aula13-testedehipteses

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Teste de hipóteses - unilateral
Profa. Dra. Juliana Garcia 
Cespedes
Inferência
Distribuição 
desconhecida
ou 
Parâmetros 
desconhecidos
amostra
Inferir certas características da 
população
X 
S2 2
p p
Intervalo 
de 
confiança
estimar
estimar
estimar^
Teste de hipóteses
 = 100
amostra
56,107X 
Uma população com 
média =100 conhecida 
poderia produzir uma 
amostra com média 
107,56?
O objetivo do teste de hipóteses é verificar se os dados 
amostrais trazem evidências que contrariam ou não uma 
hipótese estatística formulada.
Teste de hipóteses
 Suponha que entre pessoas sadias, a concentração de 
uma certa substância no sangue se comporta segundo 
um modelo Normal com média 14 unidades/ml e desvio 
padrão 6 unidades/ml. Em pessoas doentes a 
concentração média se alterada para 18 unidades/ml
com mesmo desvio padrão.
Sadios: N(14,36)
Doentes: N(18,36)
Teste de hipóteses para a média
Desejamos verificar se um determinado 
tratamento é eficaz a essa doença.
 Uma amostra aleatória de 31 pessoas doentes que 
foram submetidas ao tratamento é selecionada. 
X1, X2, ... Xn Xi ~ N( , 36)
O valor da média desta amostra vai indicar se o 
tratamento foi eficaz (=14) ou não foi eficaz (=18)
Teste de hipóteses para a média
Pelo teorema do limite central, sabe-se que:
Um critério que pode ser utilizado para 
decidir a qual população (=14 ou =18) 
pertence a amostra é determinar um valor 
crítico xc






31
36
,N~X 
Teste de hipóteses para a média
Se X>xc concluímos que a amostra pertence 
à população doente (=18), ou seja o 
tratamento não é eficaz;
Se X  xc concluímos que a amostra 
pertence à população sadia (=14) sendo o 
tratamento considerado eficiente.
xc
 = 14  = 18
xobs
Teste de hipóteses para a média
Podemos formular duas hipóteses para esse 
problema: 
H0: O tratamento NÃO é eficaz;
Ha: O tratamento é eficaz.
Hipótese nula
Hipótese alternativa
H0:  = 18
Ha:  = 14
H0:  = 18
Ha:  < 18
H0:  = 18
Ha:   18
Hipótese simples Hipótese composta
Teste unilateral Teste bilateral
Teste de hipóteses para a média
TESTE UNILATERAL:
No caso do tratamento ser eficaz é razoável 
assumirmos que ele foi capaz de fazer com 
que as pessoas ficassem curadas, ou seja, 
que mudassem para uma população que 
X<18
TESTE BILATERAL
Para verificar se o tratamento produziu algum 
efeito benéfico X<18 ou danoso X>18
H0:  = 18 versus Ha:  < 18
H0:  = 18 versus Ha:   18
Teste de hipóteses para a média
Como X é uma estimativa (é apenas 1 de 
infinitas amostras possíveis) pode-se correr o 
risco de concluir incorretamente que o 
tratamento é eficaz, ou decidir que o tratamento 
não é eficiente quando na verdade ele é.
Devemos quantificar os possíveis erros 
associados a essa decisão.
Teste de hipóteses
Rejeitar a hipótese H0, quando tal hipótese é 
verdadeira
Não rejeitar a hipótese H0, quando ela deveria 
ser rejeitada
Erro tipo I
Erro tipo II
Erro tipo I Sem erro
Sem erro Erro tipo II
Rejeitar H0
Não rejeitar H0
H0 verdadeira H0 falsa
Situação
Decisão
Teste de hipóteses
 = P(erro tipo I) = P(Rejeitar H0| H0 é verdadeira)
 = P(erro tipo II) = P(Não rejeitar H0| H0 é falsa)
 = P(concluir que o tratamento é eficaz | na verdade ele não é)
 = P(concluir que o tratamento não é eficaz | na verdade ele é)
No exemplo:


Qual é o erro mais 
importante de ser 
evitado?
   
   
Nível de significância
Teste de hipóteses para a média
Com determinar o valor crítico xc?
)(
31
6
18
)18|(
.)|()( 00
c
c
c
zZP
x
n
X
P
xXP
verdHHrejeitarPIerroP





















Sendo que Z ~ N(0,1)
Teste de hipóteses para a média
O valor de zc é obtido na tabela da distribuição 
normal, dado um valor para  e o valor crítico é 
calculado como:
31
6
18
31
6
18
cc
c
c
zx
x
z



Intervalo de confiança 
para  com n>30!!!
Para =0,05:
64,1
)(05,0


c
c
z
zZP
Teste de hipóteses para a média
Logo
Se Xobs < 16,23 rejeitamos H0 concluindo que o 
tratamento é eficaz.
23,16
31
6
64,118 cx
Região crítica:
RC={x  : x<xc}
RC={x  : x<16,23}
Teste de hipóteses para a média
Se a amostra forneceu estimativa da média 
16,04 então 16,04<16,23 e rejeitamos H0 ao 
nível de significância =0,05 ou =5%.
Portanto o tratamento é eficaz.
Passos para construção do TH.
Passo 1: Estabelecer as hipótese nula e 
alternativa;
Passo 2: Definir a forma da região crítica, com 
base na hipótese alternativa;
Passo 3: Identificar a distribuição do estimador 
e obter sua estimativa;
Passo 4: Fixar  e obter a região crítica;
Passo 5: Concluir o teste com base na 
estimativa e na região crítica.
Exercício
Uma variável aleatória tem distribuição 
normal com desvio padrão igual a 12. 
Estamos testando se sua média é igual ou 
menor que 20 e coletamos uma amostra de 
100 valores dessa variável, obtendo uma 
média amostral de 17,4.
Formule as hipóteses.
Obtenha a região crítica e dê a conclusão do 
teste para os seguintes níveis de 
significância: 1%, 4% e 8%.
Teste de hipóteses - bilateral
Profa. Dra. Juliana Garcia 
Cespedes
Teste de hipóteses
 Suponha que entre pessoas sadias, a concentração de 
uma certa substância no sangue se comporta segundo 
um modelo Normal com média 14 unidades/ml e desvio 
padrão 6 unidades/ml. Em pessoas doentes a 
concentração média se alterada para 18 unidades/ml
com mesmo desvio padrão.
Sadios: N(14,36)
Doentes: N(18,36)
Teste de hipóteses - bilateral
 NOVO OBJETIVO:
Verificar se o tratamento produziu algum efeito 
benéfico X<18 ou danoso X>18
H0: O tratamento NÃO é eficaz
Ha: O tratamento produz algum efeito (benéfico ou 
danoso)
H0:  = 18 versus Ha:   18
Teste de hipóteses - bilateral
A região crítica, ou região de rejeição para 
o teste de hipóteses bilateral será dada 
por:
A região de aceitação é o completar da 
região crítica:
}:{ 21 cc xxouxxxRC 
}:{ 21 cc xxxxRA 
Teste de hipóteses - bilateral
Para  fixo, encontramos os ponto críticos xc1 e xc2:
2
)(
2
)(
)(
31
6
18
31
6
18
31
6
18
)18|()18|(
.)|()(
21
21
21
21
00

























cc
cc
cc
cc
zZPezZP
zZouzZP
xX
ou
n
xX
P
xXouxXPRCXP
verdHHrejeitarPIerroP
Teste de hipóteses - bilateral
Os valores de zc1 e zc2 são obtidos na tabela da 
distribuição normal, dado um valor para  e o 
valor crítico é calculado como:
31
6
18 cici zx 
Intervalo de confiança 
para  com n > 30!!!
Para =0,05:
96,1
)(025,0
1
1


c
c
z
zZP
96,1
)(025,0
2
2


c
c
z
zZP
Teste de hipóteses - bilateral
Logo
A região crítica para =0,05 é:
11,20
31
6
96,118
89,15
31
6
96,118
2
1


c
c
x
x
}11,2089,15:{  xouxxRC
Teste de hipóteses - bilateral
Como Xobs não pertence a RC, aceitamos H0 a 
um nível de 5% de significância. Concluímos 
que o tratamento não é eficaz.
Teste de hipóteses - bilateral
Também podemos calcular a probabilidade de 
acontecer o erro tipo II
Para calcular , nós conhecemoso valor de :
)18|(
.)|(
)(
00





RCXP
verdHHrejeitarP
IerroP
Teste de hipóteses - bilateral
Mas para calcular a probabilidade de ocorrer o 
erro tipo II não sabemos quem é .
)18|(
)|(
)(
00





RCXP
falsaHHrejeitarNãoP
IIerroP
Quem é o 
verdadeiro 
valor de ?
Teste de hipóteses - bilateral
Desta forma  será uma função dos valores de 
 definido na região da hipótese alternativa. 
Então a probabilidade do erro tipo II será 
denotada por ().
Por exemplo, se  verdadeiro for =16
)16|11,2089,15(
)16|(
)()16(






XP
RCXP
IItipoerroP
Teste de hipóteses - bilateral
5397,0
499,00398,0
)81,310,0(
31
36
1611,20
31
36
16
31
36
1689,15
)16(



















ZP
X
P
Se o verdadeiro =16, estamos concluindo 
equivocadamente, com probabilidade de 
0,5397, que H0 é verdadeiro.
Exercício
Um relatório de uma companhia afirma que 40% 
de toda a água obtida, através de poços 
artesianos no nordeste, é salobra.
Mas alguns dizem que a proporção é maior, 
outros que é menor.
Para diminuir as dúvidas, sortearam 400 poços 
e observou-se, em 120 deles, água salobra.
Qual seria a conclusão, ao nível de 3%?