é apresentado abaixo.
Figura 14 - Gráfico do módulo da receptância experimental em função da frequência
4.2.2 Frequências naturais razões de amortecimento modal
Com base no gráfico do módulo da receptância e utilizando a técnica da banda de -3 dB foi possível inferir as frequências naturais e razões de amortecimento experimentais da estrutura, apresentadas nas tabelas abaixo.
	Frequências naturais experimentais
	Frequência natural 1:
	38.3086 rad/s
	Frequência natural 2:
	140.3947 rad/s
	Frequência natural 3:
	216.9702 rad/s
	Frequência natural 4:
	272.9313 rad/s
Tabela 4 - Frequências naturais experimentais
	Razões de amortecimento modais experimentais
	Razão de amortecimento 1:
	0.023093
	Razão de amortecimento 2:
	0.0058391
	Razão de amortecimento 3:
	0.004308
	Razão de amortecimento 4:
	0.0044481
Tabela 5 – Razões de amortecimento modais experimentais
4.3 Análise dos resultados
4.3.1 Resultados numéricos
Os resultados numéricos apresentados neste documento estão relacionados às hipóteses assumidas e à modelagem feita para a estrutura de um edifício em escala reduzida, de forma que tais resultados não devem representar exatamente os resultados reais, pois a estrutura na prática não considera todas as idealizações aqui assumidas. Não por isso tais resultados são menos importantes, eles são fundamentais para estimar determinados resultados e para validar o experimento realizado.
A tabela 2, por exemplo, referente aos modos de vibração da estrutura, nos permite prever o comportamento de cada uma das lajes em cada um dos modos de vibração. Observa-se que no caso do primeiro modo, as quatro lajes se encontram em fase, ou seja, todas vibram no mesmo sentido, tal fato é indicado pelo sinal semelhante de todas as lajes neste modo. Já para os outros modos de vibração, tal fato não é mais observado. Além disso, os modos de vibração nos permitem prever qual será a intensidade do deslocamento em cada uma das lajes em cada um dos quatro modos, por exemplo, no caso do modo 1, é a quarta laje que apresenta o maior deslocamento.
Outro fato interessante pode ser observado nos gráficos das figuras 8 e 9, referentes ao deslocamento modal de cada uma das quatro lajes em função do tempo. Como r4 apresenta a maior frequêncianatural e a menor razão de amortecimento, ela apresenta a maior frequência de vibração, ao passo que o fenômeno oposto é observado em r1.
A análise da receptância também nos fornece informações preciosas, analisando os gráficos referentes a este estudo, observa-se, por exemplo, que a quarta laje apresentará o maior deslocamento, uma vez que o maior o pico das receptâncias encontra-se majoritariamente no primeiro modo de vibrar, que é o modo em que tal laje apresenta maior amplitude. 
4.3.2 Resultados experimentais
Analisando os gráficos das figuras 13 e 14, observa-se um fato curioso. Contrário ao que prevê a teoria para um sistema de quatro graus de liberdade, os gráficos em questão apresentam cinco picos, e não quatro como o esperado. Tal fato pode ser justificado devido a uma imperfeição no experimento, no qual possivelmente acabou ocorrendo um movimento indevido da base no decorrer do ensaio.
Os resultados experimentais obtidos para as frequências naturais, apresentados na tabela 4, apresentam certa diferença quando comparados aos valores obtidos pela via teórica, tabela 1. Entretanto, levando em conta as hipóteses assumidas no experimento e as possíveis fontes de erro (leitura da banda de -3 dB, movimento da base do experimento, vibração da estrutura em mais de uma direção), os resultados são aceitáveis e validam o experimento realizado. 
5. CONCLUSÃO
A elaboração do presente documento nos forneceu uma amostra do amplo universo que engloba a ciência de vibrações, mais precisamente dos sistemas com multi graus de liberdade. Apesar de focado no estudo da estrutura de edifício em escala reduzida, graças a todo embasamento teórico envolvido, os conceitos aqui tratados podem ser facilmente expandidos para os mais diversos sistemas mecânicos, com n graus de liberdade. Além disso, notou-se a praticidade e confiabilidade que as ferramentas computacionais oferecem hoje em dia. Vale ressaltar também a importância da validação dos resultados experimentos com base na teoria, de forma a certificar que o experimento foi realizado e idealizado de acordo com o previsto e com o objetivo do estudo.
6. ANEXOS
6.1 Código em MATLAB para resultados experimentais
%Inertâncias e Receptâncias experimentais
 
clear all
clc
 
%Inertância experimental
load freq_real_imag.txt
resp=freq_real_imag;
 
for jj=1:length(resp)
 freq(jj)=resp(jj,1); % Frequencia em Hz
 Real(jj)=resp(jj,2); % Parte real da inertância
 Imag(jj)=resp(jj,3); % Parte imaginária da inertância
 H_a(jj)=Real(jj)+1i*(Imag(jj)); % Inertância
end
 
figure(1)
plot(2*pi*freq,20*log10(abs(H_a)));
title('\bfInertância Experimental');
xlabel('Frequência [rad/s]');
ylabel('Módulo da Inertância Experimental [dB]');
grid on
print('-dpng','inertancia_experimental.png','-r200')
 
 
%Receptância experimental
 
w=freq*2*pi;
 
H=H_a./(-w.^2);
 
figure(2)
plot(2*pi*freq,20*log10(abs(H)));
title('\bfReceptância Experimental');
xlabel('Frequência [rad/s]');
ylabel('Módulo da Receptância Experimental [dB]');
grid on
print('-dpng','receptancia_experimental.png','-r200')
 
 
 
%Frequências naturais e razões de amortecimento modais
 
%Primeiro pico
wr1=38.2882;
w1_1=36.9173;
w2_1=38.6857;
 
ksi1=(w2_1-w1_1)/(2*wr1);
wn1=wr1/sqrt(1-2*ksi1^2);
 
%Segundo pico
wr2=140.3899;
w1_2=139.8567;
w2_2=141.4962;
 
ksi2=(w2_2-w1_2)/(2*wr2);
wn2=wr2/sqrt(1-2*ksi2^2);
 
%Terceiro pico
wr3=216.9662;
w1_3=215.8653;
w2_3=217.7347;
 
ksi3=(w2_3-w1_3)/(2*wr3);
wn3=wr3/sqrt(1-2*ksi3^2);
 
%Quarto pico
wr4=272.9259;
w1_4=271.2047;
w2_4=273.6327;
 
ksi4=(w2_4-w1_4)/(2*wr4);
wn4=wr4/sqrt(1-2*ksi4^2);
 
 
 
disp(' ');
disp('Frequências naturais experimentais:');
 disp(['Frequência natural 1: ',num2str(wn1),' rad/s']);
 disp(['Frequência natural 2: ',num2str(wn2),' rad/s']);
 disp(['Frequência natural 3: ',num2str(wn3),' rad/s']);
 disp(['Frequência natural 4: ',num2str(wn4),' rad/s']);
disp(' ');
disp('Razões de amortecimento modais experimentais:');
 disp(['Razão de amortecimento 1: ',num2str(ksi1)]);
 disp(['Razão de amortecimento 2: ',num2str(ksi2)]);
 disp(['Razão de amortecimento 3: ',num2str(ksi3)]);
 disp(['Razão de amortecimento 4: ',num2str(ksi4)]); 
 
6.2 Código em MATLAB para resultados teóricos
%Frequencias naturais e modos de vibrar da estrutura por análise modal
 
clear all
clc
 
%número de Graus de liberdade
 
g_l=4; 
 
%Matriz de inércia
 
m=zeros(g_l,1);
 
%kg - massa concentrada de cada laje
 
m_l=1.09;
 
for ii=1:g_l
 m(ii)=m_l;
end
 
%para M(i,j) com i diferente de j, elementos são iguais a zero
 
M=zeros(g_l,g_l); 
 
%elementos da diagonal principal não nulos e iguais a m_l
 
for ii=1:g_l
 M(ii,ii)=m(ii); 
end
 
%Matriz de Rigidez
k=zeros(g_l,1);
kt=20620; %N/m
 
for ii=1:g_l
 k(ii)=kt;
end
 
K=zeros(g_l,g_l);
 K(1,1)=kt + kt;
 K(2,2)=K(1,1);
 K(3,3)=K(1,1);
 K(1,2)=-kt;
 K(2,1)=-kt;
 K(2,3)=K(2,1);
 K(3,2)=K(2,1);
 K(3,4)=K(2,1);
 K(4,3)=K(3,4);
 K(4,4)=kt;
 
%Vetor de amortecimento modal
 
ksi=zeros(g_l,1);
ksi(1)=0.017;
ksi(2)=0.013;
ksi(3)=0.009;
ksi(4)=0.005;
 
%comando para decomposição de Cholesky
 
L=chol(M); 
Li=inv(L);
 
%Matriz de rigidez normalizada pela massa
Ktil=Li*K*Li;
%Auto-valores [D] e auto-vetores [V]
[V,D]=eig(Ktil); 
%Frequencias naturais em rad/s
omn=sqrt(diag(D));
 % ordenamento das frequências naturais
[omn,iv]=sort(omn);
 
 
disp(' ');
disp('Frequências naturais [rad/s]:');
for im=1:length(omn)
 disp(['Wn_',num2str(im),' = ',num2str(omn(im)),' rad/s'])
end
disp(' ');
 
%autovetores normalizados e ordenados
P =zeros(g_l,g_l);
for il=1:length(iv)
 P(:,il)=V(:,iv(il));
end
 
%modos de vibrar em colunas
disp('Modos de vibrar na matriz T:');
disp(' ');
disp(' Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 ');
T=Li*P
Pt=P';
Ti=Pt*L;
 
 
%Gráfico com os modos de vibrar
figure(1)
plot(T,'o-')
vcf=1:1:size(T,2);
set(gca,'xtick',vcf);
grid on
xlabel('Índice de coordenada física')
ylabel('Amplitude modal')
legend('Modo 1','Modo 2','Modo 3', 'Modo 4')
title('\bfModos de vibrar')
print('-dpng','modos.png','-r200')
%Vibrações resultantes de uma excitação impulsiva
 
tmax=3.5;
t=linspace(0,tmax,1000);
 
x0=zeros(g_l,1);
v0=zeros(g_l,1);
 
%Força impulsiva
 
I=zeros(g_l,1);
 
%impulso unitário
 
I(g_l)=1; 
 
%Vetor de forças modais
T_t=T'; 
I_m=T_t*I;
%Para amortecimento subcrítico (ksi<1)
ni=omn.*sqrt(1-ksi.^2);
delta=ksi.*omn;
for ir=1:length(omn)
 rcom(ir,:)=(I_m(ir)./ni(ir)).*exp(-delta(ir)*t).*sin(ni(ir)*t);
end
 
%Respostas em coordenadas modais
 
figure(2)
subplot(2,1,1)
plot(t,rcom(1,:))
grid on
xlabel('Tempo [s]')
ylabel('r_1 [m]')
title('\bfVibrações modais resultantes de uma excitação impulsiva')
subplot(2,1,2)
plot(t,rcom(2,:))
grid on
xlabel('Tempo [s]')
ylabel('r_2 [m]')
print('-dpng','vibes_m_1.png','-r200')
 
close all
 
figure(3)
subplot(2,1,1)
plot(t,rcom(3,:))
grid on
xlabel('Tempo [s]')
ylabel('r_3 [m]')
title('\bfVibrações modais resultantes de uma excitação impulsiva')
subplot(2,1,2)
plot(t,rcom(4,:))
grid on
xlabel('Tempo [s]')
ylabel('r_4 [m]')
print('-dpng','vibes_m_2.png','-r200')
close all
 
%Vibrações em coordenadas físicas amortecimento subcrítico
 
x=T*rcom;
%Contribuição de cada modo
xm1=T(:,1)*rcom(1,:);
xm2=T(:,2)*rcom(2,:);
xm3=T(:,3)*rcom(3,:);
xm4=T(:,4)*rcom(4,:);
 
 % visualização das respostas em coordenadas físicas
figure(4)
subplot(2,1,1)
plot(t,xm1(1,:),t,xm2(1,:),t,xm3(1,:),t,xm4(1,:),t,x(1,:))
grid on
xlabel('Tempo [s]')
ylabel('x_1 [m]')
legend('Modo 1','Modo 2','Modo 3','Modo 4','Total')
title('\bfVibrações em coordenadas físicas')
subplot(2,1,2)
plot(t,xm1(2,:),t,xm2(2,:),t,xm3(2,:),t,xm4(2,:),t,x(2,:))
grid on
xlabel('Tempo[s]')
ylabel('x_2 [m]')
legend('Modo 1','Modo 2','Modo 3','Modo 4','Total')
print('-dpng','vibes_f_1.png','-r200')
close all
 
figure(5)
subplot(2,1,1)
plot(t,xm1(3,:),t,xm2(3,:),t,xm3(3,:),t,xm4(3,:),t,x(3,:))
grid on
xlabel('Tempo [s]')
ylabel('x_3 [m]')
legend('Modo 1','Modo 2','Modo 3','Modo 4','Total')
title('\bfVibrações em coordenadas físicas')
subplot(2,1,2)
plot(t,xm1(4,:),t,xm2(4,:),t,xm3(4,:),t,xm4(4,:),t,x(4,:))
grid on
xlabel('Tempo [s]')
ylabel('x_4 [m]')
legend('Modo 1','Modo 2','Modo 3','Modo 4','Total')
print('-dpng','vibes_f_2.png','-r200')
close all
%Receptâncias
 
freqmax=400; %rad/s
omx=linspace(0,freqmax,500);
 daux = zeros(g_l,1);
for ix=1:length(omx)
 for w=1:g_l
 daux(w)= 1/((omn(w)^2-omx(ix)^2)+1i*(2*ksi(w)*omn(w)*omx(ix)));
 end
 Daux=diag(daux);
 Haux=T*Daux*T_t;
 
 H11(ix)=Haux(1,1);
 H21(ix)=Haux(2,1);
 H31(ix)=Haux(3,1);
 H41(ix)=Haux(4,1);
 H12(ix)=Haux(1,2);
 H22(ix)=Haux(2,2);
 H32(ix)=Haux(3,2);
 H42(ix)=Haux(4,2);
 H13(ix)=Haux(1,3);
 H23(ix)=Haux(2,3);
 H33(ix)=Haux(3,3);
 H43(ix)=Haux(4,3);
 H14(ix)=Haux(1,4);
 H24(ix)=Haux(2,4);
 H34(ix)=Haux(3,4);
 H44(ix)=Haux(3,4);
end
 
%Matriz de receptância
 
 
figure(6)
plot(omx,20*log10(abs(H44)))
grid on
xlabel('Frequência [rad/s]')
ylabel('Mód. H_{44}')
print('-dpng','receptancia_4.png','-r200')
close all
 
disp('4.4 - Receptâncias');
 
 figura=10; 
 
 for es=1:g_l
 for er=1:g_l
 
 
%Função receptância selecionada
for ix=1:length(omx)
 for im=1:length(omn)
 Hsrx(im,ix)=(T(es,im)*T(er,im))/...
 ((omn(im)^2-omx(ix)^2)+1i*(2*ksi(im)*omn(im)*omx(ix)));
 end
 Hsr(ix)=sum(Hsrx(:,ix));
end
%Receptância selecionada
ifrf=[num2str(es),num2str(er)];
mfrf=['Módulo de H_{',ifrf,'} [dB re 1m/N]'];
afrf=['Fase de H_{',ifrf,'} [rad]'];
tfrf=['Receptância H_{',ifrf,'}'];
 
figure(figura)
subplot(2,1,1)
plot(omx,20*log10(abs(Hsrx(1,:))),omx,20*log10(abs(Hsrx(2,:))),...
 omx,20*log10(abs(Hsrx(3,:))),omx,20*log10(abs(Hsrx(4,:))),...
 omx,20*log10(abs(Hsr)),'k')
grid on
xlabel('Frequência [rad/s]')
ylabel(mfrf)
legend('Modo 1','Modo 2','Modo 3','Modo 4','Total')
title(tfrf)
subplot(2,1,2)
plot(omx,angle(Hsr))
grid on
xlabel('Frequência [rad/s]')
ylabel(afrf)
legen = ['f_recep_H',ifrf,'.png'];
print('-dpng',legen,'-r200')
close all
 
disp([' -- ',mfrf, ' -- '])
disp(['Na frequência natural 1 (',num2str(omn(1)),' rad/s) = ',num2str(20*log10(abs((T(es,1)*T(er,1))/(1i*(2*ksi(1)*omn(1)^2)))))])
disp(['Na frequência natural 2 (',num2str(omn(2)),' rad/s) = ',num2str(20*log10(abs((T(es,2)*T(er,2))/(1i*(2*ksi(2)*omn(2)^2)))))])
disp(['Na frequência natural 3 (',num2str(omn(3)),' rad/s) = ',num2str(20*log10(abs((T(es,3)*T(er,3))/(1i*(2*ksi(3)*omn(3)^2)))))])
disp(['Na frequência natural 4 (',num2str(omn(4)),' rad/s) = ',num2str(20*log10(abs((T(es,4)*T(er,4))/(1i*(2*ksi(4)*omn(4)^2)))))])
disp(' ')
 
 
figura = figura+1; % incremento na variável de apoio
 end
 end