p2 calc3 2014 1 T01

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UFRRJ - ICE - DEMAT
Nome: Matr´ıcula:
Disciplina: IC243 - Ca´lculo III Turma: T01
Prof.a: Aline Data: 15/07/2014
2a Prova de Ca´lculo III
1a Questa˜o: Calcule ∫
C
−→
F · d~r,
onde
−→
F (x, y) = (x − y, xy) e C e´ o arco de circunfereˆncia x2 + y2 = 4 no plano xy,
percorrido no sentido anti-hora´rio de (2, 0) a (0,−2). (2,5 pt)
2a Questa˜o: Considere o campo vetorial
−→
F (x, y) = (y, x + 2y).
(a) Encontre uma func¸a˜o potencial f(x, y) do campo
−→
F . (1,5 pt)
(b) Calcule o trabalho realizado por
−→
F para mover um objeto do ponto P = (0, 1) ao
ponto Q = (2, 1), neste sentido, ao longo de um arco qualquer ligando esses dois pontos.
(1,0 pt)
3a Questa˜o: Considere C a fronteira da regia˜o plana, no 1o quadrante, delimitada pelo
eixo x, pela reta x = 1 e pela curva y = x3. Use o Teorema de Green para encontrar
o trabalho realizado pelo campo vetorial
−→
F (x, y) =
(
2xy3, 4x2y2
)
para mover uma part´ıcula ao redor dessa curva C uma u´nica vez no sentido anti-
hora´rio. (2,0 pt)
4a Questa˜o: Considere o campo vetorial
−→
F (x, y, z) =
(
−x,−y, z2
)
.
Calcule a integral de superf´ıcie ∫ ∫
S
−→
F · d~S,
onde S e´ o tronco do cone z =
√
x2 + y2, localizado entre os planos z = 1 e z = 2, com
orientac¸a˜o para baixo (ou seja, com normal apontando para longe do eixo z).
(3,0 pt)
Formula´rio:
sen 2θ + cos2 θ = 1 cos2 θ =
1 + cos(2θ)
2
sen 2θ =
1− cos(2θ)
2
Boa Prova!