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Notas de aulas de eletromagnetismo 11a Aula- “Energia Magnética “ 1 Prof. Neri Alves Eletromagnetismo 2015 Neri Alves 04/01/2016 - 11a Aula Energia Magnética Se V for a voltagem aplicada a um circuito, a corrente que passa pelo circuito é: IR = V + ε Onde ε é a fem induzida (Lei de Faraday) e R é a resistência elétrica do circuito. Se uma carga dq=Idt é deslocada no circuito, o trabalho realizado será? dW = Vdq dW = V I dt ou dW = (�� − �) I dt Usando a Lei de Faraday � = − �∅ �� dW = ���dt − �− �∅ �� � I dt dW = ���dt + I �∅ Onde o primeiro termo é a dissipação pelo efeito de Joulee o segundo termo é o trabalho realizado contra a fem induzida. Quando pode-se desprezar o efeito joule temos que dW��� = I �∅ Ou seja é a variação de energia magnética do circuito, e o índice ext e indica que o trabalho é feito por fontes externas, como baterias, por exemplo. Vamos apresentar o cálculo do fluxo de campo magnético em um circuito com espiras em função de A. ∅ = � ��⃗ � ∙ ��da Mas ��⃗ = ∇ × �⃗ Notas de aulas de eletromagnetismo 11a Aula- “Energia Magnética “ 2 Prof. Neri Alves Logo ∅ = � ∇ × �⃗ � ∙ ��da Pelo teorema de Stokes � ∇ × �⃗ � ∙ ��da = � �⃗ ∙ ��⃗ � Ou seja ∅ = � �⃗ ∙ ��⃗ � Já vimos que em um ponto �⃗� �⃗(�⃗�) = �� 4� � �⃗(�⃗�) (�⃗� − �⃗�) � �� Que pode ser transformado, no caso do circuito para: �⃗(�⃗�) = �� 4� � �� (�⃗� − �⃗�) ��⃗� � Vamos analisar o conceito de Indutância Quando temos dois circuitos que interagem, dois circuitos acoplados. ∆�⃗ = �⃗� − �⃗� Notas de aulas de eletromagnetismo 11a Aula- “Energia Magnética “ 3 Prof. Neri Alves Quase são os fluxo de ��⃗ sobre os circuitos mutuamente. ∅�→� = � �⃗�(�⃗�) ∙ ��⃗� � Como �⃗���⃗�� = �� 4� � �� ��⃗� − �⃗�� ��⃗� �� ∅�→� = �� 4� � � �� ��⃗� − �⃗�� ��⃗� �� ∙ ��⃗� �� O Fluxo em j depende da corrente Ik no circuito k. A integral só depende da geometria dos circuitos. Se a geometria for fixa a integral dupla é constante e podemos escrever que ∅�→� = ����� Onde ��� = �� 4� � � ��⃗� ∙ ��⃗� ��⃗� − �⃗�� ���� Que é denominado de indutância mútua. Se repetirmos o cálculo para ∅�→� = ����� Onde ��� = �� 4� � � ��⃗� ∙ ��⃗� ��⃗� − �⃗�� ��� Usando a Lei de Faraday podemos escrever ��→� = − �∅�� �� = −��� ��� �� Se tivermos um conjunto de n circuitos o fluxo sobre Cj será: Notas de aulas de eletromagnetismo 11a Aula- “Energia Magnética “ 4 Prof. Neri Alves ∅� = � ∅�� � ��� = � ����� � ��� E assim tem-se �� ����� = − �∅� �� = − � ��� � ��� ��� �� Caso particular: Apenas um circuito e temos a denominada auto indução. ∅�→� = ����� Onde ��� é a auto-indutância. Ocircuito produz um fluxo através de si mesmo, onde. ��� = ��� = �� 4� � � ��⃗� ∙ ��⃗� ��⃗� − �⃗� �� ���� A auto-indutância produz uma força eletromotriz no circuito que é dada por �� ����������â���� = − �� ��� �� E É claro que ��� = ���, só muda de nome. Energia Magnética Vimos que dW��� = d���� = I �∅ Em n espira a energia eletromagnética corresponde a soma de todos eles. Assim dW��� = d���� = � ���∅� � ��� Nos vimos que Notas de aulas de eletromagnetismo 11a Aula- “Energia Magnética “ 5 Prof. Neri Alves ∅� = � ����� � ��� �∅� = � ������ � ��� Logo d���� = � �� � ������ � ��� � ��� d���� = � � �������� � ��� � ��� Vamos assumir que cada corrente tem no instante t um valor fracional f de seu valor final. i = f(t)I (0 ≤ f ≤ 1) Para calcular Umag tem que integrar a corrente do valor inicial até o valor final de I. Assim, para ��� = ���� e f é independente do valor da corrente Ij no circuito Cj e tem-se que �� = ��� e daí escrevemos d���� = � � �������� �� �� ���� = � � ������� � � �� � ��� ���� = 1 2 � � ����� �� �� Se ∅� = � ��� � ��� �� ���� = 1 2 � ��∅� � ��� Energia em termos de B��⃗ . Notas de aulas de eletromagnetismo 11a Aula- “Energia Magnética “ 6 Prof. Neri Alves Usando que ∇ × B��⃗ = ���⃗ ∅ = � B��⃗ ∙ ���� = � �⃗ � � �l⃗ Pois B��⃗ = ∇ × �⃗ � ∇ × �⃗ ∙ ���� = � �⃗ � � �l⃗ Ou ∅ = � ∇ × �⃗ ∙ ���� = � �⃗ � � �l⃗ Portanto ���� = 1 2 � �� � ��� � �⃗�l⃗ � ���� = 1 2 � � ���⃗��⃗ � � ��� Para densidade de correntes podemos escrever �(J⃗) ↔ � � � ��� ���� = 1 2 � �⃗(�⃗�) ∙ �⃗ � (�⃗�)�� Ou ���� = 1 2 � �⃗ ∙ �⃗ � �� Notas de aulas de eletromagnetismo 11a Aula- “Energia Magnética “ 7 Prof. Neri Alves Mas ∇ × H��⃗ = �⃗ logo ���� = 1 2 �(∇ × H��⃗ ) ∙ �⃗ � �� Usando a identidade vetorial ∇ ∙ ��⃗ × H��⃗ � = H��⃗ ∙ ∇ × �⃗ − �⃗ ∙ ∇ × H��⃗ ���� = 1 2 � H��⃗ ∙ ∇ × �⃗ � �� − 1 2 � ∇ ∙ ��⃗ × H��⃗ � � �� Se B��⃗ = ∇ × �⃗ e usando o Teorema da Divergência. ���� = 1 2 � H��⃗ ∙ B��⃗ � �� + 1 2 ���⃗ × H��⃗ � ∙ �� � �� Se estendermos a superfície S para o infinito, a última integral se anula, pois � →∝ 1 �� � →∝ � � A integral de pende de � � �� →∝ �� Assim se � → ∞, � � → 0 Então ∫ ��⃗ × H��⃗ � ∙ �� � � = 0 e ���� = 1 2 � H��⃗ ∙ B��⃗ � �� Onde a integral tem que ser calaculada sobre todo o espaço e define-se a densidade de energia como ���� = 1 2 H��⃗ ∙ B��⃗ Se o meio for o vácuo Notas de aulas de eletromagnetismo 11a Aula- “Energia Magnética “ 8 Prof. Neri Alves B��⃗ = �����⃗ ���� = 1 2�� � B� � �� E a densidade de energia ���� = 1 2�� B� E em um meio magnético linear ela toma a forma ���� = 1 2� B� Lei de Ampere � H��⃗ � ∙ dl⃗ = I ou � H��⃗ � ∙ dl⃗ = � J⃗ ∙ n�da � Onde I é a corrente que atravessa a superfície determinada pelo contorno C. Vamos analisar a situação com um capacitor de placas paralelas. Notas de aulas de eletromagnetismo 11a Aula- “Energia Magnética “ 9 Prof. Neri Alves S1 → Superfície plana que é atravessada pelo fio percorrido por uma corrente I, delimitada pelo contorno C. S2 → Superfície que passa entre as placas do capacitor sem corrente, também delimitada pelo contorno C. A equação de Ampère dá que � H��⃗ � ∙ dl⃗ = � J⃗ ∙ n�da � Mas vejamos � J⃗ ∙ n�da �� = I e � J⃗ ∙ n�da �� = 0 Trata-se se duas superfícies diferentes com o mesmo contorno. Então temos uma contradição. Maxwel resolve este problema modificando a Lei de Ampère incluindo a corrente de deslocamento. Vejamos � J⃗ ∙ n�da �� − � J⃗ ∙ n�da ≠ 0 �� Notas de aulas de eletromagnetismo 11a Aula- “Energia Magnética “ 10 Prof. Neri Alves � J⃗ ∙ n�da ����� ≠ 0 Mas já vimos que: I = � J⃗ ∙ n�da � = � ∇ ∙ J⃗ dv � Mas ∇ ∙ J⃗ = − �� �� (equação da continuidade ou conservação das cargas) Logo I = � J⃗ ∙ n�da � = − � ∂ρ dt dv � ≠ 0 Assim, lembrando que ∇ × H��⃗ = J⃗ e portanto ∫ ∇ × H��⃗ � = ∮ H��⃗ ∙ dl⃗ � = ∫ J⃗ ∙ n�da � , podemos concluir que a equação ∇ × H��⃗ = J⃗ deve estar incompleta. Isto pode ser verificadoatravés de ∇ ∙ �∇ × H��⃗ � = 0 Mas ∇ ∙ �∇ × H��⃗ � = ∇ ∙ J⃗ e ∇ ∙ J⃗ ≠ 0 Eis o problema. Qual a solução? Vejamos o tratamento de Maxwell Notas de aulas de eletromagnetismo 11a Aula- “Energia Magnética “ 11 Prof. Neri Alves ∇ ∙ D��⃗ = ρ ∇ ∙ J⃗ = − ∂ρ ∂t Assim, ∇ ∙ J⃗ = − ∂ ∂t �∇ ∙ D��⃗ � ∇ ∙ J⃗ + ∂ ∂t �∇ ∙ D��⃗ � = 0 Ou ∇ ∙ � ∂D��⃗ ∂t + J⃗� = 0 Portanto, se o termo ����⃗ �� for acrescentado ao ∇ × H��⃗ fica resolvido. Então temos ∇ × H��⃗ = J⃗ + ∂D��⃗ ∂t Onde ����⃗ �� é a denominada corrente de deslocamento de Maxwell. Assim, temos finalmente que as equações de Maxwell são escritas como: E deus disse... ∇ ∙ D��⃗ = � ∇ ∙ B��⃗ = 0 ∇ × E��⃗ = − ∂B��⃗ ∂t ∇ × H��⃗ = J⃗ + ∂D��⃗ ∂t ... e a luz se fez. ... e Deus viu que a luz era boa. Notas de aulas de eletromagnetismo 11a Aula- “Energia Magnética “ 12 Prof. Neri Alves Exercícios 1. Considere um circuito fechado no qual, quando aplica-se uma voltagem V circula uma corrente I. Sendo ε a força eletromotriz e R a resistência do circuito (a) calcule o trabalho realizado contra a força eletromotriz induzida pela fonte externa para o deslocamento de uma carga dq. (b) Calcule a energia dissipada por efeito joule. 2. Partindo da expressão ���� = � � ∫ �⃗. �⃗�� � calcule a densidade de energia magnética em função da indução magnética B. 3. Usando o capacitor de placas paralelas justifique a existência da corrente de deslocamento e mostre que seu valor deve ser t D . Tome como ponto de partida a lei de Ampère com respeito a corrente que atravessa uma superfície S determinada por um contorno C C IldH e que S IdanJ e use t J e JH . Ou seja, em resumo discuta a inconsistência da lei de Ampère. Mostre que a solução para esta inconsistência é adicionar à equação de Àmpere a derivada temporal do deslocamento elétrico, resultando em ∇xH��⃗ = J⃗ + ����⃗ �� .
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