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Eletromag Aula 11 2015

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Notas de aulas de eletromagnetismo 11a Aula- “Energia Magnética “ 1 
Prof. Neri Alves 
 
Eletromagnetismo 2015 
Neri Alves 
04/01/2016 - 11a Aula 
 
Energia Magnética 
Se V for a voltagem aplicada a um circuito, a corrente que passa pelo circuito é: 
IR = V + ε 
Onde ε é a fem induzida (Lei de Faraday) e R é a resistência elétrica do circuito. Se uma carga dq=Idt 
é deslocada no circuito, o trabalho realizado será? 
dW = Vdq 
dW = V I dt 
ou 
dW = (�� − �) I dt 
Usando a Lei de Faraday 
� = −
�∅
��
 
dW = ���dt − �−
�∅
��
� I dt 
dW = ���dt + I �∅ 
Onde o primeiro termo é a dissipação pelo efeito de Joulee o segundo termo é o trabalho realizado 
contra a fem induzida. Quando pode-se desprezar o efeito joule temos que 
dW��� = I �∅ 
Ou seja é a variação de energia magnética do circuito, e o índice ext e indica que o trabalho é feito por 
fontes externas, como baterias, por exemplo. 
Vamos apresentar o cálculo do fluxo de campo magnético em um circuito com espiras em função de 
A. 
∅ = � ��⃗
�
∙ ��da 
Mas 
��⃗ = ∇ × �⃗ 
Notas de aulas de eletromagnetismo 11a Aula- “Energia Magnética “ 2 
Prof. Neri Alves 
 
Logo 
∅ = � ∇ × �⃗
�
∙ ��da 
Pelo teorema de Stokes 
� ∇ × �⃗
�
∙ ��da = � �⃗ ∙ ��⃗
�
 
Ou seja 
∅ = � �⃗ ∙ ��⃗
�
 
Já vimos que em um ponto �⃗� 
�⃗(�⃗�) =
��
4�
�
�⃗(�⃗�)
(�⃗� − �⃗�)
�
�� 
Que pode ser transformado, no caso do circuito para: 
�⃗(�⃗�) =
��
4�
�
��
(�⃗� − �⃗�)
��⃗�
�
 
Vamos analisar o conceito de Indutância 
Quando temos dois circuitos que interagem, dois circuitos acoplados. 
 
∆�⃗ = �⃗� − �⃗� 
Notas de aulas de eletromagnetismo 11a Aula- “Energia Magnética “ 3 
Prof. Neri Alves 
 
Quase são os fluxo de ��⃗ sobre os circuitos mutuamente. 
∅�→� = � �⃗�(�⃗�) ∙ ��⃗�
�
 
Como 
�⃗���⃗�� =
��
4�
�
��
��⃗� − �⃗��
��⃗�
��
 
∅�→� =
��
4�
 � �
��
��⃗� − �⃗��
��⃗�
��
∙ ��⃗�
��
 
O Fluxo em j depende da corrente Ik no circuito k. 
A integral só depende da geometria dos circuitos. Se a geometria for fixa a integral dupla é constante e 
podemos escrever que 
∅�→� = ����� 
Onde 
��� =
��
4�
 � �
��⃗� ∙ ��⃗�
��⃗� − �⃗��
����
 
Que é denominado de indutância mútua. 
Se repetirmos o cálculo para 
∅�→� = ����� 
Onde 
��� =
��
4�
 � �
��⃗� ∙ ��⃗�
��⃗� − �⃗��
���
 
Usando a Lei de Faraday podemos escrever 
��→� = −
�∅��
��
= −���
���
��
 
Se tivermos um conjunto de n circuitos o fluxo sobre Cj será: 
Notas de aulas de eletromagnetismo 11a Aula- “Energia Magnética “ 4 
Prof. Neri Alves 
 
∅� = � ∅��
�
���
= � �����
�
���
 
E assim tem-se 
�� ����� = −
�∅�
��
= − � ���
�
���
���
��
 
 
Caso particular: Apenas um circuito e temos a denominada auto indução. 
∅�→� = ����� 
Onde 
��� é a auto-indutância. Ocircuito produz um fluxo através de si mesmo, onde. 
 
 
��� = ��� =
��
4�
 � �
��⃗� ∙ ��⃗�
��⃗� − �⃗�
��
����
 
A auto-indutância produz uma força eletromotriz no circuito que é dada por 
�� ����������â���� = − ��
���
��
 
E É claro que ��� = ���, só muda de nome. 
 
Energia Magnética 
 Vimos que 
dW��� = d���� = I �∅ 
Em n espira a energia eletromagnética corresponde a soma de todos eles. Assim 
dW��� = d���� = � ���∅�
�
���
 
Nos vimos que 
Notas de aulas de eletromagnetismo 11a Aula- “Energia Magnética “ 5 
Prof. Neri Alves 
 
∅� = � �����
�
���
 
�∅� = � ������
�
���
 
Logo 
d���� = � �� � ������
�
���
�
���
 
 
d���� = � � ��������
�
���
�
���
 
Vamos assumir que cada corrente tem no instante t um valor fracional f de seu valor final. 
i = f(t)I (0 ≤ f ≤ 1) 
Para calcular Umag tem que integrar a corrente do valor inicial até o valor final de I. Assim, para 
��� = ���� e f é independente do valor da corrente Ij no circuito Cj e tem-se que �� = ��� e daí 
escrevemos 
d���� = � � �������� ��
��
 
���� = � � ������� � � ��
�
���
 
���� =
1
2
 � � �����
��
�� 
Se 
∅� = � ���
�
���
�� 
���� =
1
2
 � ��∅�
�
���
 
Energia em termos de B��⃗ . 
Notas de aulas de eletromagnetismo 11a Aula- “Energia Magnética “ 6 
Prof. Neri Alves 
 
Usando que ∇ × B��⃗ = ���⃗ 
 
∅ = � B��⃗ ∙ ���� = � �⃗
�
�
�l⃗ 
Pois 
B��⃗ = ∇ × �⃗ 
� ∇ × �⃗ ∙ ���� = � �⃗
�
�
�l⃗ 
Ou 
∅ = � ∇ × �⃗ ∙ ���� = � �⃗
�
�
�l⃗ 
 
Portanto 
���� =
1
2
 � ��
�
���
� �⃗�l⃗
�
 
���� =
1
2
 � � ���⃗��⃗
�
�
���
 
Para densidade de correntes podemos escrever 
�(J⃗) ↔ � � �
���
 
���� =
1
2
 � �⃗(�⃗�) ∙ �⃗
�
(�⃗�)�� 
Ou 
���� =
1
2
 � �⃗ ∙ �⃗
�
�� 
Notas de aulas de eletromagnetismo 11a Aula- “Energia Magnética “ 7 
Prof. Neri Alves 
 
Mas 
∇ × H��⃗ = �⃗ 
logo 
 
���� =
1
2
 �(∇ × H��⃗ ) ∙ �⃗
�
�� 
Usando a identidade vetorial 
∇ ∙ ��⃗ × H��⃗ � = H��⃗ ∙ ∇ × �⃗ − �⃗ ∙ ∇ × H��⃗ 
���� =
1
2
 � H��⃗ ∙ ∇ × �⃗
�
�� − 
1
2
 � ∇ ∙ ��⃗ × H��⃗ �
�
�� 
Se B��⃗ = ∇ × �⃗ e usando o Teorema da Divergência. 
���� =
1
2
 � H��⃗ ∙ B��⃗
�
�� +
1
2
 ���⃗ × H��⃗ � ∙ ��
�
�� 
Se estendermos a superfície S para o infinito, a última integral se anula, pois 
� →∝
1
��
 
 � →∝
�
�
 A integral de pende de 
�
�
 
�� →∝ �� 
Assim se � → ∞, 
�
�
→ 0 
Então ∫ ��⃗ × H��⃗ � ∙ ��
�
� = 0 e 
���� =
1
2
 � H��⃗ ∙ B��⃗
�
�� 
Onde a integral tem que ser calaculada sobre todo o espaço e define-se a densidade de energia como 
���� =
1
2
 H��⃗ ∙ B��⃗ 
Se o meio for o vácuo 
Notas de aulas de eletromagnetismo 11a Aula- “Energia Magnética “ 8 
Prof. Neri Alves 
 
B��⃗ = �����⃗ 
���� =
1
2��
 � B�
�
�� 
E a densidade de energia 
���� =
1
2��
 B� 
 
E em um meio magnético linear ela toma a forma 
���� =
1
2�
 B� 
 
Lei de Ampere 
� H��⃗
�
∙ dl⃗ = I 
ou 
� H��⃗
�
∙ dl⃗ = � J⃗ ∙ n�da
�
 
Onde I é a corrente que atravessa a superfície determinada pelo contorno C. Vamos analisar a situação 
com um capacitor de placas paralelas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de aulas de eletromagnetismo 11a Aula- “Energia Magnética “ 9 
Prof. Neri Alves 
 
 
 
 
S1 → Superfície plana que é atravessada pelo fio percorrido por uma corrente I, delimitada pelo 
contorno C. 
S2 → Superfície que passa entre as placas do capacitor sem corrente, também delimitada pelo contorno 
C. 
A equação de Ampère dá que 
� H��⃗
�
∙ dl⃗ = � J⃗ ∙ n�da
�
 
Mas vejamos 
� J⃗ ∙ n�da
��
= I 
e 
� J⃗ ∙ n�da
��
= 0 
 
Trata-se se duas superfícies diferentes com o mesmo contorno. Então temos uma contradição. Maxwel 
resolve este problema modificando a Lei de Ampère incluindo a corrente de deslocamento. Vejamos 
� J⃗ ∙ n�da
��
− � J⃗ ∙ n�da ≠ 0
��
 
 
Notas de aulas de eletromagnetismo 11a Aula- “Energia Magnética “ 10 
Prof. Neri Alves 
 
� J⃗ ∙ n�da
�����
≠ 0 
 
Mas já vimos que: 
 
I = � J⃗ ∙ n�da
�
= � ∇ ∙ J⃗ dv
�
 
Mas 
 
∇ ∙ J⃗ = −
��
��
 (equação da continuidade ou conservação das cargas) 
 
 
Logo 
I = � J⃗ ∙ n�da
�
= − �
∂ρ
dt
 dv
�
≠ 0 
 
Assim, lembrando que 
∇ × H��⃗ = J⃗ e portanto ∫ ∇ × H��⃗
�
= ∮ H��⃗ ∙ dl⃗
�
= ∫ J⃗ ∙ n�da
�
, podemos concluir que a equação ∇ × H��⃗ = J⃗ 
deve estar incompleta. Isto pode ser verificadoatravés de 
∇ ∙ �∇ × H��⃗ � = 0 
 
Mas 
∇ ∙ �∇ × H��⃗ � = ∇ ∙ J⃗ 
e 
∇ ∙ J⃗ ≠ 0 
Eis o problema. Qual a solução? 
Vejamos o tratamento de Maxwell 
Notas de aulas de eletromagnetismo 11a Aula- “Energia Magnética “ 11 
Prof. Neri Alves 
 
∇ ∙ D��⃗ = ρ 
∇ ∙ J⃗ = −
∂ρ
∂t
 
Assim, 
∇ ∙ J⃗ = −
∂
∂t
�∇ ∙ D��⃗ � 
∇ ∙ J⃗ +
∂
∂t
�∇ ∙ D��⃗ � = 0 
Ou 
∇ ∙ �
∂D��⃗
∂t
+ J⃗� = 0 
Portanto, se o termo 
����⃗
��
 for acrescentado ao ∇ × H��⃗ fica resolvido. Então temos 
∇ × H��⃗ = J⃗ +
∂D��⃗
∂t
 
Onde 
����⃗
��
 é a denominada corrente de deslocamento de Maxwell. Assim, temos finalmente que as 
equações de Maxwell são escritas como: 
 
E deus disse... 
∇ ∙ D��⃗ = � ∇ ∙ B��⃗ = 0 
∇ × E��⃗ = −
∂B��⃗
∂t
 ∇ × H��⃗ = J⃗ +
∂D��⃗
∂t
 
... e a luz se fez. ... e Deus viu que a luz era boa. 
 
 
Notas de aulas de eletromagnetismo 11a Aula- “Energia Magnética “ 12 
Prof. Neri Alves 
 
Exercícios 
1. Considere um circuito fechado no qual, quando aplica-se uma voltagem V circula uma 
corrente I. Sendo ε a força eletromotriz e R a resistência do circuito (a) calcule o trabalho 
realizado contra a força eletromotriz induzida pela fonte externa para o deslocamento de uma 
carga dq. (b) Calcule a energia dissipada por efeito joule. 
2. Partindo da expressão ���� =
�
�
∫ �⃗. �⃗��
�
 calcule a densidade de energia magnética em 
função da indução magnética B. 
3. Usando o capacitor de placas paralelas justifique a existência da corrente de deslocamento e 
mostre que seu valor deve ser t
D



. Tome como ponto de partida a lei de Ampère com 
respeito a corrente que atravessa uma superfície S determinada por um contorno C 
 
C
IldH

 e que 
 
S
IdanJ

 e use t
J




 e JH

 . Ou seja, em resumo 
discuta a inconsistência da lei de Ampère. Mostre que a solução para esta inconsistência é 
adicionar à equação de Àmpere a derivada temporal do deslocamento elétrico, resultando em 
∇xH��⃗ = J⃗ +
����⃗
��
 .

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