Série N2 - Revisão - Cálculo Integral II

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Parte I – Máximos e Mínimos 
 
1. Encontre e classifique os pontos de máximos, mínimos ou ponto de sela das superfícies abaixo: 
a) z = x
2
 + xy + y
2
+ 3x – 3y + 4 d) z = 2xy – 5x2 – 2y2 + 4x + 4y – 4 
 b) z = x
2
 + 3xy + 3y
2
 – 6x + 3y – 6 e) z = x2 + xy + 3x + 2y + 5 
 c) z = 5xy – 7x2 – y2 + 3x – 6y + 2 f) z = y2 + xy – 2x - 2y + 2 
 
Respostas: a) Min.(-3, 3, -5) b) Min.(15, - 8, -63) c) Máx..(-8, - 23, 59) d) Máx..(2/3, 4/3, 0) e) Pto. Sela (-2, 1, 3) 
f) Pto. Sela (-2, 2) 
 
2. Uma indústria produz dois produtos denotados por A e B. O lucro da indústria pela venda de x 
unidades do produto A e y unidades do produto B é dado pela função 
xyyxyxyxL  22
2
3
2
3
10060),(
. Supondo que toda a produção da indústria seja vendida, 
determinar a produção de tal modo que o lucro seja máximo. Resposta: 
  180030 ,10 L
 u.m. 
 
3. Deseja-se construir um tanque com a forma de um paralelepípedo para estocar 270 m3 de 
combustível, gastando a menor quantidade de material em sua construção. Supondo que todas as 
paredes serão feitas com o mesmo material e terão a mesma espessura, determinar as dimensões do 
tanque. Resposta: 
33 10x y z metros   
 
 
Parte II – Inclinação e Plano Tangente à uma Superfície 
 
4. Seja z = 3x² - 2y² - 5x + 2y + 3. Encontre a inclinação da reta tangente à curva resultante da 
intersecção de z com y = 2, no ponto (1, 2, -3). Resposta: 45° 
 
5. Calcular a inclinação da reta tangente à intersecção da superfície z = x² + y² com o plano x = 
2 no ponto (2, 1, 5). Resposta: 63,43° 
 
6. Determine, se existir, o plano tangente ao gráfico da função z = 2x² - 3y² no ponto P (0, 0, 0) e P (1, 1, 
-1). Resposta: z = 0 para P(0, 0, 0) e z = 4x – 6y + 1 para P(1, 1, -1) 
SÉRIE N2 – REVISÃO 
Professor: Ana Flávia Guedes Greco 
Curso: Engenharias Disciplina: Cálculo Integral II 
 
 
 
 
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Parte III – Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente 
 
7. Uma nave está perto da órbita de um planeta na posição 
 1,1,1P
. Sabendo que a temperatura (em 
graus) da blindagem da nave em cada ponto é dada por: 
 
 2 2 23 2
, ,
x y z
T x y z e
  

 
Determine a direção que a nave deve tomar para perder temperatura o mais rapidamente possível. 
Resposta: 
 6 6 62 ,6 ,4f e e e   
 
 
8. Numa certa região do espaço o potencial elétrico V é dado por 
xyzxyxzyxV  35),,( 2
. Em que 
direção V varia mais rapidamente em P (3, 4, 5)? Qual a taxa máxima de variação nesse ponto? Qual a 
taxa de variação do potencial na direção do vetor 
kjiv

 Resposta:  12,6,38f , 30,40f , 
3
332
)5,4,3( Duf
 
 
9. Determine a derivada direcional da função 
yyxyxf 4),( 32 
 no ponto 
)1,2( 
 na direção do vetor 
jiv

52 
. Resposta:
 29
2932
)1,2( Duf
 
 
 
Parte IV – Integral II 
 
10. Calcule as seguintes integrais: 
 
a) 
 
R
dxdyx )4(
, onde R é o retângulo 
60,20  yx Resposta: 60 
b) 
 
R
dxdyyx )3( 2
, onde R é o retângulo 
21,20  yx
 Resposta: -12 
c) 
dxdyxyx
x
 



 
1
0 2
)1(
 
Resposta: 5/24
 
 
11. Determine o volume do sólido delimitado pelo parabolóide elíptico x
2
 + 2y
2
 + z = 16, os planos x = 
2 e y =2 e os três planos coordenados, ou seja, 
20  x
 e 
20  y
. Resposta: 48 u.v