Lista 4 - Base e dimensão

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO 
 Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho 
Álgebra Linear - Lista de exercícios 4 
Base e dimensão de um espaço vetorial 
 
 
1) Escreva uma base para o espaço vetorial das matrizes 𝑛 𝑥 𝑛. Qual a dimensão desse 
espaço? 
 
2) Exiba uma base dos seguintes subespaços. 
 
a) 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝑅4 | 𝑥 + 𝑦 = 0 𝑒 𝑧 – 𝑡 = 0} 
b) 𝑈 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝑅4 | 2𝑥 + 𝑦 – 𝑡 = 0 𝑒 𝑧 = 0} 
 
3) Seja V o espaço das matrizes 2x2 sobre R e W o subespaço de V gerado por: 
 
(
1 −5
−4 2
), (
1 1
−1 5
), (
2 −4
−5 7
), (
1 −7
−5 1
). 
 
Encontre uma base e a dimensão de W. 
 
4) Mostre que os polinômios 1 - 𝑡3,(1 − 𝑡)2, 1 − 𝑡, 1 geram todos os polinômios de grau 
menor ou igual a três. 
 
5) Mostre que 𝛼 = {1, 𝑥, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛} é base do espaço vetorial 𝑃𝑛, onde 𝑃𝑛 é o conjunto dos 
polinômios com grau, no máximo 𝑛. 
 
6) Seja 𝑃 o conjunto de todos os polinômios (de qualquer grau) com coeficientes reais. 
Existe uma base finita para esse espaço? Encontre uma “base” para 𝑃. 
 
7) Considere o subespaço de R4 gerado pelos vetores v1 = (1, -1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 1), v3 
= (-2, 2, 1, 1) e v4 = (1, 0, 0, 0). 
 
a) O vetor (2, -3, 2, 2) pertence a [v1, v2, v3, v4].]? 
b) Exiba uma base para [v1, v2, v3, v4]. Qual a dimensão? 
c) [v1, v2, v3, v4] = R
4? Por quê? 
 
8) Quais são as coordenadas de 𝑢 = (1, 0, 0) em relação à base 𝛽 = {(1, 1, 1),
(−1, 1, 0), (1, 0,−1)}? 
 
9) Considere o subespaço de R3 gerado por v1 = (1, 1, 0), v2 = (0, -1, 1) e v3 = (1, 1, 1). O 
subespaço [v1, v2, v3] é igual a R
3? 
 
10) Considere o sistema linear: 
{
2x + 4y − 6z = A 
𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 𝐵
6𝑦 − 14𝑧 = 𝐶
 
 
 UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO 
 Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho 
Álgebra Linear - Lista de exercícios 4 
Base e dimensão de um espaço vetorial 
 
 
Seja 𝑊 = {(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) R
3: (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) é solução do sistema}. Isto é, 𝑊 é o 
conjunto-solução do sistema. 
a) Que condições devemos impor a 𝐴,𝐵 𝑒 𝐶 para que 𝑊 seja subespaço vetorial de 
R3? 
b) Nas condições determinadas em a) encontre uma base para 𝑊. 
c) Que relação existe entre a dimensão de 𝑊 e o grau de liberdade do sistema? Seria 
este resultado válido para quaisquer sistemas homogêneos? 
 
 
 
 
Gabarito 
1) Uma base será composta por matrizes 𝑛 𝑥 𝑛 com uma entrada um e as demais 
zero. É preciso mostrar que essas matrizes são LI e geram todo o espaço 
vetorial. Dimensão 𝑛2. 
2) 
a. {(-1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)} 
b. {(1, 0, 0, 2), (0, 1, 0, 1)} 
 
3) É só verificar quais destes elementos do conjunto gerador são L.I. Concluímos 
que uma base é formada pelas matrizes (
1 −5
−4 2
), (
1 1
−1 5
). 
4) Faça, a.𝑡3+ b.𝑡2 + c.𝑡 + d = K.( 1 - t3) + L.(1 − t)2 + M.(1 − t) + N.1 e ache os 
valores de K, L, M e N em função de a, b, c e d. 
 
5) Basta pegar um polinômio de grau n e escrever como combinação linear dos 
vetores de 𝛼 = {1, 𝑥, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛} e mostrar que os vetores de 𝛼 são L.I.. 
 
6) Não. B={1, 𝑥 ,𝑥2, ... , 𝑥𝑛 , …} 
 
 
7) 
a. Pertence. 
b. Dimensão é 3. 
c. Não. Pois dim.[v1, v2, v3, v4] = 3 dim R
4 = 4. 
 
 
 
 
 
 
 UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO 
 Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho 
Álgebra Linear - Lista de exercícios 4 
Base e dimensão de um espaço vetorial 
 
8) [𝑢]𝛽 =
(
 
 
1
3
−1
3
1
3 )
 
 
 
 
9) Sim. 
10) 
a. A = B = C = 0 
b. 𝐵 = {(
5
3
, 
7
3
, 1), (0, 0, 1)} 
c. A dimensão de W é exatamente igual ao grau de liberdade. Sim, o 
resultado é válido para qualquer sistema homogêneo.