CircuitosII(2013-2-Lista#2)

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CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
2013-2 
2ª Lista de Exercícios 
 
 
1) Examinar se a função abaixo atende aos requisitos de uma Série de Fourier: 
( ) ( ) ( )[ ]2523 tsentsentf += 
Caso positivo determine a freqüência fundamental e a ordem das componentes 
harmônicas presentes na função. 
 
 
2) Uma função periódica é representada pela seguinte Série de Fourier minar na forma 
trigonométrica: 
( ) ( ) ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++=
6
57
6
322442 ππ tcostsentsentcostf 
Determine a forma trigonométrica compacta para essa Série de Fourier. 
 
 
3) No circuito da figura abaixo, a chave S encontra-se aberta por um tempo longo e no 
instante st 0= a mesma é fechada. Pede-se determinar o comportamento da 
corrente no indutor de 2 H para st 0≥ utilizando, para isso, a Transformada de 
Laplace. 
 
4) Os elementos do circuito da figura abaixo encontram-se sem qualquer energia 
armazenada no instante st 0= e, nesse momento, as chaves S1 e S2 são fechadas. 
Determine o comportamento da corrente no indutor de 30 mH para 
st 0≥ utilizando, para isso, a Transformada de Fourier. 
 
 
 
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CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
2013-2 
5) No circuito da figura abaixo, para 0<t , o capacitor e o indutor não exibem 
qualquer energia armazenada. Pede-se determinar uma expressão para a corrente no 
indutor após o fechamento da chave, : 0≥t
 
a) Utilizando a Transformada de Laplace ; 
 
b) Utilizando a Transformada de Fourier.. 
 
 
6) Uma fonte trifásica equilibrada conectada em estrela com neutro francamente 
aterrado gera uma tensão de seqüência abc na forma triangular simétrica com 
respeito ao eixo das abscissas com valor de pico de 400 V, figura abaixo. Essa fonte 
supre através de uma linha de transmissão com resistência de 4 Ω uma carga 
trifásica desequilibrada conectada em triângulo com as impedâncias indicadas na 
figura abaixo. Pede-se determinar a corrente que circula nessa carga tendo-se em 
conta as componentes harmônicas até a 5ª ordem. 
 
 
 
 
 
17 / Dezembro / 2013 2
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
2013-2 
7) Utilizando a Transformada de Fourier, determine a tensão vs(t) nos terminais do 
capacitor do circuito da figura abaixo, quando, em t=0, um degrau unitário de 
corrente ie(t) for aplicado aos terminais de entrada do circuito. Considere que a 
carga do capacitor nula até o instante de aplicação do degrau (t=0-) e a direção 
positiva indicada para a tensão e corrente no circuito. Verifique se a resposta obtida 
concorda com o comportamento físico esperado para a tensão nos terminais do 
capacitor. 
 
8) Resolva o mesmo problema formulado no exercício 7 porém utilizando, desta vez, a 
Transformada de Laplace e considerando duas condições de carregamento inicial 
para o capacitor: 
a)Capacitor sem qualquer carga no instante imediatamente antes da aplicação 
da fonte de corrente (t=0-), como foi o caso adotado para o exercício 1; 
b)Capacitor com uma carga de 37,5 C no instante imediatamente antes da 
aplicação da fonte (t=0-), tal que produz uma tensão negativa nos terminais do 
mesmo. Verifique se a resposta reproduz o comportamento físico esperado 
para o circuito. 
 
9) Três fontes idênticas, que geram tensões defasadas de 120º e com a forma mostrada 
na figura abaixo, apresenta uma impedância interna de 0,1+ j1,0 Ω e estão 
conectadas numa ligação estrela com neutro francamente aterrado. Esse sistema de 
suprimento alimenta duas cargas assim descritas: 
 
ƒ A primeira conectada em estrela aterrada por uma impedância de 10 
Ω e com impedância por fase é de 5+j20Ω; 
 
ƒ A segunda carga está conecta em triângulo e possui impedância por 
fase de 10+j40Ω; 
 
Pede-se determinar, considerando-se o harmônico até a ordem 5, o valor eficaz da 
tensão de fase e de linha nos terminais da carga e entre o neutro da carga e da fonte. 
 
 
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10) O circuito da figura abaixo encontra-se em estado nulo, quando a chave é fechada 
introduzindo a fonte de corrente para alimentação do mesmo. Pede-se, fazendo uso 
da transformada de Laplace, a tensão nos terminais do resistor de 400 Ω. 
 
 
11) Um sinal ( )tf possui a seguinte Série de Fourier expressa na forma exponencial: 
 ( ) jttjtjjttjtj ejeejejejetf 2222322 3333 −++++−= −−− 
 
a) Esboce os espectros de amplitude e de fase desse sinal; 
b) A partir dos espectros da parte a, estabeleça a Série de Fourier desse sinal 
na forma trigonométrica compacta. 
 
12) Três fontes monofásicas possui a mesma impedância interna, 0,1+j1,0 Ω em 60 Hz, 
e geram, quando desconectadas da carga, tensões trifásicas equilibradas de 
seqüência positiva, cuja forma de onda para a fase A é mostrada na figura abaixo. 
Tais fontes monofásicas são conectadas em triângulo (Δ) formando, assim, um 
sistema trifásico equilibrado. Pede-se determinar o valor eficaz da tensão na saída 
da montagem trifásica descrita considerando-se as componentes da série de Fourier 
até o harmônico de ordem cinco. 
 
 
 
 
 
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2013-2 
13) Use a propriedade da derivação no tempo para obter a Transformada de Fourier do 
sinal da figura abaixo. 
 
14) O circuito da figura abaixo encontra-se em repouso (Condições iniciais nulas no 
capacitor e no indutor). Determine a Transformada de Fourier da tensão nos 
terminais do capacitor, Vc(ω) (Use superposição). 
 
15) Três fontes monofásicas possuem a mesma impedância interna dada em 60 Hz 
por Ω+= 21 jZ fonte e geram, quando desconectadas da carga, tensões trifásicas 
equilibradas de seqüência positiva, cuja forma de onda para a fase A é mostrada na 
figura abaixo. Tais fontes monofásicas são conectadas em triângulo (Δ) formando, 
assim, um sistema trifásico equilibrado e supre uma carga conectada em estrela (Y) 
com as seguintes impedâncias por fase: 
Ω+=Ω+=Ω+= 222221 jZejZ,jZ cba .O neutro da carga é aterrado 
através de uma impedância Ω+= 200100 jZ N .Pede-se determinar a tensão 
instantânea e eficaz nos terminais de cada uma das fases dessa carga considerando-
se os harmônicos até a ordem cinco. 
 
 
 
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CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
2013-2 
16) Um carga trifásica equilibrada formada por um indutor em série com um capacitor 
numa ligação estrela, figura abaixo, é alimentada por uma fonte de tensão trifásica 
periódica e não-senoidal, cuja forma de onda para a fase A, VaN (t), é dada na figura 
também abaixo. As fases B e C apresentam tensões exatamente com a mesma 
forma de onda da fase A, porém defasadas desta de 120o e 240o em atraso 
respectivamente. Utilizando, somente a componente fundamental e os dois 
primeiros harmônicos da Série de Fourier para essa tensão, pede-se: 
a) Com a chave S aberta, determinar o valor eficaz da corrente na carga, da 
tensão nos terminais do capacitor, e da tensão entre o neutro da carga e o 
neutro da fonte; 
b) Com a chave S fechada, determinar o valor eficaz da corrente na carga, da 
corrente no neutro e da tensão nos terminais do capacitor. 
Assuma que o indutor apresenta uma reatância de 1 Ω e o capacitor exibe uma 
reatância de 10 Ω, ambas na freqüência fundamental. 
 
17) O circuito da figura apresentada a seguir, cujos elementos possuem as impedâncias 
assinaladas na freqüência de 60 Hz, é alimentado por uma fonte de tensão alternada 
e periódica com forma de onda dada pela figura 16. Considerando-se que a tensão 
da figura também apresentada a seguir está expressa em volts, pede-se determinar 
por intermédio da aplicação da Série de Fourier tomada até a segunda harmônica: 
a) O valor instantâneo e eficaz da corrente no circuito; 
b) O valor instantâneo e eficaz da tensão nos terminais do indutor XL2; 
c) O espectro de amplitude e de fase da tensão aplicada ao circuito e datensão nos terminais do indutor XL2; 
d) A potência aparente, reativa e ativa solicitada pelo circuito; 
e) A potência instantânea consumida pelo circuito; 
f) O fator de potência do circuito. 
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2013-2 
18) Uma carga trifásica equilibrada formada por capacitores de 10Ω na freqüência 
fundamental é alimentada por fontes de tensão periódicas defasadas entre si de 120º e 
com forma de onda dada pela figura abaixo para a fase A, Va. A impedância interna 
de cada uma dessas fontes é de j1Ω na freqüência fundamental e as mesmas, como a 
carga, estão conectadas em triângulo como mostra a figura. Utilizando apenas a 
componente fundamental e os dois primeiros harmônicos da Série de Fourier, pede-se 
para as fases: 
a) O valor eficaz da corrente no ramo da fonte, If ; 
b) O valor eficaz da corrente de linha, IL; 
c) O valor eficaz da corrente no ramo da carga IC ; 
d) O valor eficaz da tensão de linha na carga, VC ; 
 
 
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19) Os espectros de amplitude e de fase de um sinal levantados em laboratório estão 
indicados na figura baixo. Pede-se determinar para esse sinal: 
c) A expressão da Série de Fourier na forma exponencial; 
d) A expressão da Série de Fourier na forma trigonométrica compacta; 
e) A expressão as Série de Fourier na forma trigonométrica. 
 
 
 
20) A Transformada de Fourier do sinal f(t) da figura 1 é: 
( ) ( )112 −−= ωω ωωω jj ejeF 
Com base nessa expressão e fazendo uso apenas das propriedades dessa 
transformada, estabelecer a Transformada de Fourier do sinal g(t) da figura 2. 
 
21) A chave no circuito da figura abaixo permaneceu um tempo suficientemente longo 
na posição a, de modo que o regime permanente foi estabelecido no circuito para 
t<0 s. No instante t=0 s, essa chave é manobrada para a posição b. Determine a 
corrente através do resistor de 70 Ω para t≥0 utilizando a Transformada de Laplace. 
 
22) As chaves do circuito da figura abaixo foram manobradas no instante t=0 s, sendo 
uma aberta e a outra fechada conforme as indicações. Pede-se determinar a corrente 
através do capacitor utilizando a Transformada de Fourier e de Laplace. 
 
 
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23) Uma fonte trifásica equilibrada de freqüência fundamental de 60 Hz, impedância 
interna por fase de 1+j3Ω e conectada em triângulo produz uma tensão em volts na 
fase A dada pela seguinte Série de Fourier: 
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−+= ∑
∞
=1
12
12
11800300
n
oa tnsenn
tv ωπ 
Essa fonte alimenta por intermédio de uma linha de transmissão de impedância por 
fase de 1+j1Ω em 60 Hz, uma carga trifásica equilibrada conectada em triângulo 
que exibe uma impedância 3+j2Ω por fase também em 60 Hz. Considerando-se 
apenas as componentes da série até a harmônica de ordem 5, pede-se: 
f) O valor eficaz da tensão e da corrente em cada fase da carga; 
g) A potência aparente e ativa em cada fase da carga; 
h) O valor eficaz da corrente em cada fase da fonte. 
i) A potência aparente e ativa em cada fase da fonte. 
j) A potência aparente e ativa por fase na linha de transmissão. 
 
24) Considere o circuito da figura ao lado formado por um resistor de R ohms em série 
com um indutor de L henrys sem qualquer energia 
armazenada. No instante t=0s, a chave S é 
fechada, conectando ao circuito uma fonte de 
tensão alternada com a forma de onda ( ) ( )θω += tsenVtv m . Utilizando Transformada de 
Laplace, determine a relação entre a fase da 
tensão na fonte, θ, e o ângulo do fator de potência 
ϕ do circuito para a qual: 
a) A componente transitória da corrente no circuito alcançará o valor 
máximo no instante inicial; 
b) A componente transitória da corrente no circuito será nula no instante 
inicial. 
 
25) A Série de Fourier da função triangular da figura abaixo é dada para n ímpar por: 
 
 
 
 
( )tnsen oω⎟⎠
⎞( ) nsen
n
Atf
n
π
π ∑
∞
=
⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
1
22 2
18 
 
 
Partindo-se dessa expressão, pede-se determinar a Série de Fourier da função da 
figura abaixo. 
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26) Uma fonte trifásica balanceada de seqüência positiva conectada em triângulo 
possui impedância interna por fase de 2+j2 Ω e alimenta uma carga trifásica 
equilibrada com impedância por fase de 4+j3 Ω e conectada em estrela com neutro 
aterrado por uma resistência de 10 Ω. A tensão gerada na fase A da fonte tem a 
forma mostrada na figura abaixo com freqüência fundamental de 60 Hz. 
 
Utilizando o resultado do problema anterior para a Série de Fourier, pede-se 
 fase da carga 
 
 
27) A Transformada de Fourier do sinal f(t) da figura abaixo é dado por: 
 
( )
determinar, considerando-se as componentes harmônicas até n=5: 
k) O valor instantâneo e eficaz da corrente e da tensão em cada
l) O valor instantâneo e eficaz da corrente em cada fase da fonte; 
m) A potência aparente e ativa por fase da fonte e da carga. 
 
 
 
 ( )112 −−= ωω ωωω jj ejeF 
 
 
om base nessa informação e fazendo-se uso das propriedades, pede-se determinar 
 
28) Num sistema elétrico, representado pelo diagrama abaixo, uma fonte perfeitamente 
 
C
a Transformada de Fourier do sinal g(t) esboçado na figura abaixo. 
 
senoidal de tensão máxima em volts Vm e freqüência angular ω em rad/s encontra-
se alimentando uma carga através da chave S, quando um curto-circuito franco 
ocorreu entre os terminais a e b da carga. A chave foi, então, aberta pela ação da 
proteção quando a corrente de falta passava pelo valor nulo. Assumindo que o 
chaveamento é ideal (Tensão de arco nula) e tomando-se o instante t=0 s como o 
momento de abertura da chave, pede-se demonstrar, utilizando a transformada de 
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CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
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Laplace, que o comportamento da tensão nos terminais do capacitor para t≥0 s será 
dado por: 
( ) ( )
LC
,tcostcosVtv oom
o
o
c
1
22
2
=−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−= ωωωωω
ω
 
 
29) O levantamento efetuado em laboratório dos espectros de uma função real é 
apresentado na figura abaixo. Com base nesses dados, pede-se determinar: 
 
n) A Série de Fourier deste sinal na forma exponencial; 
o) A Série de Fourier deste sinal na forma trigonométrica compacta; 
p) A Série de Fourier deste sinal na forma trigonométrica. 
 
 
30) No circuito da figura abaixo, um curto-circuito tomou lugar entre os terminais a e b 
assinalados e a chave S foi aberta no instante em que a corrente na mesma era nula. 
Admita que a tensão na fonte exibia um valor V nesse instante da abertura e que, 
sendo o intervalo de tempo de interesse muito pequeno, essa tensão permanecerá 
constante para efeito da presente análise. Pede-se determinar, fazendo uso da 
Transformada de Laplace, uma expressão para a tensão nos terminais do capacitor 
C2 para t≥0s, considerando que a chave S foi aberta em t=0s. Faça uso das 
expressões; 
11
1
1
CL
=ω 
22
2
1
CL
=ω 
 
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31) Uma carga trifásica equilibrada de 2+j2 Ω por fase é conectada em estrela com 
neutro aterrado por uma impedância de j2 Ω. Essa carga é alimentada por uma 
fonte trifásica equilibrada de seqüência positiva através de um ramal com 
impedância de 0,5+j1 Ω por fase. A fonte possui uma impedância de 0,5+j0,5Ω por 
fase, está conectada em estrela com neutro aterrado diretamente e exibe, para a fase 
A, a forma de onda da figura abaixo. 
 
Pede-se determinar utilizando a Série de Fourier até o harmônico de ordem 5: 
 
a) A tensão de fase e de linha, a corrente, a potência trifásica aparente e ativa na 
carga; 
b) A tensão de linha, a potência trifásica aparente e ativa nafonte; 
c) A tensão e a corrente nos neutros da carga e da fonte. 
 
A expansão em Série de Fourier da tensão na fonte deverá ser estabelecida a partir 
do conhecimento da expansão da onda triangular da figura abaixo, dada por: 
 
 
( ) ( )tnsennsen
n
Atf o
,,n
ωππ ∑
∞
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
531
22 2
18 
 
 
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