Semana 5 - Exercícios

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a` a´lgebra linear - Turma B
Semana 5 – Lista de exerc´ıcios
Temas abordados: Dependeˆncia e independeˆncia linear. Propriedades. Base e di-
mensa˜o. Espac¸os vetoriais isomorfos. Sec¸o˜es dos livros:
• Steinbruch-Winterle, A´lgebra Linear: Cap´ıtulo 2 de 2.7 ate´ 2.9.
• Anton-Rorres, A´lgebra Linear com aplicac¸o˜es: 5.3, 5.4
Exerc´ıcios (Steinbruch-Winterle, A´lgebra Linear)
1) Exerc´ıcios na sec¸a˜o 2.10 do livro:
• N. 35, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 52, 53, 55, 56, 57, 58, 60, 61, 62, 65, 66, 67, 68,
69, 70, 71, 72 73, 75(a), 75(c), 75(d).
2) Calcule a dimensa˜o e exiba uma base para cada um dos subespac¸os de R4 listados
abaixo.
(a) F = {(x1, x2, x3, x4) | x1 = x2 = x3 = x4};
(b) G = {(x1, x2, x3, x4) | x1 = x2 e x3 = x4};
(c) H = {(x1, x2, x3, x4) | x1 = x2 = x3};
(d) K = {(x1, x2, x3, x4) | x1 + x2 + x3 + x4 = 0}.
3) Verifique se os seguintes conjuntos sa˜o bases de R4 e, em caso afirmativo, calcule
as coordenadas de v = (1, 2,−1, 1) em relac¸a˜o a` base considerada:
(i) X1 = {(1, 2, 1, 1), (0, 1, 1, 2), (1, 2, 3, 1), (−1, 1, 1, 2)};
(ii) X2 = {(1,−1, 1, 0), (1, 1,−1, 2), (1,−2, 1, 1), (−1, 1, 1, 2)};
(iii) X3 = {(1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 2), (1, 2, 1, 1), (2, 3, 2, 3)}.
4) Seja W = {(x, y, z) ∈ R3 | x − 2y + 4z = 0} um subespac¸o de R3. Calcule uma
base de W e logo a complete para formar uma base de R3.
5) Mostre que os vetores u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 3), w = (1, 4, 9) formam uma base
de R3. Logo exprima cada um dos vetores e1, e2, e3 da base canoˆnica de R3 como
combnac¸a˜o linear de u, v e w.
6) Obtenha uma base e determine a dimensa˜o de cada um dos subespac¸os deM(3, 3)
abaixo descritos:
(a) U =

 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 | a11 + a22 + a33 = 0, aij ∈ R

(b) W =

 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 | a11 = a31, a12 = a32, a13 = a33 aij ∈ R

7) Mostre que os polinoˆmios {p1(x) = 1, p2(x) = x − 1, p3(x) = x2 − 3x + 1}
formam uma base de P2[x] (o espac¸o vetorial de todos os polinoˆmios de grau ≤ 2 a
coeficientes em R).
Logo exprima o polinoˆmio p(x) = 2x2−5x+6 como combinac¸a˜o linear de p1(x), p2(x)
e p3(x).
1
2
Soluc¸o˜es :
2)
(a) dimF = 1 e B = {(1, 1, 1, 1)};
(b) dimG = 2 e B = {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)};
(c) dimH = 2 e B = {(1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)};
(d) dimK = 3 e B = {(1, 0, 0,−1), (0, 1, 0,−1), (0, 0, 1,−1)}.
3)
(i) Sim, vX1 = (2, 0,−1, 0);
(ii) Sim, vX2 = (1, 1,−1, 0);
(iii) X3 na˜o e´ uma base de R4.
4) Uma base deW e´ {(-4,0,1), (2,1,0)}. Dessa base posso obter a seguinte base para
R3: B= {(-4,0,1), (2,1,0), (1,0,0)}.
5) e1 =
6u−5v+w
6 , e2 = −3u+ 4v − w, e3 = 2u−3v+w2 .
6)
(a) Uma base de U e´ dada pelas matrizes:
A =
 1 0 00 0 0
0 0 −1
 , B =
 0 0 00 1 0
0 0 −1
 , C =
 0 1 00 0 0
0 0 0
 , D =
 0 0 10 0 0
0 0 0
 ,
E =
 0 0 01 0 0
0 0 0
 , F =
 0 0 00 0 1
0 0 0
 , G =
 0 0 00 0 0
1 0 0
 , H =
 0 0 00 0 0
0 1 0
 .
A dimensa˜o de U e´ 8.
(b) Uma base de W e´ dada pelas matrizes:
A =
 1 0 00 0 0
1 0 0
 , B =
 0 1 00 0 0
0 1 0
 , C =
 0 0 10 0 0
0 0 1
 , D =
 0 0 01 0 0
0 0 0
 ,
E =
 0 0 00 1 0
0 0 0
 , F =
 0 0 00 0 1
0 0 0
 .
A dimensa˜o de W e´ 6.
7) Verifique que {p1(x), p2(x), p3(x)} sa˜o lin. ind. Portanto sendo dimP2[x] = 3,
segue que {p1(x), p2(x), p3(x)} sa˜o uma base do espac¸o vetorial.
p(x) = 5p1(x) + p2(x) + 2p3(x).
Cristina Acciarri
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