Calculo 2 - Resumo de Séries Completo

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Resumo de Se´ries Nume´ricas
Prof. Regina Carla
Uma se´rie e´ uma expressa˜o da forma
∞∑
n=1
an = a1 + a2 + · · ·+ an + · · · , onde an e´ uma sequeˆncia de nu´meros.
Sn =
n∑
k=1
ak = a1 + a2 + · · ·+ an e´ chamado soma parcial
(Sn = Sn−1 + an).
∞∑
n=1
an = lim
n→∞Sn = S.
Se lim
n→∞Sn existe, dizemos que a se´rie e´ convergente
e possui soma igual a S.
Se S = ±∞ ou na˜o existe, dizemos que a se´rie e´ di-
vergente.
Se´rie Geome´trica:
∞∑
n=0
arn = a+ ar + ar2 + · · ·
E´ convergente se |r| < 1 e sua soma e´
∞∑
n=0
arn =
a
1− r
E´ divergente se |r| ≥ 1
Se a se´rie
∞∑
n=0
an for convergente, enta˜o o lim
n→∞ an = 0. Pore´m, se o limn→∞ an = 0 na˜o podemos concluir que a se´rie
∞∑
n=0
an seja convergente.
Teste da divergeˆncia: Se o lim
n→∞ an na˜o existir ou se limn→∞ an 6= 0, a se´rie
∞∑
n=0
an e´ divergente.
Teste da Integral: Suponha que f seja uma func¸a˜o cont´ınua, positiva e decrescente em [1,∞) e seja an = f(n).
Se
∫ ∞
1
f(x) dx convergir, enta˜o
∞∑
n=1
an converge.
Se
∫ ∞
1
f(x) dx divergir, enta˜o
∞∑
n=1
an e´ diverge.
p-se´rie:
∞∑
n=1
1
np
e´ convergente para p > 1 e e´ divergente
para p ≤ 1.
Teste da Comparac¸a˜o:
Sejam
∑
an e
∑
bn se´rie de termos positivos:
Se
∑
bn for convergente e an ≤ bn
enta˜o
∑
an e´ convergente.
Se
∑
bn for divergente e an ≥ bn
enta˜o
∑
an e´ divergente.
Considere lim
n→∞
an
bn
= c
Se c > 0 enta˜o ambas as se´ries convergem ou am-
bas as se´ries divergem.
Se c = 0 e
∑
bn converge, enta˜o
∑
an converge.
Se c =∞ e ∑ bn diverge, enta˜o ∑ an diverge.
Teste da Raza˜o e Teste da Raiz:
Seja
∑
an uma se´rie de termos positivos com
lim
n→∞
an+1
an
= ρ︸ ︷︷ ︸
teste da raza˜o
ou lim
n→∞
n
√
an = ρ︸ ︷︷ ︸
teste da raiz
a se´rie converge se ρ < 1
a se´rie diverge se ρ > 1
o teste e´ inconclusivo se ρ = 1