Aula11 FisicaC Corrente Resistores

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Física C (Eletromagnetismo ) .
AULA 11
CORRENTE ELETRICA E CARGAS EM MOVIMENTO
Inicialmente, quando falamos de eletrização, mencionamos que cargas atraem-se ou repelem-se entre si
dependendo de suas naturezas (sinais). Recorde-se também, da Unidade II, que isso se deve à interação
entre os campos elétricos das cargas, o que causa o movimento das cargas livres, através da força
elétrica. Assim, as cargas iguais movem-se para longe umas das outras, enquanto cargas diferentes
movem-se uma em direção à outra. A essas cargas em movimento, daremos o nome de corrente
elétrica ( I ). Agora, estudaremos a corrente elétrica quando a mesma ocorre em meios condutores1.
Podemos definir a corrente elétrica como sendo a razão entre a quantidade de cargas que passa por um
condutor em um determinado intervalo de tempo, ou seja,
|⃗I|= ΔQ
Δ t
Em outras palavras, a corrente elétrica representa o fluxo de cargas medido em uma determinada
posição de um condutor. A unidade de corrente elétrica é, então, dada em Coulombs por segundo (C/s),
também conhecida como Ampère (A), em homenagem ao físico francês André-Marie Ampère.
VISÃO MICROSCÓPICA DA CORRENTE ELÉTRICA
Sendo que as cargas elétricas são quantizadas segundo a carga do elétron e , é instrutivo olhar para a
corrente elétrica de forma microscópica. O fluxo de cargas é normalmente caótico, uma vez que os
elétrons contém uma componente térmica em seus movimentos. Essa componente térmica faz com que
os elétrons “saltem” de um lado para o outro aleatoriamente. Quando a corrente flui, no entanto, temos a
velocidade de deriva e os elétrons assumem uma direção preferencial que superimpõe-se ao
movimento aleatório térmico. A velocidade de deriva representa, em geral, a velocidade líquida do
conjunto de cargas em movimento.
1 Quando falarmos em condutores, normalmente estamos falando de metais. Em metais a estrutura cristalina inviabiliza o 
movimento de prótons, então, quando mencionarmos o movimento de cargas, isto significa, basicamente, o movimento de 
elétrons.
“Nossa Missão é formar cidadãos compromissados com o avanço do conhecimento em benefício do 
desenvolvimento da realidade em que vivem e de futuras gerações.” Página 1
CURIOSIDADE:
• Em um condutor sólido, como um fio, por exemplo, a corrente elétrica é feita pelo
movimento de elétrons. Em semicondutores, como os usados em microprocessadores, a
corrente elétrica é feita pelo movimento de “buracos” ou vagas nas camadas eletrônicas
positivamente carregadas. Já em soluções eletrolíticas, a corrente elétrica é carregada
pelo movimento de íons positivos e negativos (cátions e ânions). No que diz respeito à
corrente elétrica em sólidos, o movimento de cargas (elétrons) é bastante lento, quando
comparado com o pulso elétrico (transmissão da força elétrica). 
Os elétrons livres em um fio metálico condutor só podem “saltar” de um átomo para o outro.
Imagine uma fila de elétrons em um fio. Quando um elétron A move-se para frente, um elétron B, a sua
frente, é empurrado pela força elétrica repulsiva entre as cargas. Um elétron C, na frente do B, é então
empurrado pela força elétrica repulsiva, e assim por diante. Enquanto elétrons individuais movem-se a
velocidades de cerca de 0.001 cm/s, em um condutor de cobre por exemplo, o que é uma velocidade
grande para uma partícula tão pequena quanto o elétron. O impulso elétrico (da força de repulsão entre
as cargas adjacentes), que passa adiante o movimento entre as cargas, se move tão rápido quando a
velocidade da luz (cerca de 300.000 km/s).
Assim, podemos pensar na corrente elétrica como um número ne de elétrons por unidade de
volume (densidade de cargas), movendo-se por uma distância Δx , num condutor de área transversal
A , com uma determinada velocidade de deriva v⃗d , como ilustrado na Figura abaixo.
Figura: Visão microscópica da corrente elétrica em um condutor.
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Neste caso, a carga total dentro do volume representado pelo cilindro em cinza na Figura 3.1,
será:
ΔQ=ne . e´ . A . Δ x
Sendo que fator A . Δ x corresponde ao volume do cilindro em cinza na Figura anterior, onde
A=π r2 é a área do círculo de raio r . Enquanto, o tempo levado para que as cargas atravessem a
distância Δ x será:
Δt= Δ x
|⃗vd|
Assim, temos que:
Δ x /¿|⃗vd|=ne . e´ . A .|⃗vd|
|⃗I|= ΔQ
Δt
=
ne . e´ . A . Δ x
¿
Nas Equações acima tratamos do módulo da corrente, mas o que podemos dizer sobre sua
direção e sentido?
A corrente elétrica tem sempre a mesma direção e mesmo sentido da velocidade de deriva das
cargas, quando as cargas em movimento são positivas. Quando as cargas em movimento são
negativas, a corrente elétrica terá mesma direção, porém sentido oposto ao movimento das cargas.
Em outras palavras, o sentido da corrente em um condutor é sempre oposto ao do movimento dos
elétrons. 
 Quando esse movimento se dá em um condutor, ao caminho percorrido por essas cargas
chamaremos circuito. Em um circuito alimentado por uma bateria, ou outra fonte, o sentido da corrente
elétrica é sempre do terminal positivo para o terminal negativo.
Mas, o que faz com que as cargas se movam no circuito?
Para responder a esta pergunta e entender melhor a resposta, podemos fazer uma analogia com
uma caixa d’água e encanamento:
Normalmente em casas, ou edifícios, colocamos caixas d’água em lugares elevados. Bombeamos
água para a caixa para criar pressão no sistema, fornecendo-a energia potencial gravitacional. O
encanamento leva água da caixa para a pia, tanque, chuveiro, etc. A água é mantida sob pressão
dentro do encanamento, pois está sendo pressionada pela água na caixa e no encanamento
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acima. Nesta analogia, a caixa d’água é onde as cargas estão armazenadas e a pressão é similar
à voltagem, ou seja, voltagem é como a pressão sob os elétrons em um circuito. Se todas as
torneiras estiverem fechadas, a água não fluirá pelo encanamento. Se você abrir uma torneira,
alguma água fluirá. Analogamente, o fluxo de água é similar à corrente elétrica, que representa o
fluxo de cargas (elétrons) pelo circuito. Porém, no caso dos circuitos elétricos, quando as cargas
fluem entre potenciais diferentes, dizemos que o circuito está fechado. Quando não há fluxo de
cargas, dizemos que o circuito está aberto. 
O que gera a diferença de potencial no circuito e que garante o movimento das cargas é a
existência de um campo elétrico no mesmo. Quando o campo elétrico é cessado não haverá mais
movimento de cargas.
LEI DE CONSERVAÇÃO DA CORRENTE
Assim, como no encanamento de água, nosso circuito elétrico poderá ter bifurcações ou junções
que dividem ou unem fluxos de cargas.
O princípio de conservação de carga elétrica rege que a corrente é a mesma em todos os pontos
de um condutor, isto implica que em cada junção de um circuito elétrico, a soma das correntes entrando
na junção é igual a soma das correntes saindo da mesma, ou seja:
∑ I entrada−∑ I saida=0
Em outras palavras, a soma algébrica das correntes em um circuito com condutores se
encontrando em um ponto (junção) é zero. Caso contrário, as cargas se acumulariam na junção. Esta lei
é conhecida como Lei da Junção, ou 1a Lei de Kirchhoff (em homenagem ao físico alemão GustavKirchhoff). 
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Exemplo 
Determine a corrente desconhecida na junção representada na Figura abaixo.
Resolução:
Pela 1a Lei de Kirchhoff, temos que:
∑ I en trada−∑ I saida=0
(3+4 )− (6+2)+x=0
x=+1 A
Portanto, a corrente desconhecida é de 1 A entrando na junção.
Mas o que impede que toda a energia armazenada flua de uma única vez, esvaziando a “caixa d’água”?
As torneiras possuem válvulas que limitam o fluxo de água. Elas geram fricção que se opõe a pressão da
água limitando o fluxo, ao abrirmos ou fecharmos a torneira. Algo similar acontece no fluxo de elétrons
por um condutor.
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CONDUTIVIDADE E RESISTIVIDADE
Quando construímos a visão microscópica da corrente falamos do movimento aleatório dos
elétrons e sobre a velocidade de deriva. Aqui vale a pena dizer que a velocidade de deriva é dada por:
v⃗d=
e´ τ
me
E⃗
em que τ representa o tempo médio de colisão entre os elétrons em movimento dentro do condutor,
me é a massa do elétron, e E⃗ é o campo elétrico. Observe que combinando-se as 
Δ x /¿|⃗vd|=ne . e´ . A .|⃗vd|
|⃗I|= ΔQ
Δt
=
ne . e´ . A . Δ x
¿
 e v⃗d=
e´ τ
me
E⃗ , chegamos a:
I⃗=ne .e´ . A .(e´ τme E⃗)=A
ne e´
2τ
me
E⃗
A qual podemos ser arranjada como:
I⃗
A
=
ne e´
2 τ
me
E⃗
ou
J⃗=σ E⃗
O termo à esquerda da Equação 3.7c, J⃗= I⃗ /A , é conhecido como densidade de corrente e
representa a corrente elétrica por unidade de área em um condutor, e, portanto, é dada em A/m 2. O termo
à direita σ=ne e´
2 τ /me é uma quantidade que depende somente do material com que o condutor é feito,
e é chamado de condutividade.
Uma vez que a carga elétrica e´ e a massa do elétron me são constantes físicas, a
condutividade σ de um condutor depende exclusivamente de sua densidade de elétrons ne e do
intervalo de tempo τ entre as colisões desses elétrons. Ou seja, quão mais altos estes valores,
melhor condutor o material será.
Por razões práticas, é conveniente definir uma quantidade que é representada pelo inverso da
condutividade, chamada de resistividade ρ , e dada por:
ρ= 1
σ
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A resistividade nos dá uma ideia de quão difícil é para os elétrons moverem-se pelo condutor
quando este é submetido a um campo elétrico. A Tabela 3.1 mostra uma lista de materiais e suas
respectivas resistividades e condutividades. 
É fácil observar pela tabela porque utilizamos cobre e alumínio em fios condutores. Apesar de ouro
e prata serem condutores ainda melhores, eles são mais raros e caros, e são, portanto, somente
utilizados em algumas placas de circuito e conectores que requerem maior desempenho, pois a
quantidade de material necessário é menor.
Material Resistividade ( Ωm ) Condutividade ( Ω−1m−1 )
Alumínio 2,8×10−8 3,5×107
Cobre 1,7×10−8 6,0×107
Ouro 2,4×10−8 4,1×107
Ferro 9,7×10−8 1,0×107
Prata 1,6×10−8 6,2×107
Tungstênio 5,6×10−8 1,8×107
Niquel-Cromo* 1,5×10−6 6,7×105
Carbono 3,5×10−5 2,9×104
Tabela 3.1. Resistividade e condutividade de alguns materiais condutores. 
*normalmente usado em fios para aquecimento. Ex. Resistência de chuveiro.
Disponível em:< http://www.engineeringtoolbox.com/resistivity-conductivity-d_418.html >. Acesso
em: 01/02/2014. 
A resistividade é dada em unidades de densidade de corrente por campo elétrico, ou seja, AC N−1m−2
Esta unidade é um pouco complicada, então introduziremos aqui uma unidade que veremos a seguir,
chamada ohm ( Ω ), em homenagem ao físico alemão Georg Simon Ohm, e que equivale a V /m .
Assim, a unidade de resistividade é dada em Ωm , e consequentemente, condutividade é dada em
Ω−1m−1 .
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CURIOSIDADE
• Logo que cientistas descobriram como liquefazer nitrogênio, e em seguida hélio, e
conseguiram atingir baixíssimas temperaturas, perceberam que alguns materiais perdiam
drasticamente a resistência à passagem da corrente elétrica. Essa baixa resistividade, a
baixas temperaturas, é chamada de supercondutividade. Em supercondutores, os
elétrons deslocam-se sem fricção e são capazes de se mover mesmo sem a presença de
campo elétrico. Pesquise sobre eles na internet! Há vídeos muito legais sobre eles no
YouTube©.
RESISTÊNCIA
Vimos que voltagem pode ser vista como a pressão empurrando as cargas pelo circuito, e que
corrente é a medida da carga que passa por um ponto no circuito por unidade de tempo. Vimos também
que a presença de um campo elétrico faz com que as cargas se movam e que ele é perpendicular às
superfícies equipotenciais. Bom, se a corrente elétrica é proporcional ao campo elétrico e o campo
elétrico é proporcional à diferença de potencial, parece natural que a corrente elétrica e a voltagem
estejam relacionados. Se admitirmos a diferença de potencial entre um condutor de comprimento L ,
teremos que:
E= ΔV
L
Assim, reduzimos as equações à
I= A
ρL
ΔV
ou seja, a corrente é proporcional à d.d.p. entre as extremidades do condutor. É útil definir outra
quantidade que chamaremos de resistência, como sendo:
R= ρL
A
que será dada, no S.I., em ohms ( Ω ), a unidade que definimos há pouco. Em diagramas
esquemáticos de circuitos elétricos, uma resistência é simbolizada por: ou .
Um bom condutor é aquele que apresenta a menor resistência. Pela Equação acima, podemos
dizer que o melhor condutor é curto (pequeno comprimento L ) e grosso (grande área A ).
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ATENÇÃO:
Resistividade e resistência são conceitos relacionados, mas distintos: resistividade
descreve o material do condutor, enquanto resistência caracteriza o condutor
segundo sua geometria.
LEI DE OHM
Podemos aplicar o conceito de resistência apresentado acima para chegar à chamada Lei de Ohm
I= ΔV
R ou ΔV=R I
a qual descreve como a d.d.p. entre as extremidades de um condutor que possui uma determinada
resistência gera um campo elétrico, que por sua vez, causa uma corrente elétrica através do condutor.
Apesar do nome, a lei de Ohm não é uma lei natural, e não é válida para todos os materiais. Os
materiais aos quais a Lei de Ohm se aplica são chamados ôhmicos. Dispositivos ôhmicos, comumente
chamados de resistores, são normalmente feitos de materiais que apresentam uma resistividade
relativamente grande (maior que dos materiais usados para fios, por exemplo, que possuem R≪1Ω ).
Materiais com resistência muito grande ( R→∞ ) são chamados de isolantes (como exemplo vidro,
plástico, borracha, etc). 
Existem no mercado uma infinidade de tipos de resistores, feitos de diferentes materiais (como
carbono, cerâmicas compostas, etc), inclusive resistores com resistência variável, chamados de
potenciômetros. 
Figura 3.3. Alguns Resistores. 
Disponível em:< http://www.electronica-pt.com >. 
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A Figura 3.3 mostra alguns resistores comuns. Note pela figura que os resistores apresentam
faixas coloridas. Elas descrevem a resistência do resistor (valor nominal) e seguem a convenção de cores
mostrada na Tabela 3.2. 
Cor Dígito Multiplicador Tolerância Coeficiente detemperatura
Preto 0 100 - -
Marrom 1 101 ±1% 100ppm
Vermelho 2 102 ±2% 50ppm
Laranja 3 103 - 15ppm
Amarelo 4 104 - 25ppm
Verde 5 105 - -
Azul 6 106 0,25% -
Violeta 7 107 0,1% -
Cinza 8 108 - -
Branco 9 109 - -
Dourado - - ±5% -
Prata - - ±10% -
nenhuma - - ±20% -
Tabela 3.2. Código de cores para resistores.
Existem três padrões de leitura para o código de cores usando 4, 5 e 6 faixas. No padrão de 4 faixas, as
duas primeiras correspondem aos dígitos, a terceira faixa ao multiplicador e a quarta à tolerância, ou erro
no valor nominal. Similarmente, no padrão de 5 faixas, as três primeiras representam os dígitos, a quarta
corresponde ao multiplicador e a quinta faixa à tolerância. Já o padrão de 6 faixas lê-se da mesma forma
que o de 5 faixas, somente a sexta faixa corresponde ao coeficiente de temperatura (indicando quanto o
valor nominal do resistor varia por ℃ , em partes por milhão – ppm). 
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Exemplo
Determinar a resistência do resistor apresentado na figura abaixo, utilizando seu código de cores. 
Resposta:
Podemos observar quatro faixas de cores: vermelha, violeta, marrom e dourada. Esse padrão é o 
de quatro faixas. Portanto, a resistência terá dois dígitos referentes às duas primeiras faixas. A 
terceira faixa é o multiplicador desses dígitos e a quarta sua tolerância. Assim, temos:
2 7 X101 ±5%
Ou seja, a resistência do resistor é de 270Ω , com tolerância ±5%.
Assim, como fizemos com capacitores, podemos associar resistores para conseguirmos a resistência
desejada em um circuito.
ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES
Podemos unir os terminais dos resistores em série, unindo a entrada de um resistor na saída do outro
(Figura 3.4a) . Nesse caso, não há junções entre eles e existe um único caminho para a passagem da
corrente, como mostra a Figura 3.4a. 
(a) (b)
Figura 3.4. Associação de resistores em série (a) e em paralelo (b).
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Pela lei de conservação de corrente, na associação de resistores em série, a corrente que passa
por eles é constante. Porém, a diferença de potencial entre cada resistor irá variar conforme a
resistência deste, ou seja,
∆V 1=R1 I ,∆V 2=R2 I ,⋯ ,∆V N=RN I
Sendo que a diferença de potencial entre os pontos inicial e final do circuito é igual à
∆V=∆V 1+∆V 2+⋯+∆V N , assim, pela Lei de Ohm, o resistor equivalente será: 
Req=R1+R2+⋯+RN
Na associação de resistores em paralelo, (Figura 3.4b) seus terminais são unidos de forma que
as entradas estão ligadas entre si, e as saídas entre si. Assim, a diferença de potencial entre os terminais
de cada resistor é a mesma, ou seja, a voltagem é constante, 
I1=
ΔV
R1
, I2=
ΔV
R2
,⋯, IN=
ΔV
RN
Pela Lei da Junção de Kirchhoff, temos que I=I1+ I 2+⋯+ I N , portanto, o resistor equivalente
será:
1
R eq
= 1
R1
+ 1
R2
+⋯+ 1
RN
Analogamente ao que vimos com capacitores, em associações mistas de resistores, resolvemos
primeiramente a parte do circuito que está em paralelo, e em seguida juntamos com os resistores em
série.
Exemplo
Determine o resistor equivalente da associação mista de resistores apresentado na figura abaixo
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Resposta:
A associação deve ser resolvida paralelo-série-paralelo-série, como mostra a sequência a seguir.
Assim, a resistência equivalente da associação é de 400Ω .
SEGUNDA LEI DE KIRCHHOFF
Uma propriedade importante do potencial elétrico é que a soma das diferenças de potencial em um
caminho fechado, ou "loop", é nula, ou seja, zero. Assim, uma carga movendo-se através de um caminho
fechado, sempre volta ao ponto inicial, e portanto, o trabalho realizado é nulo, ∆U=0 . Se esse
caminho fechado contém componentes elétricos, teremos que:
∑ ∆V i=0
sendo ∆V i , a d.d.p. entre os terminais do i-ésimo componente. Essa Lei é conhecida como Lei do
Caminho Fechado, ou 2a Lei de Kirchhoff.
Note que para que haja corrente por um caminho fechado, um dos componentes tem que fornecer
a d.d.p. (uma fonte, bateria, ou capacitor carregado, por exemplo). 
A Lei de Ohm nos dá a magnitude ∆V i=R i I , de d.d.p. através de um resistor. Enquanto a 2a
Lei de Kirchhoff, nos mostra que o potencial decresce através do resistor, no sentido da corrente. Isto
deve-se ao fator do resistor dissipar energia elétrica.
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